20-дан 4-ке арналған сиқырлы шаршы. Сиқырлы шаршы қалай жұмыс істейді

Бұл жұмбақ Интернетте тез тарады. Мыңдаған адамдар сиқырлы алаңның қалай жұмыс істейтінін қызықтыра бастады. Бүгін сіз жауап таба аласыз!

Сиқырлы шаршының құпиясы

Шындығында, бұл жұмбақ өте қарапайым және адамның немқұрайлылығын ескере отырып жасалған. Сиқырлы қара шаршы нақты мысал арқылы қалай жұмыс істейтінін көрейік:

1. 10-нан 19-ға дейінгі кез келген санды болжайық.Енді осы саннан оның құрамдас цифрларын алып тастайық. Мысалы, 11-ді алайық. 11-ден біреуін, содан кейін екіншісін алып тастаңыз. Нәтиже 9. 10-нан 19-ға дейінгі қай санды алатыныңыз маңызды емес. Есептеулердің нәтижесі әрқашан 9 болады. «Сиқырлы шаршыдағы» 9 саны суреттері бар бірінші санға сәйкес келеді. Мұқият қарасаңыз, бірдей суреттерге өте көп сандар берілгенін көруге болады.
2. 20 мен 29 аралығындағы санды алсаңыз не болады? Мүмкін сіз оны өзіңіз болжаған шығарсыз? Дұрыс! Есептеу нәтижесі әрқашан 18 болады. 18 саны суреттері бар диагоналдағы екінші орынға сәйкес келеді.
3. Егер сіз 30-дан 39-ға дейінгі санды алсаңыз, сіз болжап отырғандай, 27 саны шығады.27 саны да түсініксіз «Сиқырлы шаршының» диагоналындағы санға сәйкес келеді.
4. Ұқсас алгоритм 40-тан 49-ға дейін, 50-ден 59-ға дейін және т.б. кез келген сандар үшін дұрыс болып қалады.

Яғни, сіз қандай санды тапқаныңыз маңызды емес - «Сиқырлы шаршы» нәтижені болжайды, өйткені 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 және 81 сандары бар ұяшықтарда бар. шын мәнінде бірдей символ.

Шын мәнінде, бұл құпияны қарапайым теңдеу арқылы оңай түсіндіруге болады:

1. Кез келген екі таңбалы санды елестетіңіз. Санға қарамастан, оны x*10+y түрінде көрсетуге болады. Ондықтар «х» қызметін атқарады, ал бірлік «у» қызметін атқарады.
2. Жасырын саннан оны құрайтын сандарды азайт. Теңдеуді қосыңыз: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
3. Есептеулер нәтижесінде шығатын сан кестедегі белгілі бір таңбаны көрсетуі керек.

«Х» рөлінде қандай сан тұрғаны маңызды емес, сіз қандай да бір жолмен нөмірі тоғызға еселік болатын таңбаны аласыз. Әртүрлі сандардың астында бір таңба бар екеніне көз жеткізу үшін кестеге және 0,9,18,27,45,54,63,72,81 және одан кейінгі сандарға қараңыз.

СИқырлы шаршы

Қытай сиқырлы шаршылардың отаны болып саналады. Қытайда фэн-шуйдің ілімі бар, ол кеңістіктегі әрбір элементтің түсі, пішіні және физикалық орналасуы Ци ағынына әсер етеді, оны баяулатады, қайта бағыттайды немесе оны жылдамдатады, бұл энергия деңгейіне тікелей әсер етеді. тұрғындарының. Дүниенің сырын білу үшін құдайлар Ю императорға ең көне символ Ло Шу алаңын (Ло - өзен) жібереді.

СИҚЫРЛЫ АЛАҢ ЛО ШУ

Аңыз бойынша, шамамен төрт мың жыл бұрын Луо өзенінің дауылды суынан Шу есімді үлкен тасбақа шыққан. Өзенге құрбандық шалған адамдар тасбақаны көріп, оны бірден құдай деп таниды. Ежелгі данышпандардың ойлары император Юға ақылға қонымды болып көрінгені сонша, ол тасбақа бейнесін қағазға мәңгі қалдыруды бұйырды және оны империялық мөрімен бекітті. Әйтпесе бұл оқиғаны қайдан білген болар едік?

Бұл тасбақа шынымен ерекше болды, өйткені оның қабығында нүктелердің біртүрлі үлгісі болды. Нүктелер реттелген түрде белгіленген, бұл ежелгі философтарды тасбақа қабығындағы сандары бар шаршы ғарыштың үлгісі - Қытай өркениетінің мифтік негізін қалаушы Хуан Ди құрастырған әлем картасы ретінде қызмет етеді деген идеяға әкелді. Шын мәнінде, квадраттың бағандарындағы, жолдарындағы және екі диагоналындағы сандардың қосындысы бірдей M = 15 және қытайлық күн жылының 24 циклінің әрқайсысындағы күндер санына тең.

Жұп және тақ сандар кезектесіп отырады: төрт бұрышта 4 жұп сан (төменнен жоғарыға кему ретімен жазылады) және 5 тақ сан (төменнен жоғарыға өсу ретімен жазылады) шаршының ортасында крест құрайды. Кресттің бес элементі жерді, отты, металды, суды және орманды бейнелейді. Ортасымен бөлінген кез келген екі санның қосындысы Хо Ти санына тең, яғни. он.

Ло Шудың жұп сандары (Жер таңбалары) тасбақаның денесінде қара нүктелер немесе Инь таңбалары, ал тақ сандар (Аспан белгілері) - ақ нүктелер немесе Ян таңбалары түрінде белгіленген. Жер 1 (немесе су) төменде, от 9 (немесе аспан) жоғары. Композицияның қақ ортасында орналасқан 5 санының қазіргі заманғы бейнесі Қытайдың Ян мен Инь екі жақтылығының символына байланысты болуы мүмкін.

ХАДЖУРАХОДАН СИҚЫРЛЫ АЛАҢ

Шығыс бөлмесі

Маугли, Багира, Балу, Шере Хан және, әрине, Табака образдарын жасаған Джозеф Рудярд Киплингтің сиқыры ХХ ғасырдың қарсаңында басталды. Осыдан жарты ғасыр бұрын, 1838 жылы ақпанда Бенгал инженерлерінің жас британдық офицері Т. Паланкенін көтеріп жүрген қызметшілердің әңгімесіне қызыққан Берт жолдан тайып, Үндістанның джунглилеріндегі көне храмдарға тап болды.

Вишванатха ғибадатханасының баспалдақтарында офицер құрылымдардың көне екендігін куәландыратын жазуды тапты. Аз уақыттан кейін жігерлі генерал-майор А.Каннингэм Кхаджурахоның егжей-тегжейлі жоспарларын жасады. Қазба жұмыстары басталып, 22 ғибадатхананың сенсациялық ашылуымен аяқталды. Храмдарды Чандел әулетінің махаражалары тұрғызған. Олардың патшалығы ыдырағаннан кейін, Джунгли мың жыл бойы ғимараттарды жұтып қойды. Жалаңаш құдайлар мен құдайлардың бейнелерінің арасынан табылған төртінші ретті шаршы таң қалдырды.

Бұл квадраттың жолдар, бағандар және диагональдар бойынша қосындылары сәйкес келіп, 34-ке тең болып қана қойған жоқ. Олар шаршыны торусқа бүктегенде пайда болған сынық диагональдар бойымен және екі бағытта да сәйкес келді. Мұндай сандар үшін мұндай квадраттар «шайтандық» (немесе «пандиагональды» немесе «насик») деп аталады.

Әрине, бұл отаршылдардан жоғары тұрған оларды жасаушылардың ерекше математикалық қабілеттерін айғақтады. Ақ шұңқырлы дулығалы адамдар нені еріксіз сезінді.

ДҮРЕРДІҢ СИҚЫРЛЫ АЛАҢЫ

16 ғасырдың басындағы немістің атақты суретшісі Альбрехт Дюрер еуропалық өнердегі алғашқы 4х4 сиқырлы шаршыны жасады. Кез келген жолдағы, бағандағы, диагональдағы сандардың қосындысы, сонымен қатар, таңқаларлық, әр тоқсанда (тіпті орталық шаршыда) және тіпті бұрыштық нөмірлердің қосындысы 34. Төменгі қатардағы екі ортаңғы сан датаны көрсетеді. кескіндеменің жасалуы (1514). Бірінші бағанның ортаңғы квадраттарында түзетулер енгізілді - сандар деформацияланған.

Оккультативті қанатты тышқан Сатурнмен суретте сиқырлы шаршы бір-біріне қарама-қарсы қанатты барлау Юпитерден тұрады. Шаршы симметриялы, өйткені оның центріне қатысты симметриялы орналасқан оған кіретін кез келген екі санның қосындысы 17-ге тең. Егер шахмат рыцарының қозғалысы арқылы алынған төрт санды қоссаңыз, 34 шығады. Шынымен де. , бұл алаң өзінің мінсіз реттілігімен суретшіні басынан өткерген мұңды бейнелейді.

Таңертеңгі арман.

Еуропалықтарды таңғажайып сандар квадраттарымен Византия жазушысы және лингвист Москопулос таныстырды. Оның жұмысы осы тақырыпқа арналған арнайы эссе болды және автордың сиқырлы шаршыларының мысалдарын қамтыды.

