이 수수께끼는 인터넷을 통해 빠르게 퍼졌습니다. 수천 명의 사람들이 마방진이 어떻게 작동하는지 궁금해하기 시작했습니다. 오늘 당신은 마침내 답을 찾을 것입니다!
마법의 광장의 신비
사실, 이 수수께끼는 매우 간단하며 인간의 부주의를 염두에 두고 만들어졌습니다. 실제 예를 사용하여 매직 블랙 스퀘어가 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.
- 10에서 19까지의 숫자를 추측해 봅시다. 이제 이 숫자에서 구성 숫자를 빼겠습니다. 예를 들어 11이라고 가정해 보겠습니다. 11에서 하나를 빼고 또 하나를 뺍니다. 결과는 9입니다. 10에서 19까지 어떤 숫자를 선택하는지는 중요하지 않습니다. 계산 결과는 항상 9입니다. "Magic Square"의 숫자 9는 그림의 첫 번째 숫자에 해당합니다. 자세히 살펴보면 동일한 사진에 매우 많은 숫자가 할당되어 있음을 알 수 있습니다.
- 20에서 29 사이의 숫자를 선택하면 어떻게 되나요? 아마도 당신은 이미 그것을 스스로 추측했을 것입니다. 오른쪽! 계산 결과는 항상 18입니다. 숫자 18은 그림이 있는 대각선의 두 번째 위치에 해당합니다.
- 30에서 39 사이의 숫자를 취하면 이미 짐작할 수 있듯이 숫자 27이 나올 것입니다. 숫자 27은 또한 설명할 수 없는 "마법의 사각형"의 대각선에 있는 숫자에 해당합니다.
- 유사한 알고리즘은 40에서 49, 50에서 59 등의 모든 숫자에 적용됩니다.
즉, 어떤 숫자를 추측했는지는 중요하지 않습니다. "Magic Square"는 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 및 81 번호가 매겨진 셀에 다음이 있기 때문에 결과를 추측합니다. 실제로는 같은 기호입니다.
실제로 이 미스터리는 간단한 방정식을 사용하여 쉽게 설명할 수 있습니다.
- 두 자리 숫자를 상상해보십시오. 숫자에 상관없이 x*10+y로 표현할 수 있습니다. 10은 "x" 역할을 하고 단위는 "y" 역할을 합니다.
- 숨겨진 숫자에서 그것을 구성하는 숫자를 뺍니다. 방정식을 추가합니다: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
- 계산 결과 나오는 숫자는 반드시 표의 특정 기호를 가리켜야 합니다.
"x" 역할에 어떤 숫자가 있는지는 중요하지 않습니다. 어떤 식으로든 숫자가 9의 배수인 기호를 얻게 됩니다. 다른 숫자 아래에 하나의 기호가 있는지 확인하려면 표와 숫자 0,9,18,27,45,54,63,72,81 및 그 이후의 숫자를 살펴보십시오.
매직 스퀘어
중국은 마방진의 발상지로 간주됩니다. 중국에는 공간에 있는 각 요소의 색상, 모양 및 물리적 배치가 기의 흐름에 영향을 주어 기의 흐름을 늦추거나 방향을 바꾸거나 속도를 높이는 등 에너지 수준에 직접적인 영향을 미친다는 풍수의 가르침이 있습니다. 주민들의. 세계의 비밀을 배우기 위해 신들은 우 황제에게 가장 오래된 상징인 로슈 광장(로강)을 보냈습니다.
매직 스퀘어 로 슈
전설에 따르면 약 4000년 전, 폭풍우가 치는 루오강(Luo River)에서 거대한 거북이 슈(Shu)가 나타났습니다. 강에 제물을 바치는 사람들은 거북이를 보고 즉시 그것이 신임을 알아차렸습니다. 우 황제는 고대 현자들의 배려가 너무나 타당해 보였기 때문에 거북이의 형상을 종이에 불멸화하도록 명령하고 이를 인장으로 봉인했습니다. 그렇지 않았다면 우리가 이 사건에 대해 어떻게 알았겠습니까?
이 거북이는 등껍질에 이상한 점 무늬가 있어서 실제로 특별했습니다. 점들은 질서정연하게 표시되어 있으며, 이로 인해 고대 철학자들은 거북이 등껍질에 숫자가 있는 사각형이 중국 문명의 신화적인 창시자인 황디(Huang Di)가 편찬한 세계 지도인 공간의 모델 역할을 한다는 생각을 갖게 되었습니다. 실제로 정사각형의 열, 행 및 양쪽 대각선에 있는 숫자의 합은 M = 15와 동일하며 중국 태양년의 24주기 각각의 일수와 같습니다.
짝수와 홀수 번갈아 표시: 4개의 짝수(내림차순으로 아래에서 위로 쓰여짐)가 네 모퉁이에 있고, 5개의 홀수(오름차순으로 아래에서 위로 쓰여짐)가 사각형 중앙에 십자가를 형성합니다. 십자가의 다섯 가지 요소는 땅, 불, 금속, 물, 숲을 상징합니다. 중심으로 구분된 두 숫자의 합은 Ho Ti 숫자와 같습니다. 십.
Lo Shu의 짝수(지구 기호)는 거북이 몸에 검은 점 또는 음 기호의 형태로 표시되고 홀수(천국 기호)는 흰색 점 또는 양 기호의 형태로 표시되었습니다. 지구 1(또는 물)은 아래에 있고, 불 9(또는 하늘)는 위에 있습니다. 구도의 중앙에 위치한 숫자 5의 현대적인 이미지는 양과 음의 이중성을 나타내는 중국의 상징 때문일 가능성이 있습니다.
카주라호의 매직 스퀘어
동쪽 방
Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan 및 Tabaka의 이미지를 만든 Joseph Rudyard Kipling의 마법은 20세기 직전에 시작되었습니다. 반세기 전인 1838년 2월, Bengal Engineers의 젊은 영국 장교 T.S. 가마를 들고 있는 하인들의 대화에 관심이 있었던 베르트는 길을 벗어나 인도 정글에 있는 고대 사원을 우연히 발견했습니다.
비슈바나타 사원 계단에서 장교는 그 구조물의 오래됨을 증언하는 비문을 발견했습니다. 잠시 후 정력적인 소장 A. 커닝햄(A. Cunningham)은 카주라호에 대한 세부 계획을 세웠습니다. 발굴 작업이 시작되어 22개의 사원이 발견되었습니다. 사원은 Chandel 왕조의 Maharajas에 의해 세워졌습니다. 왕국이 무너진 후 정글은 천년 동안 건물을 삼켰습니다. 벌거벗은 신들과 여신들의 형상들 사이에서 발견된 4차 정사각형은 놀라웠습니다.
행, 열, 대각선을 따른 이 정사각형의 합은 34와 일치했을 뿐만 아니라 정사각형이 원환체로 접힐 때 형성된 깨진 대각선을 따라 양방향으로 일치했습니다. 이러한 숫자의 마법의 경우 이러한 사각형을 "악마"(또는 "pandiagonal"또는 "nasik")라고합니다.
물론 이것은 식민주의자보다 우월한 창작자들의 특이한 수학적 능력을 입증했습니다. 흰 속 투구를 쓴 사람들이 필연적으로 느꼈던 것.
뒤러의 마법의 광장
16세기 초 독일의 유명한 예술가인 알브레히트 뒤러(Albrecht Durer)는 유럽 미술사에서 최초의 4x4 마방진을 만들었습니다. 모든 행, 열, 대각선 및 놀랍게도 각 분기(중앙 사각형에서도)에 있는 숫자의 합과 모서리 숫자의 합은 34입니다. 맨 아래 행의 가운데 두 숫자는 날짜를 나타냅니다. 그림 창작 (1514). 첫 번째 열의 중간 사각형이 수정되었습니다. 숫자가 변형되었습니다.
오컬트 날개달린 쥐 토성이 있는 그림에서 마법의 사각형은 서로 반대되는 날개달린 지성인 목성으로 구성되어 있다. 정사각형은 중앙을 기준으로 대칭으로 위치한 두 숫자의 합이 17이기 때문에 대칭입니다. 체스 기사의 이동으로 얻은 4개의 숫자를 더하면 34가 됩니다. 흠잡을 데 없이 질서정연한 이 광장은 예술가를 사로잡은 우울함을 반영합니다.
아침 꿈.
비잔틴 작가이자 언어학자인 모쇼풀로스(Moschopoulos)는 유럽인들에게 놀라운 숫자 제곱을 소개했습니다. 그의 작품은 이 주제에 대한 특별 에세이였으며 작가의 마방진의 예를 포함하고 있습니다.
매직 스퀘어의 체계화
16세기 중반. 유럽에서는 마방진이 수학적 연구의 대상으로 등장한 작품이 등장했습니다. 그 뒤에는 특히 Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessey, Euler, Gauss와 같은 현대 과학의 창시자 인 유명한 수학자들의 다른 많은 작품이 이어졌습니다.
