Magični kvadrat za 4 od 20. Kako radi čarobni kvadrat

Ova se zagonetka brzo proširila internetom. Tisuće ljudi počelo se pitati kako funkcionira čarobni kvadrat. Danas ćete konačno pronaći odgovor!

Misterij magičnog kvadrata

Zapravo, ova je zagonetka vrlo jednostavna i napravljena imajući na umu ljudsku nepažnju. Pogledajmo kako magični crni kvadrat radi na stvarnom primjeru:

1. Pogodimo bilo koji broj od 10 do 19. Sada od ovog broja oduzmimo njegove sastavne znamenke. Na primjer, uzmimo 11. Oduzmimo jedan od 11, a zatim još jedan. Rezultat je 9. Nije bitno koji ćete broj od 10 do 19 uzeti. Rezultat izračuna uvijek će biti 9. Broj 9 u “Magičnom kvadratu” odgovara prvom broju sa slikama. Ako bolje pogledate, možete vidjeti da je vrlo velik broj brojeva dodijeljen istim slikama.
2. Što se događa ako uzmete broj u rasponu od 20 do 29? Možda ste već i sami pogodili? Pravo! Rezultat izračuna uvijek će biti 18. Broj 18 odgovara drugom mjestu na dijagonali sa slikama.
3. Ako uzmete broj od 30 do 39, tada će, kao što već možete pogoditi, izaći broj 27. Broj 27 također odgovara broju na dijagonali tako neobjašnjivog "Magičnog kvadrata".
4. Sličan algoritam vrijedi za sve brojeve od 40 do 49, od 50 do 59 itd.

Odnosno, ispada da nije važno koji ste broj pogodili - “Magični kvadrat” će pogoditi rezultat, jer u ćelijama označenim brojevima 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 i 81 nalazi se zapravo isti simbol .

Zapravo, ova se misterija može lako objasniti pomoću jednostavne jednadžbe:

1. Zamislite bilo koji dvoznamenkasti broj. Bez obzira na broj, može se predstaviti kao x*10+y. Desetice se ponašaju kao "x", a jedinice kao "y".
2. Od skrivenog broja oduzmite brojeve koji ga čine. Dodajte jednadžbu: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
3. Broj koji proizlazi kao rezultat izračuna mora ukazivati ​​na određeni simbol u tablici.

Nije važno koji je broj u ulozi "x", na ovaj ili onaj način dobit ćete simbol čiji će broj biti višekratnik devet. Kako biste bili sigurni da postoji jedan simbol pod različitim brojevima, samo pogledajte tablicu i brojeve 0,9,18,27,45,54,63,72,81 i naredne.

ČAROBNI KVADRAT

Kina se smatra rodnim mjestom čarobnih kvadrata. U Kini postoji učenje Feng Shui koje kaže da boja, oblik i fizički položaj svakog elementa u prostoru utječe na protok Qi-ja, bilo da ga usporava, preusmjerava ili ubrzava, što izravno utječe na razinu energije od stanovnika. Kako bi saznali tajne svijeta, bogovi su poslali caru Yuu najstariji simbol, trg Lo Shu (Lo - rijeka).

ČAROBNI KVADRAT LO SHU

Legenda kaže da je prije otprilike četiri tisuće godina velika kornjača Shu izašla iz olujnih voda rijeke Luo. Ljudi koji su prinosili žrtve rijeci vidjeli su kornjaču i odmah je prepoznali kao božanstvo. Razmatranja drevnih mudraca činila su se toliko razumnima caru Yuu da je naredio da se slika kornjače ovjekovječi na papiru i zapečati je svojim carskim pečatom. Inače, kako bismo znali za ovaj događaj?

Ova je kornjača zapravo bila posebna jer je na oklopu imala čudan uzorak točkica. Točkice su bile označene uredno, što je stare filozofe navelo na ideju da kvadrat s brojevima na oklopu kornjače služi kao model prostora - karta svijeta koju je sastavio mitski utemeljitelj kineske civilizacije Huang Di. Zapravo, zbroj brojeva u stupcima, redovima i objema dijagonalama kvadrata je isti M = 15 i jednak je broju dana u svakom od 24 ciklusa kineske solarne godine.

Parni i neparni brojevi se izmjenjuju: 4 parna broja (napisana odozdo prema gore silaznim redoslijedom) nalaze se u četiri kuta, a 5 neparnih brojeva (napisanih odozdo prema gore u rastućem redoslijedu) čine križ u središtu kvadrata. Pet elemenata križa odražavaju zemlju, vatru, metal, vodu i šumu. Zbroj bilo koja dva broja odvojena centrom jednak je Ho Ti broju, tj. deset.

Parni brojevi (zemaljski simboli) Lo Shua bili su označeni na kornjačinom tijelu u obliku crnih točaka ili Yin simbola, a neparni brojevi (Nebeski simboli) - u obliku bijelih točaka ili Yang simbola. Zemlja 1 (ili voda) je ispod, vatra 9 (ili nebo) je iznad. Moguće je da je moderna slika broja 5, postavljena u središte kompozicije, posljedica kineskog simbola dualnosti Yang i Yin.

ČAROBNI KVADRAT IZ KHAJURAHOA

Istočna soba

Čarolija Josepha Rudyarda Kiplinga, koji je stvorio slike Mowglija, Bagheere, Balooa, Shere Khana i, naravno, Tabake, započela je na pragu dvadesetog stoljeća. Pola stoljeća ranije, u veljači 1838., mladi britanski časnik Bengalskih inženjera, T.S. Bert, zainteresiran za razgovor slugu koji su mu nosili palankin, skrenuo je s rute i naišao na drevne hramove u džunglama Indije.

Na stepenicama hrama Vishvanatha, službenik je pronašao natpis koji svjedoči o drevnosti građevina. Nakon kratkog vremena, energični general bojnik A. Cunningham nacrtao je detaljne planove za Khajuraho. Počela su iskapanja koja su kulminirala senzacionalnim otkrićem 22 hrama. Hramove su podigli maharaje iz svoje dinastije Chandel. Nakon raspada njihovog kraljevstva, džungla je progutala građevine na tisuću godina. Kvadrat četvrtog reda, pronađen među slikama golih bogova i božica, bio je nevjerojatan.

Ne samo da su se zbrojevi ovog kvadrata po redovima, stupcima i dijagonalama poklapali i bili jednaki 34. Poklapali su se i po isprekidanim dijagonalama koje nastaju kad se kvadrat presavije u torus, i to u oba smjera. Za takvo čarobnjaštvo brojeva, takvi kvadrati se nazivaju "đavolski" (ili "pandiagonalni", ili "nasik").

Naravno, to je svjedočilo o neobičnim matematičkim sposobnostima njihovih tvoraca, koji su bili superiorniji od kolonijalista. Ono što su neizbježno osjetili ljudi u bijelim pitomim kacigama.

DUREROV ČAROBNI KVADRAT

Slavni njemački umjetnik s početka 16. stoljeća Albrecht Durer stvorio je prvi magični kvadrat 4x4 u europskoj umjetnosti. Zbroj brojeva u bilo kojem retku, stupcu, dijagonali, a također, iznenađujuće, u svakoj četvrtini (čak iu središnjem kvadratu), pa čak i zbroj brojeva u kutu je 34. Dva srednja broja u donjem redu označavaju datum nastanka slike (1514). Ispravci su napravljeni u srednjim kvadratima prvog stupca - brojevi su deformirani.

Na slici s okultnim krilatim mišem Saturnom, magični kvadrat je sastavljen od krilate inteligencije Jupitera, koji se međusobno suprotstavljaju. Kvadrat je simetričan, budući da je zbroj bilo koja dva broja uključena u njega, koji se nalaze simetrično u odnosu na njegovo središte, jednak 17. Ako zbrojite četiri broja dobivena potezom šahovskog skakača, dobit ćete 34. Zaista , ovaj trg svojom besprijekornom uređenošću odražava melankoliju koja je zahvatila umjetnika.

Jutarnji san.

Europljane je s nevjerojatnim kvadratima brojeva upoznao bizantski pisac i lingvist Moschopoulos. Njegov rad bio je poseban esej na ovu temu i sadržavao je primjere autorovih čarobnih kvadrata.

