Magic square para sa 4 sa 20. Paano gumagana ang magic square

Ang bugtong na ito ay mabilis na kumalat sa buong Internet. Libu-libong tao ang nagsimulang magtaka kung paano gumagana ang magic square. Ngayon ay makikita mo sa wakas ang sagot!

Ang misteryo ng magic square

Sa katunayan, ang bugtong na ito ay medyo simple at ginawa sa isip ng tao na hindi pinapansin. Tingnan natin kung paano gumagana ang magic black square gamit ang isang tunay na halimbawa:

Hulaan natin ang anumang numero mula 10 hanggang 19. Ngayon ay ibawas natin ang mga constituent digit nito mula sa numerong ito. Halimbawa, kunin natin ang 11. Ibawas ang isa sa 11 at pagkatapos ay isa pa. Ang resulta ay 9. Hindi mahalaga kung aling numero mula 10 hanggang 19 ang kukunin mo. Ang resulta ng mga kalkulasyon ay palaging magiging 9. Ang numero 9 sa "Magic Square" ay tumutugma sa unang numero na may mga larawan. Kung titingnan mong mabuti, makikita mo na napakalaking bilang ng mga numero ang nakatalaga sa parehong mga larawan.
Ano ang mangyayari kung kukuha ka ng isang numero sa hanay mula 20 hanggang 29? Siguro nahulaan mo na ito sa iyong sarili? Tama! Ang resulta ng pagkalkula ay palaging magiging 18. Ang numero 18 ay tumutugma sa pangalawang posisyon sa dayagonal na may mga larawan.
Kung kukuha ka ng isang numero mula 30 hanggang 39, kung gayon, tulad ng maaari mo nang hulaan, lalabas ang numero 27. Ang numero 27 ay tumutugma din sa numero sa dayagonal ng hindi maipaliwanag na "Magic Square".
Ang isang katulad na algorithm ay nananatiling totoo para sa anumang mga numero mula 40 hanggang 49, mula 50 hanggang 59, at iba pa.

Iyon ay, lumalabas na hindi mahalaga kung anong numero ang iyong nahulaan - hulaan ng "Magic Square" ang resulta, dahil sa mga cell na may bilang na 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 at 81 ay mayroong talagang parehong simbolo.

Sa katunayan, ang misteryong ito ay madaling maipaliwanag gamit ang isang simpleng equation:

Isipin ang anumang dalawang-digit na numero. Anuman ang bilang, maaari itong katawanin bilang x*10+y. Ang mga sampu ay gumaganap bilang "x", at ang mga yunit ay gumaganap bilang "y".
Ibawas ang mga numerong bumubuo nito sa nakatagong numero. Idagdag ang equation: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
Ang numero na lalabas bilang resulta ng mga kalkulasyon ay dapat tumuro sa isang tiyak na simbolo sa talahanayan.

Hindi mahalaga kung anong numero ang nasa papel na "x", sa isang paraan o iba pa ay makakakuha ka ng isang simbolo na ang numero ay magiging multiple ng siyam. Upang matiyak na mayroong isang simbolo sa ilalim ng magkakaibang mga numero, tingnan lamang ang talahanayan at ang mga numerong 0,9,18,27,45,54,63,72,81 at mga kasunod.

MAGIC SQUARE

Ang China ay itinuturing na lugar ng kapanganakan ng mga magic square. Sa Tsina, mayroong pagtuturo ng Feng Shui, na nagsasaad na ang kulay, hugis at pisikal na pagkakalagay ng bawat elemento sa kalawakan ay nakakaapekto sa daloy ng Qi, alinman sa pagpapabagal nito, pag-redirect nito o pagpapabilis nito, na direktang nakakaapekto sa mga antas ng enerhiya. ng mga naninirahan. Upang malaman ang mga lihim ng mundo, ipinadala ng mga diyos kay Emperor Yu ang pinaka sinaunang simbolo, ang Lo Shu square (Lo - river).

MAGIC SQUARE LO SHU

Ayon sa alamat, mga apat na libong taon na ang nakalilipas, isang malaking pagong, si Shu, ang lumabas mula sa mabagyong tubig ng Ilog Luo. Nakita ng mga taong nagsasakripisyo sa ilog ang pagong at agad itong nakilala bilang isang diyos. Ang mga pagsasaalang-alang ng mga sinaunang pantas ay tila makatwiran kay Emperador Yu kaya't inutusan niya ang imahe ng isang pagong na i-immortalize sa papel at tinatakan ito ng kanyang imperyal na selyo. Kung hindi, paano natin malalaman ang tungkol sa kaganapang ito?

Ang pagong na ito ay talagang espesyal dahil mayroon itong kakaibang pattern ng mga tuldok sa shell nito. Ang mga tuldok ay minarkahan sa isang maayos na paraan, na humantong sa mga sinaunang pilosopo sa ideya na ang parisukat na may mga numero sa shell ng pagong ay nagsisilbing isang modelo ng espasyo - isang mapa ng mundo na pinagsama-sama ng mythical founder ng Chinese civilization, Huang Di. Sa katunayan, ang kabuuan ng mga numero sa mga column, row, at parehong diagonal ng square ay pareho M = 15 at katumbas ng bilang ng mga araw sa bawat isa sa 24 na cycle ng Chinese solar year.

Ang mga numerong even at odd ay kahalili: 4 na mga even na numero (nakasulat mula sa ibaba hanggang sa itaas sa pababang pagkakasunod-sunod) ay nasa apat na sulok, at 5 odd na numero (nakasulat mula sa ibaba hanggang sa itaas sa pataas na pagkakasunod-sunod) ay bumubuo ng isang krus sa gitna ng parisukat. Ang limang elemento ng krus ay sumasalamin sa lupa, apoy, metal, tubig at kagubatan. Ang kabuuan ng alinmang dalawang numero na pinaghihiwalay ng isang sentro ay katumbas ng numero ng Ho Ti, i.e. sampu.

Kahit na mga numero (mga simbolo ng Earth) ng Lo Shu ay minarkahan sa katawan ng pagong sa anyo ng mga itim na tuldok, o mga simbolo ng Yin, at mga kakaibang numero (mga simbolo ng Langit) - sa anyo ng mga puting tuldok, o mga simbolo ng Yang. Ang Earth 1 (o tubig) ay nasa ibaba, ang apoy 9 (o langit) ay nasa itaas. Posible na ang modernong imahe ng numero 5, na inilagay sa gitna ng komposisyon, ay dahil sa simbolo ng Tsino ng duality ng Yang at Yin.