마법 같은, 또는 마방진은 각 행, 각 열 및 양쪽 대각선에 있는 숫자의 합이 동일하도록 n 2개의 숫자로 채워진 정사각형 테이블입니다. 고대인들도 예를 들어 색상에 의미를 부여했기 때문에 정의는 조건부입니다.
정상 1부터 n 2까지의 정수로 채워진 마방진을 마방진이라고 합니다. n = 1인 경우는 사소하지만 n = 2를 제외한 모든 차수에 대해 일반적인 마방진이 존재합니다. 사각형은 단일 숫자로 구성됩니다.
각 행, 열, 대각선에 있는 숫자의 합을 이라고 합니다. 마법 상수 M. 일반 마방진의 마법 상수는 n에만 의존하며 다음 공식으로 표현됩니다.
M = n (n 2 + 1) /2
마법 상수의 첫 번째 값은 표에 나와 있습니다.
정사각형 안의 숫자의 합이 행과 열에서만 같으면 이를이라고 합니다. 반마법적인. 마법의 광장이라고 불리는 연관또는 대칭, 정사각형 중심에 대해 대칭으로 위치한 두 숫자의 합이 n 2 + 1과 같은 경우.
3차 정규 정사각형은 단 하나뿐입니다. 많은 사람들이 그를 알고 있었습니다. Lo Shu 광장의 숫자 배열은 카발라의 영혼에 대한 상징적 명칭 및 인도 점성술의 표시와 유사합니다.
토성 광장이라고도 합니다. 중세의 일부 비밀 사회에서는 이를 "아홉 방의 카발라"로 보았습니다. 의심할 바 없이, 금지된 마법의 그늘은 그의 형상을 보존하는 데 많은 의미가 있었습니다.
그것은 종종 부적이나 점술 보조 수단으로 사용되는 중세 수비학에서 중요했습니다. 각 셀은 신비한 문자나 기타 기호에 해당합니다. 특정 라인을 따라 함께 읽으면 이 표지판은 신비로운 메시지를 전달합니다. 생년월일을 구성하는 숫자를 사각형의 셀에 배치한 다음 숫자의 의미와 위치에 따라 해독했습니다.
Pandiagonal 중에는 악마적인 마법 사각형이라고도 불리는 대칭형 사각형이 구별됩니다. 악마 같은 사각형은 회전하고, 반사하고, 행을 위에서 아래로 또는 그 반대로 재정렬하고, 오른쪽이나 왼쪽의 열을 지우고 반대쪽에 할당하면 악마 같은 상태로 유지됩니다. 총 5가지 변환이 있으며 후자의 다이어그램이 그림에 표시되어 있습니다.
회전 및 반사 정밀도를 갖춘 48개의 4x4 악마 같은 사각형이 있습니다. 토릭 평행 이동과 관련된 대칭도 고려하면 본질적으로 다른 4x4 악마 같은 사각형 세 개만 남습니다.
미국의 유명한 건축가 클로드 F. 브래그던(Claude F. Bragdon)은 셀을 짝수 또는 홀수 개의 마방진으로 파선으로 하나씩 연결하면 대부분의 경우 우아한 패턴을 얻을 수 있다는 사실을 발견했습니다. 그가 살았던 뉴욕 로체스터 상공회의소 천장의 환기 그릴에 대해 그가 발명한 패턴은 로슈 부적의 마법적인 파선으로 만들어졌습니다. Bragdon은 직물, 책 표지, 건축 장식 및 장식용 머리 장식의 디자인으로 "마법의 선"을 사용했습니다.
동일한 악마 같은 사각형의 모자이크를 배치하면(각 사각형은 이웃과 밀접하게 인접해야 함) 4x4 셀 그룹의 숫자가 악마 같은 사각형을 형성하는 쪽모이 세공 마루와 같은 것을 얻게 됩니다. 네 개의 셀에 있는 숫자는 수직, 수평, 대각선 등 위치에 상관없이 항상 정사각형의 상수를 더합니다. 현대 수학자들은 이러한 사각형을 "완벽하다"고 부릅니다.
라틴 스퀘어
라틴 방진은 n개의 기호가 모두 각 행과 열에(각각 한 번씩) 표시되는 방식으로 n개의 서로 다른 기호로 채워진 불규칙한 수학 사각형의 한 유형입니다.
모든 n에 대해 라틴 방진이 존재합니다. 모든 라틴 방진은 준그룹의 곱셈표(Cayley 테이블)입니다. "라틴 스퀘어"라는 이름은 표에서 숫자 대신 라틴 문자를 사용한 Leonhard Euler에서 유래되었습니다.
두 개의 라틴 사각형이 호출됩니다. 직교, 모든 순서쌍의 기호 (a,b)가 다른 경우, 여기서 a는 첫 번째 라틴 사각형의 일부 셀에 있는 기호이고 b는 두 번째 라틴 사각형의 동일한 셀에 있는 기호입니다.
직교 라틴 방진은 2와 6을 제외한 모든 차수에 대해 존재합니다. n이 소수의 거듭제곱인 경우 n-1 쌍의 직교 라틴 방진 세트가 있습니다. 라틴 사각형의 각 대각선에서 모든 요소가 다른 경우 이러한 라틴 사각형을 라틴 사각형이라고 합니다. 대각선. 직교 대각선 라틴 방진의 쌍은 2, 3, 6을 제외한 모든 차수에 대해 존재합니다. 라틴 방진은 행과 열에서 숫자가 반복되지 않기 때문에 스케줄링 문제에서 자주 발생합니다.
두 개의 직교 라틴 사각형의 요소 쌍으로 구성된 사각형을 호출합니다. 그리스-라틴 광장. 이러한 사각형은 종종 마방진을 구성하고 복잡한 일정 문제에 사용됩니다.
오일러는 그리스-라틴 정사각형을 연구하면서 2차 정사각형은 존재하지 않지만 3차, 4차, 5차 정사각형은 발견되었음을 증명했습니다. 그는 6차 정사각형을 하나도 찾지 못했습니다. 그는 4로 나누어 떨어지지 않는 짝수 제곱(즉, 6, 10, 14 등)은 없다는 가설을 세웠습니다. 1901년 가스통 테리는 무차별 대입을 통해 6차 질서에 대한 가설을 확인했습니다. 그러나 1959년에 E. T. Parker, R. C. Bowes 및 S. S. Shrickherd가 10차 Graeco-Latin 정사각형을 발견하여 이 가설을 반박했습니다.
폴리미노 아서 클라크
폴리오미노 - 복잡성 측면에서 확실히 가장 어려운 수학 사각형 범주에 속합니다. 이것은 공상 과학 작가 A. Clark이 그에 대해 쓴 방법입니다. 아래는 "Earthly Empire"라는 책에서 발췌 한 것입니다. 섬에 살고있는 Clark은 실론에 살았으며 사회와의 분리에 대한 그의 철학은 그 자체로 흥미롭고 소년의 할머니가 가르치는 오락에 관심을 갖게되어 우리에게 전달한 것이 분명합니다. 아마도 게임의 본질은 전달하지만 게임의 정신은 전달하지 않는 기존 체계화보다 이 생생한 설명을 선호하겠습니다.
"던컨, 너는 이제 충분히 컸으니 이 게임을 이해할 수 있을 것이다... 하지만 그것은 게임 그 이상이다." 할머니의 말과는 달리 던컨은 게임에 감명을 받지 못했습니다. 그렇다면 흰색 플라스틱 정사각형 5개로 무엇을 만들 수 있나요?
할머니는 계속 말했습니다. “우선 정사각형으로 얼마나 많은 패턴을 조합할 수 있는지 확인해야 해요.”
– 테이블 위에 누워야 하나요? – 던컨에게 물었다.
– 네, 만지고 누워야 해요. 한 사각형을 다른 사각형과 겹칠 수 없습니다.
Duncan은 사각형을 배치하기 시작했습니다.
"글쎄, 나는 그것들을 모두 일직선으로 놓을 수 있습니다. 이렇게... 그리고 두 조각을 재배열하여 문자 L을 얻을 수 있고... 그리고 다른 쪽 가장자리를 잡으면 문자를 얻을 수 있습니다." 유..."
소년은 신속하게 여섯 개의 조합을 만들었고, 그 다음에는 더 많은 조합을 만들었고 갑자기 기존 조합을 반복하고 있음을 발견했습니다.
-내가 바보일지도 모르지만 그게 전부입니다.
Duncan은 가장 단순한 숫자 인 십자가를 놓쳤습니다. 십자가는 다섯 번째 중앙의 측면에 4 개의 사각형을 배치하는 것으로 충분했습니다.
할머니는 “대부분의 사람들은 십자가부터 시작한다”며 “내 생각에는 네가 너무 성급하게 자신을 멍청하다고 선언한 것 같다”고 말했다. 생각해보세요. 다른 수치가 있을 수 있을까요?
집중적으로 사각형을 이동하면서 Duncan은 세 개의 인물을 더 찾은 다음 검색을 중단했습니다.
그는 “이제 확실히 끝났다”고 자신 있게 말했다.
– 그러한 인물에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?
할머니는 사각형을 살짝 움직여서 혹등고래 글자 F 모양으로 접었습니다.