СИҚЫРЛЫ ШАРТТАРДЫ ЖҮЙЕЛЕУ

16 ғасырдың ортасында. Еуропада сиқырлы квадраттар математикалық зерттеу объектілері ретінде пайда болған жұмыстар пайда болды. Одан кейін басқа да көптеген еңбектер, атап айтқанда, қазіргі ғылымның негізін салушылар Штифель, Басет, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс сияқты атақты математиктер шықты.

Сиқырлы, немесе сиқырлы шаршы — әр жолдағы, әр бағандағы және екі диагональдағы сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп n 2 санмен толтырылған шаршы кесте. Анықтама шартты болып табылады, өйткені ежелгі адамдар, мысалы, түске де мағына берген.

Қалыпты 1-ден n 2-ге дейінгі бүтін сандармен толтырылған сиқырлы шаршы деп аталады. Қалыпты сиқырлы квадраттар n = 2-ден басқа барлық тапсырыстар үшін бар, бірақ n = 1 жағдайы тривиальды - шаршы бір саннан тұрады.

Әр жолдағы, бағандағы және диагональдағы сандардың қосындысы деп аталады сиқырлы тұрақты M. Қалыпты сиқырлы квадраттың сиқырлы тұрақтысы тек n-ге тәуелді және формуламен беріледі

M = n (n 2 + 1) /2

Сиқырлы тұрақтылардың бірінші мәндері кестеде берілген

Егер шаршыдағы сандардың қосындысы тек жолдар мен бағандарда тең болса, онда ол аталады жартылай сиқырлы. Сиқырлы шаршы деп аталады ассоциативтінемесе симметриялы, егер квадраттың центріне қатысты симметриялы орналасқан кез келген екі санның қосындысы n 2 + 1-ге тең болса.

Үшінші ретті тек бір қалыпты квадрат бар. Оны көп адамдар білетін. Ло Шу алаңындағы сандардың орналасуы Каббаладағы рухтардың символдық белгілеріне және үнді астрологиясының белгілеріне ұқсас.

Сатурн алаңы деп те аталады. Орта ғасырлардағы кейбір құпия қоғамдар оны «Тоғыз палатаның Каббаласы» деп есептеді. Тыйым салынған сиқырдың көлеңкесі оның бейнелерінің сақталуы үшін көп нәрсені білдіргені сөзсіз.

Бұл ортағасырлық нумерологияда маңызды болды, көбінесе амулет немесе көріпкелдік көмек ретінде пайдаланылды. Әрбір ұяшық мистикалық әріпке немесе басқа таңбаға сәйкес келеді. Белгілі бір сызық бойымен бірге оқыңыз, бұл белгілер оккульттік хабарларды жеткізді. Туған күнін құрайтын сандар шаршының ұяшықтарына орналастырылды, содан кейін сандардың мағынасы мен орналасуына байланысты шифры ашылды.

Пандиагональды, олар деп те атайтындай, шайтандық сиқырлы квадраттар, симметриялы - идеалдылар ерекшеленеді. Егер сіз оны айналдырсаңыз, шағылыстырсаңыз, жолды жоғарыдан төменге және керісінше реттесеңіз, оң немесе сол жақтағы бағанды ​​сызып тастасаңыз және оны қарама-қарсы жаққа тағайындасаңыз, шайтандық квадрат шайтан болып қалады. Барлығы бес түрлендіру бар, соңғысының диаграммасы суретте көрсетілген

Айналу және шағылысу дәлдігі бар 48 4x4 шайтандық квадрат бар. Торикалық параллель аудармаларға қатысты симметрияны да ескеретін болсақ, онда тек үш түрлі 4х4 шайтандық квадрат қалады:

Әйгілі американдық сәулетші Клод Ф.Брагдон сынық сызықтағы сиқырлы квадраттардың жұп немесе тек тақ сандары бар ұяшықтарды бір-бірлеп қосу арқылы көп жағдайда талғампаз өрнек шығатынын анықтады. Ол өмір сүрген Рочестердегі (Нью-Йорк) Сауда-өнеркәсіп палатасының төбесіндегі желдеткіш тор үшін ойлап тапқан үлгі Ло-Шу бойтұмарының сиқырлы сынған сызығынан салынған. Брагдон маталар, кітап мұқабалары, архитектуралық әшекейлер мен сәндік бас киімдердің дизайны ретінде «сиқырлы сызықтарды» пайдаланды.

Егер сіз бірдей шайтандық квадраттардың мозаикасын салсаңыз (әр шаршы өз көршілеріне жақын болуы керек), сіз 4x4 ұяшықтардың кез келген тобындағы сандар шайтандық шаршыны құрайтын паркет сияқты нәрсені аласыз. Төрт ұяшықтағы сандар бірінен соң бірі орналасады, олар қалай орналасқанына қарамастан - тігінен, көлденең немесе диагональ бойынша - әрқашан квадраттың тұрақтысына қосылады. Қазіргі математиктер мұндай квадраттарды «мінсіз» деп атайды.

ЛАТЫН АЛАҢЫ

Латын шаршысы – әр жолда және әрбір бағанда барлық n таңба пайда болатындай n түрлі таңбалармен толтырылған дұрыс емес математикалық шаршының түрі (әрқайсысы бір рет).

Кез келген n үшін латын квадраттары бар. Кез келген латын квадраты квазитоптың көбейту кестесі (Кейли кестесі). «Латын шаршысы» атауы кестеде сандардың орнына латын әріптерін пайдаланған Леонхард Эйлерден шыққан.

Екі латын квадраты деп аталады ортогональды, егер барлық реттелген таңба жұптары (a,b) әр түрлі болса, мұндағы a - бірінші латын квадратының кейбір ұяшығындағы таңба, ал b - екінші латын квадратының бір ұяшығындағы таңба.

Ортогональды латын квадраттары 2 және 6-дан басқа кез келген рет үшін бар. n жай санның дәрежесі болғандықтан, n–1 жұптық ортогональды латын квадраттарының жинағы бар. Егер латын шаршысының әрбір диагоналында барлық элементтер әртүрлі болса, мұндай латын квадраты деп аталады диагональ. Ортогональды диагональды латын квадраттарының жұптары 2, 3 және 6-дан басқа барлық реттерде бар. Латын шаршысы жоспарлау мәселелерінде жиі кездеседі, себебі сандар жолдар мен бағандарда қайталанбайды.

Екі ортогональды латын квадраттарының жұп элементтерінен тұратын шаршы деп аталады Грек-латын алаңы. Мұндай шаршылар сиқырлы квадраттарды салу үшін және күрделі жоспарлау есептерін шығару үшін жиі қолданылады.

Грек-латын шаршыларын зерттей отырып, Эйлер екінші ретті квадраттардың жоқ екенін дәлелдеді, бірақ 3, 4, 5 ретті квадраттар табылды. Ол 6 ретті шаршыны таппады. Ол 4-ке бөлінбейтін (яғни, 6, 10, 14, т.б.) жұп ретті квадраттар жоқ деп жорамалдады. 1901 жылы Гастон Терри 6-ші реттік гипотезаны қатал күшпен растады. Бірақ 1959 жылы гипотезаны Э.Т.Паркер, Р.К.Боуес және С.С.Шрикхерд жоққа шығарды, олар 10 ретті грек-латын квадратын ашты.

ПОЛИМИНО АРТУР КЛАРК

Полиоминолар – күрделілігі жағынан олар, әрине, ең қиын математикалық квадраттар санатына жатады. Ол туралы фантаст-жазушы А.Кларк осылай жазады - төменде «Жер империясы» кітабынан үзінді берілген. Кларк өз аралында тұрып, Цейлонда өмір сүргені анық - және оның қоғамнан бөліну философиясы өз алдына, баланың әжесі үйрететін ойын-сауыққа қызығушылық танытып, оны бізге берді. Ойынның рухын емес, мүмкін мәнін жеткізетін бар жүйелеулерден осы тірі сипаттаманы артық көрейік.

«Сен қазір жеткілікті үлкен баласың, Дункан, және сен бұл ойынды түсіне аласың... дегенмен, бұл ойыннан әлдеқайда көп». Әжесі айтқандай, бұл ойын Дунканға әсер етпеді. Ал, бес ақ пластик шаршыдан не жасауға болады?

– Ең алдымен, – деп сөзін жалғастырды әже, – шаршылардан қанша түрлі өрнек салуға болатынын тексеру керек.

– Олар үстелге жату керек пе? – деп сұрады Дункан.

– Иә, олар жанасуы керек. Бір шаршыны екіншісімен қабаттастыруға болмайды.

Дункан алаңдарды орналастыра бастады.

«Ал, мен олардың барлығын түзу сызыққа қоя аламын, - деп бастады ол. - Осылай... Сосын мен екі бөлікті қайта орналастырып, L әрпін аламын... Ал егер мен екінші шетінен ұстасам, мен әріпті аламын. У...»

Бала тез арада жарты ондаған комбинацияны жасады, содан кейін кенеттен олардың бұрыннан барларын қайталайтынын білді.

-Мүмкін мен ақымақ шығармын, бірақ бәрі осы.