MAGIC SQUARE MULA KHAJURAHO

silid sa silangan

Ang magic ni Joseph Rudyard Kipling, na lumikha ng mga imahe ng Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan at, siyempre, Tabaka, ay nagsimula noong bisperas ng ikadalawampu siglo. Kalahating siglo bago nito, noong Pebrero 1838, isang batang British na opisyal ng Bengal Engineers, T.S. Si Bert, na interesado sa pag-uusap ng mga tagapaglingkod na nagdadala ng kanyang palanquin, ay lumihis sa ruta at natitisod sa mga sinaunang templo sa mga gubat ng India.

Sa mga hagdan ng templo ng Vishvanatha, natagpuan ng opisyal ang isang inskripsiyon na nagpapatotoo sa sinaunang mga istruktura. Pagkaraan ng maikling panahon, ang masiglang Major General A. Cunningham ay gumuhit ng mga detalyadong plano para kay Khajuraho. Nagsimula ang mga paghuhukay, na nagtapos sa kagila-gilalas na pagtuklas ng 22 templo. Ang mga templo ay itinayo ng mga Maharaja ng kanilang dinastiyang Chandel. Matapos ang pagbagsak ng kanilang kaharian, nilamon ng gubat ang mga gusali sa loob ng isang libong taon. Ang parisukat ng ikaapat na pagkakasunud-sunod, na matatagpuan sa mga larawan ng mga hubad na diyos at diyosa, ay kamangha-mangha.

Hindi lamang ang mga kabuuan ng parisukat na ito sa kahabaan ng mga hilera, mga haligi at mga dayagonal ay nag-tutugma at katumbas ng 34. Nag-tutugma din sila sa mga sirang diagonal na nabuo kapag ang parisukat ay nakatiklop sa isang torus, at sa magkabilang direksyon. Para sa gayong pangkukulam ng mga numero, ang mga parisukat na ito ay tinatawag na "devilish" (o "pandiagonal", o "nasik").

Siyempre, pinatunayan nito ang hindi pangkaraniwang kakayahan sa matematika ng kanilang mga tagalikha, na nakahihigit sa mga kolonyalista. Ang hindi maiiwasang naramdaman ng mga taong nakasuot ng puting pith helmet.

DURER'S MAGIC SQUARE

Ang sikat na German artist noong unang bahagi ng ika-16 na siglo, si Albrecht Durer, ay lumikha ng unang 4x4 magic square sa European art. Ang kabuuan ng mga numero sa anumang hilera, hanay, dayagonal, at gayundin, nakakagulat, sa bawat quarter (kahit sa gitnang parisukat) at maging ang kabuuan ng mga numero ng sulok ay 34. Ang dalawang gitnang numero sa ibabang hilera ay nagpapahiwatig ng petsa ng paglikha ng pagpipinta (1514). Ang mga pagwawasto ay ginawa sa gitnang mga parisukat ng unang hanay - ang mga numero ay deformed.

Sa larawan na may occult winged mouse na si Saturn, ang magic square ay binubuo ng winged intelligence Jupiter, na sumasalungat sa isa't isa. Ang parisukat ay simetriko, dahil ang kabuuan ng alinmang dalawang numerong kasama dito, na matatagpuan sa simetriko na may kaugnayan sa gitna nito, ay katumbas ng 17. Kung susumahin mo ang apat na numero na nakuha sa paglipat ng chess knight, makakakuha ka ng 34. Tunay na , ang parisukat na ito, na may hindi nagkakamali na kaayusan, ay sumasalamin sa mapanglaw na humawak sa artista.

Panaginip sa umaga.

Ang mga Europeo ay ipinakilala sa kamangha-manghang mga parisukat ng numero ng Byzantine na manunulat at linguist na si Moschopoulos. Ang kanyang gawa ay isang espesyal na sanaysay sa paksang ito at naglalaman ng mga halimbawa ng mga magic square ng may-akda.

SYSTEMATIZATION NG MAGIC SQUARES

Sa kalagitnaan ng ika-16 na siglo. Sa Europa, lumitaw ang mga gawa kung saan lumitaw ang mga magic square bilang mga bagay ng mathematical research. Sinundan ito ng maraming iba pang mga gawa, lalo na ng mga sikat na mathematician, ang mga tagapagtatag ng modernong agham, tulad ng Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessey, Euler, Gauss.

Magical, o isang magic square, ay isang parisukat na talahanayan na puno ng n 2 mga numero sa paraang ang kabuuan ng mga numero sa bawat hilera, bawat column at sa parehong diagonal ay pareho. Ang kahulugan ay may kondisyon, dahil ang mga sinaunang tao ay nag-attach din ng kahulugan, halimbawa, sa kulay.

Normal tinatawag na magic square na puno ng mga integer mula 1 hanggang n 2. Umiiral ang mga normal na magic square para sa lahat ng order maliban sa n = 2, kahit na ang case n = 1 ay walang halaga - ang parisukat ay binubuo ng isang solong numero.

Ang kabuuan ng mga numero sa bawat row, column at diagonal ay tinatawag magic pare-pareho M. Ang magic constant ng isang normal na magic square ay nakasalalay lamang sa n at ibinibigay ng formula

M = n (n 2 + 1) /2

Ang mga unang halaga ng magic constants ay ibinibigay sa talahanayan

Kung ang kabuuan ng mga numero sa isang parisukat ay katumbas lamang sa mga hilera at hanay, kung gayon ito ay tinatawag semi-magical. Ang magic square ay tinatawag nag-uugnay o simetriko, kung ang kabuuan ng alinmang dalawang numero na matatagpuan sa simetriko tungkol sa gitna ng parisukat ay katumbas ng n 2 + 1.

Mayroon lamang isang normal na parisukat ng ikatlong order. Maraming tao ang nakakakilala sa kanya. Ang pagkakaayos ng mga numero sa parisukat ng Lo Shu ay katulad ng mga simbolikong pagtatalaga ng mga espiritu sa Kabbalah at ang mga palatandaan ng astrolohiya ng India.

Kilala rin bilang Saturn square. Nakita ito ng ilang lihim na lipunan noong Middle Ages bilang "Kabbalah ng Nine Chambers." Walang alinlangan, ang lilim ng ipinagbabawal na salamangka ay malaki ang ibig sabihin para sa pangangalaga ng kanyang mga imahe.