- 그리고 여기 또 하나가 있습니다.
Duncan은 완전히 바보처럼 느껴졌고, 할머니의 말은 그의 부끄러운 영혼에 위안과 같았습니다.
– 당신은 정말 대단해요. 생각해 보세요. 제가 놓친 부분은 단 두 개뿐입니다. 그리고 숫자의 총 개수는 12개입니다. 그 이상도 그 이하도 아닙니다. 이제 당신은 그들 모두를 알고 있습니다. 영원을 찾으면 다른 영원을 찾을 수 없습니다.
할머니는 다섯 개의 흰색 사각형을 구석으로 쓸어 버리고 테이블 위에 밝고 다양한 색상의 플라스틱 조각 12개를 놓았습니다. 이것들은 똑같은 12개의 형상이었지만 완성된 형태였으며 각각 5개의 정사각형으로 구성되었습니다. Duncan은 이미 다른 인물이 실제로 존재하지 않는다는 데 동의할 준비가 되어 있었습니다.
그러나 할머니가 이러한 여러 가지 색상의 줄무늬를 배치했기 때문에 게임이 계속되고 Duncan이 또 다른 놀라움을 기다리고 있음을 의미합니다.
– 자, 던컨, 잘 들어보세요. 이 수치를 "펜타미노"라고 합니다. 이름은 "5"를 의미하는 그리스어 "penta"에서 유래되었습니다. 모든 도형은 5개의 동일한 정사각형으로 구성되어 있으므로 면적이 동일합니다. 12개의 숫자, 5개의 정사각형이 있으므로 전체 면적은 60개의 정사각형과 같습니다. 오른쪽?
- 흠 그렇군요.
- 더 들어보세요. 60은 여러 가지 방법으로 구성할 수 있는 멋진 어림수입니다. 가장 쉬운 방법은 10에 6을 곱하는 것입니다. 이 상자에는 다음과 같은 면적이 있습니다. 가로로 10개의 정사각형, 세로로 6개의 정사각형을 담을 수 있습니다. 그러므로 12개의 숫자가 모두 들어맞아야 합니다. 합성 그림 수수께끼처럼 간단합니다.
Duncan은 캐치를 예상했습니다. 할머니는 언어적, 수학적 역설을 좋아하셨고, 열 살 난 희생자가 그 역설을 모두 이해할 수는 없었습니다. 그러나 이번에는 역설이 없었습니다. 상자 바닥에는 60개의 정사각형이 늘어서 있었는데, 이는... 그만하세요! 면적은 면적이지만 도형은 모양이 다릅니다. 상자에 넣어보세요!
할머니는 펜토미노를 상자 바닥을 따라 슬프게 옮기는 모습을 보며 "이 일은 당신이 스스로 해결하도록 맡기겠습니다. 제 말을 믿으세요. 조립할 수 있습니다."라고 말했습니다.
곧 Duncan은 할머니의 말을 강하게 의심하기 시작했습니다. 그는 상자에 10개의 숫자를 쉽게 넣었고, 한 번은 11개의 숫자를 집어넣었습니다. 그러나 채워지지 않은 공간의 윤곽은 소년이 손에 들고 뒤집고 있던 열두 번째 인물의 윤곽과 일치하지 않았습니다. 십자가도 있었고 남은 모양도 알파벳 Z와 닮았는데...
30분쯤 더 지나자 던컨은 이미 절망에 빠졌습니다. 할머니는 컴퓨터와의 대화에 열중하시다가 가끔 “생각보다 쉽지 않구나”라고 말씀하시는 듯 관심을 가지고 바라보곤 했습니다.
열 살 때 Duncan은 눈에 띄게 완고했습니다. 그의 동료들 대부분은 오래 전에 시도를 포기했을 것입니다. (그는 불과 몇 년 뒤에야 할머니가 자신에게 심리 테스트를 우아하게 실시했다는 사실을 깨달았습니다.) Duncan은 도움 없이 거의 40분을 버텼습니다...
그런 다음 할머니는 컴퓨터에서 일어나 퍼즐 위로 몸을 굽혔습니다. 그녀의 손가락은 U, X, L 모양을 움직였습니다...
상자 밑바닥이 꽉 찼어요! 퍼즐의 모든 조각이 올바른 위치에 있었습니다.
– 물론 당신은 답을 미리 알고 있었죠! – 던컨은 기분이 상해서 말을 더듬었다.
- 답변? – 할머니가 물었습니다. "이 상자에 펜토미노를 몇 가지 방법으로 넣을 수 있다고 생각하세요?"
여기 함정이 있습니다. Duncan은 해결책을 찾지 못한 채 거의 한 시간 동안 이리저리 돌아다녔지만, 이 시간 동안 그는 적어도 100가지의 옵션을 시도했습니다. 그는 오직 한 가지 방법밖에 없다고 생각했습니다. 혹시... 12명쯤 될까요? 이상?
- 그럼 몇 가지 방법이 있을 수 있다고 생각하시나요? – 할머니가 다시 물으셨어요.
“스물.” 던컨은 이제 할머니가 신경쓰지 않으실 거라고 생각하며 무뚝뚝하게 말했다.
- 다시 시도하십시오.
던컨은 위험을 감지했습니다. 그 재미는 그가 생각했던 것보다 훨씬 더 교활한 것으로 판명되었고 소년은 현명하게 위험을 감수하지 않기로 결정했습니다.
“사실 나도 모르겠어요.” 그는 고개를 저으며 말했다.
"그리고 당신은 수용적인 소년입니다." 할머니가 다시 미소를 지었습니다. "직관은 위험한 안내자이지만 때로는 다른 방법이 없습니다." 기쁘게 해드릴 수 있습니다. 여기서 정답을 추측하는 것은 불가능합니다. 이 상자에 펜토미노를 넣는 방법은 2천 가지가 넘습니다. 더 정확하게는 이천 삼백 삼십구입니다. 그리고 이것에 대해 뭐라고 말합니까?
그의 할머니가 그를 속였을 가능성은 거의 없습니다. 그러나 Duncan은 해결책을 찾지 못해 너무 좌절해서 무뚝뚝하게 말했습니다.
- 난 믿지 않아!
헬렌은 짜증을 거의 나타내지 않았습니다. 던컨이 어떤 식으로든 그녀를 화나게 했을 때, 그녀는 차갑고 멀어졌습니다. 그런데 이제 할머니는 그냥 웃으며 컴퓨터 키보드를 두드렸다.
“여기를 보세요.” 그녀가 제안했습니다.
12개의 다양한 색상의 펜토미노 세트가 화면에 나타나 10x6 직사각형을 채웠습니다. 몇 초 후 다른 이미지로 대체되었으며, 그림의 위치가 다를 가능성이 높습니다(Duncan은 첫 번째 조합을 기억하지 못했기 때문에 확실히 말할 수 없었습니다). 곧 이미지가 다시 바뀌었고, 또 다시 바뀌었고... 할머니가 프로그램을 중단할 때까지 이런 일이 계속되었습니다.
할머니는 "빠른 속도에서도 컴퓨터가 모든 방법을 수행하는 데 5시간이 걸립니다. 내 말을 믿으세요. 모두 다릅니다."라고 할머니는 설명했습니다. 컴퓨터가 아니었다면 사람들이 일반적인 옵션 열거를 통해 모든 방법을 찾았을 것입니다.
던컨은 믿을 수 없을 정도로 단순한 열두 인물을 오랫동안 바라보았습니다. 그는 할머니의 말씀을 천천히 소화했습니다. 이것은 그의 생애 최초의 수학적 계시였습니다. 그가 그토록 성급하게 평범한 아이들의 게임이라고 여겼던 것이 갑자기 그 앞에 끝없는 길과 지평선이 펼쳐지기 시작했습니다. 비록 가장 재능 있는 열 살짜리 아이조차도 이 우주의 무한함을 거의 느낄 수 없을지라도.
그러나 Duncan의 기쁨과 경외감은 수동적이었습니다. 지적 즐거움의 진정한 폭발은 나중에 그가 독립적으로 펜토미노를 배치하는 첫 번째 방법을 발견했을 때 일어났습니다. 몇 주 동안 Duncan은 어디든 플라스틱 상자를 가지고 다녔습니다. 그는 여가 시간을 펜토미노에만 보냈습니다. 그 수치는 Duncan의 개인적인 친구가 될 것입니다. 그는 어떤 경우에는 유사성이 먼 것 이상이었지만 비슷한 글자로 그들을 불렀습니다. 다섯 개의 숫자(F, I, L, P, N)는 일관성이 없었지만 나머지 7개는 라틴 알파벳의 순서인 T, U, V, W, X, Y, Z를 반복했습니다.
어느 날, 결코 반복되지 않는 기하학적 황홀 상태나 기하학적 엑스터시 상태에서 Duncan은 한 시간도 채 안 되어 다섯 가지 스타일링 옵션을 찾아냈습니다. 아마도 뉴턴, 아인슈타인, 첸 추(Chen Tzu)조차도 진실의 순간에 던컨 매켄지만큼 수학의 신들과 더 밀접하게 연관되어 있다고 느끼지 않았을 것입니다.
