Pătrat magic pentru 4 din 20. Cum funcționează pătratul magic

Această ghicitoare s-a răspândit rapid pe internet. Mii de oameni au început să se întrebe cum funcționează pătratul magic. Astăzi vei găsi în sfârșit răspunsul!

Misterul pătratului magic

De fapt, această ghicitoare este destul de simplă și făcută cu neatenția umană în minte. Să vedem cum funcționează pătratul magic negru folosind un exemplu real:

1. Să ghicim orice număr de la 10 la 19. Acum să scădem cifrele sale constitutive din acest număr. De exemplu, să luăm 11. Scădem unul din 11 și apoi altul. Rezultatul este 9. Nu prea contează ce număr de la 10 la 19 iei. Rezultatul calculelor va fi întotdeauna 9. Numărul 9 din „Pătratul Magic” corespunde primului număr cu imagini. Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că unui număr foarte mare de numere li se atribuie aceleași imagini.
2. Ce se întâmplă dacă luați un număr în intervalul de la 20 la 29? Poate ai ghicit deja singur? Dreapta! Rezultatul calculului va fi întotdeauna 18. Numărul 18 corespunde celei de-a doua poziții pe diagonala cu imagini.
3. Dacă luați un număr de la 30 la 39, atunci, așa cum puteți ghici deja, va ieși numărul 27. Numărul 27 corespunde și numărului de pe diagonala atât de inexplicabilă „Pătrat magic”.
4. Un algoritm similar rămâne valabil pentru orice numere de la 40 la 49, de la 50 la 59 și așa mai departe.

Adică, se dovedește că nu contează ce număr ai ghicit - „Pătratul Magic” va ghici rezultatul, deoarece în celulele numerotate 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 și 81 există de fapt același simbol.

De fapt, acest mister poate fi explicat cu ușurință folosind o ecuație simplă:

1. Imaginează-ți orice număr din două cifre. Indiferent de număr, acesta poate fi reprezentat ca x*10+y. Zecile acționează ca „x”, iar unitățile acționează ca „y”.
2. Scădeți numerele care îl compun din numărul ascuns. Adăugați ecuația: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
3. Numărul care iese ca rezultat al calculelor trebuie să indice un simbol specific din tabel.

Nu contează ce număr este în rolul lui „x”, într-un fel sau altul veți obține un simbol al cărui număr va fi multiplu de nouă. Pentru a vă asigura că există un simbol sub diferite numere, priviți tabelul și numerele 0,9,18,27,45,54,63,72,81 și următoarele.

PIATA MAGICA

China este considerată locul de naștere al pătratelor magice. În China, există învățătura Feng Shui, care afirmă că culoarea, forma și așezarea fizică a fiecărui element în spațiu afectează fluxul Qi-ului, fie încetinind, redirecționându-l, fie accelerându-l, ceea ce afectează direct nivelurile de energie. a locuitorilor. Pentru a afla secretele lumii, zeii i-au trimis împăratului Yu cel mai vechi simbol, pătratul Lo Shu (Lo - râul).

PIATA MAGIC LO SHU

Legenda spune că în urmă cu aproximativ patru mii de ani, o țestoasă mare, Shu, a apărut din apele furtunoase ale râului Luo. Oamenii care făceau sacrificii râului au văzut țestoasa și au recunoscut-o imediat ca pe o zeitate. Considerațiile înțelepților antici i s-au părut atât de rezonabile împăratului Yu încât a ordonat ca imaginea unei țestoase să fie imortalizată pe hârtie și a sigilat-o cu sigiliul său imperial. Altfel, de unde am fi știut despre acest eveniment?

Această broască țestoasă era de fapt specială pentru că avea un model ciudat de puncte pe coaja ei. Punctele au fost marcate într-o manieră ordonată, ceea ce i-a determinat pe filosofii antici la ideea că pătratul cu numere de pe carapacea țestoasei servește ca model al spațiului - o hartă a lumii întocmită de fondatorul mitic al civilizației chineze, Huang Di. De fapt, suma numerelor din coloanele, rândurile și ambele diagonale ale pătratului este aceeași M = 15 și este egală cu numărul de zile din fiecare dintre cele 24 de cicluri ale anului solar chinezesc.

Numerele pare și impare se alternează: 4 numere pare (scrise de jos în sus în ordine descrescătoare) sunt în cele patru colțuri, iar 5 numere impare (scrise de jos în sus în ordine crescătoare) formează o cruce în centrul pătratului. Cele cinci elemente ale crucii reflectă pământul, focul, metalul, apa și pădurea. Suma oricăror două numere separate de un centru este egală cu numărul Ho Ti, adică. zece.

Numerele pare (simbolurile Pământului) ale lui Lo Shu erau marcate pe corpul țestoasei sub formă de puncte negre sau simboluri Yin și numere impare (simboluri Heaven) - sub formă de puncte albe sau simboluri Yang. Pământul 1 (sau apa) este dedesubt, focul 9 (sau cerul) este deasupra. Este posibil ca imaginea modernă a numărului 5, plasată în centrul compoziției, să se datoreze simbolului chinezesc al dualității Yang și Yin.

PIATA MAGICA DIN KHAJURAHO

Cameră de est

Magia lui Joseph Rudyard Kipling, care a creat imaginile lui Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan și, bineînțeles, Tabaka, a început în ajunul secolului al XX-lea. Cu o jumătate de secol mai devreme, în februarie 1838, un tânăr ofițer britanic al inginerilor din Bengal, T.S. Bert, interesat de conversația servitorilor care-și purtau palanchinul, a deviat de la traseu și a dat peste temple antice din junglele Indiei.

Pe treptele templului Vishvanatha, ofițerul a găsit o inscripție care mărturisește vechimea structurilor. După scurt timp, energicul general-maior A. Cunningham a desenat planuri detaliate pentru Khajuraho. Au început săpăturile, culminând cu descoperirea senzațională a 22 de temple. Templele au fost ridicate de către Maharaja din dinastia Chandel. După prăbușirea regatului lor, jungla a înghițit clădirile timp de o mie de ani. Pătratul de ordinul al patrulea, găsit printre imaginile zeilor și zeițelor goi, a fost uimitor.

Nu numai că sumele acestui pătrat de-a lungul rândurilor, coloanelor și diagonalelor coincid și egalează cu 34. Ele au coincis și de-a lungul diagonalelor rupte formate atunci când pătratul este pliat într-un tor și în ambele direcții. Pentru o astfel de vrăjitorie a numerelor, astfel de pătrate sunt numite „diabolice” (sau „pandiagonale”, sau „nasik”).

Desigur, acest lucru a mărturisit abilitățile matematice neobișnuite ale creatorilor lor, care erau superiori colonialiștilor. Ce au simțit inevitabil oamenii din căștile albe.

PIATA MAGICA LUI DURER

Celebrul artist german de la începutul secolului al XVI-lea, Albrecht Durer, a creat primul pătrat magic 4x4 din arta europeană. Suma numerelor din orice rând, coloană, diagonală și, de asemenea, surprinzător, din fiecare sfert (chiar și în pătratul central) și chiar suma numerelor de colț este 34. Cele două numere din mijloc din rândul de jos indică data de creaţie a picturii (1514). S-au făcut corecții în pătratele din mijloc ale primei coloane - numerele sunt deformate.

În imaginea cu șoarecele înaripat ocult Saturn, pătratul magic este compus din inteligența înaripată Jupiter, care se opun unul altuia. Pătratul este simetric, deoarece suma oricăror două numere incluse în el, situate simetric față de centrul său, este egală cu 17. Dacă însumați cele patru numere obținute prin mutarea cavalerului de șah, veți obține 34. Cu adevărat , acest pătrat, cu ordinea sa impecabilă, reflectă melancolia care l-a cuprins pe artist.

Vis de dimineață.

Europenii au fost introduși în pătratele numerice uimitoare de către scriitorul și lingvistul bizantin Moschopoulos. Lucrarea sa a fost un eseu special pe această temă și conținea exemple ale pătratelor magice ale autorului.