Mahalaga ito sa numerolohiya sa medieval, kadalasang ginagamit bilang anting-anting o tulong sa paghula. Ang bawat cell ay tumutugma sa isang mystical na titik o iba pang simbolo. Magbasa nang magkasama sa isang tiyak na linya, ang mga palatandaang ito ay naghatid ng mga mensahe ng okultismo. Ang mga numero na bumubuo sa petsa ng kapanganakan ay inilagay sa mga cell ng parisukat at pagkatapos ay na-decipher depende sa kahulugan at lokasyon ng mga numero.

Kabilang sa mga pandiagonal, na tinatawag ding mga mala-demonyo na mga parisukat, ang mga simetriko ay nakikilala - ang mga perpekto. Ang malademonyong parisukat ay nananatiling malademonyo kung paikutin mo ito, sasalamin ito, muling ayusin ang hilera mula sa itaas hanggang sa ibaba at sa kabaligtaran, i-cross out ang isang column sa kanan o kaliwa at itatalaga ito sa kabilang panig. Mayroong limang pagbabago sa kabuuan, ang diagram ng huli ay ipinapakita sa figure

Mayroong 48 4x4 malademonyong parisukat na may katumpakan sa pag-ikot at pagmuni-muni. Kung isasaalang-alang din natin ang simetrya kaugnay ng mga toric parallel na pagsasalin, tatlong magkakaibang 4x4 na malademonyong parisukat na lang ang natitira:

Natuklasan ni Claude F. Bragdon, isang sikat na Amerikanong arkitekto, na sa pamamagitan ng pagkonekta ng isa-isa sa mga cell na may pantay o kakaibang bilang lamang ng mga magic square sa isang putol na linya, sa karamihan ng mga kaso nakakakuha tayo ng eleganteng pattern. Ang pattern na naimbento niya para sa ventilation grille sa kisame ng Chamber of Commerce sa Rochester, New York, kung saan siya nakatira, ay itinayo mula sa mahiwagang putol na linya ng Lo-Shu talisman. Gumamit si Bragdon ng mga "magic lines" bilang mga disenyo para sa mga tela, pabalat ng libro, mga dekorasyong pang-arkitektural at pandekorasyon na mga headpiece.

Kung maglatag ka ng isang mosaic ng magkatulad na mala-demonyong mga parisukat (bawat parisukat ay dapat na malapit na katabi ng mga kapitbahay nito), makakakuha ka ng isang bagay na parang parquet, kung saan ang mga numero sa anumang pangkat ng mga 4x4 na selula ay bubuo ng isang malademonyong parisukat. Ang mga numero sa apat na mga cell, na sumusunod sa isa't isa, gaano man sila matatagpuan - patayo, pahalang o pahilis - palaging nagdaragdag sa pare-pareho ng parisukat. Tinatawag ng mga modernong matematiko ang gayong mga parisukat na "perpekto".

LATIN SQUARE

Ang Latin na parisukat ay isang uri ng hindi regular na mathematical square na puno ng n magkakaibang simbolo sa paraang ang lahat ng n simbolo ay lilitaw sa bawat row at bawat column (bawat isang beses).

Ang mga Latin na parisukat ay umiiral para sa anumang n. Anumang Latin square ay isang multiplication table (Cayley table) ng isang quasigroup. Ang pangalang "Latin square" ay nagmula kay Leonhard Euler, na gumamit ng mga letrang Latin sa halip na mga numero sa isang talahanayan.

Dalawang Latin na parisukat ang tinatawag orthogonal, kung ang lahat ng nakaayos na pares ng mga simbolo (a,b) ay magkaiba, kung saan ang a ay isang simbolo sa ilang cell ng unang Latin square, at ang b ay isang simbolo sa parehong cell ng pangalawang Latin square.

Umiiral ang mga Orthogonal Latin na parisukat para sa anumang pagkakasunud-sunod maliban sa 2 at 6. Para sa n pagiging isang kapangyarihan ng isang prime number, mayroong isang set ng n–1 pairwise orthogonal Latin squares. Kung sa bawat dayagonal ng isang Latin square ang lahat ng mga elemento ay naiiba, tulad ng isang Latin square ay tinatawag dayagonal. Ang mga pares ng orthogonal diagonal Latin na parisukat ay umiiral para sa lahat ng mga order maliban sa 2, 3, at 6. Ang Latin na parisukat ay madalas na nakakaharap sa mga problema sa pag-iiskedyul dahil ang mga numero ay hindi inuulit sa mga hilera at column.

Ang isang parisukat na binubuo ng mga pares ng mga elemento ng dalawang orthogonal Latin na parisukat ay tinatawag Griyego-Latin square. Ang ganitong mga parisukat ay kadalasang ginagamit upang bumuo ng mga magic square at sa mga kumplikadong problema sa pag-iiskedyul.

Habang pinag-aaralan ang mga parisukat ng Greco-Latin, pinatunayan ni Euler na ang mga parisukat ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay hindi umiiral, ngunit natagpuan ang mga parisukat ng 3, 4, at 5 na mga order. Wala siyang nakitang isang parisukat ng order 6. Ipinagpalagay niya na walang mga parisukat ng pantay na pagkakasunud-sunod na hindi nahahati sa 4 (iyon ay, 6, 10, 14, atbp.). Noong 1901, kinumpirma ni Gaston Terry ang hypothesis para sa ika-6 na order sa pamamagitan ng malupit na puwersa. Ngunit noong 1959, ang hypothesis ay pinabulaanan ni E. T. Parker, R. C. Bowes at S. S. Shrickherd, na natuklasan ang isang Graeco-Latin square ng order 10.

POLYMINO ARTHUR CLARKE

Polyominoes - sa mga tuntunin ng pagiging kumplikado, tiyak na nabibilang sila sa kategorya ng pinakamahirap na mga parisukat sa matematika. Ito ay kung paano sumulat ang manunulat ng science fiction na si A. Clark tungkol sa kanya - sa ibaba ay isang sipi mula sa aklat na "Earthly Empire". Malinaw na si Clark, na naninirahan sa kanyang isla, nakatira siya sa Ceylon - at ang kanyang pilosopiya ng paghihiwalay sa lipunan ay kawili-wili sa kanyang sarili, naging interesado sa libangan na itinuro ng lola ng batang lalaki, at ipinasa ito sa amin. Mas gusto natin ang buhay na paglalarawan na ito kaysa sa umiiral na mga sistematisasyon, na naghahatid, marahil, ang kakanyahan, ngunit hindi ang diwa ng laro.

"Malaki ka nang bata ngayon, Duncan, at mauunawaan mo ang larong ito... gayunpaman, higit pa ito sa isang laro." Taliwas sa sinabi ng kanyang lola, hindi humanga si Duncan sa laro. Well, ano ang magagawa mo mula sa limang puting plastik na parisukat?