그는 곧 할머니의 지시 없이 스스로 펜토미노를 변의 크기가 다른 직사각형에 배치할 수 있다는 것을 깨달았습니다. 아주 쉽게 Duncan은 5 x 12 및 4 x 15 직사각형에 대한 몇 가지 옵션을 찾았습니다. 그런 다음 Duncan은 3 x 20의 더 길고 좁은 직사각형에 12개의 숫자를 맞추려고 일주일 내내 고생했습니다. 계속해서 그는 위험한 공간을 채우기 시작했고 ... 직사각형에 구멍을 뚫고 "추가" 모양을 만듭니다.
충격에 빠진 던컨은 할머니를 방문했는데, 그곳에서 새로운 놀라움이 그를 기다리고 있었습니다.
헬렌은 "당신의 실험이 기쁘다"며 "모든 가능성을 탐색하고 일반적인 패턴을 도출하려고 노력했다"고 말했다. 이것이 수학자들이 늘 하는 일이다. 하지만 당신은 틀렸습니다. 3x20 직사각형에 대한 솔루션이 존재합니다. 두 개밖에 없고, 하나를 찾으면 두 번째도 찾을 수 있을 것이다.
할머니의 칭찬에 영감을 받아 Duncan은 새로운 활력으로 "펜토미노 사냥"을 계속했습니다. 일주일이 지나자 그는 자신이 자신의 어깨에 얼마나 견딜 수 없는 짐을 지웠는지 이해하기 시작했습니다. 12개의 숫자를 배열할 수 있는 방법의 수는 던컨에게 정말 놀라운 일이었습니다. 게다가 각 피규어에는 네 가지 포지션이 있었습니다!
그리고 다시 그는 할머니에게 와서 자신의 모든 어려움을 이야기했습니다. 3 x 20 직사각형에 대한 옵션이 두 개뿐이라면 해당 옵션을 찾는 데 얼마나 걸리나요?
"원하시면 대답해 드리겠습니다." 할머니가 말했습니다. "당신이 두뇌 없는 컴퓨터처럼 행동하여 간단한 조합 검색을 하고 각 조합에 1초를 소비한다면..." 할머니는 의도적으로 잠시 멈췄습니다. “600만 년 이상이 필요할 것입니다. 예, 600만 년 이상이 필요할 것입니다.
지상 또는 타이타닉? 던컨의 마음 속에 이 질문이 즉시 떠올랐습니다. 하지만 차이점은 무엇입니까?
할머니는 "하지만 당신은 두뇌 없는 컴퓨터와는 다르다"며 "분명히 부적합한 조합이 바로 눈에 띄기 때문에 확인하는 데 시간을 낭비할 필요가 없다"고 말했다. 다시 시도하십시오.
Duncan은 이미 성공에 대한 열정과 믿음 없이 순종했습니다. 그러다가 그의 마음속에 기발한 아이디어가 떠올랐다.
칼은 즉시 펜토미노에 관심을 갖고 도전을 받아들였습니다. 그는 던컨에게서 피규어가 담긴 상자를 가져가 몇 시간 동안 사라졌습니다.
칼이 그에게 전화를 걸었을 때, 그의 친구는 다소 당황한 표정을 지었습니다.
– 이 문제에 정말 해결책이 있다고 확신하시나요? - 그는 물었다.
- 물론이죠. 두 가지가 있습니다. 정말 하나도 못 찾았나요? 나는 당신이 수학을 잘한다고 생각했어요.
"상상해 보세요. 제가 알아낼 수 있기 때문에 귀하의 작업에 얼마나 많은 작업이 필요한지 알 수 있습니다." 우리는 백만억 개의 가능한 조합을 확인해야 합니다.
– 그렇게 많은 사람이 있다는 것을 어떻게 알았나요? – Duncan은 적어도 친구가 혼란스러워서 머리를 긁게 만든 것을 기쁘게 생각하며 물었습니다.
칼은 도표와 숫자로 가득 찬 종이를 옆으로 쳐다보았습니다.
– 허용되지 않는 조합을 제외하고 대칭과 회전 가능성을 고려하면... 계승을 얻습니다... 총 순열 수... 여전히 이해하지 못할 것입니다. 전화번호 자체를 보여드리는 게 좋을 것 같아요.
그는 또 다른 종이를 카메라로 가져왔는데, 그 종이에는 인상적인 일련의 숫자가 매우 자세하게 묘사되어 있었습니다.
1 004 539 160 000 000.
Duncan은 계승에 대해 아무것도 몰랐지만 Karl의 계산이 정확하다는 점에는 의심의 여지가 없었습니다. 그는 긴 숫자를 정말 좋아했습니다.
“그럼 이 일을 포기할 건가요?” – 던컨이 조심스럽게 물었다.
- 또 뭐야! 단지 그것이 얼마나 어려운지 보여주고 싶었을 뿐입니다.
칼의 얼굴에는 암울한 결의가 표현되어 있었습니다. 이 말을 한 후 그는 기절했습니다.
다음날 Duncan은 소년 시절의 가장 큰 충격 중 하나를 경험했습니다. 칼의 초췌한 얼굴과 충혈된 눈이 화면에서 그를 바라보고 있었다. 잠 못 이루는 밤을 보낸 것 같았다.
"글쎄, 그게 다야." 그는 피곤하지만 의기양양한 목소리로 말했다.
던컨은 그의 눈을 거의 믿을 수 없었다. 그에게는 성공 가능성이 미미한 것 같았습니다. 그는 심지어 이것을 확신했습니다. 그리고 갑자기... 그의 앞에는 12개의 펜토미노 숫자로 가득 찬 3x20 직사각형이 놓여 있었습니다.
그런 다음 Karl은 중앙 부분을 그대로 유지하면서 끝 부분을 교체하고 돌렸습니다. 그의 손가락은 피로로 인해 살짝 떨렸다.
"이것이 두 번째 해결책입니다. 그리고 이제 저는 자러 가겠습니다."라고 그는 설명했습니다. 그럼 좋은 밤, 좋은 아침 - 당신이 원하는대로.
굴욕감을 느낀 던컨은 어두워진 화면을 오랫동안 바라보았다. 그는 칼이 퍼즐에 대한 해결책을 모색하면서 어느 방향으로 움직이는지 몰랐습니다. 그러나 그는 그의 친구가 승리했다는 것을 알았습니다. 모든 역경에 맞서.
그는 친구의 승리를 부러워하지 않았습니다. Duncan은 Karl을 너무 많이 사랑했고 항상 그의 성공에 기뻐했지만 그 자신은 종종 패배하는 편에 섰습니다. 하지만 오늘 내 친구의 승리에는 무언가 다른 점이 있었습니다. 거의 마법 같은 것이었습니다.
던컨은 처음으로 직관의 힘을 보았습니다. 그는 사실을 뛰어넘고 간섭하는 논리를 버리는 마음의 신비한 능력을 만났습니다. 몇 시간 만에 Karl은 가장 빠른 컴퓨터를 능가하는 엄청난 작업을 완료했습니다.
그 후 Duncan은 모든 사람이 그러한 능력을 가지고 있지만 극히 드물게 사용한다는 것을 알게되었습니다. 아마도 일생에 한 번일 것입니다. 칼에서 이 선물은 예외적인 발전을 이루었습니다... 그 순간부터 Duncan은 상식의 관점에서 가장 우스꽝스럽고 터무니없는 친구의 추론을 진지하게 받아들이기 시작했습니다.
이것은 20년 전의 일이었습니다. Duncan은 플라스틱 펜토미노 조각이 어디로 갔는지 기억하지 못했습니다. 아마도 그들은 칼과 함께 있었을 것입니다.
할머니의 선물은 이제 다양한 색상의 돌 조각 형태로 그들의 새로운 화신이 되었습니다. 놀랍고 부드러운 분홍색 화강암은 갈릴레오 언덕에서, 흑요석은 호이겐스 고원에서, 유사 대리석은 허셜 능선에서 나왔습니다. 그리고 그중에서도... 처음에 Duncan은 자신이 착각했다고 생각했습니다. 아니요, 그렇습니다. 타이탄에서 가장 희귀하고 신비로운 광물이었습니다. 우리 할머니는 티타나이트로 돌 펜토미노 십자가를 만드셨어요. 황금색 내포물이 포함된 이 청흑색 광물은 어떤 것과도 혼동될 수 없습니다. Duncan은 이전에 그렇게 큰 조각을 본 적이 없었고 그 가격이 얼마인지 짐작할 수 있었습니다.
"무슨 말을 해야 할지 모르겠어요. 정말 아름다워요."라고 그는 중얼거렸다. 이런 모습은 처음 봤습니다.