SISTEMATIZAREA PĂTRATELOR MAGICE

La mijlocul secolului al XVI-lea. În Europa au apărut lucrări în care pătratele magice au apărut ca obiecte de cercetare matematică. Au urmat multe alte lucrări, în special ale unor matematicieni celebri, fondatorii științei moderne, precum Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessey, Euler, Gauss.

Magic, sau un pătrat magic, este un tabel pătrat umplut cu n 2 numere în așa fel încât suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și pe ambele diagonale să fie aceeași. Definiția este condiționată, deoarece vechii au atașat și un sens, de exemplu, culorii.

Normal numit pătrat magic plin cu numere întregi de la 1 la n 2. Pătratele magice normale există pentru toate ordinele, cu excepția n = 2, deși cazul n = 1 este banal - pătratul este format dintr-un singur număr.

Se numește suma numerelor din fiecare rând, coloană și diagonală constantă magică M. Constanta magică a unui pătrat magic normal depinde numai de n și este dată de formula

M = n (n2 + 1)/2

Primele valori ale constantelor magice sunt date în tabel

Dacă suma numerelor dintr-un pătrat este egală numai în rânduri și coloane, atunci se numește semi-magic. Pătratul magic se numește asociativ sau simetric, dacă suma oricăror două numere situate simetric în jurul centrului pătratului este egală cu n 2 + 1.

Există doar un pătrat normal de ordinul trei. Mulți oameni îl cunoșteau. Dispunerea numerelor în pătratul Lo Shu este similară cu desemnările simbolice ale spiritelor din Cabala și cu semnele astrologiei indiene.

Cunoscut și sub numele de pătrat Saturn. Unele societăți secrete din Evul Mediu l-au văzut drept „Cabala celor Nouă Camere”. Fără îndoială, nuanța magiei interzise a însemnat foarte mult pentru păstrarea imaginilor sale.

A fost importantă în numerologia medievală, adesea folosită ca amuletă sau ajutor de divinație. Fiecare celulă corespunde unei litere mistice sau unui alt simbol. Citite împreună de-a lungul unei linii specifice, aceste semne au transmis mesaje oculte. Numerele alcătuind data nașterii au fost plasate în celulele pătratului și apoi descifrate în funcție de semnificația și locația numerelor.

Printre pandiagonale, așa cum sunt numite și pătratele magice diavolești, se disting cele simetrice - cele ideale. Pătratul diavolesc rămâne diavolesc dacă îl rotiți, îl reflectați, rearanjați rândul de sus în jos și invers, tăiați o coloană la dreapta sau la stânga și o atribuiți laturii opuse. Există cinci transformări în total, diagrama acestora din urmă este prezentată în figură

Există 48 de pătrate diabolice 4x4 cu precizie de rotație și reflexie. Dacă luăm în considerare și simetria față de translațiile paralele torice, atunci rămân doar trei pătrate diabolice 4x4 esențial diferite:

Claude F. Bragdon, un arhitect american celebru, a descoperit că, conectând una câte una celulele cu doar numere par sau doar impare de pătrate magice pe o linie întreruptă, în majoritatea cazurilor obținem un model elegant. Modelul pe care l-a inventat pentru grila de ventilație din tavanul Camerei de Comerț din Rochester, New York, unde locuia, a fost construit din linia magică întreruptă a talismanului Lo-Shu. Bragdon a folosit „linii magice” ca modele pentru țesături, coperți de cărți, decorațiuni arhitecturale și capete decorative.

Dacă așezați un mozaic de pătrate diavolești identice (fiecare pătrat trebuie să fie aproape de vecinii săi), veți obține ceva ca un parchet, în care numerele din orice grup de celule 4x4 vor forma un pătrat diavolesc. Numerele din patru celule, urmând una după alta, indiferent de modul în care sunt situate - vertical, orizontal sau diagonală - se adună întotdeauna la constanta pătratului. Matematicienii moderni numesc astfel de pătrate „perfecte”.

PIATA LATINA

Un pătrat latin este un tip de pătrat matematic neregulat umplut cu n simboluri diferite, astfel încât toate cele n simboluri să apară în fiecare rând și fiecare coloană (fiecare o dată).

Pătratele latine există pentru orice n. Orice pătrat latin este o masă de înmulțire (tabelul Cayley) a unui cvasigrup. Numele „pătrat latin” provine de la Leonhard Euler, care a folosit litere latine în loc de numere într-un tabel.

Se numesc două pătrate latine ortogonală, dacă toate perechile ordonate de simboluri (a,b) sunt diferite, unde a este un simbol într-o celulă a primului pătrat latin și b este un simbol în aceeași celulă a celui de-al doilea pătrat latin.

Pătratele latine ortogonale există pentru orice ordine, cu excepția 2 și 6. Pentru că n fiind o putere a unui număr prim, există o mulțime de n–1 pătrate latine ortogonale în perechi. Dacă în fiecare diagonală a unui pătrat latin toate elementele sunt diferite, se numește un astfel de pătrat latin diagonală. Perechi de pătrate latine diagonale ortogonale există pentru toate ordinele, cu excepția 2, 3 și 6. Pătratul latin este adesea întâlnit în problemele de planificare, deoarece numerele nu se repetă în rânduri și coloane.

Un pătrat format din perechi de elemente din două pătrate latine ortogonale se numește Piața greco-latină. Astfel de pătrate sunt adesea folosite pentru a construi pătrate magice și în probleme complexe de programare.

În timp ce studia pătratele greco-latine, Euler a demonstrat că pătratele de ordinul doi nu există, dar au fost găsite pătrate de ordinul 3, 4 și 5. Nu a găsit niciun pătrat de ordinul 6. El a emis ipoteza că nu există pătrate de ordin par care să nu fie divizibile cu 4 (adică 6, 10, 14 etc.). În 1901, Gaston Terry a confirmat ipoteza pentru al 6-lea ordin prin forță brută. Dar în 1959, ipoteza a fost respinsă de E. T. Parker, R. C. Bowes și S. S. Shrickherd, care au descoperit un pătrat greco-latin de ordinul 10.

POLYMINO ARTHUR CLARKE

Polyominoes - din punct de vedere al complexității, cu siguranță aparțin categoriei celor mai dificile pătrate matematice. Așa scrie despre el scriitorul de science fiction A. Clark - mai jos este un fragment din cartea „Imperiul Pământesc”. Este evident că Clark, locuind pe insula lui, a trăit în Ceylon - iar filosofia sa de separare de societate este interesantă în sine, a devenit interesat de divertismentul pe care bunica băiatului îl predă și ni l-a transmis. Să preferăm această descriere vie sistematizărilor existente, care transmit, poate, esența, dar nu spiritul jocului.

„Acum ești un băiat destul de mare, Duncan, și vei putea înțelege acest joc... cu toate acestea, este mult mai mult decât un joc.” Contrar spuselor bunicii sale, Duncan nu a fost impresionat de joc. Ei bine, ce poți face din cinci pătrate albe de plastic?

„În primul rând”, a continuat bunica, „trebuie să verifici câte modele diferite poți aduna din pătrate.”

– Ar trebui să se întindă pe masă? – a întrebat Duncan.

– Da, ar trebui să mintă atingând. Nu puteți suprapune un pătrat cu altul.

Duncan a început să aranjeze pătratele.

„Ei bine, le pot pune pe toate într-o linie dreaptă”, a început el. „Așa... Și apoi pot rearanja două bucăți și pot obține litera L... Și dacă prind cealaltă margine, primesc litera tu...”

Băiatul a inventat rapid o jumătate de duzină de combinații, apoi a descoperit mai multe și brusc că le repeta pe cele existente.

- Poate că sunt prost, dar atât.

Duncan a ratat cea mai simplă dintre figuri - o cruce, pentru a crea că a fost suficient să așezi patru pătrate pe laturile celui de-al cincilea, central.

„Majoritatea oamenilor încep cu crucea”, a zâmbit bunica, „După părerea mea, ai fost prea grăbit să te declari prost”. Mai bine gândiți-vă: ar putea exista și alte cifre?