SISTEMATIZACIJA MAGIČNIH KVADRATA

Sredinom 16.st. U Europi su se pojavila djela u kojima se magični kvadrati pojavljuju kao objekti matematičkih istraživanja. Uslijedila su mnoga druga djela, posebice poznatih matematičara, utemeljitelja moderne znanosti, kao što su Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessey, Euler, Gauss.

Čarobno, ili magični kvadrat, kvadratna je tablica ispunjena s n 2 brojeva na način da je zbroj brojeva u svakom retku, svakom stupcu i na obje dijagonale jednak. Definicija je uvjetna, budući da su stari također pridavali značenje, na primjer, boji.

Normalan zove se magični kvadrat ispunjen cijelim brojevima od 1 do n 2. Normalni magični kvadrati postoje za sve redove osim za n = 2, iako je slučaj n = 1 trivijalan - kvadrat se sastoji od jednog broja.

Poziva se zbroj brojeva u svakom retku, stupcu i dijagonali magična konstanta M. Magična konstanta normalnog magičnog kvadrata ovisi samo o n i dana je formulom

M = n (n 2 + 1) /2

Prve vrijednosti čarobnih konstanti date su u tablici

Ako je zbroj brojeva u kvadratu jednak samo u recima i stupcima, tada se zove polumagijski. Čarobni kvadrat se zove asocijativni ili simetričan, ako je zbroj bilo koja dva broja smještena simetrično oko središta kvadrata jednak n 2 + 1.

Postoji samo jedan normalan kvadrat trećeg reda. Mnogi su ga ljudi poznavali. Raspored brojeva u kvadratu Lo Shu sličan je simboličkim oznakama duhova u kabali i znakovima indijske astrologije.

Također poznat kao Saturnov kvadrat. Neka tajna društva u srednjem vijeku vidjela su je kao "kabalu devet komora". Bez sumnje, nijansa zabranjene magije puno je značila za očuvanje njegovih slika.

Bio je važan u srednjovjekovnoj numerologiji, često korišten kao amulet ili pomoć u proricanju. Svaka ćelija odgovara mističnom slovu ili drugom simbolu. Čitani zajedno uz određenu liniju, ovi su znakovi prenosili okultne poruke. Brojevi koji čine datum rođenja stavljani su u ćelije kvadrata, a zatim dešifrirani ovisno o značenju i položaju brojeva.

Među pandijagonalnim, kako ih još nazivaju, đavoljim magičnim kvadratima izdvajaju se simetrični – idealni. Đavolski kvadrat ostaje đavolski ako ga rotirate, reflektirate, presložite red od vrha do dna i obrnuto, prekrižite stupac s desne ili lijeve strane i dodijelite ga suprotnoj strani. Ukupno postoji pet transformacija, dijagram potonje je prikazan na slici

Postoji 48 4x4 đavolskih kvadrata s preciznošću rotacije i refleksije. Ako uzmemo u obzir i simetriju s obzirom na torične paralelne prijevode, tada ostaju samo tri bitno različita 4x4 đavolja kvadrata:

Claude F. Bragdon, poznati američki arhitekt, otkrio je da spajanjem jedne po jedne ćelije sa samo parnim ili samo neparnim brojem čarobnih kvadrata na isprekidanu liniju, u većini slučajeva dobivamo elegantan uzorak. Uzorak koji je izumio za ventilacijsku rešetku na stropu Gospodarske komore u Rochesteru, New York, gdje je živio, izgrađen je od čarobne isprekidane linije Lo-Shu talismana. Bragdon je koristio "čarobne linije" kao dizajn za tkanine, naslovnice za knjige, arhitektonske ukrase i ukrasne pokrivala za glavu.

Ako položite mozaik identičnih đavolskih kvadrata (svaki kvadrat mora biti usko susjedan), dobit ćete nešto poput parketa, u kojem će brojevi u bilo kojoj skupini 4x4 ćelija tvoriti đavolski kvadrat. Brojevi u četiri ćelije, koji slijede jedan za drugim, bez obzira kako se nalaze - okomito, vodoravno ili dijagonalno - uvijek zbrajaju konstantu kvadrata. Moderni matematičari takve kvadrate nazivaju "savršenim".

LATINSKI TRG

Latinski kvadrat je vrsta nepravilnog matematičkog kvadrata ispunjenog s n različitih simbola na takav način da se svih n simbola pojavljuje u svakom retku i svakom stupcu (svaki jednom).

Latinski kvadrati postoje za svaki n. Svaki latinski kvadrat je tablica množenja (Cayleyeva tablica) kvazigrupe. Naziv "latinski kvadrat" dolazi od Leonharda Eulera, koji je umjesto brojeva u tablici koristio latinična slova.

Dva latinska kvadrata nazivaju se ortogonalni, ako su svi poredani parovi simbola (a,b) različiti, gdje je a simbol u nekoj ćeliji prvog latinskog kvadrata, a b je simbol u istoj ćeliji drugog latinskog kvadrata.

Ortogonalni latinski kvadrati postoje za bilo koji poredak osim 2 i 6. Budući da je n potencija primarnog broja, postoji skup od n–1 u paru ortogonalnih latinskih kvadrata. Ako su u svakoj dijagonali latinskog kvadrata svi elementi različiti, takav se latinski kvadrat naziva dijagonala. Parovi ortogonalnih dijagonalnih latinskih kvadrata postoje za sve redove osim za 2, 3 i 6. Latinski kvadrat se često susreće u problemima rasporeda jer se brojevi ne ponavljaju u recima i stupcima.

Kvadrat sastavljen od parova elemenata dvaju ortogonalnih latinskih kvadrata naziva se Grčko-latinski trg. Takvi se kvadrati često koriste za konstruiranje čarobnih kvadrata i u složenim problemima rasporeda.

Proučavajući grčko-latinske kvadrate, Euler je dokazao da kvadrati drugog reda ne postoje, ali su pronađeni kvadrati 3, 4 i 5 reda. Nije pronašao niti jedan kvadrat reda 6. Postavio je hipotezu da ne postoje kvadrati parnog reda koji nisu djeljivi s 4 (tj. 6, 10, 14 itd.). Godine 1901. Gaston Terry je grubom silom potvrdio hipotezu o 6. redu. Ali 1959. hipotezu su opovrgli E. T. Parker, R. C. Bowes i S. S. Shrickherd, koji su otkrili grčko-latinski kvadrat reda 10.

POLIMINO ARTHUR CLARKE

Polyominoes - po složenosti svakako spadaju u kategoriju najtežih matematičkih kvadrata. Ovako o njemu piše pisac znanstvene fantastike A. Clark - u nastavku donosimo ulomak iz knjige “Zemaljsko carstvo”. Očito je da se Clark, živeći na svom otoku, živio je na Cejlonu - a njegova filozofija odvajanja od društva je sama po sebi zanimljiva, zainteresirao za zabavu koju podučava dječakova baka i prenio je nama. Dajte prednost ovom živom opisu od postojećih sistematizacija, koje prenose, možda, bit, ali ne i duh igre.

"Sada si dovoljno velik dječak, Duncane, i moći ćeš razumjeti ovu igru... međutim, to je puno više od igre." Suprotno bakinim riječima, Duncana igra nije impresionirala. Pa, što možete napraviti od pet bijelih plastičnih kvadrata?

“Prvo”, nastavila je baka, “morate provjeriti koliko različitih šara možete sastaviti od kvadratića.”

– Trebaju li ležati na stolu? – upita Duncan.

– Da, trebaju ležati dodirujući se. Ne možete preklapati jedan kvadrat s drugim.

Duncan je počeo slagati kvadrate.

„Pa, ​​mogu ih sve staviti u ravnu liniju", započeo je. „Ovako... I onda mogu presložiti dva dijela i dobiti slovo L... A ako uhvatim drugi rub, dobit ću slovo U...”

Dječak je brzo smislio pola tuceta kombinacija, zatim još i odjednom otkrio da ponavljaju postojeće.

- Možda sam glup, ali to je sve.

Duncan je propustio najjednostavniju figuru - križ, za čije je stvaranje bilo dovoljno postaviti četiri kvadrata na strane petog, središnjeg.