"Una sa lahat," patuloy ng lola, "kailangan mong suriin kung gaano karaming iba't ibang mga pattern ang maaari mong pagsamahin mula sa mga parisukat."

– Dapat ba silang humiga sa mesa? "tanong ni Duncan.

- Oo, dapat silang magsinungaling na nakakaantig. Hindi ka maaaring mag-overlap ng isang parisukat sa isa pa.

Sinimulan ni Duncan na ilatag ang mga parisukat.

"Buweno, maaari kong ilagay silang lahat sa isang tuwid na linya," simula niya. "Ganito... At pagkatapos ay maaari kong muling ayusin ang dalawang piraso at makuha ang titik L... At kung kukunin ko ang kabilang gilid, makukuha ko ang titik U...”

Ang batang lalaki ay mabilis na nakagawa ng kalahating dosenang mga kumbinasyon, pagkatapos ay higit pa at biglang natuklasan na sila ay inuulit ang mga umiiral na.

- Siguro ako ay tanga, ngunit iyon lang.

Hindi nakuha ni Duncan ang pinakasimpleng mga figure - isang krus, upang lumikha kung saan ito ay sapat na upang ilatag ang apat na mga parisukat sa mga gilid ng ikalimang, gitnang isa.

"Karamihan sa mga tao ay nagsisimula sa krus," ngumiti ang lola. "Sa aking palagay, masyado kang nagmamadali sa pagdedeklara sa iyong sarili na tanga." Mas mahusay na isipin: maaari bang mayroong iba pang mga numero?

Konsentradong gumagalaw ang mga parisukat, nakakita si Duncan ng tatlo pang figure, at pagkatapos ay tumigil sa paghahanap.

"Talagang tapos na ngayon," kumpiyansa niyang sabi.

- Ano ang masasabi mo tungkol sa gayong pigura?

Nang bahagyang ilipat ang mga parisukat, itinupi ng lola ang mga ito sa hugis ng isang humpbacked letter F.

- At narito ang isa pa.

Pakiramdam ni Duncan ay isang ganap na tulala, at ang mga salita ng kanyang lola ay parang balsamo sa kanyang nahihiya na kaluluwa:

- Ang galing mo lang. Isipin mo na lang, dalawang piraso lang ang namiss ko. At ang kabuuang bilang ng mga numero ay labindalawa. Walang hihigit at walang kulang. Ngayon alam mo na silang lahat. Kung maghahanap ka ng walang hanggan, hindi ka na makakahanap ng iba.

Si Lola ay nagwalis ng limang puting parisukat sa isang sulok at naglatag ng isang dosenang maliliwanag at maraming kulay na plastik na piraso sa mesa. Ang mga ito ay ang parehong labindalawang mga numero, ngunit sa tapos na anyo, at bawat isa ay binubuo ng limang mga parisukat. Handa na si Duncan na sumang-ayon na walang ibang figure na talagang umiral.

Ngunit dahil inilatag ni lola ang maraming kulay na mga guhit na ito, nangangahulugan ito na ang laro ay nagpapatuloy, at isa pang sorpresa ang naghihintay kay Duncan.

– Ngayon, Duncan, makinig kang mabuti. Ang mga figure na ito ay tinatawag na "pentaminoes". Ang pangalan ay nagmula sa salitang Griyego na "penta", na nangangahulugang "lima". Ang lahat ng mga numero ay pantay-pantay sa lugar, dahil ang bawat isa ay binubuo ng limang magkakahawig na mga parisukat. Mayroong labindalawang mga numero, limang mga parisukat, samakatuwid, ang kabuuang lugar ay magiging katumbas ng animnapung parisukat. tama?

- Hmm oo.

- Makinig pa. Ang Sixty ay isang kahanga-hangang round number na maaaring buuin sa maraming paraan. Ang pinakamadali ay paramihin ang sampu sa anim. Ang kahon na ito ay may ganitong lugar: maaari itong humawak ng sampung parisukat nang pahalang, at anim na patayo. Samakatuwid, ang lahat ng labindalawang figure ay dapat magkasya dito. Simple, tulad ng isang pinagsama-samang larawan-bugtong.

Inaasahan ni Duncan ang isang catch. Gustung-gusto ni Lola ang mga verbal at mathematical na kabalintunaan, at hindi lahat ng mga ito ay naiintindihan ng kanyang sampung taong gulang na biktima. Ngunit sa pagkakataong ito ay walang mga kabalintunaan. Ang ilalim ng kahon ay nilagyan ng animnapung parisukat, ibig sabihin ay... Tumigil ka! Ang lugar ay isang lugar, ngunit ang mga figure ay may iba't ibang mga hugis. Subukang ilagay ang mga ito sa isang kahon!

"Iiwan ko ang gawaing ito para malutas mo nang mag-isa," anunsyo ng lola, nang makita kung paano niya malungkot na inilipat ang pentomino sa ilalim ng kahon. "Maniwala ka sa akin, maaari silang tipunin."

Hindi nagtagal ay nagsimulang magduda si Duncan sa mga salita ng kanyang lola. Madali niyang naipasok ang sampung figure sa kahon, at minsan ay naipit niya ang isang ikalabing-isa. Ngunit ang mga balangkas ng hindi napunong espasyo ay hindi nag-tutugma sa mga balangkas ng ikalabindalawang pigura, na binaliktad ng batang lalaki sa kanyang mga kamay. May isang krus, at ang natitirang pigura ay kahawig ng titik Z...

Makalipas ang kalahating oras, si Duncan ay nasa bingit na ng kawalan ng pag-asa. Si Lola ay nahuhulog sa isang dialogue kasama ang kanyang computer, ngunit paminsan-minsan ay tinitingnan niya ito nang may interes, na parang sinasabi: "Hindi ito kasingdali ng iyong iniisip."

Sa sampung taong gulang, kapansin-pansing matigas ang ulo ni Duncan. Karamihan sa kanyang mga kasamahan ay matagal nang sumuko sa pagsubok. (Makalipas lamang ang ilang taon ay napagtanto niya na ang kanyang lola ay magiliw na nagsagawa ng isang psychological test sa kanya.) Si Duncan ay tumagal ng halos apatnapung minuto nang walang tulong...

Pagkatapos ay tumayo ang lola mula sa computer at yumuko sa puzzle. Ginalaw ng kanyang mga daliri ang mga hugis U, X at L...

Ang ilalim ng kahon ay ganap na napuno! Ang lahat ng mga piraso ng puzzle ay nasa tamang lugar.