Дункан ең қарапайым фигураларды - крестті жіберіп алды, оны жасау үшін бесінші, орталықтың бүйірлеріне төрт шаршы салу жеткілікті болды.

«Көп адамдар кресттен бастайды, - деп күлді әже, - менің ойымша, сіз өзіңізді ақымақ деп жариялауға тым асықтыңыз. Жақсырақ ойлаңыз: басқа сандар болуы мүмкін бе?

Квадраттарды шоғырландырған Дункан тағы үш фигураны тапты, содан кейін іздеуді тоқтатты.

«Енді бұл сөзсіз аяқталды», - деді ол сенімді түрде.

– Мұндай фигура туралы не айта аласыз?

Квадраттарды сәл жылжытып, әже оларды бүктелген F әрпінің пішініне келтірді.

- Міне, тағы біреуі.

Дункан өзін толық ақымақ сияқты сезінді, ал әжесінің сөздері оның ұялған жанына бальзам сияқты болды:

-Сен кереметсің. Ойлап көріңізші, мен тек екі бөлікті жіберіп алдым. Ал цифрлардың жалпы саны он екі. Артық та, кем де емес. Енді сіз олардың бәрін білесіз. Мәңгілік іздесең, басқасын таба алмайсың.

Әже бес ақ шаршыны бір бұрышқа сыпырып алып, үстелдің үстіне оншақты жарқын, түрлі-түсті пластикалық кесектерді қойды. Бұл бірдей он екі фигура болды, бірақ дайын пішінде және әрқайсысы бес шаршыдан тұрды. Дункан басқа фигуралардың шынымен жоқ екендігімен келісуге дайын болды.

Бірақ әже бұл түрлі-түсті жолақтарды салғандықтан, бұл ойынның жалғасуын білдіреді және Дунканды тағы бір тосын сый күтіп тұрды.

– Ал, Дункан, мұқият тыңда. Бұл фигуралар «пентаминдер» деп аталады. Бұл атау гректің «пента» сөзінен шыққан, бұл «бес» дегенді білдіреді. Барлық фигуралардың ауданы бірдей, өйткені әрқайсысы бес бірдей квадраттан тұрады. Он екі фигура, бес шаршы бар, сондықтан жалпы ауданы алпыс шаршыға тең болады. Дұрыс па?

- Хмм иә.

- Ары қарай тыңда. Алпыс - бірнеше жолмен құрастыруға болатын тамаша дөңгелек сан. Ең оңайы - онды алтыға көбейту. Бұл қорапта мұндай аумақ бар: ол көлденеңінен он шаршыны, ал тігінен алты шаршыны ұстай алады. Сондықтан барлық он екі фигура оған сәйкес келуі керек. Қарапайым, композициялық сурет-жұмбақ сияқты.

Дункан ұстайды деп күтті. Әжесі сөздік және математикалық парадокстарды жақсы көретін және оның он жасар құрбанына олардың барлығы түсінікті емес еді. Бірақ бұл жолы ешқандай парадокс болған жоқ. Жәшіктің түбі алпыс шаршымен сызылған, яғни... Тоқта! Аудан аумақ болып табылады, бірақ фигуралар әртүрлі пішіндерге ие. Оларды қорапқа салуға тырысыңыз!

«Мен бұл тапсырманы өз бетіңізше шешуге қалдырамын», - деді әже оның пентоминоны қораптың түбімен қалай мұңайып жылжытқанын көріп, - Маған сеніңіз, оларды жинауға болады.

Көп ұзамай Дункан әжесінің сөзіне қатты күмән келтіре бастады. Ол қорапқа он фигураны оңай сыйғызды, ал бірде он біріншіні сығып алды. Бірақ толтырылмаған кеңістіктің сұлбасы баланың қолында аударып тұрған он екінші фигураның сұлбасымен сәйкес келмеді. Онда крест болды, ал қалған фигура Z әрпіне ұқсайды ...

Тағы жарты сағаттан кейін Дункан үмітсіздікке ұшырады. Әжесі компьютермен диалогқа түсіп отырды, бірақ анда-санда: «Бұл сен ойлағандай оңай емес» дегендей қызыға қарайтын.

Он жасында Дункан айтарлықтай қыңыр болды. Құрдастарының көпшілігі баяғыда талпынудан бас тартқан еді. (Бірнеше жылдан кейін ғана ол әжесі оған психологиялық тест тапсырғанын түсінді.) Дункан көмексіз қырық минутқа жуық өмір сүрді...

Содан кейін әже компьютерден тұрып, басқатырғышқа еңкейді. Оның саусақтары U, X және L пішіндерін жылжытты...

Қораптың түбі толығымен толтырылды! Пазлдың барлық бөліктері дұрыс жерде болды.

– Әрине, жауабын алдын ала білдің ғой! – Дункан ренжіді.

- Жауап? – деп сұрады әже, – Қалай ойлайсыңдар, пентоминоны бұл қорапқа неше жолмен салуға болады?

Міне, бұл тұзақ. Дункан шешімін таппастан бір сағатқа жуық скрипкамен айналысты, бірақ осы уақыт ішінде ол кем дегенде жүз нұсқаны қолданып көрді. Ол бір ғана жол бар деп ойлады. Олардың он екісі болуы мүмкін бе? Әлде көп пе?

- Сонда қанша жол болуы мүмкін деп ойлайсыз? – деп әже қайта сұрады.

«Жиырма», - деп Дункан сөйлеп, әжем қарсы емес деп ойлады.

- Қайтадан байқап көріңіз.

Дункан қауіпті сезінді. Қызық ол ойлағаннан әлдеқайда айлакер болып шықты, ал бала тәуекелге бармауды ақылмен шешті.

«Шындығында, мен білмеймін», - деді ол басын шайқап.

«Ал сен қабылдаушы бала екенсің, – деді әжей тағы да жымиып, – интуиция – қауіпті жол көрсетуші, бірақ кейде бізде басқасы болмайды. Мен сізді қуанта аламын: бұл жерде дұрыс жауапты болжау мүмкін емес. Бұл қорапқа пентоминоларды салудың екі мыңнан астам түрлі жолдары бар. Дәлірек айтсақ, екі мың үш жүз отыз тоғыз. Ал сіз бұған не айтасыз?

Оны әжесі алдап жүргені екіталай. Бірақ Дунканның шешімін таба алмағаны соншалықты ренжігені соншалық, ол өз сөзінен бас тарта алмады:

- Сенбеймін!

Хелен сирек тітіркенуді көрсетті. Дункан оны қандай да бір жолмен ренжіткен кезде, ол жай ғана суық және алыс болды. Әйтсе де, қазір әжей күлімсіреп, компьютердің пернетақтасынан бірдеңені түртеді.

«Мына жерге қара», - деді ол.

Экранда оннан алтыға дейінгі төртбұрышты толтырған он екі түрлі-түсті пентоминолар жиынтығы пайда болды. Бірнеше секундтан кейін ол басқа суретпен ауыстырылды, онда фигуралар басқаша орналасқан (Дункан нақты айта алмады, өйткені ол бірінші комбинацияны есіне түсірмеген). Көп ұзамай сурет қайта өзгерді, қайта-қайта... Бұл әже бағдарламаны тоқтатқанша жалғасты.

«Тіпті жоғары жылдамдықта болса да, компьютерге барлық әдістерден өту үшін бес сағат қажет болады», - деп түсіндірді әже. - Сіз менің сөзімді қабылдасаңыз болады: олардың барлығы әртүрлі». Егер бұл компьютерлер болмаса, адамдар опцияларды әдеттегі санау арқылы барлық жолдарды таба алар еді деп күмәнданамын.

Дункан он екі алдамшы қарапайым фигураға ұзақ қарап тұрды. Әжесінің сөзін асықпай қорытты. Бұл оның өміріндегі алғашқы математикалық ашылу болды. Кәдімгі баланың ойыны деп ойлаған нәрсе кенеттен оның алдынан шексіз жолдар мен көкжиектер ашылады, дегенмен ең дарынды он жасар баланың өзі бұл ғаламның шексіздігін әрең сезінеді.

Бірақ содан кейін Дунканның қуанышы мен қорқынышы пассивті болды. Зияткерлік ләззаттың нағыз жарылысы кейінірек, ол пентоминоларды төсеудің алғашқы әдісін өз бетінше тапқан кезде болды. Бірнеше апта бойы Дункан өзімен бірге барлық жерде пластикалық қорап алып жүрді. Ол барлық бос уақытын тек пентоминомен өткізетін. Фигуралар Дунканның жеке достарына айналады. Ол оларды ұқсас әріптермен атады, бірақ кейбір жағдайларда ұқсастық алысырақ болды. Бес цифр - F, I, L, P, N - сәйкес келмеді, бірақ қалған жетеуі латын әліпбиінің ретін қайталады: T, U, V, W, X, Y, Z.

Бір күні ешқашан қайталанбаған геометриялық транс немесе геометриялық экстаз күйінде Дункан бір сағаттан аз уақыт ішінде сәндеудің бес нұсқасын тапты. Тіпті Ньютон да, Эйнштейн де, Чен Цзы да өздерінің ақиқат сәттерінде Дункан Маккензиге қарағанда математика құдайларымен жақынырақ байланысты сезінбеген шығар.