“Većina ljudi počinje s križem,” nasmiješila se baka, “po mom mišljenju, prenaglili ste se proglasiti glupim.” Bolje razmislite: mogu li postojati neke druge brojke?

Usredotočeno pomičući kvadratiće, Duncan je pronašao još tri figure, a zatim prestao tražiti.

"Sada je definitivno gotovo", rekao je samouvjereno.

– Što reći o takvoj brojci?

Malo pomaknuvši kvadratiće, baka ih je presavila u oblik grbavog slova F.

- A evo još jednog.

Duncan se osjećao kao potpuni idiot, a bakine riječi bile su poput melema na njegovu posramljenu dušu:

– Baš si super. Zamisli samo, nedostajala su mi samo dva komada. A ukupan broj figura je dvanaest. Ni više ni manje. Sada ih sve znate. Ako tražiš cijelu vječnost, drugu nećeš naći.

Baka je pomela pet bijelih kvadrata u kut i na stol položila desetak svijetlih, raznobojnih plastičnih komada. Bilo je to istih dvanaest figura, ali u gotovom obliku, a svaka se sastojala od pet kvadrata. Duncan se već bio spreman složiti da nikakve druge brojke stvarno ne postoje.

Ali budući da je baka rasporedila ove raznobojne pruge, to znači da se igra nastavlja, a Duncana je čekalo još jedno iznenađenje.

– Sada, Duncane, slušaj pažljivo. Te se figure nazivaju "pentaminoes". Ime dolazi od grčke riječi "penta", što znači "pet". Sve su figure jednake površine jer se svaka sastoji od pet identičnih kvadrata. Postoji dvanaest figura, pet kvadrata, stoga će ukupna površina biti jednaka šezdeset kvadrata. Pravo?

- Hmm da.

- Slušaj dalje. Šezdeset je prekrasan okrugli broj koji se može sastaviti na više načina. Najlakše je pomnožiti deset sa šest. Ova kutija ima takvu površinu: može držati deset polja vodoravno i šest okomito. Stoga bi u njega trebalo stati svih dvanaest figura. Jednostavno, poput složene slike-zagonetke.

Duncan je očekivao kvaku. Baka je voljela verbalne i matematičke paradokse, a nisu svi bili razumljivi njezinoj desetogodišnjoj žrtvi. Ali ovaj put nije bilo paradoksa. Dno kutije bilo je obrubljeno sa šezdeset kvadrata, što znači... Stani! Područje je područje, ali figure imaju različite oblike. Pokušajte ih staviti u kutiju!

„Ovaj zadatak ostavljam ti da sam riješiš", najavila je baka, vidjevši kako on tužno pomiče pentomino po dnu kutije. „Vjeruj mi, daju se sastaviti."

Ubrzo je Duncan počeo snažno sumnjati u riječi svoje bake. U kutiju je lako uspio ugurati deset cifara, a jednom je uspio ugurati i jedanaestu. Ali obrisi neispunjenog prostora nisu se poklapali s obrisima dvanaeste figure koju je dječak okretao u rukama. Bio je križ, a preostali lik je podsjećao na slovo Z...

Nakon još pola sata Duncan je već bio na rubu očaja. Baka je bila uronjena u dijalog sa svojim računalom, ali ga je s vremena na vrijeme pogledavala sa zanimanjem, kao da želi reći: "Ovo nije tako lako kao što ste mislili."

S deset godina Duncan je bio primjetno tvrdoglav. Većina njegovih vršnjaka davno bi odustala od pokušaja. (Tek nekoliko godina kasnije shvatio je da ga je baka ljubazno provela na psihološkom testu.) Duncan je izdržao gotovo četrdeset minuta bez pomoći...

Tada je baka ustala od računala i sagnula se nad slagalicu. Njeni prsti su pomicali oblike U, X i L...

Dno kutije je potpuno ispunjeno! Svi dijelovi slagalice bili su na pravim mjestima.

– Naravno, unaprijed ste znali odgovor! – uvrijeđeno je provukao Duncan.

- Odgovoriti? – upita baka. “Što misliš na koliko se načina može staviti pentomino u ovu kutiju?”

Evo ga, zamka. Duncan je petljao okolo gotovo sat vremena ne pronalazeći rješenje, iako je za to vrijeme isprobao najmanje stotinu opcija. Mislio je da postoji samo jedan način. Može li ih biti... dvanaest? Ili više?

- Pa što misliš koliko bi načina moglo biti? – opet je pitala baka.

"Dvadeset", izlanuo je Duncan, misleći da sada baki neće smetati.

- Pokušajte ponovo.

Duncan je osjetio opasnost. Zabava se pokazala mnogo lukavijom nego što je mislio, a dječak je mudro odlučio ne riskirati.

"Zapravo, ne znam", rekao je, odmahujući glavom.

„A ti si prijemčiv dječak", opet se nasmiješila baka. „Intuicija je opasan vodič, ali ponekad nemamo drugog." Mogu vas zadovoljiti: ovdje je nemoguće pogoditi točan odgovor. Postoji više od dvije tisuće različitih načina za ubacivanje pentomina u ovu kutiju. Točnije, dvije tisuće tristo trideset devete. I što kažete na ovo?

Malo je vjerojatno da ga je baka varala. Ali Duncan je bio toliko frustriran svojom nesposobnošću da pronađe rješenje da nije mogao a da ne izlane:

- Ne vjerujem!

Helen je rijetko pokazivala razdraženost. Kad ju je Duncan na neki način uvrijedio, jednostavno je postala hladna i distancirana. Međutim, sada se baka samo cerekala i lupkala nešto po tipkovnici računala.

"Pogledajte ovdje", predložila je.

Skup od dvanaest raznobojnih pentomina pojavio se na ekranu, ispunjavajući pravokutnik deset puta šest. Nekoliko sekundi kasnije zamijenjena je drugom slikom, gdje su figure najvjerojatnije bile drugačije smještene (Duncan nije mogao sa sigurnošću reći, jer se nije sjećao prve kombinacije). Ubrzo se slika opet promijenila, pa opet i opet... To je trajalo sve dok baka nije zaustavila program.

"Čak i pri velikoj brzini, računalu će trebati pet sati da prođe kroz sve metode", objasnila je baka. "Vjerujte mi na riječ: sve su različite." Da nije bilo računala, sumnjam da bi ljudi kroz uobičajeno nabrajanje opcija pronašli sve načine.

Duncan je dugo zurio u dvanaest varljivo jednostavnih figura. Polako je probavljao bakine riječi. To je bilo prvo matematičko otkriće u njegovom životu. Ono što je tako brzopleto smatrao običnom dječjom igrom odjednom je pred njim počelo otvarati beskrajne staze i horizonte, iako bi i najdarovitije desetogodišnje dijete teško moglo naslutiti beskrajnost ovog svemira.

Ali tada su Duncanovo oduševljenje i strahopoštovanje bili pasivni. Prava eksplozija intelektualnog zadovoljstva dogodila se kasnije, kada je samostalno pronašao svoju prvu metodu slaganja pentomina. Duncan je nekoliko tjedana svugdje sa sobom nosio plastičnu kutiju. Sve svoje slobodno vrijeme provodio je samo na pentominu. Likovi će se pretvoriti u Duncanove osobne prijatelje. Nazivao ih je po slovima na koja su ličili, iako je u nekim slučajevima sličnost bila više nego daleka. Pet brojeva - F, I, L, P, N - bilo je nedosljedno, ali preostalih sedam ponavljalo je slijed latinične abecede: T, U, V, W, X, Y, Z.

Jednog dana, u stanju geometrijskog transa ili geometrijske ekstaze, koja se nikada nije ponovila, Duncan je pronašao pet opcija za stiliziranje u manje od sat vremena. Možda se čak ni Newton, Einstein ili Chen Tzu u svojim trenucima istine nisu osjećali bližim bogovima matematike od Duncana Mackenzieja.

Ubrzo je sam, bez bakinog poticaja, shvatio da se pentomino može staviti u pravokutnik s različitim veličinama stranica. Vrlo lako, Duncan je pronašao nekoliko opcija za pravokutnike 5 puta 12 i 4 puta 15. Zatim se cijeli tjedan mučio pokušavajući smjestiti dvanaest figura u duži i uži pravokutnik 3 puta 20. Ponovno i ponovno počeo je ispunjavati varljivi prostor i ... dobiti rupe u pravokutniku i "dodatne" figure.