- Siyempre, alam mo ang sagot nang maaga! – Nagalit si Duncan.

- Sagot? – tanong ng lola.“Ilang paraan sa tingin mo ang maaaring ilagay sa kahon na ito ang pentomino?”

Narito ito, isang bitag. Si Duncan ay nagpaikot-ikot nang halos isang oras nang walang mahanap na solusyon, bagama't sa panahong ito sinubukan niya ang hindi bababa sa isang daang mga pagpipilian. Akala niya iisa lang ang paraan. May... dose sila? O higit pang mga?

- Kaya ilang paraan sa tingin mo ang maaaring magkaroon? – tanong ulit ni Lola.

"Dalawampu," sabi ni Duncan, iniisip na ngayon ay hindi na tututol si lola.

- Subukan muli.

Naramdaman ni Duncan ang panganib. Ang saya ay naging mas tuso kaysa sa naisip niya, at ang batang lalaki ay matalinong nagpasya na huwag ipagsapalaran ito.

"Actually, I don't know," aniya, umiling-iling.

"At ikaw ay isang batang matulungin," ngumiti muli ang lola. "Ang intuwisyon ay isang mapanganib na gabay, ngunit kung minsan ay wala na tayong iba." I can please you: imposibleng hulaan ang tamang sagot dito. Mayroong higit sa dalawang libong iba't ibang paraan upang magkasya ang mga pentomino sa kahon na ito. Mas tiyak, dalawang libo tatlong daan at tatlumpu't siyam. At ano ang masasabi mo dito?

Malabong niloloko siya ng kanyang lola. Ngunit si Duncan ay labis na nabigo sa kanyang kawalan ng kakayahan na makahanap ng solusyon na hindi niya maiwasang magsalita:

- Hindi ako naniniwala!

Si Helen ay bihirang magpakita ng pagkairita. Nang masaktan siya ni Duncan sa ilang paraan, naging malamig siya at lumayo. Gayunpaman, ngayon ay ngumisi lang ang lola at may tinapik sa keyboard ng computer.

"Tingnan mo dito," mungkahi niya.

Isang set ng labindalawang multi-colored pentominoes ang lumitaw sa screen, na pinupuno ang isang sampu-sa-anim na parihaba. Pagkalipas ng ilang segundo, pinalitan ito ng isa pang imahe, kung saan ang mga figure ay malamang na naiiba (hindi masabi ni Duncan nang sigurado, dahil hindi niya naaalala ang unang kumbinasyon). Hindi nagtagal ay nagbago na naman ang imahe, pagkatapos ay muli at muli... Nagpatuloy ito hanggang sa itinigil ng lola ang programa.

"Kahit na sa napakabilis, ang computer ay mangangailangan ng limang oras upang suriin ang lahat ng mga pamamaraan," paliwanag ng lola. "Maaari mong tanggapin ang aking salita para dito: lahat sila ay naiiba." Kung hindi dahil sa mga computer, duda ako na nahanap ng mga tao ang lahat ng paraan sa pamamagitan ng karaniwang enumeration ng mga opsyon.

Matagal na tinitigan ni Duncan ang labindalawang mapanlinlang na simpleng pigura. Dahan-dahan niyang hinihigop ang sinabi ng kanyang lola. Ito ang unang mathematical revelation sa kanyang buhay. Ang padalus-dalos niyang itinuring na laro ng isang ordinaryong bata ay biglang nagsimulang lumaganap sa kanyang harapan ng walang katapusang mga landas at abot-tanaw, kahit na ang pinakamagaling na sampung taong gulang na bata ay halos hindi maramdaman ang kawalang-hanggan ng sansinukob na ito.

Ngunit pagkatapos ay ang tuwa at pagkamangha ni Duncan ay pasibo. Ang tunay na pagsabog ng intelektwal na kasiyahan ay nangyari sa ibang pagkakataon, nang siya ay nakapag-iisa na natagpuan ang kanyang unang paraan ng pagtula ng mga pentomino. Sa loob ng ilang linggo, may dalang plastic na kahon si Duncan kahit saan. Ginugol niya ang lahat ng kanyang libreng oras sa mga pentominoes. Ang mga numero ay magiging mga personal na kaibigan ni Duncan. Tinawag niya sila sa pamamagitan ng mga letra na kahawig nila, bagaman sa ilang mga kaso ang pagkakatulad ay higit pa sa malayo. Limang figure - F, I, L, P, N - ay hindi pare-pareho, ngunit ang natitirang pito ay inulit ang pagkakasunud-sunod ng alpabetong Latin: T, U, V, W, X, Y, Z.

Isang araw, sa isang estado ng alinman sa geometric trance o geometric ecstasy, na hindi na naulit, nakahanap si Duncan ng limang opsyon sa pag-istilo sa loob ng wala pang isang oras. Marahil kahit na si Newton, Einstein o Chen Tzu, sa kanilang mga sandali ng katotohanan, ay hindi nadama na mas malapit na nauugnay sa mga diyos ng matematika kaysa kay Duncan Mackenzie.

Hindi nagtagal ay napagtanto niya, sa kanyang sarili, nang walang pahiwatig ng kanyang lola, na ang isang pentomino ay maaaring ilagay sa isang parihaba na may iba't ibang laki sa gilid. Medyo madali, nakahanap si Duncan ng ilang mga pagpipilian para sa mga parihaba 5 sa 12 at 4 sa 15. Pagkatapos ay nagdusa siya sa loob ng isang buong linggo na sinusubukang magkasya ang labindalawang numero sa isang mas mahaba at mas makitid na parihaba 3 sa 20. Muli at muli ay sinimulan niyang punan ang mapanlinlang na espasyo at ... kumuha ng mga butas sa parihaba at "dagdag" na mga figure.

Nalungkot, binisita ni Duncan ang kanyang lola, kung saan isang bagong sorpresa ang naghihintay sa kanya.

"Natutuwa ako para sa iyong mga eksperimento," sabi ni Helen. "Na-explore mo ang lahat ng posibilidad, sinusubukang makakuha ng pangkalahatang pattern." Ito ang palaging ginagawa ng mga mathematician. Ngunit nagkakamali ka: ang mga solusyon para sa isang tatlo-by-dalawampung parihaba ay umiiral. Dalawa lang sila, at kung makakita ka ng isa, mahahanap mo ang pangalawa.