Mișcând concentrat pătratele, Duncan găsi încă trei figuri și apoi încetă să mai caute.

„Cu siguranță s-a terminat acum”, a spus el încrezător.

– Ce poți spune despre o astfel de figură?

După ce a mutat ușor pătratele, bunica le-a împăturit în forma unei litere F cocoșate.

- Și iată încă una.

Duncan se simțea ca un complet idiot, iar cuvintele bunicii lui erau ca un balsam pe sufletul lui stânjenit:

— Ești pur și simplu grozav. Gândește-te, am ratat doar două piese. Și numărul total de cifre este de douăsprezece. Nici mai mult, nici mai puțin. Acum le știi pe toate. Dacă cauți o eternitate, nu vei găsi niciodată alta.

Bunica a măturat cinci pătrate albe într-un colț și a așezat pe masă o duzină de bucăți de plastic strălucitoare, multicolore. Acestea erau aceleași douăsprezece figuri, dar în formă finită și fiecare consta din cinci pătrate. Duncan era deja gata să fie de acord că nu există cu adevărat alte figuri.

Dar din moment ce bunica a așezat aceste dungi multicolore, înseamnă că jocul continuă, iar o altă surpriză îl aștepta pe Duncan.

– Acum, Duncan, ascultă cu atenție. Aceste cifre sunt numite "pentaminoe". Numele provine de la cuvântul grecesc „penta”, care înseamnă „cinci”. Toate cifrele sunt egale ca suprafață, deoarece fiecare constă din cinci pătrate identice. Există douăsprezece cifre, cinci pătrate, prin urmare, aria totală va fi egală cu șaizeci de pătrate. Dreapta?

- Hmm da.

- Ascultă mai departe. Saizeci este un număr rotund minunat care poate fi compus în mai multe moduri. Cel mai simplu este să înmulți zece cu șase. Această cutie are o astfel de zonă: poate ține zece pătrate pe orizontală și șase pe verticală. Prin urmare, toate cele douăsprezece cifre ar trebui să se potrivească în el. Simplu, ca o imagine compozită-ghicitoare.

Duncan se aștepta la o captură. Bunica iubea paradoxurile verbale și matematice și nu toate erau de înțeles pentru victima ei de zece ani. Dar de data aceasta nu au existat paradoxuri. Fundul cutiei era căptușit cu șaizeci de pătrate, ceea ce înseamnă... Stop! Zona este o zonă, dar figurile au forme diferite. Încearcă să le bagi într-o cutie!

„Voi lăsa această sarcină să o rezolvi singur”, a anunțat bunica, văzând cum a mișcat cu tristețe pentomino-ul pe partea de jos a cutiei. „Crede-mă, pot fi asamblate.”

Curând, Duncan a început să se îndoiască puternic de cuvintele bunicii sale. A reușit cu ușurință să încapă zece figuri în cutie și, odată, a reușit să strângă un unsprezece. Dar contururile spațiului neumplut nu coincideau cu contururile celei de-a douăsprezecea figuri, pe care băiatul o răsturna în mâini. Era o cruce, iar figura rămasă semăna cu litera Z...

După încă o jumătate de oră, Duncan era deja în pragul disperării. Bunica era cufundată într-un dialog cu computerul ei, dar din când în când îl privea cu interes, parcă ar fi spus: „Nu este atât de ușor pe cât credeai.”

La zece ani, Duncan era vizibil încăpățânat. Cei mai mulți dintre colegii săi ar fi renunțat să mai încerce cu mult timp în urmă. (Doar câțiva ani mai târziu și-a dat seama că bunica lui i-a administrat cu grație un test psihologic.) Duncan a rezistat aproape patruzeci de minute fără asistență...

Apoi bunica s-a ridicat de pe computer și s-a aplecat peste puzzle. Degetele ei au mutat formele U, X și L...

Fundul cutiei a fost complet umplut! Toate piesele puzzle-ului erau în locurile potrivite.

– Desigur, știai răspunsul dinainte! – a tras Duncan ofensat.

- Răspuns? – a întrebat bunica. „De câte moduri crezi că poate fi pus pentomino în această cutie?”

Iată, o capcană. Duncan s-a jucat aproape o oră fără să găsească o soluție, deși în acest timp a încercat cel puțin o sută de opțiuni. Credea că există o singură cale. Ar putea fi... doisprezece? Sau mai mult?

- Deci, de câte moduri crezi că ar putea exista? – a întrebat din nou bunica.

— Douăzeci, a scapat Duncan, gândindu-se că acum bunica nu s-ar deranja.

- Încearcă din nou.

Duncan a simțit pericolul. Distracția s-a dovedit a fi mult mai viclean decât credea, iar băiatul a decis cu înțelepciune să nu riște.

„De fapt, nu știu”, a spus el, clătinând din cap.

„Și tu ești un băiat receptiv”, a zâmbit din nou bunica. „Intuiția este un ghid periculos, dar uneori nu avem altul.” Vă pot mulțumi: este imposibil să ghiciți răspunsul corect aici. Există peste două mii de moduri diferite de a pune pentomino-uri în această cutie. Mai precis, două mii trei sute treizeci și nouă. Și ce spui de asta?

Este puțin probabil ca bunica lui să-l fi înșelat. Dar Duncan a fost atât de frustrat de incapacitatea lui de a găsi o soluție încât nu a putut să nu spună:

- Nu cred!

Helen a arătat rareori iritare. Când Duncan a jignit-o într-un fel, a devenit pur și simplu rece și distantă. Cu toate acestea, acum bunica doar a zâmbit și a bătut ceva pe tastatura computerului.

„Uite aici”, a sugerat ea.

Pe ecran a apărut un set de douăsprezece pentomino-uri multicolore, umplând un dreptunghi de zece pe șase. Câteva secunde mai târziu, a fost înlocuită cu o altă imagine, unde figurile erau cel mai probabil amplasate diferit (Duncan nu putea spune cu siguranță, deoarece nu își amintea prima combinație). În curând imaginea s-a schimbat din nou, apoi din nou și din nou... Asta a continuat până când bunica a oprit programul.

„Chiar și la viteză mare, computerul va avea nevoie de cinci ore pentru a parcurge toate metodele”, a explicat bunica. „Puteți să mă credeți pe cuvânt: toate sunt diferite.” Dacă nu ar fi fost computere, mă îndoiesc că oamenii ar fi găsit toate căile prin enumerarea obișnuită a opțiunilor.

Duncan se uită lung la cele douăsprezece siluete înșelător de simple. A digerat încet cuvintele bunicii sale. Aceasta a fost prima revelație matematică din viața lui. Ceea ce el considera cu atâta pripire un joc de copil obișnuit a început brusc să se dezvăluie în fața lui căi și orizonturi nesfârșite, deși chiar și cel mai talentat copil de zece ani cu greu ar fi putut simți nemărginirea acestui univers.

Dar apoi încântarea și uimirea lui Duncan au fost pasive. Adevărata explozie a plăcerii intelectuale s-a petrecut mai târziu, când a găsit în mod independent prima sa metodă de așezare a pentominoelor. Timp de câteva săptămâni, Duncan a purtat cu el peste tot o cutie de plastic. Își petrecea tot timpul liber doar pe pentomino. Figurile se vor transforma în prietenii personali ai lui Duncan. I-a numit după literele cu care semănau, deși în unele cazuri asemănarea era mai mult decât îndepărtată. Cinci cifre - F, I, L, P, N - au fost inconsecvente, dar celelalte șapte au repetat succesiunea alfabetului latin: T, U, V, W, X, Y, Z.

Într-o zi, într-o stare de transă geometrică sau de extaz geometric, care nu s-a repetat niciodată, Duncan a găsit cinci opțiuni de styling în mai puțin de o oră. Poate că nici Newton, Einstein sau Chen Tzu, în momentele lor de adevăr, nu s-au simțit mai strâns legați de zeii matematicii decât Duncan Mackenzie.