Shrvan, Duncan je posjetio svoju baku, gdje ga je čekalo novo iznenađenje.

„Drago mi je zbog tvojih eksperimenata", rekla je Helen. „Istražio si sve mogućnosti, pokušavajući izvući opći obrazac." To je ono što matematičari uvijek rade. Ali niste u pravu: rješenja za pravokutnik tri puta dvadeset postoje. Ima ih samo dva, a ako nađete jednog, moći ćete pronaći i drugog.

Nadahnut pohvalama svoje bake, Duncan je nastavio svoj “lov na pentomine” s novom snagom. Nakon još tjedan dana počeo je shvaćati kakav je nepodnošljiv teret stavio na svoja pleća. Broj načina na koji se dvanaest figura može rasporediti Duncanu je bio jednostavno zapanjujući. Štoviše, svaka je figura imala četiri položaja!

I opet je došao svojoj baki, ispričavši joj sve svoje poteškoće. Kad bi postojale samo dvije mogućnosti za pravokutnik 3x20, koliko bi vremena trebalo da ih pronađemo?

“Molim te, odgovorit ću ti,” rekla je baka, “Kad bi se ponašao kao kompjuter bez mozga, jednostavno pretraživao kombinacije i na svaku trošio jednu sekundu, trebao bi...” Ovdje je namjerno zastala. “Trebalo bi vam više od šest milijuna... da, više od šest milijuna godina.

Zemaljski ili titanski? Ovo se pitanje odmah pojavilo u Duncanovom umu. Ali koja je razlika?

„Ali ti si drugačiji od računala bez mozga", nastavila je baka. „Odmah vidiš očito neprikladne kombinacije, pa stoga ne moraš gubiti vrijeme na njihovu provjeru." Pokušajte ponovno.

Duncan je poslušao, već bez entuzijazma i vjere u uspjeh. A onda mu je na pamet pala briljantna ideja.

Karl se odmah zainteresirao za pentomino i prihvatio je izazov. Od Duncana je uzeo kutiju s figurama i nestao na nekoliko sati.

Kad ga je Karl nazvao, njegov je prijatelj izgledao pomalo uzrujano.

– Jeste li sigurni da ovaj problem doista ima rješenje? - upitao.

- Apsolutno sigurno. Ima ih dvoje. Zar stvarno niste pronašli barem jednu? Mislio sam da si odličan u matematici.

“Zamisli, mogu to shvatiti, zato znam koliko posla zahtijeva tvoj zadatak.” Moramo provjeriti... milijun milijardi mogućih kombinacija.

– Kako ste znali da ih ima toliko? – upita Duncan, zadovoljan što je barem uspio natjerati prijatelja da se zbunjeno počeše po glavi.

Karl je postrance pogledao komad papira pun nekih dijagrama i brojeva.

– Ako isključite neprihvatljive kombinacije i uzmete u obzir simetriju i mogućnost rotacije... dobit ćete faktorijel... ukupan broj permutacija... i dalje nećete razumjeti. Bolje da ti pokažem sam broj.

Kameri je prinio još jedan list papira na kojemu je dojmljiv niz brojeva bio detaljno prikazan:

1 004 539 160 000 000.

Duncan nije znao ništa o faktorijelima, ali nije sumnjao u točnost Karlovih izračuna. Jako mu se svidio dugačak broj.

"Dakle, hoćeš li odustati od ovog zadatka?" – pažljivo je upitao Duncan.

- Što još! Samo sam ti htio pokazati koliko je to teško.

Karlovo lice izražavalo je mračnu odlučnost. Izgovorivši ove riječi, on se onesvijesti.

Sljedećeg dana Duncan je doživio jedan od najvećih šokova u svom djetinjstvu. Karlovo ispijeno lice, krvavih očiju, gledalo ga je s ekrana. Osjećalo se da je proveo besanu noć.

"Pa, to je sve", objavio je umornim, ali pobjedonosnim glasom.

Duncan je jedva mogao vjerovati svojim očima. Činilo mu se da su šanse za uspjeh zanemarive. Čak se i sam uvjerio u to. I odjednom... Pred njim je ležao pravokutnik tri puta dvadeset, ispunjen sa svih dvanaest pentomino figura.

Zatim je Karl zamijenio i okrenuo dijelove na krajevima, ostavljajući središnji dio netaknutim. Prsti su mu lagano drhtali od umora.

"Ovo je drugo rješenje", objasnio je, "A sada idem u krevet." Dakle, laku noć ili dobro jutro - kako god želite.

Poniženi Duncan je dugo gledao u zatamnjeni ekran. Nije znao na koju se stranu Karl pomaknuo, pipajući tražeći rješenje zagonetke. Ali znao je da je njegov prijatelj izašao kao pobjednik. Protiv svih izgleda.

Nije zavidio prijatelju na pobjedi. Duncan je previše volio Karla i uvijek se radovao njegovim uspjesima, iako se i sam često nalazio na strani gubitnika. Ali bilo je nešto drugačije u današnjem trijumfu mog prijatelja, nešto gotovo čarobno.

Duncan je prvi put vidio snagu intuicije. Susreo se s misterioznom sposobnošću uma da se probije izvan činjenica i odbaci logiku koja smeta. U nekoliko sati, Karl je završio kolosalan posao, nadmašivši najbrže računalo.

Kasnije je Duncan saznao da svi ljudi imaju takve sposobnosti, ali ih koriste izuzetno rijetko - možda jednom u životu. U Karlu je ovaj dar dobio izuzetan razvoj ... Od tog trenutka, Duncan je počeo ozbiljno shvaćati razmišljanja svog prijatelja, čak i najsmješnija i najnečuvenija sa stajališta zdravog razuma.

Bilo je to prije dvadeset godina. Duncan se nije sjećao kamo su nestali plastični dijelovi pentomina. Možda su ostali s Karlom.

Bakin dar postao je njihova nova inkarnacija, sada u obliku komadića raznobojnog kamena. Nevjerojatan, nježno ružičasti granit bio je s brda Galileo, opsidijan je bio s Huygensove visoravni, a pseudomamor s grebena Herschel. A među njima... isprva je Duncan pomislio da se vara. Ne, tako je: bio je to najrjeđi i najtajanstveniji mineral Titana. Moja je baka napravila kameni pentomino križ od titanita. Ovaj plavo-crni mineral sa zlatnim inkluzijama ne može se zamijeniti ni s čim. Duncan nikada prije nije vidio tako velike komade i mogao je samo nagađati kolika je njihova cijena.

„Ne znam što da kažem", promrmljao je. „Kakva ljepota." Ovo prvi put vidim.

Obgrlio je bakina mršava ramena i odjednom osjetio da drhte, a ona nije mogla zaustaviti drhtanje. Duncan ju je nježno držao u naručju sve dok joj se ramena nisu prestala tresti. U takvim trenucima riječi nisu potrebne. Jasnije nego prije, Duncan je shvatio: on je bio posljednja ljubav u razorenom životu Helen Mackenzie. A sada on odleti, ostavivši je samu sa svojim sjećanjima.

VELIKI ČAROBNI KVADRAT

Kineski matematičar iz 13. stoljeća Yang Hui bio je upoznat s Pascalovim trokutom (aritmetički trokut). Ostavio je opis metoda za rješavanje jednadžbi 4. i viših stupnjeva, tu su pravila za rješavanje potpune kvadratne jednadžbe, zbrajanje progresija i metode za konstruiranje magičnih kvadrata. Uspio je konstruirati magični kvadrat šestog reda, a potonji se pokazao gotovo asocijativnim (u njemu samo dva para centralno suprotnih brojeva ne daju zbroj 37).

Benjamin Franklin konstruirao je kvadrat 16x16, koji je, osim što je imao konstantan zbroj 2056 u svim redovima, stupcima i dijagonalama, imao još jedno dodatno svojstvo. Ako iz lista papira izrežemo kvadrat 4x4 i stavimo taj list na veliki kvadrat tako da 16 ćelija većeg kvadrata padne u ovaj utor, tada je zbroj brojeva koji se pojavljuju u ovom utoru, bez obzira gdje ga stavili , bit će isto - 2056.