그는 할머니의 가느다란 어깨를 껴안더니 갑자기 어깨가 떨리는 것을 느꼈고 할머니는 그 떨림을 멈출 수가 없었다. 던컨은 그녀의 어깨가 떨리지 않을 때까지 그녀를 팔로 부드럽게 안아주었습니다. 그런 순간에는 말이 필요하지 않습니다. Duncan은 이전보다 더 명확하게 이해했습니다. 그는 Helen Mackenzie의 황폐한 삶의 마지막 사랑이었습니다. 그리고 이제 그는 그녀를 추억과 함께 홀로 남겨두고 날아갑니다.
대형 매직 스퀘어
13세기 중국 수학자 양휘(杨慧)는 파스칼의 삼각형(산술삼각형)을 잘 알고 있었습니다. 그는 4차 이상의 방정식을 푸는 방법에 대한 설명을 남겼으며 완전한 이차 방정식을 푸는 규칙, 합산 수열, 마방진을 만드는 방법이 있습니다. 그는 6차 마방진을 구성하는 데 성공했고 후자는 거의 연관성이 있는 것으로 나타났습니다(중앙에 반대되는 두 쌍의 숫자만 합이 37이 되지 않음).
벤저민 프랭클린(Benjamin Franklin)은 16x16 정사각형을 만들었는데, 모든 행, 열, 대각선의 합이 2056이라는 상수 외에 추가 속성이 하나 더 있습니다. 종이 한 장에서 4x4 정사각형을 잘라서 이 시트를 큰 정사각형 위에 배치하여 더 큰 정사각형의 16개 셀이 이 슬롯에 들어가도록 하면 어디에 놓든 이 슬롯에 나타나는 숫자의 합이 계산됩니다. , 동일합니다 - 2056.
이 사각형의 가장 중요한 점은 완벽한 마방진으로 변환하는 것이 매우 쉬운 반면, 완벽한 마방진을 만드는 것은 쉬운 일이 아니라는 것입니다. 프랭클린은 이 사각형을 "마법사들이 만든 모든 마법 사각형 중에서 가장 매력적인 마법"이라고 불렀습니다.
매직스퀘어,임의의 행, 임의의 열 및 두 개의 주 대각선 중 하나의 숫자의 합이 동일한 숫자인 정사각형 정수 표입니다.
마법의 광장은 고대 중국에서 유래되었습니다. 전설에 따르면 우 황제 통치 기간(기원전 2200년경)에 신성한 거북이가 황하(황하) 물에서 표면으로 떠올랐으며 그 껍질에 신비한 상형문자가 새겨져 있었습니다(그림 1, ㅏ), 이 기호는 lo-shu로 알려져 있으며 그림 1에 표시된 마방진과 동일합니다. 1, 비. 11세기에 그들은 인도와 16세기 일본에서 마방진에 대해 배웠습니다. 마방진에 관한 광범위한 문헌이 나와 있습니다. 유럽인들은 15세기에 마방진을 접하게 되었습니다. 비잔틴 작가 E. Moschopoulos. 유럽인이 발명한 최초의 정사각형은 A. Durer의 정사각형(그림 2)으로 간주되며 그의 유명한 판화에 묘사되어 있습니다. 우울 1. 조각 제작 날짜(1514년)는 맨 아래 줄의 두 중앙 셀에 있는 숫자로 표시됩니다. 다양한 신비로운 속성이 마법 사각형에 기인합니다. 16세기에 코넬리우스 하인리히 아그리파(Cornelius Heinrich Agrippa)는 7개 행성의 점성술과 관련된 3차, 4차, 5차, 6차, 7차, 8차, 9차 정사각형을 건설했습니다. 은에 새겨진 마법의 방진이 전염병을 막아준다고 믿었습니다. 오늘날에도 유럽 점쟁이의 속성 중 마방진을 볼 수 있습니다.
19세기와 20세기에. 마법방진에 대한 관심이 다시 활력을 되찾았습니다. 그들은 고등 대수학 및 연산 미적분학 방법을 사용하여 연구되기 시작했습니다.
마방진의 각 요소를 셀이라고 합니다. 한 변이 다음으로 구성된 정사각형 N세포, 포함 N셀이 2개이고 정사각형이라고 합니다. N-번째 주문. 대부분의 마방진은 첫 번째를 사용합니다. N연속된 자연수. 합집합 에스각 행, 각 열 및 대각선의 숫자를 제곱 상수라고 하며 다음과 같습니다. 에스 = N(N 2 + 1)/2. 다음이 입증되었습니다. N 3. 3차 정사각형의 경우 에스= 15, 4차 – 에스= 34, 5차 – 에스 = 65.
정사각형의 중심을 지나는 두 대각선을 주대각선이라고 합니다. 파선은 정사각형의 가장자리에 도달한 후 반대쪽 가장자리의 첫 번째 세그먼트와 평행하게 계속되는 대각선입니다(이러한 대각선은 그림 3의 음영 셀로 형성됩니다). 정사각형의 중심을 기준으로 대칭인 셀을 비대칭 대칭이라고 합니다. 예를 들어 이것은 세포입니다. ㅏ그리고 비그림에서 삼.
마방진을 만드는 규칙은 정사각형의 순서가 홀수인지, 홀수의 두 배인지, 홀수의 네 배인지에 따라 세 가지 범주로 나뉩니다. 다양한 방식이 널리 사용되지만 모든 정사각형을 구성하는 일반적인 방법은 알려져 있지 않으며 그 중 일부를 아래에서 살펴보겠습니다.
홀수 순서의 마방진은 17세기 프랑스 기하학의 방법을 사용하여 구성할 수 있습니다. A. 드 라 루베라. 5차 제곱의 예를 사용하여 이 방법을 고려해 보겠습니다(그림 4). 숫자 1은 맨 위 행의 중앙 셀에 배치됩니다. 모든 자연수는 오른쪽에서 왼쪽으로 대각선 셀에 아래에서 위로 순환하는 자연 순서로 배열됩니다. 사각형의 위쪽 가장자리에 도달한 후(숫자 1의 경우) 다음 열의 아래쪽 셀부터 대각선을 계속 채웁니다. 사각형의 오른쪽 가장자리(3번)에 도달한 후 위 줄의 왼쪽 셀에서 나오는 대각선을 계속 채웁니다. 채워진 셀(5번) 또는 모서리(15번)에 도달하면 궤도가 한 셀 아래로 내려가고 그 후에 채우기 프로세스가 계속됩니다.
F. de la Hire(1640~1718)의 방법은 두 개의 원래 정사각형을 기반으로 합니다. 그림에서. 그림 5는 이 방법을 사용하여 5차 정사각형을 구성하는 방법을 보여줍니다. 첫 번째 사각형의 셀에는 1부터 5까지의 숫자가 입력되어 오른쪽으로 위쪽으로 올라가는 주대각선의 셀에 숫자 3이 반복되고, 같은 행이나 같은 행에 단일 숫자가 두 번 나타나지 않습니다. 열. 우리는 숫자 0, 5, 10, 15, 20에 대해서도 동일한 작업을 수행합니다. 유일한 차이점은 숫자 10이 이제 주 대각선의 셀에서 위에서 아래로 반복된다는 점입니다(그림 5, 비). 이 두 정사각형의 셀별 합은 다음과 같습니다(그림 5, V)는 마방진을 형성합니다. 이 방법은 짝수차 정사각형을 구성하는 데에도 사용됩니다.
질서의 제곱을 구성하는 방법을 알고 있다면 중주문하고 N, 그러면 우리는 질서의 제곱을 구성할 수 있습니다 중ґ N. 이 방법의 본질은 그림 1에 나와 있습니다. 6. 여기 중= 3 그리고 N= 3. de la Loubert 방법을 사용하여 더 큰 3차 정사각형(소수로 표시된 숫자 포함)을 구성합니다. 숫자 1ў(맨 윗줄의 중앙 셀)이 있는 셀에는 de la Lubert 방법으로 생성된 1부터 9까지의 숫자 중 3차 정사각형이 맞습니다. 숫자 2ў(맨 아래 줄 오른쪽)가 있는 셀에는 10에서 18까지의 숫자가 포함된 3차 정사각형이 맞습니다. 숫자 3ў가있는 셀-19에서 27까지의 숫자 제곱 등 결과적으로 우리는 9차 정사각형을 얻습니다. 이러한 사각형을 합성이라고 합니다.
매직 스퀘어
임의의 행, 임의의 열 및 두 개의 주 대각선 중 하나의 숫자의 합이 동일한 숫자인 정사각형 정수 표입니다. 마법의 광장은 고대 중국에서 유래되었습니다. 전설에 따르면 우 황제 통치 기간 (기원전 2200 년경)에 황하 (황하) 물에서 신성한 거북이 표면이 나타났으며 그 껍질에는 신비한 상형 문자가 새겨 져 있으며 (그림 1a) 이러한 표시는 다음과 같습니다. lo-shu로 알려져 있으며 그림 1에 표시된 마방진과 동일합니다. 1, ㄴ. 11세기에 그들은 인도와 16세기 일본에서 마방진에 대해 배웠습니다. 마방진에 관한 광범위한 문헌이 나와 있습니다. 유럽인들은 15세기에 마방진을 접하게 되었습니다. 비잔틴 작가 E. Moschopoulos. 유럽인이 발명한 첫 번째 사각형은 A. Durer의 사각형(그림 2)으로 간주되며 그의 유명한 조각 Melancholy 1에 묘사되어 있습니다. 조각 제작 날짜(1514)는 중앙 두 개의 숫자로 표시됩니다. 최종선의 세포. 다양한 신비로운 속성이 마법 사각형에 기인합니다. 16세기에 코넬리우스 하인리히 아그리파(Cornelius Heinrich Agrippa)는 7개 행성의 점성술과 관련된 3차, 4차, 5차, 6차, 7차, 8차, 9차 정사각형을 건설했습니다. 은에 새겨진 마법의 방진이 전염병을 막아준다고 믿었습니다. 오늘날에도 유럽 점쟁이의 속성 중 마방진을 볼 수 있습니다.