Көп ұзамай ол әжесінің ұсынысынсыз пентоминоны әр түрлі жақтары бар тіктөртбұрышқа орналастыруға болатынын түсінді. Дункан 5-тен 12-ге және 4-тен 15-ке дейінгі тіктөртбұрыштардың бірнеше нұсқасын оңай тапты. Содан кейін ол бір апта бойы он екі фигураны 3-тен 20-ға дейін ұзынырақ және тар тіктөртбұрышқа сыйғызуға тырысты. ... тіктөртбұрыш пен «қосымша» фигуралардағы тесіктерді алыңыз.

Жабырқаған Дункан әжесіне барды, онда оны жаңа тосын сый күтіп тұрды.

«Тәжірибелеріңізге қуаныштымын,— деді Хелен.— Сіз жалпы үлгіні шығаруға тырысып, барлық мүмкіндіктерді зерттедіңіз». Математиктер әрқашан осылай жасайды. Бірақ сіз қателесесіз: үш-жиырма төртбұрыш үшін шешімдер бар. Олардың екеуі ғана бар, біреуін тапсаңыз, екіншісін таба аласыз.

Әжесінің мақтауынан шабыттанған Дункан жаңа күшпен «пентоминоларды аулауды» жалғастырды. Тағы бір аптадан кейін ол иығына қандай адам төзгісіз жүк артқанын түсіне бастады. Он екі фигураны орналастырудың жолдарының саны Дункан үшін жай ғана таң қалдырды. Оның үстіне әр фигураның төрт позициясы болды!

Тағы да әжесіне бар қиыншылықтарын айтып келді. 3-тен 20-ға дейінгі тіктөртбұрыштың екі ғана нұсқасы болса, оларды табу қанша уақытты алады?

«Егер рұқсат етсеңіз, мен сізге жауап беремін, - деді әже, - егер сіз мисыз компьютер сияқты әрекет етсеңіз, комбинацияларды қарапайым іздеп, әрқайсысына бір секунд жұмсасаңыз, сізге қажет еді ...» Ол әдейі тоқтады. «Сізге алты миллионнан астам ... иә, алты миллионнан астам жыл қажет.

Жердегі немесе титаникалық па? Бұл сұрақ Дунканның санасында бірден пайда болды. Бірақ айырмашылығы неде?

«Бірақ сіз мисыз компьютерден басқасыз, - деп жалғастырды әже, - сіз бірден жарамсыз комбинацияларды көресіз, сондықтан оларды тексеруге уақыт жоғалтудың қажеті жоқ. Қайтадан көріңіз.

Дункан мойынсұнды, табысқа деген ынта-жігерсіз және сенімсіз. Сосын оның басына тамаша ой келді.

Карл пентоминоға бірден қызығушылық танытып, шақыруды қабылдады. Ол Дунканнан фигуралар салынған қорапты алып, бірнеше сағат бойы жоғалып кетті.

Карл оған қоңырау шалғанда, оның досы біраз ренжіді.

– Бұл мәселенің шынымен шешімі бар екеніне сенімдісіз бе? - ол сұрады.

- Мүлдем сенімді. Олардың екеуі бар. Сіз шынымен кем дегенде біреуін таппадыңыз ба? Мен сені математикадан жақсы деп ойладым.

«Елестетіп көріңізші, мен оны анықтай аламын, сондықтан мен сіздің тапсырмаңыз қанша жұмысты қажет ететінін білемін». Біз миллион миллиард мүмкін комбинацияларды тексеруіміз керек.

– Олардың көп екенін қайдан білдің? – деп сұрады Дункан, тым құрыса досының абдырап басын тырнап алғанына риза болып.

Карл сызбалар мен сандар толтырылған қағазға жан-жағына қарады.

– Егер сіз қолайсыз комбинацияларды алып тастасаңыз және симметрия мен айналу мүмкіндігін ескерсеңіз ... сіз факториалды аласыз ... ауыстырулардың жалпы санын ... әлі де түсінбейсіз. Мен сізге нөмірдің өзін көрсеткенім жөн.

Ол камераға тағы бір қағаз парағын әкелді, онда әсерлі сандар тізбегі егжей-тегжейлі бейнеленген:

1 004 539 160 000 000.

Дункан факториалдар туралы ештеңе білмеді, бірақ ол Карлдың есептеулерінің дәлдігіне күмәнданбады. Ұзын сан оған қатты ұнады.

«Сонымен сіз бұл тапсырмадан бас тартасыз ба?» – деп мұқият сұрады Дункан.

- Тағы не керек! Мен сізге оның қаншалықты қиын екенін көрсеткім келді.

Карлдың жүзі қатал шешімді білдірді. Осы сөздерді айтып, есінен танып қалды.

Келесі күні Дункан балалық шағындағы ең үлкен күйзелістердің бірін бастан кешірді. Карлдың қансыраған көздері экраннан оған қарады. Ұйқысыз түн өткізгені сезілді.

«Бәрі осы», - деді ол шаршаған, бірақ жеңіске жеткен дауыспен.

Дункан өз көзіне өзі сенбеді. Оған табысқа жету мүмкіндігі шамалы болып көрінді. Бұған өзі де сендірді. Және кенеттен... Оның алдында барлық он екі пентомино фигурасымен толтырылған үш-жиырма төртбұрыш жатты.

Содан кейін Карл бөліктерді ауыстырып, шеттерін айналдырып, орталық бөлікті қалдырды. Шаршағандықтан саусақтары сәл дірілдеп кетті.

«Бұл екінші шешім, - деп түсіндірді ол. - Ал енді мен ұйықтаймын. Қайырлы түн немесе қайырлы таң - өзіңізге ұнайтын нәрсе.

Масқараланған Дункан қараңғы экранға ұзақ қарады. Ол Карлдың қай жаққа жылжып кеткенін білмей, жұмбақтың шешімін іздеді. Бірақ ол досының жеңіске жеткенін білді. Барлық мүмкіндіктерге қарсы.

Ол досының жеңісіне қызғанбады. Дункан Карлды тым жақсы көрді және оның жетістіктеріне әрқашан қуанатын, бірақ ол өзі жиі жеңіліске ұшырайтын. Бірақ менің досымның бүгінгі жеңісінде басқа нәрсе болды, сиқырлы дерлік.

Дункан алғаш рет интуиция күшін көрді. Ол ақыл-ойдың фактілерден асып, кедергі келтіретін логиканы тастап кететін жұмбақ қабілетіне тап болды. Бірнеше сағаттың ішінде Карл ең жылдам компьютерді басып озып, орасан зор жұмысты аяқтады.

Кейіннен Дункан барлық адамдарда мұндай қабілеттер бар екенін білді, бірақ олар оларды өте сирек қолданады - мүмкін өмірінде бір рет. Карлда бұл сыйлық ерекше дамыды... Осы сәттен бастап Дункан досының пікіріне байсалды, тіпті ең күлкілі және парасаттылық тұрғысынан қарай бастады.

Бұл жиырма жыл бұрын болды. Дункан пластик пентомино бөліктерінің қайда кеткенін есіне түсірмеді. Мүмкін олар Карлмен бірге қалған шығар.

Әженің сыйы олардың жаңа бейнесі болды, қазір түрлі-түсті тас кесектері түрінде. Ғажайып, жұмсақ қызғылт гранит Галилео төбелерінен, обсидиан Гюйгенс үстіртінен, ал жалған мәрмәр Гершель жотасынан шыққан. Ал олардың арасында... алғашында Дункан қателесті деп ойлады. Жоқ, солай: бұл Титанның ең сирек және ең жұмбақ минералы болды. Менің әжем титаниттен пентомино кресті жасады. Алтын қосындылары бар бұл көк-қара минералды ештеңемен шатастыруға болмайды. Дункан мұндай үлкен бөлшектерді бұрын-соңды көрмеген және оның құны қанша екенін болжаған.

— Мен не айтарымды білмеймін, — деді ол күбірлеп, — қандай сұлулық. Мен бұны бірінші рет көріп тұрмын.

Ол әжесінің жұқа иықтарын құшақтап, кенет олардың дірілдеп тұрғанын сезді, ол дірілдегенін тоқтата алмады. Дункан оны иығы дірілдегенше ақырын құшағына алды. Мұндай сәттерде сөздің қажеті жоқ. Бұрынғыдан да анық, Дункан түсінді: ол Хелен Маккензидің қираған өміріндегі соңғы махаббат болды. Енді ол оны естеліктерімен жалғыз қалдырып, ұшып кетеді.

ҮЛКЕН СИҚЫРЛЫ АЛАҢ

13 ғасырдағы қытай математигі Ян Хуэй Паскаль үшбұрышымен (арифметикалық үшбұрыш) таныс болды. Ол 4-ші және одан жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу әдістерінің сипаттамасын қалдырды, толық квадрат теңдеуді шешу ережелері, прогрессияларды қосу және сиқырлы квадраттарды құру әдістері бар. Ол алтыншы ретті сиқырлы шаршыны тұрғыза алды, ал соңғысы дерлік ассоциативті болып шықты (онда орталықтан қарама-қарсы екі жұп қана 37 қосындысын бермейді).