Ono što je najvrjednije kod ovog kvadrata je to što ga je vrlo lako transformirati u savršeni magični kvadrat, dok konstrukcija savršenih magičnih kvadrata nije lak zadatak. Franklin je ovaj kvadrat nazvao "najšarmantnijim magičnim od svih čarobnih kvadrata koje su ikada stvorili čarobnjaci".

ČAROBNI KVADRAT, kvadratna tablica cijelih brojeva u kojoj su zbrojevi brojeva duž bilo kojeg retka, bilo kojeg stupca i bilo koje od dvije glavne dijagonale jednaki istom broju.

Čarobni kvadrat je drevnog kineskog porijekla. Prema legendi, za vrijeme vladavine cara Yua (oko 2200. pr. Kr.), sveta kornjača izronila je iz voda Žute rijeke (Žuta rijeka), s misterioznim hijeroglifima ispisanim na oklopu (Sl. 1, A), a ti su znakovi poznati kao lo-shu i ekvivalentni su magičnom kvadratu prikazanom na sl. 1, b. U 11.st Za magične kvadrate saznali su u Indiji, a potom i u Japanu, gdje je u 16.st. Opsežna literatura posvećena je magičnim kvadratima. Europljani su se s čarobnim kvadratima upoznali u 15. stoljeću. bizantski književnik E. Moschopoulos. Prvim kvadratom koji je izmislio Europljanin smatra se kvadrat A. Durera (slika 2), prikazan na njegovoj poznatoj gravuri Melankolija 1. Datum nastanka gravure (1514.) označen je brojevima u dvije središnje ćelije donjeg retka. Magičnim kvadratima pripisivana su razna mistična svojstva. U 16. stoljeću Cornelius Heinrich Agrippa konstruirao je kvadrate 3., 4., 5., 6., 7., 8. i 9. reda, koji su bili povezani s astrologijom 7 planeta. Vjerovalo se da čarobni kvadrat ugraviran na srebro štiti od kuge. I danas se među atributima europskih proricatelja mogu vidjeti čarobni kvadrati.

U 19. i 20.st. zanimanje za čarobne kvadrate planulo je novom snagom. Počeli su se proučavati metodama više algebre i operacijskog računa.

Svaki element magičnog kvadrata naziva se ćelija. Kvadrat čija se stranica sastoji od n stanice, sadrži n 2 ćelije i naziva se kvadrat n-ti red. Većina čarobnih kvadrata koristi prvi n uzastopni prirodni brojevi. Iznos S brojeva u svakom retku, svakom stupcu i na bilo kojoj dijagonali naziva se kvadratna konstanta i jednaka je S = n(n 2 + 1)/2. Dokazano je da ní 3. Za kvadrat 3. reda S= 15, 4. red – S= 34, 5. red – S = 65.

Dvije dijagonale koje prolaze središtem kvadrata zovu se glavne dijagonale. Izlomljena linija je dijagonala koja se, došavši do ruba kvadrata, nastavlja paralelno s prvim segmentom sa suprotnog ruba (takvu dijagonalu tvore osjenčane ćelije na sl. 3). Ćelije koje su simetrične u odnosu na središte kvadrata nazivaju se koso-simetrične. To su npr. stanice a I b na sl. 3.

Pravila za konstruiranje čarobnih kvadrata podijeljena su u tri kategorije ovisno o tome je li redoslijed kvadrata neparan, jednak dvostrukom neparnom broju ili jednak četiri puta neparnom broju. Opća metoda za konstruiranje svih kvadrata je nepoznata, iako se široko koriste različite sheme, od kojih ćemo neke razmotriti u nastavku.

Magični kvadrati neparnog reda mogu se konstruirati pomoću metode francuskog geometra iz 17. stoljeća. A. de la Lubera. Razmotrimo ovu metodu na primjeru kvadrata 5. reda (slika 4). Broj 1 nalazi se u središnjoj ćeliji gornjeg reda. Svi prirodni brojevi poredani su prirodnim redoslijedom ciklički odozdo prema gore u dijagonalnim ćelijama s desna na lijevo. Došavši do gornjeg ruba kvadrata (kao u slučaju broja 1), nastavljamo ispunjavati dijagonalu počevši od donje ćelije sljedećeg stupca. Došavši do desnog ruba kvadrata (broj 3), nastavljamo ispunjavati dijagonalu koja dolazi iz lijeve ćelije u retku iznad. Dolaskom do ispunjene ćelije (broj 5) ili kuta (broj 15), putanja se spušta jednu ćeliju nizlje, nakon čega se proces punjenja nastavlja.

Metoda F. de la Hirea (1640–1718) temelji se na dva izvorna kvadrata. Na sl. Slika 5 prikazuje kako se ova metoda koristi za konstrukciju kvadrata 5. reda. Brojevi od 1 do 5 upisuju se u ćeliju prvog kvadrata tako da se broj 3 ponavlja u ćelijama glavne dijagonale koja ide gore udesno, a niti jedan broj se ne pojavljuje dva puta u istom redu ili u istom stupac. Isto radimo s brojevima 0, 5, 10, 15, 20 s jedinom razlikom što se broj 10 sada ponavlja u ćelijama glavne dijagonale, idući odozgo prema dolje (sl. 5, b). Zbroj ćelija po ćelija ova dva kvadrata (sl. 5, V) tvori magični kvadrat. Ova se metoda također koristi za konstruiranje kvadrata parnog reda.

Ako znate kako konstruirati kvadrate reda m i reda n, tada možemo konstruirati kvadrat reda mґ n. Suština ove metode prikazana je na sl. 6. Ovdje m= 3 i n= 3. Veći kvadrat 3. reda (s brojevima označenim prostim brojevima) konstruiran je de la Loubertovom metodom. U ćeliju s brojem 1ŭ (središnja ćelija gornjeg reda) stane kvadrat 3. reda od brojeva od 1 do 9, također konstruiran de la Lubertovom metodom. U ćeliju s brojem 2ŭ (desno u donjem retku) stane kvadrat 3. reda s brojevima od 10 do 18; u ćeliji s brojem 3ŭ - ​​kvadrat brojeva od 19 do 27 itd. Kao rezultat, dobivamo kvadrat 9. reda. Takvi se kvadrati nazivaju kompozitni.

ČAROBNI KVADRAT
kvadratna tablica cijelih brojeva u kojoj su zbrojevi brojeva duž bilo kojeg retka, bilo kojeg stupca i bilo koje od dvije glavne dijagonale jednaki istom broju. Čarobni kvadrat je drevnog kineskog porijekla. Prema legendi, za vrijeme vladavine cara Yua (oko 2200. pr. Kr.), sveta kornjača izronila je iz voda Žute rijeke (Žuta rijeka), na čijem su oklopu bili ispisani tajanstveni hijeroglifi (Sl. 1a), a ti znakovi su poznati kao lo-shu i ekvivalentni su magičnom kvadratu prikazanom na sl. 1, b. U 11.st Za magične kvadrate saznali su u Indiji, a potom i u Japanu, gdje je u 16.st. Opsežna literatura posvećena je magičnim kvadratima. Europljani su se s čarobnim kvadratima upoznali u 15. stoljeću. bizantski književnik E. Moschopoulos. Prvim kvadratom koji je izmislio Europljanin smatra se kvadrat A. Durera (sl. 2), prikazan na njegovoj poznatoj gravuri Melankolija 1. Datum nastanka gravure (1514.) označen je brojevima u dva središnja ćelije donjeg retka. Magičnim kvadratima pripisivana su razna mistična svojstva. U 16. stoljeću Cornelius Heinrich Agrippa konstruirao je kvadrate 3., 4., 5., 6., 7., 8. i 9. reda, koji su bili povezani s astrologijom 7 planeta. Vjerovalo se da čarobni kvadrat ugraviran na srebro štiti od kuge. I danas se među atributima europskih proricatelja mogu vidjeti čarobni kvadrati.