Dahil sa inspirasyon ng papuri ng kanyang lola, ipinagpatuloy ni Duncan ang kanyang "pangangaso para sa mga pentomino" nang may panibagong sigla. Pagkaraan ng isa pang linggo, naunawaan niya kung gaano kabigat na pasanin ang iniatang niya sa kanyang mga balikat. Ang bilang ng mga paraan kung saan ang labindalawang numero ay maaaring ayusin ay sadyang nakakabaliw kay Duncan. Bukod dito, ang bawat pigura ay may apat na posisyon!

At muli ay lumapit siya sa kanyang lola, sinabi sa kanya ang lahat ng kanyang paghihirap. Kung mayroon lamang dalawang pagpipilian para sa isang 3 hanggang 20 na parihaba, gaano katagal bago mahanap ang mga ito?

“Kung gusto mo, sasagutin kita,” sabi ng lola. “Kung kumilos ka na parang isang computer na walang utak, gumagawa ng simpleng paghahanap ng mga kumbinasyon at gumugugol ng isang segundo sa bawat isa, kakailanganin mo...” Dito ay sadyang huminto. “Kailangan mo ng higit sa anim na milyon ... oo, higit sa anim na milyong taon.

Makalupa o titanic? Ang tanong na ito ay agad na lumitaw sa isip ni Duncan. Ngunit ano ang pagkakaiba?

"Ngunit iba ka sa isang computer na walang utak," patuloy ng lola. "Nakikita mo kaagad ang malinaw na hindi angkop na mga kumbinasyon, at samakatuwid ay hindi mo kailangang mag-aksaya ng oras upang suriin ang mga ito." Subukan muli.

Si Duncan ay sumunod, na wala nang sigasig at pananampalataya sa tagumpay. At pagkatapos ay isang napakatalino na ideya ang pumasok sa kanyang isipan.

Agad na interesado si Karl sa mga pentomino at tinanggap ang hamon. Kinuha niya ang kahon na may mga figure mula kay Duncan at nawala ng ilang oras.

Nang tawagan siya ni Karl, mukhang masama ang loob ng kaibigan niya.

– Sigurado ka bang may solusyon talaga ang problemang ito? - tanong niya.

- Siguradong sigurado. Dalawa sila. Wala ka ba talagang nahanap kahit isa? Akala ko magaling ka sa math.

"Imagine, maiintindihan ko ito, kaya alam ko kung gaano karaming trabaho ang kailangan ng iyong gawain." Kailangan nating suriin... isang milyong bilyong posibleng kumbinasyon.

– Paano mo nalaman na napakarami nila? – tanong ni Duncan, natutuwa na kahit paano ay nagawa niyang magkamot ng ulo ang kaibigan sa pagkalito.

Napalingon si Karl sa isang pirasong papel na puno ng ilang diagram at numero.

– Kung ibubukod mo ang mga hindi katanggap-tanggap na kumbinasyon at isinasaalang-alang ang symmetry at ang posibilidad ng pag-ikot... makakakuha ka ng factorial... ang kabuuang bilang ng mga permutasyon... hindi mo pa rin maintindihan. Mas mabuting ipakita ko sa iyo ang numero mismo.

Nagdala siya ng isa pang sheet ng papel sa camera, kung saan ang isang kahanga-hangang string ng mga numero ay inilalarawan sa malaking detalye:

1 004 539 160 000 000.

Walang alam si Duncan tungkol sa mga factorial, ngunit wala siyang pagdududa tungkol sa katumpakan ng mga kalkulasyon ni Karl. Nagustuhan niya talaga ang mahabang numero.

"Kung gayon, tatalikuran mo na ba ang gawaing ito?" – maingat na tanong ni Duncan.

- Ano pa! Gusto ko lang ipakita sayo kung gaano kahirap.

Bakas sa mukha ni Karl ang matinding determinasyon. Pagkasabi ng mga salitang ito, nawalan siya ng malay.

Kinabukasan, naranasan ni Duncan ang isa sa pinakamatinding pagkabigla sa kanyang buhay pagkabata. Ang haggard na mukha ni Karl, na may dugong mga mata, ay tumingin sa kanya mula sa screen. Pakiramdam niya ay wala siyang tulog.

"Well, that's all," anunsyo niya sa pagod ngunit matagumpay na boses.

Halos hindi makapaniwala si Duncan sa kanyang mga mata. Tila sa kanya na ang mga pagkakataon ng tagumpay ay bale-wala. Nakumbinsi pa niya ang sarili niya rito. At biglang... Sa harap niya ay may nakalatag na tres by twenty rectangle, na puno ng labindalawang pentomino figure.

Pagkatapos ay nagpalit si Karl at pinihit ang mga piraso sa mga dulo, na iniwang hindi nagalaw ang gitnang bahagi. Bahagyang nanginginig ang mga daliri niya sa pagod.

"Ito ang pangalawang solusyon," paliwanag niya. "At ngayon ay matutulog na ako." Kaya magandang gabi o magandang umaga - kahit anong gusto mo.

Ang nahihiya na si Duncan ay tumingin sa madilim na screen ng mahabang panahon. Hindi niya alam kung saang direksyon lumipat si Karl, naghahanap ng solusyon sa puzzle. Pero alam niyang nanalo ang kaibigan niya. Laban sa lahat ng posibilidad.

Hindi siya nainggit sa pagkapanalo ng kaibigan. Masyadong mahal ni Duncan si Karl at palaging nagagalak sa kanyang mga tagumpay, kahit na siya mismo ay madalas na natagpuan ang kanyang sarili sa nawawalang panig. Ngunit may kakaiba sa tagumpay ng aking kaibigan ngayon, isang bagay na halos kaakit-akit.

Nakita ni Duncan sa unang pagkakataon ang kapangyarihan ng intuwisyon. Nakatagpo niya ang mahiwagang kakayahan ng isip na lumampas sa mga katotohanan at itabi ang nakakasagabal na lohika. Sa loob ng ilang oras, natapos ni Karl ang isang napakalaking trabaho, na nalampasan ang pinakamabilis na computer.

Kasunod nito, nalaman ni Duncan na lahat ng tao ay may ganoong kakayahan, ngunit bihira nilang gamitin ang mga ito - marahil minsan sa kanilang buhay. Sa Karl, ang regalong ito ay nakatanggap ng pambihirang pag-unlad... Mula sa sandaling iyon, sinimulan ni Duncan na seryosohin ang pangangatwiran ng kanyang kaibigan, kahit na ang pinaka-katawa-tawa at mapangahas mula sa punto ng view ng sentido komun.

Dalawampung taon na ang nakalipas. Hindi naalala ni Duncan kung saan napunta ang mga plastic na piraso ng pentomino. Marahil ay nanatili sila kay Karl.