Бенджамин Франклин 16x16 шаршы тұрғызды, ол барлық жолдарда, бағандарда және диагональдарда 2056 тұрақты қосындысынан басқа, тағы бір қосымша қасиетке ие болды. Қағаз парағынан 4х4 шаршыны кесіп алып, осы парақты үлкен шаршыға үлкен шаршының 16 ұяшығы осы ұяшыққа түсетіндей етіп орналастырсақ, онда қай жерде орналастырсақ та, осы ұяшықта пайда болатын сандардың қосындысы шығады. , бірдей болады - 2056.

Бұл шаршының ең құндысы - оны керемет сиқырлы шаршыға айналдыру өте оңай, ал тамаша сиқырлы шаршыларды салу оңай емес. Франклин бұл шаршыны «сиқыршылар жасаған барлық сиқырлы квадраттардың ішіндегі ең сүйкімді сиқыры» деп атады.

СИқырлы шаршы,кез келген жолдың, кез келген бағанның және екі негізгі диагональдың кез келгенінің бойындағы сандардың қосындылары бірдей санға тең болатын бүтін сандардың квадраттық кестесі.

Сиқырлы шаршы ежелгі Қытайдан шыққан. Аңыз бойынша, Ю императоры тұсында (б.з.б. 2200 ж.) Сары өзен (Сары өзен) суынан қабығында жұмбақ иероглифтер жазылған қасиетті тасбақа шықты (1-сурет, 1-сурет). А) және бұл белгілер ло-шу ретінде белгілі және суретте көрсетілген сиқырлы шаршыға тең. 1, б. 11 ғасырда Олар Үндістанда, содан кейін 16 ғасырда Жапонияда сиқырлы шаршылар туралы білді. Сиқырлы шаршыларға кең әдебиеттер арналды. Еуропалықтар сиқырлы шаршылармен 15 ғасырда танысты. Византия жазушысы Э.Москопулос. Еуропалық ойлап тапқан бірінші шаршы оның әйгілі гравюрасында бейнеленген А.Дюрердің квадраты болып саналады (2-сурет). Меланхолия 1. Гравюраның жасалған күні (1514 ж.) төменгі жолдың орталық екі ұяшығындағы сандармен көрсетілген. Сиқырлы шаршыларға әртүрлі мистикалық қасиеттер жатқызылды. 16 ғасырда Корнелий Генрих Агриппа 3-ші, 4-ші, 5-ші, 6-шы, 7-ші, 8-ші және 9-шы дәрежелі квадраттарды салды, олар 7 планетаның астрологиясымен байланысты болды. Күміске қашалған сиқырлы шаршы обадан қорғайды деп есептелді. Қазірдің өзінде еуропалық көріпкелдердің атрибуттары арасында сиқырлы шаршыларды көруге болады.

19-20 ғасырларда. сиқырлы шаршыларға деген қызығушылық жаңа күшпен оянды. Олар жоғары алгебра және операциялық есептеу әдістері арқылы зерттеле бастады.

Сиқырлы шаршының әрбір элементі ұяшық деп аталады. Қабырғасы мынадан тұратын шаршы nжасушалар, қамтиды n 2 ұяшықтан тұрады және шаршы деп аталады n- ші бұйрық. Көптеген сиқырлы квадраттар біріншісін пайдаланады nбірізді натурал сандар. сомасы СӘрбір жолдағы, әрбір бағандағы және кез келген диагональдағы сандар шаршы тұрақты деп аталады және оған тең С = n(n 2 + 1)/2. Бұл дәлелденді nі 3. 3-ші ретті квадрат үшін С= 15, 4-ші рет – С= 34, 5-ші рет – С = 65.

Шаршының ортасынан өтетін екі диагональ бас диагональдар деп аталады. Сынық сызық деп шаршының шетіне жеткеннен кейін қарама-қарсы жиектен бірінші сегментке параллель жалғасатын диагональ (мұндай диагональ 3-суреттегі көлеңкеленген ұяшықтар арқылы жасалады). Квадраттың ортасына қатысты симметриялы ұяшықтар қиғаш симметриялы деп аталады. Бұл, мысалы, жасушалар аЖәне бсуретте. 3.

Сиқырлы шаршыларды салу ережелері шаршының реті тақ, екі есе тақ санға немесе төрт есе тақ санға тең болуына байланысты үш санатқа бөлінеді. Барлық квадраттарды салудың жалпы әдісі белгісіз, бірақ әртүрлі схемалар кеңінен қолданылады, олардың кейбірін төменде қарастырамыз.

Тақ ретті сиқырлы квадраттарды 17 ғасырдағы француз геометрінің әдісімен салуға болады. А. де ла Любера. Бұл әдісті 5-ші ретті квадраттың мысалы арқылы қарастырайық (4-сурет). 1 саны жоғарғы жолдың орталық ұяшығына қойылады. Барлық натурал сандар циклдік түрде төменнен жоғарыға қарай диагональ ұяшықтарда оңнан солға қарай натурал ретпен орналасады. Шаршының жоғарғы жиегіне жеткен соң (1-ші нөмірдегідей) біз келесі бағанның төменгі ұяшығынан бастап диагональды толтыруды жалғастырамыз. Шаршының оң жақ шетіне (3 саны) жеткенде, біз жоғарыдағы жолдағы сол ұяшықтан келетін диагоналды толтыруды жалғастырамыз. Толтырылған ұяшыққа (5-нөмір) немесе бұрышқа (15-нөмір) жеткеннен кейін траектория бір ұяшыққа түседі, содан кейін толтыру процесі жалғасады.

Ф.де ла Хирдің (1640–1718) әдісі екі түпнұсқа квадратқа негізделген. Суретте. 5-суретте бұл әдіс 5-ші ретті квадратты салу үшін қалай қолданылатыны көрсетілген. 1-ден 5-ке дейінгі сандар бірінші квадраттың ұяшығына енгізіледі, осылайша 3 саны оңға қарай негізгі диагональдың ұяшықтарында қайталанады және бір қатарда немесе бір қатарда бірде-бір сан екі рет пайда болмайды. баған. Біз 0, 5, 10, 15, 20 сандарымен де солай істейміз, жалғыз айырмашылығы, 10 саны енді негізгі диагональдың ұяшықтарында жоғарыдан төмен қарай қайталанады (5-сурет, б). Осы екі квадраттың ұяшық бойынша қосындысы (5-сурет, В) сиқырлы шаршы құрайды. Бұл әдіс жұп ретті квадраттарды салу үшін де қолданылады.

Егер сіз реттік квадраттарды салу жолын білсеңіз мжәне тапсырыс n, онда біз реттік квадратты құра аламыз мґ n. Бұл әдістің мәні күріште көрсетілген. 6. Мұнда м= 3 және n= 3. 3-ші ретті үлкенірек шаршы (сандар жай сандармен белгіленген) де ла Лубер әдісі арқылы тұрғызылады. 1ў саны бар ұяшыққа (жоғарғы жолдың орталық ұяшығы) 1-ден 9-ға дейінгі сандардан 3-ші ретті квадрат сәйкес келеді, сонымен қатар де ла Люберт әдісімен салынған. 2ў саны бар ұяшыққа (төменгі жолдың оң жағында) 10-нан 18-ге дейінгі сандары бар 3-ші ретті квадрат сәйкес келеді; 3ў саны бар ұяшықта - 19-дан 27-ге дейінгі сандардың квадраты және т.б. Нәтижесінде біз 9 ретті квадрат аламыз. Мұндай квадраттар құрама деп аталады.

СИқырлы шаршы
кез келген жолдың, кез келген бағанның және екі негізгі диагональдың кез келгенінің бойындағы сандардың қосындылары бірдей санға тең болатын бүтін сандардың квадраттық кестесі. Сиқырлы шаршы ежелгі Қытайдан шыққан. Аңыз бойынша, Ю императоры тұсында (б.з.б. 2200 ж.) Сары өзен (Сары өзен) суынан киелі тасбақа шықты, оның қабығында жұмбақ иероглифтер жазылған (1а-сурет) және бұл белгілер ло-шу ретінде белгілі және суретте көрсетілген сиқырлы шаршыға тең. 1, б. 11 ғасырда Олар Үндістанда, содан кейін 16 ғасырда Жапонияда сиқырлы шаршылар туралы білді. Сиқырлы шаршыларға кең әдебиеттер арналды. Еуропалықтар сиқырлы шаршылармен 15 ғасырда танысты. Византия жазушысы Э.Москопулос. Еуропалық ойлап тапқан бірінші шаршы А.Дюрердің шаршысы болып саналады (2-сурет), оның әйгілі «Меланхолия» гравюрасында бейнеленген. төменгі сызықтың жасушалары. Сиқырлы шаршыларға әртүрлі мистикалық қасиеттер жатқызылды. 16 ғасырда Корнелий Генрих Агриппа 3-ші, 4-ші, 5-ші, 6-шы, 7-ші, 8-ші және 9-шы дәрежелі квадраттарды салды, олар 7 планетаның астрологиясымен байланысты болды. Күміске қашалған сиқырлы шаршы обадан қорғайды деп есептелді. Қазірдің өзінде еуропалық көріпкелдердің атрибуттары арасында сиқырлы шаршыларды көруге болады.