U 19. i 20.st. zanimanje za čarobne kvadrate planulo je novom snagom. Počeli su se proučavati metodama više algebre i operacijskog računa. Svaki element magičnog kvadrata naziva se ćelija. Kvadrat čija se stranica sastoji od n ćelija sadrži n2 ćelija i naziva se kvadrat n-tog reda. Većina magičnih kvadrata koristi prvih n uzastopnih prirodnih brojeva. Zbroj S brojeva u svakom retku, svakom stupcu i na bilo kojoj dijagonali naziva se kvadratna konstanta i jednak je S = n(n2 + 1)/2. Dokazano je da je n = 3. Za kvadrat 3. reda S = 15, 4. reda - S = 34, 5. reda - S = 65. Dvije dijagonale koje prolaze središtem kvadrata nazivaju se glavnim dijagonalama. Izlomljena linija je dijagonala koja se, došavši do ruba kvadrata, nastavlja paralelno s prvim segmentom sa suprotnog ruba (takvu dijagonalu tvore osjenčane ćelije na sl. 3). Ćelije koje su simetrične u odnosu na središte kvadrata nazivaju se koso-simetrične. To su, na primjer, ćelije a i b na sl. 3.

Pravila za konstruiranje čarobnih kvadrata podijeljena su u tri kategorije ovisno o tome je li redoslijed kvadrata neparan, jednak dvostrukom neparnom broju ili jednak četiri puta neparnom broju. Opća metoda za konstruiranje svih kvadrata je nepoznata, iako se široko koriste različite sheme, od kojih ćemo neke razmotriti u nastavku. Magični kvadrati neparnog reda mogu se konstruirati pomoću metode francuskog geometra iz 17. stoljeća. A. de la Lubera. Razmotrimo ovu metodu na primjeru kvadrata 5. reda (slika 4). Broj 1 nalazi se u središnjoj ćeliji gornjeg reda. Svi prirodni brojevi poredani su prirodnim redoslijedom ciklički odozdo prema gore u dijagonalnim ćelijama s desna na lijevo. Došavši do gornjeg ruba kvadrata (kao u slučaju broja 1), nastavljamo ispunjavati dijagonalu počevši od donje ćelije sljedećeg stupca. Došavši do desnog ruba kvadrata (broj 3), nastavljamo ispunjavati dijagonalu koja dolazi iz lijeve ćelije u retku iznad. Dolaskom do ispunjene ćelije (broj 5) ili kuta (broj 15), putanja se spušta jednu ćeliju nizlje, nakon čega se proces punjenja nastavlja.

Metoda F. de la Hire (1640-1718) temelji se na dva izvorna kvadrata. Na sl. Slika 5 prikazuje kako se ova metoda koristi za konstrukciju kvadrata 5. reda. Brojevi od 1 do 5 upisuju se u ćeliju prvog kvadrata tako da se broj 3 ponavlja u ćelijama glavne dijagonale koja ide gore udesno, a niti jedan broj se ne pojavljuje dva puta u istom redu ili u istom stupac. Isto radimo s brojevima 0, 5, 10, 15, 20 s jedinom razlikom da se broj 10 sada ponavlja u ćelijama glavne dijagonale, idući odozgo prema dolje (slika 5, b). Zbroj ćelija po ćelija ovih dvaju kvadrata (slika 5c) čini čarobni kvadrat. Ova se metoda također koristi za konstruiranje kvadrata parnog reda.

Ako znate kako konstruirati kvadrate reda m i reda n, onda možete konstruirati kvadrat reda m´n. Suština ove metode prikazana je na sl. 6. Ovdje je m = 3 i n = 3. Veći kvadrat 3. reda (s brojevima označenim prostim brojevima) konstruiran je de la Loubertovom metodom. U ćeliju s brojem 1ŭ (središnja ćelija gornjeg reda) stane kvadrat 3. reda od brojeva od 1 do 9, također konstruiran de la Lubertovom metodom. U ćeliju s brojem 2ŭ (desno u donjem retku) stane kvadrat 3. reda s brojevima od 10 do 18; u ćeliji s brojem 3ŭ - ​​kvadrat brojeva od 19 do 27 itd. Kao rezultat, dobivamo kvadrat 9. reda. Takvi se kvadrati nazivaju kompozitni.

Collierova enciklopedija. - Otvoreno društvo. 2000 .

Pogledajte što je "MAGIC SQUARE" u drugim rječnicima:

Kvadrat podijeljen na jednak broj n stupaca i redaka, s prvih n2 prirodnih brojeva upisanih u dobivene ćelije, čiji zbroj daje isti broj za svaki stupac, svaki redak i dvije velike dijagonale... Veliki enciklopedijski rječnik

MAGIČNI KVADRAT, kvadratna MATRICA, podijeljena na ćelije i ispunjena brojevima ili slovima na određeni način, fiksirajući posebnu magičnu situaciju. Najčešći kvadrat sa slovom je SATOR, sastavljen od riječi SATOR, AREPO,... ... Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

Kvadrat podijeljen na jednak broj n stupaca i redaka, s prirodnim brojevima od 1 do n2 upisanim u dobivene ćelije, koji zbrajaju isti broj za svaki stupac, svaki redak i dvije velike dijagonale. Na sl. primjer M. k. s...... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

Čarobni ili magični kvadrat je kvadratna tablica ispunjena brojevima na način da je zbroj brojeva u svakom retku, svakom stupcu i na obje dijagonale jednak. Ako su zbrojevi brojeva u kvadratu jednaki samo u recima i stupcima, tada ... Wikipedia

Kvadrat podijeljen na jednak broj n stupaca i redaka, s prvih n2 prirodnih brojeva upisanih u dobivene ćelije, čiji zbroj daje isti broj za svaki stupac, svaki redak i dvije velike dijagonale. Na slici je prikazan primjer...... enciklopedijski rječnik

Kvadrat podijeljen na jednak broj n stupaca i redaka, s prvih n2 prirodnih brojeva upisanih u dobivene ćelije, koji zbrajaju svaki stupac, svaki redak i dvije velike dijagonale isti broj [jednak... ... Velika sovjetska enciklopedija

Kvadratna tablica cijelih brojeva od 1 do n2, koja zadovoljava sljedeće uvjete: gdje je s=n(n2+1)/2. Također se razmatraju općenitije matematičke jednadžbe, u kojima se ne zahtijeva da bilo koji broj a bude jedinstveno karakteriziran parom ostataka (a, b) modulo n(znamenke... Matematička enciklopedija

Knjiga Kvadrat podijeljen na dijelove od kojih svaki sadrži broj koji se zbraja s ostalima vodoravno, okomito ili dijagonalno. BTS, 512… Veliki rječnik ruskih izreka

- (grč. magikos, od magos čarobnjak). Čaroban, povezan s magijom. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. MAGIČNA magija. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Pavlenkov F., 1907 ... Rječnik stranih riječi ruskog jezika

To je trodimenzionalna verzija čarobnog kvadrata. Tradicionalna (klasična) magična kocka reda n je kocka dimenzija n×n×n, ispunjena različitim prirodnim brojevima od 1 do n3 tako da zbrojevi brojeva u bilo kojem od 3n2 redaka, ... ... Wikipedia

knjige

• Magic Square, Irina Bjorno, “Magic Square” zbirka je priča i kratkih priča napisanih u stilu magičnog realizma, gdje se stvarnost usko isprepliće s magijom i fantazijom, tvoreći novi, magični stil -... Kategorija: Horor i misterij Izdavač: Publishing Solutions, e-knjiga(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Uvod

Veliki znanstvenici antike kvantitativne odnose smatrali su osnovom biti svijeta. Stoga su brojevi i njihovi odnosi zaokupljali najveće umove čovječanstva. “U danima moje mladosti, u slobodno vrijeme sam se zabavljao izrađujući... čarobne kvadrate”, napisao je Benjamin Franklin. Čarobni kvadrat je kvadrat čiji je zbroj brojeva u svakom vodoravnom retku, u svakom okomitom retku i duž svake dijagonale isti.

Neki istaknuti matematičari posvetili su svoj rad magičnim kvadratima, a rezultati koje su dobili utjecali su na razvoj grupa, struktura, latinskih kvadrata, determinanti, particija, matrica, usporedbi i drugih netrivijalnih područja matematike.

Svrha ovog eseja je upoznati se s raznim magičnim kvadratima, latinskim kvadratima i proučiti područja njihove primjene.