Ang regalo ng lola ay naging kanilang bagong pagkakatawang-tao, ngayon sa anyo ng mga piraso ng maraming kulay na bato. Ang kamangha-manghang, malambot na pink na granite ay mula sa mga burol ng Galileo, ang obsidian ay mula sa Huygens Plateau, at ang pseudo-marble ay mula sa Herschel ridge. At sa kanila... noong una ay naisip ni Duncan na siya ay nagkakamali. Hindi, ganyan ito: ito ang pinakabihirang at pinakamisteryosong mineral ng Titan. Ginawa ng lola ko ang batong pentomino cross mula sa titanite. Ang asul-itim na mineral na ito na may mga gintong inklusyon ay hindi maaaring malito sa anumang bagay. Si Duncan ay hindi pa nakakita ng ganoon kalaking piraso noon at nahulaan lamang niya kung ano ang halaga nito.

"Hindi ko alam kung ano ang sasabihin," ungol niya. "Ang ganda." Ito ang unang pagkakataon na nakita ko ito.

Niyakap niya ang manipis na balikat ng kanyang lola at biglang naramdaman na nanginginig ang mga ito at hindi niya napigilan ang panginginig. Marahan siyang hinawakan ni Duncan sa mga bisig nito hanggang sa tumigil ang pag-alog ng mga balikat nito. Sa ganitong mga sandali, hindi kailangan ng mga salita. Mas malinaw kaysa dati, naunawaan ni Duncan: siya ang huling pag-ibig sa nawasak na buhay ni Helen Mackenzie. At ngayon siya ay lumipad palayo, iniiwan siyang mag-isa kasama ang kanyang mga alaala.

MALAKING MAGIC SQUARE

Ang ika-13 siglong Chinese mathematician na si Yang Hui ay pamilyar sa tatsulok ni Pascal (arithmetic triangle). Nag-iwan siya ng paglalarawan ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ika-4 at mas mataas na degree; may mga panuntunan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation, pagbubuod ng mga pag-unlad, at mga pamamaraan para sa pagbuo ng mga magic square. Nagawa niyang bumuo ng isang magic square ng ika-anim na order, at ang huli ay naging halos magkakaugnay (sa loob nito ay dalawang pares lamang ng mga sentral na kabaligtaran na mga numero ang hindi nagbibigay ng kabuuan ng 37).

Gumawa si Benjamin Franklin ng isang 16x16 square, na, bilang karagdagan sa pagkakaroon ng pare-parehong kabuuan ng 2056 sa lahat ng row, column at diagonal, ay may isa pang karagdagang pag-aari. Kung gupitin natin ang isang 4x4 na parisukat mula sa isang sheet ng papel at ilagay ang sheet na ito sa isang malaking parisukat upang ang 16 na mga cell ng mas malaking parisukat ay mahulog sa puwang na ito, pagkatapos ay ang kabuuan ng mga numero na lumilitaw sa slot na ito, kahit saan natin ito ilagay. , ay magiging pareho - 2056.

Ang pinakamahalagang bagay tungkol sa parisukat na ito ay medyo madali itong gawing isang perpektong magic square, habang ang paggawa ng perpektong magic square ay hindi isang madaling gawain. Tinawag ni Franklin ang parisukat na ito na "ang pinakakaakit-akit na mahika sa lahat ng mga magic square na nilikha ng mga mangkukulam."

MAGIC SQUARE, isang parisukat na talahanayan ng mga integer kung saan ang mga kabuuan ng mga numero sa anumang row, anumang column, at alinman sa dalawang pangunahing diagonal ay katumbas ng parehong numero.

Ang magic square ay mula sa sinaunang Chinese na pinagmulan. Ayon sa alamat, sa panahon ng paghahari ni Emperor Yu (c. 2200 BC), isang sagradong pagong ang lumabas mula sa tubig ng Yellow River (Yellow River), na may mga mahiwagang hieroglyph na nakasulat sa shell nito (Fig. 1, A), at ang mga palatandaang ito ay kilala bilang lo-shu at katumbas ng magic square na ipinapakita sa Fig. 1, b. Noong ika-11 siglo Natutunan nila ang tungkol sa mga magic square sa India, at pagkatapos ay sa Japan, kung saan noong ika-16 na siglo. Ang malawak na panitikan ay nakatuon sa mga magic square. Ang mga Europeo ay ipinakilala sa mga magic square noong ika-15 siglo. Byzantine na manunulat na si E. Moschopoulos. Ang unang parisukat na naimbento ng isang European ay itinuturing na parisukat ng A. Durer (Larawan 2), na inilalarawan sa kanyang sikat na ukit Mapanglaw 1. Ang petsa ng paglikha ng ukit (1514) ay ipinahiwatig ng mga numero sa dalawang gitnang mga cell ng ilalim na linya. Ang iba't ibang mystical properties ay iniugnay sa magic squares. Noong ika-16 na siglo Si Cornelius Heinrich Agrippa ay gumawa ng mga parisukat ng ika-3, ika-4, ika-5, ika-6, ika-7, ika-8 at ika-9 na order, na nauugnay sa astrolohiya ng 7 planeta. Ito ay pinaniniwalaan na ang isang magic square na nakaukit sa pilak ay protektado laban sa salot. Kahit ngayon, kabilang sa mga katangian ng mga manghuhula sa Europa ay makakakita ka ng mga magic square.

Ang bawat elemento ng magic square ay tinatawag na cell. Isang parisukat na ang panig ay binubuo ng n mga cell, naglalaman ng n 2 cell at tinatawag na parisukat n-ika-utos. Karamihan sa mga magic square ay gumagamit ng una n magkakasunod na natural na numero. Sum S ang mga numero sa bawat row, bawat column at sa anumang dayagonal ay tinatawag na square constant at katumbas ng S = n(n 2 + 1)/2. Napatunayan na yan nі 3. Para sa isang parisukat ng ika-3 order S= 15, ika-4 na order – S= 34, ika-5 order – S = 65.

Ang dalawang dayagonal na dumadaan sa gitna ng parisukat ay tinatawag na mga pangunahing dayagonal. Ang isang putol na linya ay isang dayagonal na, na naabot ang gilid ng parisukat, ay nagpapatuloy na kahanay sa unang segment mula sa kabaligtaran na gilid (ang gayong dayagonal ay nabuo ng mga may kulay na mga cell sa Fig. 3). Ang mga cell na simetriko sa gitna ng parisukat ay tinatawag na skew-symmetric. Ito ay, halimbawa, mga cell a At b sa Fig. 3.