Curând și-a dat seama, de unul singur, fără îndemnul bunicii sale, că un pentomino poate fi plasat într-un dreptunghi cu diferite dimensiuni ale laturii. Destul de ușor, Duncan a găsit mai multe opțiuni pentru dreptunghiuri 5 cu 12 și 4 cu 15. Apoi a suferit timp de o săptămână întreagă încercând să încapă douăsprezece figuri într-un dreptunghi mai lung și mai îngust, de 3 pe 20. Din nou și din nou, a început să umple spațiul perfid și ... obțineți găuri în dreptunghi și figuri „în plus”.

Devastat, Duncan și-a vizitat bunica, unde îl aștepta o nouă surpriză.

„Mă bucur pentru experimentele tale”, a spus Helen. „Ai explorat toate posibilitățile, încercând să obții un model general.” Asta fac întotdeauna matematicienii. Dar te înșeli: soluții pentru un dreptunghi de trei pe douăzeci chiar există. Sunt doar două, iar dacă găsești unul, îl vei putea găsi pe al doilea.

Inspirat de laudele bunicii sale, Duncan și-a continuat „vânătoarea de pentominos” cu o vigoare reînnoită. După încă o săptămână, a început să înțeleagă ce povară insuportabilă pusese pe umeri. Numărul de moduri în care douăsprezece figuri puteau fi aranjate a fost pur și simplu uluitor pentru Duncan. Mai mult, fiecare figură avea patru poziții!

Și din nou a venit la bunica lui, spunându-i toate greutățile lui. Dacă ar fi doar două opțiuni pentru un dreptunghi de 3 pe 20, cât timp ar dura să le găsești?

„Dacă te rog, îți răspund”, a spus bunica. „Dacă te-ai comporta ca un computer fără creier, făcând o simplă căutare de combinații și petrecând câte o secundă pe fiecare, ai avea nevoie de...” Aici ea făcu o pauză intenționată. „Ai avea nevoie de mai mult de șase milioane... da, mai mult de șase milioane de ani.

Pământean sau titanic? Această întrebare a apărut instantaneu în mintea lui Duncan. Dar care este diferența?

„Dar ești diferit de un computer fără creier”, a continuat bunica. „Imediat vezi combinații evident nepotrivite și, prin urmare, nu trebuie să pierzi timpul verificându-le.” Încearcă din nou.

Duncan s-a supus, deja fără entuziasm și fără încredere în succes. Și apoi i-a venit în minte o idee genială.

Karl a fost imediat interesat de pentominoe și a acceptat provocarea. A luat cutia cu figurile de la Duncan și a dispărut câteva ore.

Când Karl l-a sunat, prietenul lui părea oarecum supărat.

– Ești sigur că această problemă chiar are o soluție? - el a intrebat.

- Absolut sigur. Sunt doi dintre ei. Chiar nu ai găsit măcar unul? Am crezut că ești grozav la matematică.

„Imaginați-vă, îmi pot da seama, de aceea știu câtă muncă necesită sarcina dumneavoastră.” Trebuie să verificăm... un milion de miliarde de combinații posibile.

– De unde ai știut că sunt atât de mulți dintre ei? – a întrebat Duncan, mulțumit că măcar a reușit să-l facă pe prietenul său să se scarpine în cap de confuzie.

Karl aruncă o privire laterală la o bucată de hârtie plină cu câteva diagrame și numere.

– Dacă excludeți combinațiile inacceptabile și țineți cont de simetrie și de posibilitatea de rotație... obțineți un factorial... numărul total de permutări... tot nu veți înțelege. Mai bine îți arăt numărul în sine.

El a adus o altă foaie de hârtie la cameră, pe care a fost înfățișat în detaliu un șir impresionant de numere:

1 004 539 160 000 000.

Duncan nu știa nimic despre factoriali, dar nu avea nicio îndoială cu privire la acuratețea calculelor lui Karl. I-a plăcut foarte mult numărul lung.

„Deci ai de gând să renunți la această sarcină?” – întrebă Duncan cu grijă.

- Ce mai mult! Am vrut doar să vă arăt cât de greu este.

Chipul lui Karl exprima hotărâre sumbră. După ce a spus aceste cuvinte, a leșinat.

A doua zi, Duncan a experimentat unul dintre cele mai mari șocuri din viața de copilărie. Chipul rătăcit al lui Karl, cu ochii injectați de sânge, îl privea de pe ecran. Se simțea că petrecuse o noapte nedorită.

„Ei bine, asta-i tot”, anunță el cu o voce obosită, dar triumfătoare.

Duncan cu greu îi venea să-și creadă ochilor. I se părea că șansele de succes sunt neglijabile. Chiar s-a convins de asta. Și deodată... În fața lui zăcea un dreptunghi de trei pe douăzeci, plin cu toate cele douăsprezece figurine pentomino.

Apoi Karl a schimbat și a întors piesele de la capete, lăsând partea centrală neatinsă. Degetele îi tremurau ușor de oboseală.

„Aceasta este a doua soluție”, a explicat el, „Și acum mă duc să mă culc”. Deci noapte bună sau bună dimineața - orice doriți.

Umilitul Duncan se uită îndelung la ecranul întunecat. Nu știa în ce direcție se mișca Karl, căutând o soluție la puzzle. Dar știa că prietenul său ieșise învingător. Împotriva tuturor probabilităților.

Nu invidia victoria prietenului său. Duncan l-a iubit prea mult pe Karl și s-a bucurat întotdeauna de succesele sale, deși el însuși s-a trezit adesea de partea învinsă. Dar a fost ceva diferit în triumful prietenului meu de astăzi, ceva aproape magic.

Duncan a văzut pentru prima dată puterea intuiției. El a întâlnit capacitatea misterioasă a minții de a sparge dincolo de fapte și de a arunca deoparte logica care interferează. În câteva ore, Karl a finalizat o slujbă colosală, depășind cel mai rapid computer.

Ulterior, Duncan a aflat că toți oamenii au astfel de abilități, dar le folosesc extrem de rar - poate o dată în viață. În Karl, acest dar a primit o dezvoltare excepțională... Din acel moment, Duncan a început să ia în serios raționamentul prietenului său, chiar și pe cel mai ridicol și revoltător din punctul de vedere al bunului simț.

Asta a fost acum douăzeci de ani. Duncan nu-și amintea unde plecaseră piesele de plastic pentomino. Poate că au rămas cu Karl.

Darul bunicii a devenit noua lor încarnare, acum sub formă de bucăți de piatră multicoloră. Uimitor, granitul roz moale provenea de pe dealurile Galileo, obsidianul era din Platoul Huygens, iar pseudo-marmura era de pe creasta Herschel. Și printre ei... la început Duncan a crezut că s-a înșelat. Nu, așa este: a fost cel mai rar și mai misterios mineral al Titanului. Bunica mea a făcut crucea de piatră pentomino din titanită. Acest mineral albastru-negru cu incluziuni aurii nu poate fi confundat cu nimic. Duncan nu mai văzuse niciodată piese atât de mari și nu putea decât să ghicească care era costul lor.

„Nu știu ce să spun,” mormăi el. „Ce frumusețe.” Este prima dată când văd asta.

El a îmbrățișat umerii subțiri ai bunicii sale și brusc a simțit că tremurau și ea nu a putut opri tremurul. Duncan o ținu ușor în brațe până când umerii ei încetară să tremure. În astfel de momente, cuvintele nu sunt necesare. Mai clar decât înainte, Duncan a înțeles: a fost ultima dragoste din viața devastată a lui Helen Mackenzie. Și acum zboară, lăsând-o singură cu amintirile ei.

PIATA MAGIC MARE

Matematicianul chinez din secolul al XIII-lea Yang Hui era familiarizat cu triunghiul lui Pascal (triunghiul aritmetic). El a lăsat o descriere a metodelor de rezolvare a ecuațiilor de gradul 4 și superior; există reguli pentru rezolvarea unei ecuații pătratice complete, însumarea progresiilor și metode de construire a pătratelor magice. El a reușit să construiască un pătrat magic de ordinul al șaselea, iar acesta din urmă s-a dovedit a fi aproape asociativ (în el doar două perechi de numere central opuse nu dau suma de 37).