19-20 ғасырларда. сиқырлы шаршыларға деген қызығушылық жаңа күшпен оянды. Олар жоғары алгебра және операциялық есептеу әдістері арқылы зерттеле бастады. Сиқырлы шаршының әрбір элементі ұяшық деп аталады. Қабырғасы n ұяшықтан тұратын шаршы n2 ұяшықтан тұрады және n-ші ретті квадрат деп аталады. Сиқырлы квадраттардың көпшілігі бірінші n қатарынан натурал сандарды пайдаланады. Әрбір жолдағы, әрбір бағандағы және кез келген диагональдағы S сандарының қосындысы шаршы тұрақты деп аталады және S = n(n2 + 1)/2-ге тең. n = 3 болатыны дәлелденді. 3-ші ретті квадрат үшін S = 15, 4-ші ретті - S = 34, 5-ші ретті - S = 65. Шаршының центрі арқылы өтетін екі диагональ негізгі диагональдар деп аталады. Сынық сызық деп шаршының шетіне жеткеннен кейін қарама-қарсы жиектен бірінші сегментке параллель жалғасатын диагональ (мұндай диагональ 3-суреттегі көлеңкеленген ұяшықтар арқылы жасалады). Квадраттың ортасына қатысты симметриялы ұяшықтар қиғаш симметриялы деп аталады. Бұл, мысалы, суреттегі a және b ұяшықтары. 3.

Сиқырлы шаршыларды салу ережелері шаршының реті тақ, екі есе тақ санға немесе төрт есе тақ санға тең болуына байланысты үш санатқа бөлінеді. Барлық квадраттарды салудың жалпы әдісі белгісіз, бірақ әртүрлі схемалар кеңінен қолданылады, олардың кейбірін төменде қарастырамыз. Тақ ретті сиқырлы квадраттарды 17 ғасырдағы француз геометрінің әдісімен салуға болады. А. де ла Любера. Бұл әдісті 5-ші ретті квадраттың мысалы арқылы қарастырайық (4-сурет). 1 саны жоғарғы жолдың орталық ұяшығына қойылады. Барлық натурал сандар циклдік түрде төменнен жоғарыға қарай диагональ ұяшықтарда оңнан солға қарай натурал ретпен орналасады. Шаршының жоғарғы жиегіне жеткен соң (1-ші нөмірдегідей) біз келесі бағанның төменгі ұяшығынан бастап диагональды толтыруды жалғастырамыз. Шаршының оң жақ шетіне (3 саны) жеткенде, біз жоғарыдағы жолдағы сол ұяшықтан келетін диагоналды толтыруды жалғастырамыз. Толтырылған ұяшыққа (5-нөмір) немесе бұрышқа (15-нөмір) жеткеннен кейін траектория бір ұяшыққа түседі, содан кейін толтыру процесі жалғасады.

Ф.де ла Хирдің (1640-1718) әдісі екі түпнұсқа квадратқа негізделген. Суретте. 5-суретте бұл әдіс 5-ші ретті квадратты салу үшін қалай қолданылатыны көрсетілген. 1-ден 5-ке дейінгі сандар бірінші квадраттың ұяшығына енгізіледі, осылайша 3 саны оңға қарай негізгі диагональдың ұяшықтарында қайталанады және бір қатарда немесе бір қатарда бірде-бір сан екі рет пайда болмайды. баған. Біз 0, 5, 10, 15, 20 сандарымен де солай істейміз, жалғыз айырмашылығы, 10 саны енді жоғарыдан төмен қарай өтетін негізгі диагональдың ұяшықтарында қайталанады (5-сурет, б). Осы екі квадраттың ұяшықтары бойынша қосындысы (5в-сурет) сиқырлы шаршыны құрайды. Бұл әдіс жұп ретті квадраттарды салу үшін де қолданылады.

Егер сіз m ретті және n ретті квадраттарды салуды білсеңіз, онда mґn ретті квадратты салуға болады. Бұл әдістің мәні күріште көрсетілген. 6. Мұнда m = 3 және n = 3. 3-ші ретті үлкенірек шаршы (сандар жай сандармен белгіленген) де ла Лубер әдісі арқылы тұрғызылады. 1ў саны бар ұяшыққа (жоғарғы жолдың орталық ұяшығы) 1-ден 9-ға дейінгі сандардан 3-ші ретті квадрат сәйкес келеді, сонымен қатар де ла Люберт әдісімен салынған. 2ў саны бар ұяшыққа (төменгі жолдың оң жағында) 10-нан 18-ге дейінгі сандары бар 3-ші ретті квадрат сәйкес келеді; 3ў саны бар ұяшықта - 19-дан 27-ге дейінгі сандардың квадраты және т.б. Нәтижесінде біз 9 ретті квадрат аламыз. Мұндай квадраттар құрама деп аталады.

Collier энциклопедиясы. - Ашық қоғам. 2000 .

Басқа сөздіктерде «СИҚЫРЛЫ Квадрат» деген не екенін қараңыз:

Әрбір баған, әр жол және екі үлкен диагональ үшін бірдей санға дейін қосылатын нәтиже ұяшықтарына алғашқы n2 натурал сандар жазылған бағандар мен жолдардың n санына бөлінген шаршы... Үлкен энциклопедиялық сөздік

СИқырлы шаршы, ерекше сиқырлы жағдайды бекітетін, ұяшықтарға бөлінген және белгілі бір жолмен сандар немесе әріптермен толтырылған шаршы МАТРИКС. Ең көп таралған әріп квадраты - SATOR, AREPO,... ... сөздерінен жасалған. Ғылыми-техникалық энциклопедиялық сөздік

Әрбір баған, әр жол және екі үлкен диагональ үшін бірдей санға қосылатын нәтиже ұяшықтарына 1-ден n2-ге дейінгі натурал сандар жазылған бағандар мен жолдардың n санына бөлінген шаршы. Суретте. М.қ.-ның мысалы ... ... Жаратылыстану. энциклопедиялық сөздік

Сиқырлы немесе сиқырлы шаршы - әр жолдағы, әр бағандағы және екі диагональдағы сандардың қосындысы бірдей болатындай сандармен толтырылған шаршы кесте. Егер шаршыдағы сандардың қосындылары тек жолдар мен бағандарда тең болса, онда ... Wikipedia

Әрбір баған, әр жол және екі үлкен диагональ үшін бірдей санға дейін қосылатын нәтиже ұяшықтарына алғашқы n2 натурал сандар жазылған бағандар мен жолдардың n санына бөлінген шаршы. Суретте мысал келтірілген....... энциклопедиялық сөздік

Әрбір бағанға, әр жолға және екі үлкен диагоналға бірдей санды қосатын нәтиже ұяшықтарына алғашқы n2 натурал сандар жазылған бағандар мен жолдардың n санына бөлінген шаршы [тең... ... Ұлы Совет энциклопедиясы

Келесі шарттарды қанағаттандыратын 1-ден n2-ге дейінгі бүтін сандардың квадраттық кестесі: мұндағы s=n(n2+1)/2. Көбірек жалпы математикалық теңдеулер де қарастырылады, онда кез келген а санының (a, b) n модулі (цифрлары... Математикалық энциклопедия

Кітап Бөлімдерге бөлінген шаршы, олардың әрқайсысында көлденең, тік немесе диагональ бойынша басқалармен бірге бірдей санға дейін қосылатын сан бар. BTS, 512… Орыс сөздерінің үлкен сөздігі

- (грекше магикос, магос сиқыршы деген сөз). Сиқырлы, сиқырмен байланысты. Орыс тіліне енген шетел сөздерінің сөздігі. Чудинов А.Н., 1910. СИҚЫРЛЫ сиқыр. Орыс тіліне енген шетел сөздерінің сөздігі. Павленков Ф., 1907 ... Орыс тілінің шетел сөздерінің сөздігі

Бұл сиқырлы шаршының үш өлшемді нұсқасы. Дәстүрлі (классикалық) n ретті сиқырлы текше 1-ден n3-ке дейінгі әртүрлі натурал сандармен толтырылған n×n×n өлшемдерінің текшесі болып табылады, осылайша кез келген 3n2 жолындағы сандардың қосындысы ... ... Wikipedia

Кітаптар

• Сиқырлы алаң, Ирина Бьорно, «Сиқырлы алаң» - бұл сиқырлы реализм стилінде жазылған әңгімелер мен әңгімелер жинағы, мұнда шындық сиқыр мен қиялмен тығыз астасып, жаңа, сиқырлы стиль қалыптастырады -... Санат: Қорқыныш пен жұмбақ Баспагер: Publishing Solutions, электрондық кітап(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Кіріспе

Антикалық дәуірдің ұлы ғалымдары сандық қатынастарды дүниенің болмысының негізі деп санаған. Сондықтан сандар мен олардың өзара қарым-қатынасы адамзаттың ең үлкен ойларын жаулап алды. Бенджамин Франклин: «Жас кезімде мен бос уақытымда сиқырлы шаршылар жасап, көңіл көтеретінмін» деп жазды. Сиқырлы шаршы - әр көлденең жолдағы, әр тік жолдағы және әр диагональ бойындағы сандардың қосындысы бірдей болатын шаршы.

Кейбір көрнекті математиктер өз жұмыстарын сиқырлы квадраттарға арнады және олар алған нәтижелер топтардың, құрылымдардың, латын квадраттарының, анықтауыштардың, бөлімдердің, матрицалардың, салыстырулардың және басқа да математиканың тривиальды емес салаларының дамуына әсер етті.