19세기와 20세기에. 마법방진에 대한 관심이 다시 활력을 되찾았습니다. 그들은 고등 대수학 및 연산 미적분학 방법을 사용하여 연구되기 시작했습니다. 마방진의 각 요소를 셀이라고 합니다. 한 변이 n개의 셀로 구성된 정사각형은 n2개의 셀을 포함하며 이를 n차 정사각형이라고 합니다. 대부분의 마방진은 처음 n개의 연속된 자연수를 사용합니다. 각 행, 각 열 및 대각선에 있는 S 숫자의 합을 제곱 상수라고 하며 S = n(n2 + 1)/2와 같습니다. n = 3이라는 것이 입증되었습니다. 3차 정사각형의 경우 S = 15, 4차 - S = 34, 5차 - S = 65입니다. 정사각형의 중심을 통과하는 두 개의 대각선을 주대각선이라고 합니다. 파선은 정사각형의 가장자리에 도달한 후 반대쪽 가장자리의 첫 번째 세그먼트와 평행하게 계속되는 대각선입니다(이러한 대각선은 그림 3의 음영 셀로 형성됩니다). 정사각형의 중심을 기준으로 대칭인 셀을 비대칭 대칭이라고 합니다. 예를 들어, 그림 1의 셀 a와 b가 여기에 해당됩니다. 삼.
마방진을 만드는 규칙은 정사각형의 순서가 홀수인지, 홀수의 두 배인지, 홀수의 네 배인지에 따라 세 가지 범주로 나뉩니다. 다양한 방식이 널리 사용되지만 모든 정사각형을 구성하는 일반적인 방법은 알려져 있지 않으며 그 중 일부를 아래에서 살펴보겠습니다. 홀수 순서의 마방진은 17세기 프랑스 기하학의 방법을 사용하여 구성할 수 있습니다. A. 드 라 루베라. 5차 제곱의 예를 사용하여 이 방법을 고려해 보겠습니다(그림 4). 숫자 1은 맨 위 행의 중앙 셀에 배치됩니다. 모든 자연수는 오른쪽에서 왼쪽으로 대각선 셀에 아래에서 위로 순환하는 자연 순서로 배열됩니다. 사각형의 위쪽 가장자리에 도달한 후(숫자 1의 경우) 다음 열의 아래쪽 셀부터 대각선을 계속 채웁니다. 사각형의 오른쪽 가장자리(3번)에 도달한 후 위 줄의 왼쪽 셀에서 나오는 대각선을 계속 채웁니다. 채워진 셀(5번) 또는 모서리(15번)에 도달하면 궤도가 한 셀 아래로 내려가고 그 후에 채우기 프로세스가 계속됩니다.
F. de la Hire(1640-1718)의 방법은 두 개의 원래 정사각형을 기반으로 합니다. 그림에서. 그림 5는 이 방법을 사용하여 5차 정사각형을 구성하는 방법을 보여줍니다. 첫 번째 사각형의 셀에는 1부터 5까지의 숫자가 입력되어 오른쪽으로 위쪽으로 올라가는 주대각선의 셀에 숫자 3이 반복되고, 같은 행이나 같은 행에 단일 숫자가 두 번 나타나지 않습니다. 열. 숫자 0, 5, 10, 15, 20에 대해서도 동일한 작업을 수행합니다. 단, 이제 주 대각선 셀에서 숫자 10이 위에서 아래로 반복된다는 점만 다릅니다(그림 5, b). 이 두 사각형(그림 5c)의 셀별 합은 마방진을 형성합니다. 이 방법은 짝수차 정사각형을 구성하는 데에도 사용됩니다.
m차와 n차의 제곱을 구성하는 방법을 안다면 mґn차의 제곱을 구성할 수 있습니다. 이 방법의 본질은 그림 1에 나와 있습니다. 6. 여기서 m = 3이고 n = 3입니다. de la Loubert 방법을 사용하여 더 큰 3차 정사각형(소수로 표시된 숫자 포함)을 구성합니다. 숫자 1ў(맨 윗줄의 중앙 셀)이 있는 셀에는 de la Lubert 방법으로 생성된 1부터 9까지의 숫자 중 3차 정사각형이 맞습니다. 숫자 2ў(맨 아래 줄 오른쪽)가 있는 셀에는 10에서 18까지의 숫자가 포함된 3차 정사각형이 맞습니다. 숫자 3ў가있는 셀-19에서 27까지의 숫자 제곱 등 결과적으로 우리는 9차 정사각형을 얻습니다. 이러한 사각형을 합성이라고 합니다.
콜리어의 백과사전. - 열린사회. 2000 .
다른 사전에 "MAGIC SQUARE"가 무엇인지 확인하십시오.
동일한 수 n개의 열과 행으로 나누어진 정사각형. 첫 번째 n2개의 자연수가 결과 셀에 새겨져 있으며, 각 열, 각 행 및 두 개의 큰 대각선에 대해 더해지면 동일한 숫자가 됩니다. 큰 백과사전
MAGIC SQUARE, 정사각형 MATRIX는 셀로 나뉘어져 특정 방식으로 숫자나 문자로 채워져 특별한 마법 상황을 수정합니다. 가장 일반적인 문자 사각형은 SATOR, AREPO,... ...라는 단어로 구성된 SATOR입니다. 과학 기술 백과사전
동일한 수 n개의 열과 행으로 분할된 정사각형으로, 결과 셀에 1에서 n2까지의 자연수가 새겨져 있으며 각 열, 각 행 및 두 개의 큰 대각선에 대해 더해지면 동일한 수가 됩니다. 그림에서. M. k. s의 예... ... 자연 과학. 백과사전
마방진 또는 마방진은 각 행, 각 열 및 양쪽 대각선에 있는 숫자의 합이 동일하도록 숫자로 채워진 정사각형 테이블입니다. 정사각형 안의 숫자의 합이 행과 열에서만 같다면 ... Wikipedia
동일한 수 n개의 열과 행으로 나누어진 정사각형. 첫 번째 n2개의 자연수가 결과 셀에 새겨져 있으며 각 열, 각 행 및 두 개의 큰 대각선에 대해 더해지면 동일한 숫자가 됩니다. 그림은 예를 보여줍니다 ... ... 백과사전
동일한 수 n개의 열과 행으로 분할된 정사각형으로, 결과 셀에 처음 n2개의 자연수가 새겨져 있으며, 각 열, 각 행 및 두 개의 큰 대각선을 더하면 동일한 숫자가 됩니다. 위대한 소련 백과사전
다음 조건을 충족하는 1부터 n2까지의 정수로 구성된 정사각형 테이블입니다. 여기서 s=n(n2+1)/2입니다. 보다 일반적인 수학 방정식도 고려되며, 여기서 임의의 숫자 a가 나머지 쌍 (a, b) 모듈로 n(숫자...)에 의해 고유하게 특성화될 필요는 없습니다. 수학백과사전
책 정사각형은 여러 부분으로 나누어져 있으며 각 부분에는 수평, 수직 또는 대각선으로 다른 부분과 더해지면 같은 숫자가 됩니다. 방탄소년단, 512… 러시아어 속담의 큰 사전
-(그리스의 magikos, 마고스 마술사 출신). 마법과 관련된 마법. 러시아어에 포함된 외국어 사전입니다. Chudinov A.N., 1910. 마법의 마법. 러시아어에 포함된 외국어 사전입니다. 파블렌코프 F., 1907 ... 러시아어 외국어 사전
마방진의 입체 버전입니다. n차의 전통적인(고전적인) 매직 큐브는 n×n×n 차원의 큐브로, 1에서 n3까지의 다양한 자연수로 채워져 3n2개 행 중 하나에 있는 숫자의 합이 ... ... Wikipedia
서적
- Magic Square, Irina Bjorno, "Magic Square"는 마술적 사실주의 스타일로 쓰여진 이야기와 단편 소설 모음으로 현실이 마술과 환상과 밀접하게 얽혀 새로운 마술 스타일을 형성합니다.... 카테고리: 공포와 미스터리 출판사: 출판 솔루션, 전자책(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)
소개
고대의 위대한 과학자들은 양적 관계를 세계 본질의 기초로 여겼습니다. 그러므로 숫자와 그 관계는 인류의 가장 위대한 마음을 차지했습니다. 벤저민 프랭클린은 “젊었을 때 나는 여가 시간에 마법의 사각형을 만들며 즐거운 시간을 보냈습니다.”라고 썼습니다. 마방진은 가로줄, 세로줄, 대각선의 숫자의 합이 모두 같은 정사각형을 말합니다.