Benjamin Franklin a construit un pătrat de 16x16, care, pe lângă faptul că avea o sumă constantă de 2056 în toate rândurile, coloanele și diagonalele, mai avea o proprietate suplimentară. Dacă tăiem un pătrat de 4x4 dintr-o foaie de hârtie și punem această foaie pe un pătrat mare, astfel încât 16 celule din pătratul mai mare să cadă în acest slot, atunci suma numerelor care apar în acest slot, indiferent unde l-am pune , va fi același - 2056.

Cel mai valoros lucru despre acest pătrat este că este destul de ușor să-l transformi într-un pătrat magic perfect, în timp ce construirea pătratelor magice perfecte nu este o sarcină ușoară. Franklin a numit acest pătrat „cea mai fermecătoare magie dintre toate pătratele magice create vreodată de vrăjitori”.

PIATA MAGICA, un tabel pătrat de numere întregi în care sumele numerelor de-a lungul oricărui rând, oricărei coloane și oricare dintre cele două diagonale principale sunt egale cu același număr.

Pătratul magic este de origine chineză veche. Potrivit legendei, în timpul domniei împăratului Yu (aproximativ 2200 î.Hr.), o țestoasă sacră a ieșit la suprafață din apele râului Galben (Râul Galben), cu hieroglife misterioase înscrise pe carapacea sa (Fig. 1, A), iar aceste semne sunt cunoscute ca lo-shu și sunt echivalente cu pătratul magic prezentat în Fig. 1, b. În secolul al XI-lea Au învățat despre pătratele magice în India și apoi în Japonia, unde în secolul al XVI-lea. O vastă literatură a fost dedicată pătratelor magice. Europenii au fost introduși în pătratele magice în secolul al XV-lea. scriitorul bizantin E. Moschopoulos. Primul pătrat inventat de un european este considerat a fi pătratul lui A. Durer (Fig. 2), reprezentat în faimoasa sa gravură Melancolie 1. Data realizării gravurii (1514) este indicată de numerele din cele două celule centrale ale liniei de jos. Diferite proprietăți mistice au fost atribuite pătratelor magice. În secolul al XVI-lea Cornelius Heinrich Agrippa a construit pătrate de ordinul 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9, care au fost asociate cu astrologia celor 7 planete. Se credea că un pătrat magic gravat pe argint protejează împotriva ciumei. Chiar și astăzi, printre atributele ghicitorilor europeni se pot vedea pătrate magice.

În secolele al XIX-lea și al XX-lea. interesul pentru pătratele magice a izbucnit cu o vigoare reînnoită. Au început să fie studiate folosind metodele algebrei superioare și ale calculului operațional.

Fiecare element al unui pătrat magic se numește celulă. Un pătrat a cărui latură este formată din n celule, contine n 2 celule și se numește pătrat n-a ordine. Majoritatea pătratelor magice folosesc primul n numere naturale consecutive. Sumă S numerele din fiecare rând, fiecare coloană și pe orice diagonală se numește constantă pătrată și este egală cu S = n(n 2 + 1)/2. S-a dovedit că nі 3. Pentru un pătrat de ordinul 3 S= 15, ordinul 4 – S= 34, ordinul 5 – S = 65.

Cele două diagonale care trec prin centrul pătratului se numesc diagonale principale. O linie întreruptă este o diagonală care, ajungând la marginea pătratului, continuă paralelă cu primul segment din marginea opusă (o astfel de diagonală este formată din celulele umbrite din fig. 3). Celulele care sunt simetrice față de centrul pătratului se numesc simetrice oblice. Acestea sunt, de exemplu, celule AȘi bîn fig. 3.

Regulile pentru construirea pătratelor magice sunt împărțite în trei categorii, în funcție de ordinea pătratului este impar, egal cu de două ori un număr impar sau egal cu de patru ori un număr impar. O metodă generală de construire a tuturor pătratelor este necunoscută, deși sunt utilizate pe scară largă diverse scheme, dintre care unele le vom lua în considerare mai jos.

Pătratele magice de ordin impar pot fi construite folosind metoda unui geometru francez din secolul al XVII-lea. A. de la Lubera. Să luăm în considerare această metodă folosind exemplul unui pătrat de ordinul 5 (Fig. 4). Numărul 1 este plasat în celula centrală a rândului de sus. Toate numerele naturale sunt aranjate într-o ordine naturală ciclic de jos în sus în celule diagonale de la dreapta la stânga. După ce am ajuns la marginea superioară a pătratului (ca și în cazul numărului 1), continuăm să umplem diagonala începând din celula de jos a coloanei următoare. După ce am ajuns la marginea dreaptă a pătratului (numărul 3), continuăm să umplem diagonala care vine din celula din stânga în linia de mai sus. După ce a ajuns la o celulă umplută (numărul 5) sau la un colț (numărul 15), traiectoria coboară o celulă, după care procesul de umplere continuă.

Metoda lui F. de la Hire (1640–1718) se bazează pe două pătrate originale. În fig. Figura 5 arată cum se utilizează această metodă pentru a construi un pătrat de ordinul 5. Numerele de la 1 la 5 sunt introduse în celula primului pătrat, astfel încât numărul 3 se repetă în celulele diagonalei principale mergând în sus spre dreapta, și nici un număr nu apare de două ori în același rând sau în același coloană. Facem același lucru cu numerele 0, 5, 10, 15, 20 cu singura diferență că numărul 10 se repetă acum în celulele diagonalei principale, mergând de sus în jos (Fig. 5, b). Suma celulă cu celulă a acestor două pătrate (Fig. 5, V) formează un pătrat magic. Această metodă este folosită și pentru a construi pătrate de ordine pară.

Dacă știți o modalitate de a construi pătrate de ordine mși ordine n, atunci putem construi un pătrat de ordine mґ n. Esența acestei metode este prezentată în Fig. 6. Aici m= 3 și n= 3. Un pătrat mai mare de ordinul 3 (cu numere marcate cu numere prime) este construit folosind metoda de la Loubert. În celula cu numărul 1ў (celula centrală a rândului de sus) se potrivește un pătrat de ordinul 3 dintre numerele de la 1 la 9, construit tot prin metoda de la Lubert. În celula cu numărul 2ў (dreapta în linia de jos) se potrivește un pătrat de ordinul 3 cu numere de la 10 la 18; în celula cu numărul 3ў - un pătrat de numere de la 19 la 27 etc. Ca rezultat, obținem un pătrat de ordinul 9. Astfel de pătrate sunt numite compozite.

PIATA MAGICA
un tabel pătrat de numere întregi în care sumele numerelor de-a lungul oricărui rând, oricărei coloane și oricare dintre cele două diagonale principale sunt egale cu același număr. Pătratul magic este de origine chineză veche. Potrivit legendei, în timpul domniei împăratului Yu (aproximativ 2200 î.Hr.), din apele râului Galben (Râul Galben) a ieșit la suprafață o țestoasă sacră, pe a cărei carapace erau înscrise hieroglife misterioase (Fig. 1a), iar aceste semne sunt cunoscute sub numele de lo-shu și sunt echivalente cu pătratul magic prezentat în Fig. 1, b. În secolul al XI-lea Au învățat despre pătratele magice în India și apoi în Japonia, unde în secolul al XVI-lea. O vastă literatură a fost dedicată pătratelor magice. Europenii au fost introduși în pătratele magice în secolul al XV-lea. scriitorul bizantin E. Moschopoulos. Primul pătrat inventat de un european este considerat pătratul lui A. Durer (Fig. 2), înfățișat în faimoasa sa gravură Melancolie 1. Data creării gravurii (1514) este indicată de numerele din cele două centrale. celulele liniei de jos. Diferite proprietăți mistice au fost atribuite pătratelor magice. În secolul al XVI-lea Cornelius Heinrich Agrippa a construit pătrate de ordinul 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9, care au fost asociate cu astrologia celor 7 planete. Se credea că un pătrat magic gravat pe argint protejează împotriva ciumei. Chiar și astăzi, printre atributele ghicitorilor europeni se pot vedea pătrate magice.