Magični kvadrati

Do danas nije dobiven potpuni opis svih mogućih magičnih kvadrata. Ne postoje magični kvadrati 2x2. Postoji jedan magični kvadrat 3x3, budući da se drugi magični kvadrati 3x3 dobivaju iz njega ili rotacijom oko središta ili refleksijom oko jedne od njegovih osi simetrije.

Postoji 8 različitih načina slaganja prirodnih brojeva od 1 do 9 u magični kvadrat 3x3:

• 9+5+1
• 9+4+2
• 8+6+2
• 8+5+2
• 8+4+3
• 7+6+2
• 7+5+3
• 6+5+4

U magičnom kvadratu 3x3, magična konstanta 15 mora biti jednaka zbroju tri broja u 8 smjerova: 3 reda, 3 stupca i 2 dijagonale. Budući da broj u sredini pripada 1 retku, 1 stupcu i 2 dijagonale, uključen je u 4 od 8 trojki koje zbrajaju magičnu konstantu. Postoji samo jedan takav broj: to je 5. Stoga je broj u središtu magičnog kvadrata 3x3 već poznat: to je 5.

Razmotrimo broj 9. On se nalazi u samo 2 trojke brojeva. Ne možemo ga smjestiti u kut, jer svaka kutna ćelija pripada 3 tripleta: redu, stupcu i dijagonali. Prema tome, broj 9 mora biti u nekoj ćeliji uz stranicu kvadrata u njegovoj sredini. Zbog simetričnosti kvadrata nije svejedno koju ćemo stranu izabrati, pa iznad broja 5 u središnjoj ćeliji pišemo 9. S obje strane devetke u gornjem retku možemo napisati samo brojeve 2 i 4. Koji će od ova dva broja biti u gornjem desnom kutu, a koji u lijevom opet nije važno, jer jedan raspored brojeva ide u drugi kad se zrcali . Preostale ćelije popunjavaju se automatski. Naša jednostavna konstrukcija čarobnog kvadrata 3x3 dokazuje njegovu jedinstvenost.

Takav čarobni kvadrat bio je simbol od velikog značaja među starim Kinezima. Broj 5 u sredini označavao je zemlju, a oko njega u strogoj ravnoteži bili su vatra (2 i 7), voda (1 i 6),

drvo (3 i 8), metal (4 i 9).

Kako se veličina kvadrata (broj ćelija) povećava, broj mogućih magičnih kvadrata te veličine brzo raste. Postoji 880 magičnih kvadrata reda 4 i 275 305 224 magičnih kvadrata reda 5. Štoviše, kvadrati 5x5 bili su poznati još u srednjem vijeku. Muslimani su, na primjer, imali veliko poštovanje prema takvom kvadratu s brojem 1 u sredini, smatrajući ga simbolom Allahovog jedinstva.

Pitagorin magični kvadrat

Veliki znanstvenik Pitagora, koji je utemeljio religijsko-filozofsku doktrinu koja je kvantitativne odnose proglašavala osnovom biti stvari, smatrao je da bit čovjeka leži i u broju – datumu rođenja. Dakle, uz pomoć Pitagorinog čarobnog kvadrata, možete znati karakter osobe, stupanj zdravlja i njezin potencijal, otkriti prednosti i nedostatke i na taj način identificirati što treba učiniti da se poboljša.

Da bismo razumjeli što je Pitagorin magični kvadrat i kako se izračunavaju njegovi pokazatelji, izračunat ću ga na vlastitom primjeru. A da bih bio siguran da rezultati izračuna doista odgovaraju stvarnom karakteru određene osobe, najprije ću to provjeriti na sebi. Da bih to učinio, napravit ću izračun na temelju svog datuma rođenja. Dakle, moj datum rođenja je 20.08.1986. Zbrojimo brojeve dana, mjeseca i godine rođenja (bez nula): 2+8+1+9+8+6=34. Zatim zbrajamo brojeve rezultata: 3+4=7. Zatim od prvog iznosa oduzmemo dvostruku prvu znamenku rođendana: 34-4=30. I opet zbrajamo znamenke zadnjeg broja:

3+0=3. Ostalo je još da napravimo posljednje zbrajanje - 1. i 3. te 2. i 4. zbroj: 34+30=64, 7+3=10. Dobili smo brojeve 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

i napravite čarobni kvadrat tako da sve jedinice od ovih brojeva idu u ćeliju 1, sve dvojke u ćeliju 2 itd. Nule se ne uzimaju u obzir. Kao rezultat toga, moj će kvadrat izgledati ovako:

Kvadratne ćelije znače sljedeće:

Ćelija 1 - odlučnost, volja, ustrajnost, sebičnost.

• 1 - potpuni egoisti, nastoje izvući maksimalnu korist iz svake situacije.
• 11 - lik blizak egoističnom.
• 111 - “zlatna sredina”. Karakter je miran, fleksibilan i društven.
• 1111 - ljudi snažnog karaktera, jake volje. Muškarci s takvim karakterom prikladni su za ulogu vojnih profesionalaca, a žene svoju obitelj drže u šaci.
• 11111 - diktator, tiranin.
• 111111 - okrutna osoba, sposobna učiniti nemoguće; često pada pod utjecaj neke ideje.

Ćelija 2 - bioenergija, emotivnost, iskrenost, senzualnost. Broj dvojke određuje razinu bioenergije.

Nema dvojke - kanal je otvoren za intenzivno prikupljanje bioenergije. Ovi su ljudi dobro odgojeni i plemeniti po prirodi.

• 2 - ljudi obični u bioenergetskom smislu. Takvi su ljudi vrlo osjetljivi na promjene u atmosferi.
• 22 - relativno velika rezerva bioenergije. Takvi su ljudi dobri liječnici, medicinske sestre i bolničari. U obitelji takvih ljudi rijetko je tko doživio živčani stres.
• 222 je znak vidovnjaka.

Ćelija 3 - točnost, specifičnost, organiziranost, urednost, točnost, čistoća, škrtost, sklonost stalnom "vraćanju pravde".

Povećanje trojki pojačava sve te kvalitete. S njima ima smisla da se čovjek traži u znanostima, osobito onim egzaktnim. Prevladavanje trojki dovodi do pedanta, ljudi u kutiji.

Ćelija 4 - zdravlje. To je povezano s ekgregorom, odnosno energetskim prostorom koji su razvili preci i koji štiti osobu. Odsutnost četvorki ukazuje na to da je osoba bolesna.

• 4 - prosječno zdravlje, potrebno je očvrsnuti tijelo. Preporučuju se plivanje i trčanje.
• 44 - dobro zdravlje.
• 444 i više - osobe vrlo dobrog zdravlja.

Ćelija 5 - intuicija, vidovitost, koja se kod takvih ljudi počinje manifestirati već na razini tri petice.

Nema petica - komunikacijski kanal sa svemirom je zatvoren. Ovi ljudi često

su u krivu.

• 5 - komunikacijski kanal je otvoren. Ovi ljudi mogu ispravno izračunati situaciju i iskoristiti je najbolje.
• 55 - visoko razvijena intuicija. Kad vide "proročke snove", mogu predvidjeti tijek događaja. Prikladna zanimanja za njih su odvjetnik, istražitelj.
• 555 - gotovo vidovit.
• 5555 - vidovnjaci.

Ćelija 6 - utemeljenost, materijalnost, proračunatost, sklonost kvantitativnom istraživanju svijeta i nepovjerenje u kvalitativne skokove, a još više u duhovna čuda.

Nema šestica - ovi ljudi trebaju fizički rad, iako ga, u pravilu, ne vole. Obdareni su izuzetnom maštom, fantazijom i umjetničkim ukusom. Suptilne prirode, oni su ipak sposobni djelovati.

• 6 - može se baviti kreativnošću ili egzaktnim znanostima, ali fizički rad je preduvjet za postojanje.
• 66 - ljudi su vrlo prizemljeni, privučeni fizičkim radom, iako im to nije obvezno; Poželjne su mentalne aktivnosti ili umjetnička bavljenja.
• 666 je znak sotone, poseban i zlokoban znak. Ovi ljudi imaju visok temperament, šarmantni su i uvijek postaju središte pozornosti društva.
• 6666 - ovi ljudi u svojim prethodnim inkarnacijama stekli su previše temelja, jako su naporno radili i ne mogu zamisliti svoj život bez rada. Ako njihov kvadrat sadrži

Devetke, svakako se trebaju baviti mentalnom aktivnošću, razvijati svoj intelekt i barem steći visoko obrazovanje.