몇몇 뛰어난 수학자들은 마방진에 연구를 쏟았고, 그들이 얻은 결과는 군, 구조, 라틴 방진, 행렬식, 분할, 행렬, 비교 및 기타 중요한 수학 분야의 발전에 영향을 미쳤습니다.
이 에세이의 목적은 다양한 마방진, 라틴 방진에 대해 알아보고 적용 분야를 연구하는 것입니다.
마법의 사각형
가능한 모든 마방진에 대한 완전한 설명은 현재까지 얻어지지 않았습니다. 마법의 2x2 사각형은 없습니다. 하나의 3x3 마방진이 있습니다. 왜냐하면 다른 3x3 마방진은 중심을 중심으로 회전하거나 대칭축 중 하나를 반사하여 얻어지기 때문입니다.
3x3 마방진에 1부터 9까지의 자연수를 배열하는 방법에는 8가지가 있습니다.
- 9+5+1
- 9+4+2
- 8+6+2
- 8+5+2
- 8+4+3
- 7+6+2
- 7+5+3
- 6+5+4
3x3 마방진에서 마법 상수 15는 8개 방향(행 3개, 열 3개, 대각선 2개)의 세 숫자의 합과 같아야 합니다. 중앙의 숫자는 행 1개, 열 1개, 대각선 2개에 속하므로 마법상수를 구성하는 8개의 삼중항 중 4개에 포함됩니다. 그러한 숫자는 단 하나뿐입니다: 5입니다. 따라서 3x3 마방진의 중앙에 있는 숫자는 이미 알려져 있습니다: 5입니다.
숫자 9를 생각해 보세요. 이 숫자는 세 개의 숫자 중 2개에만 포함됩니다. 각 모서리 셀은 행, 열 및 대각선의 3개 트리플렛에 속하므로 모서리에 배치할 수 없습니다. 따라서 숫자 9는 정사각형의 중앙에 인접한 셀에 있어야 합니다. 정사각형의 대칭성 때문에 어느 쪽을 선택하는지는 중요하지 않으므로 중앙 셀의 숫자 5 위에 9를 씁니다. 맨 위 줄에 있는 9의 양쪽에는 숫자 2와 4만 쓸 수 있습니다. 이 두 숫자 중 어느 숫자가 오른쪽 상단에 있고 어느 숫자가 왼쪽에 있는지는 중요하지 않습니다. 미러링할 때 또 다른 . 나머지 셀은 자동으로 채워집니다. 3x3 마방진의 간단한 구성은 그 독특함을 증명합니다.
이러한 마방진은 고대 중국인들 사이에서 매우 중요한 상징이었습니다. 중앙의 숫자 5는 흙을 의미하고 그 주위에는 불(2와 7), 물(1과 6),
목재(3 및 8), 금속(4 및 9).
정사각형의 크기(셀 수)가 증가함에 따라 해당 크기의 마방진이 가능한 개수도 급격히 증가합니다. 4차 마방진은 880개이고 5차 마방진은 275,305,224개입니다. 더욱이 중세 시대에는 5x5 정사각형이 알려졌습니다. 예를 들어, 무슬림은 중앙에 숫자 1이 있는 사각형을 알라의 일치의 상징으로 간주하여 매우 경외했습니다.
피타고라스의 마방진
양적 관계가 사물의 본질의 기초라고 선언하는 종교적, 철학적 교리를 창시한 위대한 과학자 피타고라스는 인간의 본질도 숫자, 즉 생년월일에 있다고 믿었습니다. 따라서 피타고라스의 마법 사각형의 도움으로 사람의 성격, 건강 정도 및 잠재력을 알 수 있으며 장점과 단점을 밝혀 그를 개선하기 위해 수행해야 할 작업을 식별할 수 있습니다.
피타고라스의 마방진이 무엇인지, 그 지표가 어떻게 계산되는지 이해하기 위해 제 예를 들어 계산해 보겠습니다. 그리고 계산 결과가 특정 인물의 실제 성격과 실제로 일치하는지 확인하기 위해 먼저 직접 확인하겠습니다. 이를 위해 생년월일을 기준으로 계산을 하겠습니다. 따라서 내 생년월일은 1986년 8월 20일입니다. 태어난 일, 월, 연도(0 제외)를 더해 보겠습니다. 2+8+1+9+8+6=34. 다음으로 결과의 수를 더합니다: 3+4=7. 그런 다음 첫 번째 금액에서 생일의 첫 번째 숫자인 34-4=30의 두 배를 뺍니다. 그리고 다시 마지막 숫자의 숫자를 추가합니다.
3+0=3. 마지막 추가 작업이 남아 있습니다. 첫 번째와 세 번째, 두 번째와 네 번째 합계: 34+30=64, 7+3=10. 우리는 1986,34,7,30, 64,10이라는 숫자를 얻었습니다.
그리고 이 숫자 중 모든 숫자가 셀 1에 들어가고 두 숫자가 모두 셀 2에 들어가도록 마방진을 만듭니다. 0은 고려되지 않습니다. 결과적으로 내 사각형은 다음과 같습니다.
정사각형 셀은 다음을 의미합니다.
셀 1 - 결단력, 의지, 인내, 이기심.
- 1 - 완전한 이기주의자이며 어떤 상황에서도 최대한의 이익을 얻으려고 노력합니다.
- 11 - 이기주의에 가까운 캐릭터.
- 111 - "황금 평균". 성격은 차분하고 유연하며 사교적입니다.
- 1111 - 강한 성격, 강한 의지를 가진 사람들. 그러한 성격을 지닌 남성은 군인 역할에 적합하고 여성은 가족을 주먹으로 유지합니다.
- 11111 - 독재자, 폭군.
- 111111 - 불가능한 일을 할 수 있는 잔인한 사람; 종종 어떤 생각의 영향을 받습니다.
셀 2 - 바이오에너지, 감성, 성실, 관능. 2의 수는 바이오 에너지의 수준을 결정합니다.
둘은 없습니다. 집중적인 바이오에너지 수집을 위한 채널이 열려 있습니다. 이 사람들은 본질적으로 예의 바르고 고귀합니다.
- 2 - 생물 에너지 측면에서 평범한 사람들. 그런 사람들은 분위기 변화에 매우 민감합니다.
- 22 - 상대적으로 큰 바이오 에너지 매장량. 그러한 사람들이 훌륭한 의사, 간호사, 질서 있는 사람이 됩니다. 그러한 사람들의 가족 중에는 긴장된 스트레스를 경험하는 사람이 거의 없습니다.
- 222는 심령술사의 표시입니다.
셀 3 - 정확성, 특이성, 조직성, 깔끔함, 시간 엄수, 청결함, 인색함, 지속적인 "정의 회복"에 대한 성향.
3이 증가하면 이러한 모든 특성이 향상됩니다. 그들과 함께 사람이 과학, 특히 정확한 과학에서 자신을 찾는 것이 합리적입니다. 3의 우세는 사건의 사람들, 현학가를 낳습니다.
셀 4 - 건강. 이것은 조상이 개발하고 사람을 보호하는 에너지 공간 인 egregor와 연결됩니다. 4가 없으면 사람이 아프다는 것을 나타냅니다.
- 4 - 평균 건강, 몸을 단단하게 만드는 것이 필요합니다. 수영과 달리기가 권장되는 스포츠입니다.
- 44 - 건강하세요.
- 444 이상 - 건강이 매우 좋은 사람.
셀 5 - 이미 3 5 수준의 사람들에게 나타나기 시작하는 직관, 투시력.
5가 없습니다. 공간과의 통신 채널이 닫혀 있습니다. 이런 사람들은 종종
틀렸어.
- 5 - 통신 채널이 열려 있습니다. 이 사람들은 상황을 정확하게 계산하고 최대한 활용할 수 있습니다.
- 55 - 고도로 발달된 직관. 그들은 “예언적인 꿈”을 보면 사건의 진행 과정을 예측할 수 있습니다. 그들에게 적합한 직업은 변호사, 수사관입니다.
- 555 - 거의 투시력이 있습니다.
- 5555 - 투시력.
셀 6 - 기초, 물질성, 계산, 세계의 정량적 탐구에 대한 성향, 질적 도약에 대한 불신, 그리고 훨씬 더 영적인 기적에 대한 불신.
6은 없습니다. 이 사람들은 육체 노동이 필요하지만 일반적으로 좋아하지 않습니다. 그들은 특별한 상상력, 환상, 예술적 취향을 부여 받았습니다. 미묘한 본성에도 불구하고 그들은 행동할 수 있습니다.
- 6 - 창의성이나 정확한 과학에 참여할 수 있지만 육체 노동은 존재의 전제 조건입니다.
- 66 - 사람들은 매우 근거가 있고 육체 노동에 끌립니다. 비록 그것이 의무 사항은 아니지만; 정신적 활동이나 예술적 추구가 바람직합니다.