În secolele al XIX-lea și al XX-lea. interesul pentru pătratele magice a izbucnit cu o vigoare reînnoită. Au început să fie studiate folosind metodele algebrei superioare și ale calculului operațional. Fiecare element al unui pătrat magic se numește celulă. Un pătrat a cărui latură este formată din n celule conține n2 celule și se numește pătrat de ordinul al n-lea. Majoritatea pătratelor magice folosesc primele n numere naturale consecutive. Suma S numere din fiecare rând, fiecare coloană și pe orice diagonală se numește constantă pătrată și este egală cu S = n(n2 + 1)/2. S-a demonstrat că n = 3. Pentru un pătrat de ordinul 3 S = 15, ordinul 4 - S = 34, ordinul 5 - S = 65. Cele două diagonale care trec prin centrul pătratului se numesc diagonale principale. O linie întreruptă este o diagonală care, ajungând la marginea pătratului, continuă paralelă cu primul segment din marginea opusă (o astfel de diagonală este formată din celulele umbrite din fig. 3). Celulele care sunt simetrice față de centrul pătratului se numesc simetrice oblice. Acestea sunt, de exemplu, celulele a și b din Fig. 3.

Regulile pentru construirea pătratelor magice sunt împărțite în trei categorii, în funcție de ordinea pătratului este impar, egal cu de două ori un număr impar sau egal cu de patru ori un număr impar. O metodă generală de construire a tuturor pătratelor este necunoscută, deși sunt utilizate pe scară largă diverse scheme, dintre care unele le vom lua în considerare mai jos. Pătratele magice de ordin impar pot fi construite folosind metoda unui geometru francez din secolul al XVII-lea. A. de la Lubera. Să luăm în considerare această metodă folosind exemplul unui pătrat de ordinul 5 (Fig. 4). Numărul 1 este plasat în celula centrală a rândului de sus. Toate numerele naturale sunt aranjate într-o ordine naturală ciclic de jos în sus în celule diagonale de la dreapta la stânga. După ce am ajuns la marginea superioară a pătratului (ca și în cazul numărului 1), continuăm să umplem diagonala începând din celula de jos a coloanei următoare. După ce am ajuns la marginea dreaptă a pătratului (numărul 3), continuăm să umplem diagonala care vine din celula din stânga în linia de mai sus. După ce a ajuns la o celulă umplută (numărul 5) sau la un colț (numărul 15), traiectoria coboară o celulă, după care procesul de umplere continuă.

Metoda lui F. de la Hire (1640-1718) se bazează pe două pătrate originale. În fig. Figura 5 arată cum se utilizează această metodă pentru a construi un pătrat de ordinul 5. Numerele de la 1 la 5 sunt introduse în celula primului pătrat, astfel încât numărul 3 se repetă în celulele diagonalei principale mergând în sus spre dreapta, și nici un număr nu apare de două ori în același rând sau în același coloană. Facem același lucru cu numerele 0, 5, 10, 15, 20 cu singura diferență că numărul 10 se repetă acum în celulele diagonalei principale, mergând de sus în jos (Fig. 5, b). Suma celulă cu celulă a acestor două pătrate (Fig. 5c) formează un pătrat magic. Această metodă este folosită și pentru a construi pătrate de ordine pară.

Dacă știți cum să construiți pătrate de ordinul m și n, atunci puteți construi un pătrat de ordinul mґn. Esența acestei metode este prezentată în Fig. 6. Aici m = 3 și n = 3. Un pătrat mai mare de ordinul 3 (cu numere marcate cu numere prime) este construit folosind metoda de la Loubert. În celula cu numărul 1ў (celula centrală a rândului de sus) se potrivește un pătrat de ordinul 3 dintre numerele de la 1 la 9, construit tot prin metoda de la Lubert. În celula cu numărul 2ў (dreapta în linia de jos) se potrivește un pătrat de ordinul 3 cu numere de la 10 la 18; în celula cu numărul 3ў - un pătrat de numere de la 19 la 27 etc. Ca rezultat, obținem un pătrat de ordinul 9. Astfel de pătrate sunt numite compozite.

Enciclopedia lui Collier. - Societate deschisă. 2000 .

Vezi ce este „PIAȚA MAGIC” în alte dicționare:

Un pătrat împărțit într-un număr egal n de coloane și rânduri, cu primele n2 numere naturale înscrise în celulele rezultate, care se adună la același număr pentru fiecare coloană, fiecare rând și două diagonale mari... Dicţionar enciclopedic mare

MAGIC SQUARE, o MATRICE pătrată, împărțită în celule și umplută cu cifre sau litere într-un anumit fel, reparând o situație magică specială. Cel mai comun pătrat de litere este SATOR, format din cuvintele SATOR, AREPO,... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

Un pătrat împărțit într-un număr egal n de coloane și rânduri, cu numere naturale de la 1 la n2 înscrise în celulele rezultate, care însumează același număr pentru fiecare coloană, fiecare rând și două diagonale mari. În fig. exemplu de M. k. s...... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Un pătrat magic sau magic este un tabel pătrat umplut cu numere în așa fel încât suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și pe ambele diagonale să fie aceeași. Dacă sumele numerelor dintr-un pătrat sunt egale doar în rânduri și coloane, atunci ... Wikipedia

Un pătrat împărțit într-un număr egal n de coloane și rânduri, cu primele n2 numere naturale înscrise în celulele rezultate, care se adună la același număr pentru fiecare coloană, fiecare rând și două diagonale mari. Imaginea arată un exemplu... ... Dicţionar enciclopedic

Un pătrat împărțit într-un număr egal n de coloane și rânduri, cu primele n2 numere naturale înscrise în celulele rezultate, care însumează fiecare coloană, fiecare rând și două diagonale mari același număr [egal cu... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Un tabel pătrat de numere întregi de la 1 la n2, care îndeplinește următoarele condiții: unde s=n(n2+1)/2. Sunt luate în considerare și ecuații matematice mai generale, în care nu este necesar ca orice număr a să fie caracterizat în mod unic de o pereche de resturi (a, b) modulo n(cifre... Enciclopedie matematică

Carte Un pătrat împărțit în părți, fiecare dintre ele conține un număr care se adună la același număr împreună cu altele pe orizontală, verticală sau diagonală. BTS, 512... Dicționar mare de zicale rusești

- (greacă magikos, de la magos magician). Magic, legat de magie. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. Magie MAGICĂ. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Pavlenkov F., 1907... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

Este o versiune tridimensională a pătratului magic. Un cub magic tradițional (clasic) de ordinul n este un cub de dimensiuni n×n×n, umplut cu diverse numere naturale de la 1 la n3, astfel încât sumele numerelor din oricare dintre cele 3n2 rânduri, ... ... Wikipedia

Cărți

• Piața Magică, Irina Bjorno, „Piața Magică” este o colecție de povești și nuvele scrise în stilul realismului magic, în care realitatea este strâns împletită cu magia și fantezia, formând un stil nou, magic -... Categorie: Groază și mister Editura: Publishing Solutions, carte electronică(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Introducere

Marii oameni de știință ai antichității considerau relațiile cantitative ca fiind baza esenței lumii. Prin urmare, numerele și relațiile lor au ocupat cele mai mari minți ale omenirii. „În zilele tinereții mele, mă distram în timpul liber făcând... pătrate magice”, a scris Benjamin Franklin. Un pătrat magic este un pătrat a cărui sumă de numere în fiecare rând orizontal, în fiecare rând vertical și de-a lungul fiecărei diagonale este aceeași.

Unii matematicieni de seamă și-au dedicat lucrările pătratelor magice, iar rezultatele pe care le-au obținut au influențat dezvoltarea grupurilor, structurilor, pătratelor latine, determinanților, partițiilor, matricelor, comparațiilor și a altor domenii non-triviale ale matematicii.

Scopul acestui eseu este de a face cunoștință cu diferite pătrate magice, pătrate latine și de a studia domeniile de aplicare a acestora.