Ćelija 7 - broj sedam određuje mjeru talenta.

• 7 - što više rade, to više dobivaju kasnije.
• 77 - vrlo daroviti, glazbeni ljudi, imaju istančan umjetnički ukus, a mogu imati i sklonost likovnoj umjetnosti.
• 777 - ovi ljudi, u pravilu, dolaze na Zemlju na kratko vrijeme. Oni su ljubazni, spokojni i osjetljivi na svaku nepravdu. Osjetljivi su, vole sanjati i ne osjećaju uvijek stvarnost.
• 7777 je znak anđela. Ljudi s ovim znakom umiru u djetinjstvu, a ako i požive, život im je stalno u opasnosti.

Ćelija 8 - karma, dužnost, obveza, odgovornost. Broj osmica određuje stupanj osjećaja dužnosti.

Nema osmica - kod ovih ljudi gotovo potpuno nedostaje osjećaj dužnosti.

• 8 - odgovorne, savjesne, točne prirode.
• 88 - ovi ljudi imaju razvijen osjećaj dužnosti, uvijek ih odlikuje želja da pomognu drugima, posebno slabima, bolesnima i usamljenima.
• 888 je znak velike dužnosti, znak služenja narodu. Ravnalo s tri osmice postiže izvanredne rezultate.
• 8888 - ovi ljudi imaju parapsihološke sposobnosti i izuzetnu osjetljivost na egzaktne znanosti. Otvoreni su im nadnaravni putevi.

Ćelija 9 - inteligencija, mudrost. Nedostatak devetki je dokaz da su mentalne sposobnosti izuzetno ograničene.

• 9 - ovi ljudi moraju naporno raditi cijeli život kako bi nadoknadili nedostatak inteligencije.
• 99 - ovi ljudi su pametni od rođenja. Uvijek nerado uče, jer im znanje lako dolazi. Obdareni su smislom za humor s ironičnom nijansom i neovisni su.
• 999 - vrlo pametno. Ne ulaže se nikakav trud u učenje. Izvrsni sugovornici.
• 9999 - istina je otkrivena ovim ljudima. Ako također imaju razvijenu intuiciju, tada su zajamčeni protiv neuspjeha u bilo kojem svom nastojanju. Uz sve to, obično su vrlo ugodni, jer ih njihov oštar um čini grubim, nemilosrdnim i okrutnim.

Dakle, sastavivši Pitagorin čarobni kvadrat i znajući značenje svih kombinacija brojeva uključenih u njegove ćelije, moći ćete dovoljno procijeniti kvalitete svoje prirode koje je majka priroda obdarila.

latinski kvadrati

Unatoč činjenici da su matematičare uglavnom zanimali magični kvadrati, latinski kvadrati su najveću primjenu našli u znanosti i tehnici.

Latinski kvadrat je kvadrat od nxn ćelija u koji su upisani brojevi 1, 2,..., n, i to na način da se svi ti brojevi pojavljuju jednom u svakom retku i svakom stupcu. Slika 3 prikazuje dva takva kvadrata 4x4. Imaju zanimljivu značajku: ako se jedan kvadrat postavi na drugi, tada se svi parovi dobivenih brojeva razlikuju. Takvi parovi latinskih kvadrata nazivaju se ortogonalnima.

Problem pronalaženja ortogonalnih latinskih kvadrata prvi je postavio L. Euler, i to u ovako zabavnoj formulaciji: “Među 36 časnika nalazi se podjednak broj kopljanika, draguna, husara, kirasira, konjanika i grenadira, a osim toga jednak broj generala, pukovnika, bojnika, satnika, poručnika i potporučnika, a svaki rod vojske predstavljaju časnici svih šest činova. Je li moguće sve časnike postrojiti u kvadrat 6 x 6 tako da u bilo kojoj koloni i bilo kojem činu budu časnici svih činova?”

Euler nije uspio pronaći rješenje za ovaj problem. Godine 1901. dokazano je da takvo rješenje ne postoji. U isto vrijeme, Euler je dokazao da ortogonalni parovi latinskih kvadrata postoje za sve neparne vrijednosti n i za one parne vrijednosti n koje su djeljive s 4. Euler je pretpostavio da za preostale vrijednosti n, da je, ako broj n kada se podijeli sa 4 daje ostatak 2, nema ortogonalnih kvadrata. Godine 1901. dokazano je da ne postoje ortogonalni kvadrati 6 6, što je povećalo povjerenje u valjanost Eulerove hipoteze. Međutim, 1959. godine uz pomoć računala prvi put su pronađeni ortogonalni kvadrati 10x10, zatim 14x14, 18x18, 22x22. I tada se pokazalo da za bilo koji n osim 6, postoji nxn ortogonalnih kvadrata.

Magični i latinski kvadrati bliski su rođaci. Neka imamo dva ortogonalna kvadrata. Ispunimo ćelije novog kvadrata istih dimenzija na sljedeći način. Stavimo tu broj n(a - 1)+b, gdje je a broj u takvoj ćeliji prvog kvadrata, a b je broj u istoj ćeliji drugog kvadrata. Lako je razumjeti da će u rezultirajućem kvadratu zbrojevi brojeva u recima i stupcima (ali ne nužno na dijagonalama) biti isti.

Teorija latinskih kvadrata našla je brojne primjene kako u samoj matematici tako iu njezinim primjenama. Navedimo primjer. Pretpostavimo da želimo ispitati prinos 4 sorte pšenice na određenom području, te želimo uzeti u obzir utjecaj stupnja prorijeđenosti usjeva i utjecaj dviju vrsta gnojiva. Da bismo to učinili, kvadratnu česticu zemlje podijelit ćemo na 16 čestica (slika 4). Prvu sortu pšenice posadit ćemo na parcele koje odgovaraju donjoj vodoravnoj pruzi, sljedeću sortu na četiri parcele koje odgovaraju sljedećoj pruzi itd. (na slici je sorta označena bojom). U ovom slučaju, neka najveća gustoća usjeva bude u onim parcelama koje odgovaraju lijevom okomitom stupcu slike, a smanjuje se kada se pomiče udesno (na slici to odgovara smanjenju intenziteta boje). Neka brojevi u ćelijama slike znače:

prvi je broj kilograma gnojiva prve vrste unesenih na ovu površinu, a drugi je količina unesenog gnojiva druge vrste. Lako je razumjeti da se u ovom slučaju ostvaruju svi mogući parovi kombinacija i sorte i gustoće sjetve i ostalih komponenti: sorta i gnojiva prve vrste, gnojiva prve i druge vrste, gustoća i gnojiva druge vrste.

Korištenje ortogonalnih latinskih kvadrata pomaže da se uzmu u obzir sve moguće opcije u pokusima u poljoprivredi, fizici, kemiji i tehnologiji.

kvadrat magija pitagora latinski

Zaključak

Ovaj esej ispituje pitanja vezana uz povijest razvoja jednog od pitanja u matematici koje je zaokupljalo umove mnogih velikih ljudi - magičnih kvadrata. Unatoč činjenici da sami magični kvadrati nisu našli široku primjenu u znanosti i tehnologiji, oni su nadahnuli mnoge izvanredne ljude na proučavanje matematike i pridonijeli razvoju drugih grana matematike (teorije grupa, determinanti, matrica itd.).

Najbliži srodnici čarobnih kvadrata, latinski kvadrati, našli su brojne primjene kako u matematici tako iu njezinoj primjeni u postavljanju i obradi rezultata pokusa. Sažetak daje primjer postavljanja takvog eksperimenta.

U sažetku se također raspravlja o pitanju Pitagorinog kvadrata, koji je od povijesnog značaja i možda koristan za izradu psihološkog portreta osobe.

Bibliografija

• 1. Enciklopedijski rječnik mladog matematičara. M., "Pedagogija", 1989.
• 2. M. Gardner “Putovanje kroz vrijeme”, M., “Mir”, 1990.
• 3. Tjelesni odgoj i sport broj 10, 1998