- 666은 특별하고 불길한 표시인 사탄의 표시입니다. 이 사람들은 기질이 좋고, 매력적이며, 언제나 사회에서 주목의 중심이 됩니다.
- 6666 - 이전 화신의 이 사람들은 너무 많은 기반을 얻었고, 매우 열심히 일했으며 일 없이는 자신의 삶을 상상할 수 없습니다. 사각형에 다음이 포함되어 있으면
아홉, 그들은 확실히 정신 활동에 참여하고, 지성을 개발하고, 적어도 고등 교육을 받아야 합니다.
셀 7 - 7의 숫자가 재능의 척도를 결정합니다.
- 7 – 더 많이 일할수록 나중에 더 많은 것을 얻습니다.
- 77 - 매우 재능 있고 음악적이며 미묘한 예술적 취향을 가지고 있으며 미술에 대한 성향이 있을 수 있습니다.
- 777 - 이 사람들은 원칙적으로 짧은 시간 동안 지구에옵니다. 그들은 친절하고 고요하며 어떤 불의에도 민감합니다. 그들은 예민하고 꿈을 좋아하며 항상 현실을 느끼지는 않습니다.
- 7777 - 천사의 표시. 이 표시가 있는 사람은 유아기에 사망하며, 살아도 생명이 끊임없이 위험에 처해 있습니다.
셀 8 - 카르마, 의무, 의무, 책임. 8의 숫자는 의무감의 정도를 결정합니다.
8번은 없습니다. 이 사람들은 의무감이 거의 전혀 없습니다.
- 8 - 책임감 있고 성실하며 정확한 성격.
- 88 - 이 사람들은 발달된 의무감을 가지고 있으며, 다른 사람들, 특히 약하고 병들고 외로운 사람들을 도우려는 열망으로 항상 구별됩니다.
- 888은 큰 의무의 표시, 국민에 대한 봉사의 표시입니다. 3개의 8을 가진 자는 뛰어난 결과를 얻습니다.
- 8888 - 이 사람들은 초심리학적 능력과 정확한 과학에 대한 뛰어난 민감성을 가지고 있습니다. 그들에게는 초자연적인 길이 열려 있습니다.
셀 9 - 지능, 지혜. 9가 없다는 것은 정신 능력이 극도로 제한되어 있다는 증거입니다.
- 9 - 이 사람들은 부족한 지능을 보충하기 위해 평생 열심히 일해야 합니다.
- 99 - 이 사람들은 태어날 때부터 똑똑합니다. 그들은 지식이 쉽게 오기 때문에 항상 배우기를 꺼립니다. 그들은 아이러니한 느낌이 가미된 유머 감각을 갖고 있으며 독립적입니다.
- 999 - 아주 똑똑해요. 학습에 전혀 노력을 기울이지 않습니다. 훌륭한 대화가.
- 9999 - 이 사람들에게 진실이 드러납니다. 직관력도 발달했다면 모든 노력이 실패하지 않도록 보장됩니다. 이 모든 것에 대해 그들은 날카로운 마음이 그들을 무례하고 무자비하며 잔인하게 만들기 때문에 일반적으로 매우 즐겁습니다.
따라서 피타고라스의 마방진을 그리고 그 셀에 포함된 모든 숫자 조합의 의미를 알면 대자연이 부여한 본성의 특성을 충분히 평가할 수 있습니다.
라틴 광장
수학자들이 주로 마방진에 관심이 있었음에도 불구하고 라틴방진은 과학과 기술 분야에서 가장 큰 응용을 발견했습니다.
라틴방진은 nxn개의 셀로 이루어진 정사각형으로, 숫자 1, 2,..., n이 적혀 있으며, 이 모든 숫자가 각 행과 각 열에 한 번씩 표시됩니다. 그림 3은 이러한 4x4 정사각형 두 개를 보여줍니다. 흥미로운 특징이 있습니다. 한 사각형이 다른 사각형 위에 겹쳐지면 결과 숫자의 모든 쌍이 다른 것으로 나타납니다. 이러한 라틴 사각형 쌍을 직교라고 합니다.
직교 라틴 방진을 찾는 문제는 L. Euler에 의해 처음 제기되었으며 다음과 같은 재미있는 공식으로 제기되었습니다. “36명의 장교 중에는 동일한 수의 창기병, 기병, 후사르, 흉갑기병, 기병대, 척탄병이 있으며 동일한 수의 장군, 대령, 소령, 대위, 중위, 중위로 구성되며, 각 군대는 6계급 장교로 대표됩니다. 모든 장교를 6×6 정사각형으로 배열하여 어느 열, 어느 계급에나 모든 계급의 장교가 있게 하는 것이 가능합니까?”
오일러는 이 문제에 대한 해결책을 찾지 못했습니다. 1901년에 그러한 해결책이 존재하지 않는다는 것이 입증되었습니다. 동시에 오일러는 n의 모든 홀수 값과 4로 나누어지는 n의 짝수 값에 대해 라틴 사각형의 직교 쌍이 존재한다는 것을 증명했습니다. 오일러는 n의 나머지 값에 대해 다음과 같은 가설을 세웠습니다. 즉, 숫자 n을 4로 나눈 나머지 2가 나오면 직교 사각형이 없습니다. 1901년에 직교 정사각형 6 6이 없다는 것이 입증되었으며, 이는 오일러 가설의 타당성에 대한 신뢰도를 높였습니다. 그러나 1959년에 컴퓨터의 도움으로 10x10, 14x14, 18x18, 22x22의 직교 정사각형이 처음으로 발견되었습니다. 그리고 6을 제외한 모든 n에 대해 nxn개의 직교 정사각형이 있음이 나타났습니다.
매직 스퀘어와 라틴 스퀘어는 가까운 친척입니다. 두 개의 직교 정사각형이 있다고 가정해 보겠습니다. 다음과 같이 동일한 차원의 새로운 정사각형의 셀을 채워보겠습니다. 거기에 숫자 n(a - 1)+b를 넣어 봅시다. 여기서 a는 첫 번째 정사각형의 셀에 있는 숫자이고 b는 두 번째 정사각형의 동일한 셀에 있는 숫자입니다. 결과 정사각형에서 행과 열(대각선에 있을 필요는 없음)의 숫자 합이 동일하다는 것을 이해하기 쉽습니다.
라틴 방진 이론은 수학 자체와 그 응용 모두에서 수많은 응용을 발견했습니다. 예를 들어 보겠습니다. 특정 지역에서 4가지 품종의 밀 수확량을 테스트하고 작물의 희소성 정도와 두 가지 비료 유형의 영향을 고려하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 이를 위해 우리는 정사각형 토지를 16개 구획으로 나눌 것입니다(그림 4). 우리는 아래쪽 가로 줄무늬에 해당하는 플롯에 첫 번째 밀 품종을 심고, 다음 줄무늬에 해당하는 4개의 플롯에 다음 품종을 심습니다. (그림에서 품종은 색상으로 표시됨) 이 경우 작물의 최대 밀도는 그림의 왼쪽 세로 열에 해당하는 플롯에 있고 오른쪽으로 이동할 때 감소합니다(그림에서 이는 색상 강도 감소에 해당). 그림 셀의 숫자는 다음을 의미합니다.
첫 번째는 이 지역에 적용된 첫 번째 유형의 비료의 킬로그램 수이고, 두 번째는 적용된 두 번째 유형의 비료의 양입니다. 이 경우 첫 번째 유형의 품종 및 비료, 첫 번째 및 두 번째 유형의 비료, 두 번째 유형의 밀도 및 비료 등 품종과 파종 밀도 및 기타 구성 요소의 가능한 모든 조합 쌍이 실현된다는 것을 이해하기 쉽습니다.
직교 라틴 사각형을 사용하면 농업, 물리학, 화학 및 기술 실험에서 가능한 모든 옵션을 고려하는 데 도움이 됩니다.
스퀘어 매직 피타고라스 라틴어
결론
이 에세이는 많은 위대한 사람들의 마음을 사로잡았던 수학 문제 중 하나인 마방진의 발전 역사와 관련된 문제를 조사합니다. 마방진 자체는 과학과 기술에 널리 적용되지 않았음에도 불구하고 많은 특별한 사람들에게 수학을 연구하도록 영감을 주었고 다른 수학 분야(군, 행렬식, 행렬 이론 등)의 발전에 기여했습니다.
마방진의 가장 가까운 친척인 라틴 방진은 수학과 실험 결과를 설정하고 처리하는 응용 분야 모두에서 수많은 응용 분야를 발견했습니다. 초록은 그러한 실험을 설정하는 예를 제공합니다.
초록에서는 또한 역사적으로 흥미롭고 사람의 심리적 초상화를 그리는 데 유용할 수 있는 피타고라스 광장 문제에 대해서도 논의합니다.
서지
- 1. 젊은 수학자의 백과사전. 엠., “교육학”, 1989.
- 2. M. Gardner “시간 여행”, M., “미르”, 1990.
- 3. 체육 및 스포츠 제10호, 1998