Pătrate magice

O descriere completă a tuturor pătratelor magice posibile nu a fost obținută până în prezent. Nu există pătrate magice 2x2. Există doar un pătrat magic de 3x3, deoarece alte pătrate magice de 3x3 sunt obținute din acesta fie prin rotire în jurul centrului, fie prin reflexie în jurul uneia dintre axele sale de simetrie.

Există 8 moduri diferite de a aranja numerele naturale de la 1 la 9 într-un pătrat magic 3x3:

• 9+5+1
• 9+4+2
• 8+6+2
• 8+5+2
• 8+4+3
• 7+6+2
• 7+5+3
• 6+5+4

Într-un pătrat magic 3x3, constanta magică 15 trebuie să fie egală cu suma a trei numere în 8 direcții: 3 rânduri, 3 coloane și 2 diagonale. Deoarece numărul din centru aparține unui rând, 1 coloană și 2 diagonale, este inclus în 4 din cele 8 triplete care se adună la constanta magică. Există un singur astfel de număr: este 5. Prin urmare, numărul din centrul pătratului magic 3x3 este deja cunoscut: este 5.

Luați în considerare numărul 9. Este inclus în doar 2 triplete de numere. Nu îl putem plasa într-un colț, deoarece fiecare celulă de colț aparține a 3 triplete: rând, coloană și diagonală. Prin urmare, numărul 9 trebuie să fie într-o celulă adiacentă laturii pătratului din mijlocul său. Din cauza simetriei pătratului, nu contează ce latură alegem, așa că scriem 9 deasupra numărului 5 în celula centrală. Pe fiecare parte a celor nouă din linia de sus, putem scrie doar numerele 2 și 4. Care dintre aceste două numere va fi în colțul din dreapta sus și care din stânga din nou nu contează, deoarece un aranjament de numere intră în altul când oglindit . Celulele rămase sunt completate automat. Construcția noastră simplă a unui pătrat magic de 3x3 dovedește unicitatea acestuia.

Un astfel de pătrat magic era un simbol de mare importanță în rândul vechilor chinezi. Cifra 5 din mijloc însemna pământ, iar în jurul lui în echilibru strict erau foc (2 și 7), apă (1 și 6),

lemn (3 și 8), metal (4 și 9).

Pe măsură ce dimensiunea pătratului (numărul de celule) crește, numărul de pătrate magice posibile de acea dimensiune crește rapid. Există 880 de pătrate magice de ordinul 4 și 275.305.224 de pătrate magice de ordinul 5. În plus, pătratele 5x5 erau cunoscute încă din Evul Mediu. Musulmanii, de exemplu, au fost foarte reverenți față de un astfel de pătrat cu numărul 1 în mijloc, considerându-l un simbol al unității lui Allah.

Pătratul magic al lui Pitagora

Marele om de știință Pitagora, care a fondat doctrina religioasă și filozofică care proclama că relațiile cantitative sunt baza esenței lucrurilor, credea că esența omului stă și în număr - data nașterii. Prin urmare, cu ajutorul pătratului magic al lui Pitagora, puteți cunoaște caracterul unei persoane, gradul de sănătate și potențialul său, puteți dezvălui avantaje și dezavantaje și, prin urmare, puteți identifica ce ar trebui făcut pentru a o îmbunătăți.

Pentru a înțelege ce este pătratul magic al lui Pitagora și cum sunt calculați indicatorii săi, îl voi calcula folosind propriul meu exemplu. Și pentru a mă asigura că rezultatele calculului corespund într-adevăr caracterului real al unei anumite persoane, mai întâi îl voi verifica pe mine. Pentru a face acest lucru, voi face calculul pe baza datei mele de naștere. Deci, data mea de naștere este 20/08/1986. Să adunăm numerele zilei, lunii și anului nașterii (cu excepția zerourilor): 2+8+1+9+8+6=34. Apoi adunăm numerele rezultatului: 3+4=7. Apoi din prima sumă scadem dublul primei cifre a zilei de naștere: 34-4=30. Și din nou adăugăm cifrele ultimului număr:

3+0=3. Rămâne de făcut ultimele adunări - sumele 1 și 3 și 2 și 4: 34+30=64, 7+3=10. Avem numerele 20/08/1986,34,7,30, 64,10.

și faceți un pătrat magic, astfel încât toate aceste numere să intre în celula 1, toate cele două în celula 2 etc. Zerourile nu sunt luate în considerare. Ca rezultat, pătratul meu va arăta astfel:

Celulele pătrate înseamnă următoarele:

Celula 1 - determinare, voință, perseverență, egoism.

• 1 - egoisti completi, straduieste-te sa extragi beneficiul maxim din orice situatie.
• 11 - un personaj apropiat de egoist.
• 111 - „mijloc de aur”. Personajul este calm, flexibil și sociabil.
• 1111 - oameni cu caracter puternic, voinic. Bărbații cu un asemenea caracter sunt potriviți pentru rolul profesioniștilor militari, iar femeile își țin familia în pumn.
• 11111 - dictator, tiran.
• 111111 - o persoană crudă, capabilă să facă imposibilul; cade adesea sub influența unei idei.

Celula 2 - bioenergie, emoționalitate, sinceritate, senzualitate. Numărul de doi determină nivelul de bioenergie.

Nu există doi - canalul este deschis pentru o colectare intensivă de bioenergie. Acești oameni sunt bine maniere și nobili din fire.

• 2 - oameni obișnuiți în termeni bioenergetici. Astfel de oameni sunt foarte sensibili la schimbările din atmosferă.
• 22 - o rezervă relativ mare de bioenergie. Astfel de oameni sunt medici, asistente și infirmieri buni. În familia unor astfel de oameni, rareori există cineva care se confruntă cu stres nervos.
• 222 este semnul unui psihic.

Celula 3 - acuratețe, specificitate, organizare, curățenie, punctualitate, curățenie, zgârcenie, înclinație către „restabilirea dreptății” constantă.

Creșterea celor trei sporește toate aceste calități. Cu ele, are sens ca o persoană să se caute în științe, în special în cele exacte. Predominanța celor trei dă naștere pedanților, oameni într-un caz.

Celula 4 - sănătate. Acesta este legat de ecgregor, adică spațiul energetic dezvoltat de strămoși și care protejează o persoană. Absența celor patru indică faptul că o persoană este bolnavă.

• 4 - sănătate medie, este necesar să se întărească organismul. Înotul și alergarea sunt sporturi recomandate.
• 44 - sănătate bună.
• 444 și mai mult - oameni cu sănătate foarte bună.

Celula 5 - intuiție, clarviziune, care începe să se manifeste în astfel de oameni deja la nivelul celor trei cinci.

Nu există cinci - canalul de comunicare cu spațiul este închis. Acești oameni des

sunt greșite.

• 5 - canalul de comunicare este deschis. Acești oameni pot calcula corect situația și pot profita la maximum de ea.
• 55 - intuiție foarte dezvoltată. Când văd „vise profetice”, ei pot prezice cursul evenimentelor. Profesiile potrivite pentru ei sunt avocat, anchetator.
• 555 - aproape clarvăzător.
• 5555 - clarvăzători.

Celula 6 - temelie, materialitate, calcul, înclinație pentru explorarea cantitativă a lumii și neîncrederea în salturile calitative și cu atât mai mult în miracolele spirituale.

Nu există șase - acești oameni au nevoie de muncă fizică, deși, de regulă, nu le place. Sunt înzestrați cu imaginație, fantezie și gust artistic extraordinar. Naturi subtile, ele sunt totuși capabile de acțiune.

• 6 - se poate angaja în creativitate sau științe exacte, dar munca fizică este o condiție prealabilă a existenței.
• 66 - oamenii sunt foarte întemeiați, atrași de munca fizică, deși nu este obligatoriu pentru ei; Activitatea mentală sau activitățile artistice sunt de dorit.
• 666 este semnul Satanei, un semn special și de rău augur. Acești oameni au un temperament înalt, sunt fermecați și devin invariabil centrul atenției în societate.
• 6666 - acești oameni în încarnările lor anterioare au câștigat prea multă temelie, au muncit foarte mult și nu-și pot imagina viața fără muncă. Dacă pătratul lor conține

Nouă, cu siguranță trebuie să se angajeze în activitate mentală, să-și dezvolte intelectul și cel puțin să obțină o educație superioară.