Бұл эссенің мақсаты әртүрлі сиқырлы шаршылармен, латын шаршыларымен танысу және олардың қолданылу салаларын зерттеу.

Сиқырлы шаршылар

Барлық мүмкін болатын сиқырлы квадраттардың толық сипаттамасы осы күнге дейін алынған жоқ. Сиқырлы 2х2 шаршылар жоқ. Бір 3х3 сиқырлы шаршы бар, өйткені одан басқа 3х3 сиқырлы квадраттар орталықты айналдыру арқылы немесе оның симметрия осінің біреуін шағылыстыру арқылы алынады.

3х3 сиқырлы шаршыда 1-ден 9-ға дейінгі натурал сандарды орналастырудың 8 түрлі жолы бар:

• 9+5+1
• 9+4+2
• 8+6+2
• 8+5+2
• 8+4+3
• 7+6+2
• 7+5+3
• 6+5+4

3х3 сиқырлы шаршыда сиқырлы тұрақты 15 8 бағыттағы үш санның қосындысына тең болуы керек: 3 жол, 3 баған және 2 диагональ. Орталықтағы сан 1 жолға, 1 бағанға және 2 диагональға жататындықтан, ол сиқырлы тұрақтыға қосылатын 8 үштіктің 4-іне кіреді. Ондай бір ғана сан бар: ол 5. Сондықтан 3х3 сиқырлы шаршының ортасындағы сан бұрыннан белгілі: ол 5.

9 санын қарастырайық. Ол тек 2 үштік санға кіреді. Біз оны бұрышқа қоя алмаймыз, өйткені әрбір бұрыштық ұяшық 3 үштікке жатады: жол, баған және диагональ. Демек, 9 саны оның ортасындағы шаршының бүйіріне іргелес ұяшықта болуы керек. Шаршы симметриялы болғандықтан, қай жағын таңдағанымыз маңызды емес, сондықтан орталық ұяшықтағы 5 санының үстіне 9 деп жазамыз. Жоғарғы жолдағы тоғыздың екі жағына біз тек 2 және 4 сандарын жаза аламыз. Бұл екі санның қайсысы жоғарғы оң жақ бұрышта, ал қайсысы сол жақта болатыны маңызды емес, өйткені сандардың бір орналасуы кіреді. шағылысқан кезде басқа. Қалған ұяшықтар автоматты түрде толтырылады. Біздің 3х3 сиқырлы шаршының қарапайым құрылысы оның бірегейлігін дәлелдейді.

Мұндай сиқырлы шаршы ежелгі қытайлықтар арасында үлкен мәнге ие символ болды. Ортадағы 5 саны жерді білдіреді, ал оның айналасында қатаң теңгерімде от (2 және 7), су (1 және 6),

ағаш (3 және 8), металл (4 және 9).

Шаршы өлшемі (ұяшықтардың саны) ұлғайған сайын, сол өлшемдегі мүмкін сиқырлы квадраттардың саны тез өседі. 4 ретті 880 сиқырлы шаршы және 5 ретті 275 305 224 сиқырлы шаршы бар. Оның үстіне 5х5 шаршы орта ғасырларда белгілі болған. Мұсылмандар, мысалы, ортасында 1 саны бар мұндай шаршыны Алланың бірлігінің белгісі деп санаған.

Пифагордың сиқырлы алаңы

Заттардың мәніне сандық қатынасты негіз деп жариялаған діни-философиялық ілімнің негізін салған ұлы ғалым Пифагор адамның мәні де санда – туған күнінде жатыр деп есептеген. Сондықтан, Пифагордың сиқырлы алаңының көмегімен сіз адамның мінезін, денсаулығы мен оның әлеуетін біле аласыз, артықшылықтары мен кемшіліктерін аша аласыз және сол арқылы оны жақсарту үшін не істеу керектігін анықтай аласыз.

Пифагордың сиқырлы квадраты дегеніміз не және оның көрсеткіштері қалай есептелетінін түсіну үшін мен оны өз мысалмен есептеймін. Ал есептеу нәтижелері нақты адамның шынайы мінезіне шынымен сәйкес келетініне көз жеткізу үшін алдымен оны өзім тексеремін. Ол үшін мен туған күнім бойынша есептеймін. Сонымен, менің туған күнім 20.08.1986. Күннің, айдың және туған жылының сандарын қосайық (нөлдерді қоспағанда): 2+8+1+9+8+6=34. Әрі қарай нәтиженің сандарын қосамыз: 3+4=7. Содан кейін бірінші сомадан туған күннің екі еселенген бірінші санын алып тастаймыз: 34-4=30. Және тағы да соңғы санның цифрларын қосамыз:

3+0=3. Соңғы толықтыруларды жасау қалды - 1-ші және 3-ші және 2-ші және 4-ші қосындылар: 34+30=64, 7+3=10. Біз 20.08.1986,34,7,30, 64,10 сандарын алдық.

және осы сандардың барлығы 1-ұяшыққа, екеуі 2-ұяшыққа және т.б. болатындай сиқырлы шаршы жасаңыз. Нөлдер есепке алынбайды. Нәтижесінде менің шаршы келесідей болады:

Шаршы ұяшықтар мынаны білдіреді:

1-жасуша – шешім, ерік, табандылық, өзімшілдік.

• 1 - толық эгоистер, кез келген жағдайдан максималды пайда алуға тырысады.
• 11 - эгоистке жақын кейіпкер.
• 111 - «алтын орта». Мінезі сабырлы, икемді, көпшіл.
• 1111 - мінезі күшті, ерік-жігері күшті адамдар. Мұндай мінезді ерлер әскери мамандардың рөліне сай келеді, ал әйелдер отбасын жұдырықтасады.
• 11111 - диктатор, тиран.
• 111111 - мүмкін емес нәрсені жасауға қабілетті қатыгез адам; көбінесе қандай да бір идеяның ықпалына түседі.

2-жасуша – биоэнергия, эмоционалдылық, шынайылық, сезімталдық. Екі саны биоэнергия деңгейін анықтайды.

Екеуі жоқ – биоэнергияны қарқынды жинау үшін арна ашық. Бұл адамдар табиғатынан тәрбиелі, текті жандар.

• 2 - биоэнергетикалық тұрғыдан қарапайым адамдар. Мұндай адамдар атмосфераның өзгеруіне өте сезімтал.
• 22 – биоэнергияның салыстырмалы үлкен қоры. Мұндай адамдардан жақсы дәрігер, медбике, дәрігер болады. Мұндай адамдардың отбасында жүйке күйзелісіне ұшырағандар сирек кездеседі.
• 222 - бұл психиканың белгісі.

3-ұяшық – дәлдік, нақтылық, ұйымшылдық, ұқыптылық, ұқыптылық, тазалық, сараңдық, тұрақты «әділдікті қалпына келтіруге» бейімділік.

Үштіктің көбеюі осы қасиеттердің барлығын арттырады. Олардың көмегімен адамның ғылымдардан, әсіресе нақты ғылымдардан ізденуінің мәні бар. Үштіктің басым болуы педанттарды, істегі адамдарды тудырады.

4-жасуша – денсаулық. Бұл экгрегормен, яғни бабалар дамытқан және адамды қорғайтын энергетикалық кеңістікпен байланысты. Төрттіктің болмауы адамның ауру екенін көрсетеді.

• 4 - денсаулығы орташа, денені қатайту керек. Жүзу және жүгіру ұсынылатын спорт түрі.
• 44 - жақсы денсаулық.
• 444 және одан да көп - денсаулығы өте жақсы адамдар.

5-клетка - түйсік, көріпкелдік, мұндай адамдарда үш бестік деңгейінде көріне бастайды.

Бестік жоқ - кеңістікпен байланыс арнасы жабық. Бұл адамдар жиі

қателеседі.

• 5 - байланыс арнасы ашық. Бұл адамдар жағдайды дұрыс есептеп, оны барынша пайдалана алады.
• 55 - жоғары дамыған интуиция. Олар «пайғамбарлық армандарды» көргенде, олар оқиғалардың барысын болжай алады. Оларға лайықты мамандықтар – заңгер, тергеуші.
• 555 - дерлік көріпкел.
• 5555 - көріпкелдер.

6-ұяшық - негізділік, материалдылық, есептеу, дүниені сандық зерттеуге бейімділік және сапалық секірістерге, тіпті рухани кереметтерге сенімсіздік.

Алтаулар жоқ - бұл адамдар физикалық еңбекті қажет етеді, бірақ әдетте олар оны ұнатпайды. Олар ерекше қиялға, қиялға және көркемдік талғамға ие. Табиғаты нәзік болса да, олар әрекет етуге қабілетті.

• 6 - шығармашылықпен немесе нақты ғылымдармен айналыса алады, бірақ физикалық еңбек өмір сүрудің алғы шарты болып табылады.
• 66 - адамдар өте негізді, олар үшін міндетті болмаса да, физикалық еңбекке тартылады; Ақыл-ой белсенділігі немесе көркемдік ізденіс қажет.
• 666 - Шайтанның белгісі, ерекше және қорқынышты белгі. Бұл адамдар жоғары темпераментке ие, сүйкімді және әрқашан қоғамның назар орталығына айналады.
• 6666 - бұл адамдар өздерінің бұрынғы инкарнацияларында тым көп негізге ие болды, олар өте көп жұмыс істеді және өз өмірлерін жұмыссыз елестете алмайды. Егер олардың квадраты болса

Тоғыздар, олар міндетті түрде ақыл-ой қызметімен айналысып, интеллектін дамытып, ең болмағанда жоғары білім алуы керек.