Celula 7 - numărul de șapte determină măsura talentului.

• 7 - cu cât lucrează mai mult, cu atât primesc mai târziu.
• 77 - oameni foarte talentați, muzicali, au un gust artistic subtil și pot avea o înclinație pentru artele plastice.
• 777 - acești oameni, de regulă, vin pe Pământ pentru o perioadă scurtă de timp. Sunt amabili, senini și sensibili la orice nedreptate. Sunt sensibili, le place să viseze și nu simt întotdeauna realitatea.
• 7777 este semnul unui Înger. Oamenii cu acest semn mor în copilărie, iar dacă trăiesc, viața lor este în permanență în pericol.

Celula 8 - karma, datorie, obligație, responsabilitate. Numărul de opt determină gradul de simț al datoriei.

Nu există opt - acești oameni au o lipsă aproape completă a simțului datoriei.

• 8 - fire responsabile, conștiincioase, precise.
• 88 - acești oameni au un simț al datoriei dezvoltat, se disting mereu prin dorința de a-i ajuta pe ceilalți, în special pe cei slabi, bolnavi și singuri.
• 888 este un semn de mare datorie, un semn de slujire a poporului. O riglă cu trei opturi obține rezultate remarcabile.
• 8888 - acești oameni au abilități parapsihologice și o sensibilitate excepțională la științele exacte. Le sunt deschise căi supranaturale.

Celula 9 - inteligență, înțelepciune. Absența lui nouă este dovada că abilitățile mentale sunt extrem de limitate.

• 9 – acești oameni trebuie să muncească din greu toată viața pentru a compensa lipsa lor de inteligență.
• 99 - acești oameni sunt deștepți din naștere. Ei sunt întotdeauna reticenți în a învăța, deoarece cunoașterea le vine ușor. Sunt înzestrați cu simțul umorului cu o tentă ironică și sunt independenți.
• 999 - foarte inteligent. Nu se depune deloc efort în învățare. Excelenți conversaționali.
• 9999 - adevărul este dezvăluit acestor oameni. Dacă și-au dezvoltat și intuiția, atunci ei sunt garantați împotriva eșecului în oricare dintre eforturile lor. Cu toate acestea, sunt de obicei destul de plăcute, deoarece mintea lor ascuțită îi face nepoliticoși, nemilostivi și cruzi.

Deci, după ce ai întocmit pătratul magic al lui Pitagora și cunoscând semnificația tuturor combinațiilor de numere incluse în celulele sale, vei putea evalua suficient calitățile naturii tale pe care le-a înzestrat Mama Natură.

pătrate latine

În ciuda faptului că matematicienii erau interesați în principal de pătratele magice, pătratele latine au găsit cea mai mare aplicație în știință și tehnologie.

Un pătrat latin este un pătrat de nxn celule în care sunt scrise numerele 1, 2,..., n, și în așa fel încât toate aceste numere să apară o dată în fiecare rând și fiecare coloană. Figura 3 prezintă două astfel de pătrate 4x4. Au o caracteristică interesantă: dacă un pătrat este suprapus peste altul, atunci toate perechile de numere rezultate se dovedesc a fi diferite. Astfel de perechi de pătrate latine se numesc ortogonale.

Problema găsirii unor pătrate latine ortogonale a fost pusă pentru prima dată de L. Euler, iar într-o formulare atât de distractivă: „Printre cei 36 de ofițeri există un număr egal de lănciri, dragoni, husari, cuirasieri, gărzi de cavalerie și grenadieri și, în plus, un număr egal de generali, colonei, maiori, căpitani, locotenenți și sublocotenenți, și Fiecare ramură a armatei este reprezentată de ofițeri din toate cele șase grade. Este posibil să se alinieze toți ofițerii într-un pătrat de 6 x 6 astfel încât în ​​orice coloană și în orice grad să fie ofițeri de toate gradele?”

Euler nu a putut găsi o soluție la această problemă. În 1901 s-a dovedit că o astfel de soluție nu există. În același timp, Euler a demonstrat că există perechi ortogonale de pătrate latine pentru toate valorile impare ale lui n și pentru acele valori pare ale lui n care sunt divizibile cu 4. Euler a emis ipoteza că pentru valorile rămase ale lui n, că este, dacă numărul n atunci când este împărțit la 4 dă în rest 2, nu există pătrate ortogonale. În 1901 s-a dovedit că nu există pătrate ortogonale 6 6, iar acest lucru a sporit încrederea în validitatea ipotezei lui Euler. Cu toate acestea, în 1959, cu ajutorul unui computer, au fost găsite pentru prima dată pătrate ortogonale 10x10, apoi 14x14, 18x18, 22x22. Și apoi s-a arătat că pentru orice n cu excepția lui 6, există nxn pătrate ortogonale.

Pătratele magice și latine sunt rude apropiate. Să avem două pătrate ortogonale. Să umplem celulele unui pătrat nou de aceleași dimensiuni, după cum urmează. Să punem acolo numărul n(a - 1)+b, unde a este numărul dintr-o astfel de celulă a primului pătrat, iar b este numărul din aceeași celulă a celui de-al doilea pătrat. Este ușor de înțeles că în pătratul rezultat, sumele numerelor din rânduri și coloane (dar nu neapărat pe diagonale) vor fi aceleași.

Teoria pătratelor latine și-a găsit numeroase aplicații atât în ​​matematică în sine, cât și în aplicațiile ei. Să dăm un exemplu. Să presupunem că vrem să testăm 4 soiuri de grâu pentru randament într-o anumită zonă și vrem să luăm în considerare influența gradului de rară a culturilor și influența a două tipuri de îngrășăminte. Pentru a face acest lucru, vom împărți un teren pătrat în 16 loturi (Fig. 4). Vom planta primul soi de grâu în parcele corespunzătoare dungii orizontale inferioare, următorul soi în patru parcele corespunzătoare dungii următoare etc. (în figură, soiul este indicat prin culoare). În acest caz, lăsați densitatea maximă a culturilor să fie în acele parcele care corespund coloanei verticale din stânga a figurii și să scadă atunci când vă deplasați spre dreapta (în figură aceasta corespunde unei scăderi a intensității culorii). Fie ca numerele din celulele imaginii să însemne:

primul este numărul de kilograme de îngrășământ de primul tip aplicat în această zonă, iar al doilea este cantitatea de îngrășământ de al doilea tip aplicat. Este ușor de înțeles că în acest caz se realizează toate perechile posibile de combinații atât de soi, cât și de densitate de semănat și alte componente: soi și îngrășăminte de primul tip, îngrășăminte de primul și al doilea tip, densitate și îngrășăminte de al doilea tip.

Utilizarea pătratelor latine ortogonale ajută la luarea în considerare a tuturor opțiunilor posibile în experimente în agricultură, fizică, chimie și tehnologie.

pătrat magic pythagoras latin

Concluzie

Acest eseu examinează probleme legate de istoria dezvoltării uneia dintre întrebările din matematică care a ocupat mințile multor oameni mari - pătratele magice. În ciuda faptului că pătratele magice în sine nu și-au găsit o aplicație largă în știință și tehnologie, ele au inspirat mulți oameni extraordinari să studieze matematica și au contribuit la dezvoltarea altor ramuri ale matematicii (teoria grupelor, determinanților, matricelor etc.).

Cele mai apropiate rude ale pătratelor magice, pătratele latine, au găsit numeroase aplicații atât în ​​matematică, cât și în aplicațiile acesteia în configurarea și prelucrarea rezultatelor experimentelor. Rezumatul oferă un exemplu de organizare a unui astfel de experiment.

Rezumatul discută și problema pieței pitagoreice, care prezintă un interes istoric și, eventual, utilă pentru realizarea unui portret psihologic al unei persoane.

Bibliografie

• 1. Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician. M., „Pedagogie”, 1989.
• 2. M. Gardner „Călătoria în timp”, M., „Mir”, 1990.
• 3. Educație fizică și sport Nr. 10, 1998