7 ұяшық – жеті саны дарындылық өлшемін анықтайды.

• 7 - олар неғұрлым көп жұмыс істесе, соғұрлым олар кейінірек алады.
• 77 - өте дарынды, музыкалық адамдар, көркемдік талғамы нәзік, бейнелеу өнеріне бейім болуы мүмкін.
• 777 - бұл адамдар, әдетте, қысқа уақытқа Жерге келеді. Олар мейірімді, сабырлы және кез келген әділетсіздікке сезімтал. Олар сезімтал, армандағанды ​​ұнатады және әрқашан шындықты сезіне бермейді.
• 7777 - періштенің белгісі. Бұл белгі бар адамдар нәресте кезінде өледі, ал егер олар өмір сүрсе, олардың өміріне үнемі қауіп төнеді.

8 ұяшық – карма, парыз, міндет, жауапкершілік. Сегіздік саны міндет сезімін анықтайды.

Сегіздік жоқ - бұл адамдарда парыз сезімі толық дерлік жоқ.

• 8 - жауапты, саналы, нақты мінездер.
• 88 - бұл адамдарда борыш сезімі дамыған, олар әрқашан басқаларға, әсіресе әлсіздерге, ауруға және жалғыздыққа көмектесуге ұмтылуымен ерекшеленеді.
• 888 – үлкен парыздың белгісі, халыққа қызмет етудің белгісі. Үш сегіздік бар сызғыш керемет нәтижелерге жетеді.
• 8888 - бұл адамдар парапсихологиялық қабілеттерге және нақты ғылымдарға ерекше сезімталдыққа ие. Олар үшін табиғаттан тыс жолдар ашық.

9-ұяшық – ақыл, даналық. Тоғыздың болмауы ақыл-ой қабілеттерінің өте шектеулі екендігінің дәлелі.

• 9 - бұл адамдар өздерінің интеллектінің жетіспеушілігін толтыру үшін өмір бойы жұмыс істеуі керек.
• 99 - бұл адамдар туғаннан ақылды. Олар әрқашан оқуға құлықсыз, өйткені білім оларға оңай келеді. Олар ирониялық реңктері бар әзіл сезіміне ие және тәуелсіз.
• 999 - өте ақылды. Оқуға ешқандай күш жұмсалмайды. Керемет сұхбаттасушылар.
• 9999 - бұл адамдарға шындық ашылды. Егер оларда интуиция дамыған болса, онда олардың кез келген әрекетінде сәтсіздікке ұшырауға кепілдік беріледі. Осының бәрімен олар әдетте өте жағымды, өйткені олардың өткір ақыл-ойы оларды дөрекі, мейірімсіз және қатыгез етеді.

Сонымен, Пифагордың сиқырлы шаршысын құрастырып, оның ұяшықтарына кіретін сандардың барлық комбинацияларының мағынасын біле отырып, сіз табиғат-ана берген табиғатыңыздың қасиеттерін жеткілікті түрде бағалай аласыз.

Латын шаршылары

Математиктер негізінен сиқырлы квадраттарға қызығушылық танытқанына қарамастан, латын квадраттары ғылым мен техникада ең көп қолдануды тапты.

Латын шаршысы – 1, 2,..., n сандары жазылған және осы сандар әр жолда және әрбір бағанда бір рет шығатындай етіп жазылған nxn ұяшықтарының квадраты. 3-суретте осындай екі 4х4 шаршы көрсетілген. Олардың қызықты ерекшелігі бар: егер бір шаршы екіншісінің үстіне қойылса, алынған сандардың барлық жұптары әртүрлі болып шығады. Латын квадраттарының мұндай жұптары ортогональды деп аталады.

Ортогональды латын квадраттарын табу мәселесін алғаш рет Л.Эйлер қойған және осындай көңілді тұжырымда: «36 офицердің арасында ланцерлер, драгундар, гусарлар, аспаншылар, атты гвардияшылар мен гранаташылар саны бірдей, сонымен қатар генералдардың, полковниктердің, майорлардың, капитандардың, лейтенанттардың және лейтенанттардың тең саны және әрбір әскери бөлім алты дәрежедегі офицерлерден тұрады. Кез келген бағанда және кез келген шенде барлық дәрежедегі офицерлер болуы үшін барлық офицерлерді 6х6 шаршыға тізіп қоюға бола ма?»

Эйлер бұл мәселенің шешімін таба алмады. 1901 жылы мұндай шешімнің жоқтығы дәлелденді. Сонымен бірге Эйлер латын квадраттарының ортогональды жұптары n-дің барлық тақ мәндері үшін және n-дің 4-ке бөлінетін жұп мәндері үшін бар екенін дәлелдеді. Эйлер n-дің қалған мәндері үшін, яғни, 4-ке бөлгенде n саны 2 қалдығын берсе, ортогональ квадраттар болмайды. 1901 жылы 6 6 ортогональды квадраттардың жоқтығы дәлелденді және бұл Эйлер гипотезасының дұрыстығына сенімді арттырды. Алайда 1959 жылы компьютердің көмегімен 10х10, одан кейін 14х14, 18х18, 22х22 ортогональды квадраттар алғаш рет табылды. Содан кейін 6-дан басқа кез келген n үшін nxn ортогональды квадраттар бар екені көрсетілді.

Сиқырлы және латын квадраттары - жақын туыстар. Екі ортогональ шаршы болсын. Өлшемдері бірдей жаңа шаршының ұяшықтарын төмендегідей толтырайық. Онда n(a - 1)+b санын қоямыз, мұндағы a – бірінші квадраттың осындай ұяшығындағы сан, ал b – екінші квадраттың сол ұяшықтағы саны. Алынған шаршыда жолдар мен бағандардағы сандардың қосындысы (бірақ диагональдарда міндетті емес) бірдей болатынын түсіну оңай.

Латын квадраттарының теориясы математиканың өзінде де, оның қолдануларында да көптеген қосымшаларды тапты. Мысал келтірейік. Белгілі бір аумақта бидайдың 4 сортын шығымдылыққа сынағымыз келеді делік және егіннің сиректеу дәрежесінің әсері мен тыңайтқыштардың екі түрінің әсерін ескергіміз келеді. Ол үшін шаршы жерді 16 учаскеге бөлеміз (4-сурет). Бірінші бидай сортын төменгі көлденең жолаққа сәйкес, келесі сортты келесі жолаққа сәйкес төрт учаскеге және т.б. (суретте сорт түсімен көрсетілген) отырғызамыз. Бұл жағдайда дақылдардың максималды тығыздығы суреттің сол жақ тік бағанына сәйкес келетін учаскелерде болсын, ал оңға жылжытқанда азаяды (суретте бұл түс қарқындылығының төмендеуіне сәйкес келеді). Суреттің ұяшықтарындағы сандар мынаны білдірсін:

біріншісі-осы аумаққа жіберілген бірінші түрдегі тыңайтқыштың килограмм саны, екіншісі-екінші түрдегі тыңайтқыштың мөлшері. Бұл жағдайда сорттың да, егіс тығыздығының да, басқа компоненттердің де комбинацияларының барлық мүмкін жұптары жүзеге асырылатынын түсіну оңай: сорт пен бірінші типтегі тыңайтқыштар, бірінші және екінші типтегі тыңайтқыштар, тығыздық пен екінші типтегі тыңайтқыштар.

Ортогональды латын квадраттарын пайдалану ауыл шаруашылығы, физика, химия және технологиядағы эксперименттерде барлық мүмкін нұсқаларды ескеруге көмектеседі.

шаршы сиқырлы пифагор латын

Қорытынды

Бұл эссе математикадағы көптеген ұлы адамдардың санасын жаулап алған сұрақтардың бірі – сиқырлы шаршылардың даму тарихына қатысты мәселелерді қарастырады. Сиқырлы квадраттардың өзі ғылым мен техникада кең қолданыс таппағанына қарамастан, олар көптеген ерекше адамдарды математиканы оқуға шабыттандырды және математиканың басқа салаларының (топтар теориясы, анықтауыштар, матрицалар және т.б.) дамуына үлес қосты.

Сиқырлы квадраттардың ең жақын туыстары, латын квадраттары, математикада да, эксперименттердің нәтижелерін орнату және өңдеуде қолдануларында да көптеген қолданбаларды тапты. Аннотацияда мұндай экспериментті орнатудың мысалы келтірілген.

Аннотация сонымен қатар тарихи қызығушылық тудыратын және адамның психологиялық портретін салу үшін пайдалы болуы мүмкін Пифагор алаңы мәселесін талқылайды.

Әдебиеттер тізімі

• 1. Жас математиктің энциклопедиялық сөздігі. М., «Педагогика», 1989 ж.
• 2. М.Гарднер «Уақытқа саяхат», М., «Мир», 1990 ж.
• 3. Дене шынықтыру және спорт No10, 1998 ж