Ang mga mahiwagang parisukat ng kakaibang pagkakasunud-sunod ay maaaring itayo gamit ang pamamaraan ng ika-17 siglong French geoometer. A. de la Lubera. Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng isang ika-5 order na parisukat (Larawan 4). Ang numero 1 ay inilalagay sa gitnang cell ng tuktok na hilera. Ang lahat ng mga natural na numero ay nakaayos sa isang natural na pagkakasunud-sunod na paikot mula sa ibaba hanggang sa itaas sa mga diagonal na selula mula kanan pakaliwa. Ang pagkakaroon ng maabot ang tuktok na gilid ng parisukat (tulad ng sa kaso ng numero 1), patuloy naming punan ang dayagonal simula sa ilalim na cell ng susunod na hanay. Nang maabot ang kanang gilid ng parisukat (numero 3), patuloy naming pinupunan ang dayagonal na nagmumula sa kaliwang cell sa linya sa itaas. Ang pagkakaroon ng naabot sa isang punong cell (numero 5) o isang sulok (numero 15), ang trajectory ay bumaba sa isang cell, pagkatapos nito ay nagpapatuloy ang proseso ng pagpuno.

Ang pamamaraan ng F. de la Hire (1640–1718) ay batay sa dalawang orihinal na parisukat. Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 5 kung paano ginagamit ang paraang ito upang makabuo ng ika-5 order na parisukat. Ang mga numero mula 1 hanggang 5 ay ipinasok sa cell ng unang parisukat upang ang numero 3 ay paulit-ulit sa mga cell ng pangunahing dayagonal na pataas sa kanan, at walang isang solong numero ang lilitaw nang dalawang beses sa parehong hilera o sa parehong hanay. Ginagawa namin ang parehong sa mga numero 0, 5, 10, 15, 20 na may pagkakaiba lamang na ang numero 10 ay paulit-ulit na ngayon sa mga cell ng pangunahing dayagonal, mula sa itaas hanggang sa ibaba (Larawan 5, b). Ang cell-by-cell sum ng dalawang parisukat na ito (Fig. 5, V) ay bumubuo ng isang magic square. Ang pamamaraang ito ay ginagamit din upang bumuo ng mga parisukat ng pantay na pagkakasunud-sunod.

Kung alam mo ang isang paraan upang bumuo ng mga parisukat ng order m at mag-order n, pagkatapos ay maaari tayong bumuo ng isang parisukat ng pagkakasunud-sunod mґ n. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay ipinapakita sa Fig. 6. Dito m= 3 at n= 3. Ang isang mas malaking parisukat ng ika-3 ayos (na may mga numerong minarkahan ng mga prime) ay ginawa gamit ang de la Loubert method. Sa cell na may numerong 1ў (ang gitnang cell ng tuktok na hilera) ay umaangkop sa isang parisukat ng ika-3 pagkakasunud-sunod mula sa mga numero mula 1 hanggang 9, na binuo din ng pamamaraang de la Lubert. Sa cell na may numerong 2ў (kanan sa ilalim na linya) ay magkasya ang isang parisukat ng ika-3 order na may mga numero mula 10 hanggang 18; sa cell na may numerong 3ў - isang parisukat ng mga numero mula 19 hanggang 27, atbp. Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang parisukat ng ika-9 na order. Ang ganitong mga parisukat ay tinatawag na composite.

MAGIC SQUARE
isang parisukat na talahanayan ng mga integer kung saan ang mga kabuuan ng mga numero sa anumang row, anumang column, at alinman sa dalawang pangunahing diagonal ay katumbas ng parehong numero. Ang magic square ay mula sa sinaunang Chinese na pinagmulan. Ayon sa alamat, sa panahon ng paghahari ni Emperor Yu (c. 2200 BC), isang sagradong pagong ang lumitaw mula sa tubig ng Yellow River (Yellow River), kung saan ang shell ay may nakasulat na misteryosong hieroglyph (Larawan 1a), at ang mga palatandaang ito ay kilala bilang lo-shu at katumbas ng magic square na ipinapakita sa Fig. 1, b. Noong ika-11 siglo Natutunan nila ang tungkol sa mga magic square sa India, at pagkatapos ay sa Japan, kung saan noong ika-16 na siglo. Ang malawak na panitikan ay nakatuon sa mga magic square. Ang mga Europeo ay ipinakilala sa mga magic square noong ika-15 siglo. Byzantine na manunulat na si E. Moschopoulos. Ang unang parisukat na naimbento ng isang European ay itinuturing na parisukat ng A. Durer (Larawan 2), na inilalarawan sa kanyang sikat na ukit na Melancholy 1. Ang petsa ng paglikha ng ukit (1514) ay ipinahiwatig ng mga numero sa dalawang gitnang mga cell sa ilalim na linya. Ang iba't ibang mystical properties ay iniugnay sa magic squares. Noong ika-16 na siglo Si Cornelius Heinrich Agrippa ay gumawa ng mga parisukat ng ika-3, ika-4, ika-5, ika-6, ika-7, ika-8 at ika-9 na order, na nauugnay sa astrolohiya ng 7 planeta. Ito ay pinaniniwalaan na ang isang magic square na nakaukit sa pilak ay protektado laban sa salot. Kahit ngayon, kabilang sa mga katangian ng mga manghuhula sa Europa ay makakakita ka ng mga magic square.

Noong ika-19 at ika-20 siglo. ang interes sa mga magic square ay sumiklab nang may panibagong sigla. Nagsimula silang pag-aralan gamit ang mga pamamaraan ng mas mataas na algebra at operational calculus. Ang bawat elemento ng magic square ay tinatawag na cell. Ang isang parisukat na ang panig ay binubuo ng n mga cell ay naglalaman ng n2 mga cell at tinatawag na isang parisukat ng ika-na order. Karamihan sa mga magic square ay gumagamit ng unang n magkakasunod na natural na numero. Ang kabuuan ng mga numero ng S sa bawat row, bawat column at sa anumang dayagonal ay tinatawag na square constant at katumbas ng S = n(n2 + 1)/2. Ito ay napatunayan na n = 3. Para sa isang ika-3 na pagkakasunod-sunod na parisukat S = 15, ika-4 na pagkakasunud-sunod - S = 34, ika-5 na pagkakasunud-sunod - S = 65. Ang dalawang diagonal na dumadaan sa gitna ng parisukat ay tinatawag na mga pangunahing diagonal. Ang isang putol na linya ay isang dayagonal na, na naabot ang gilid ng parisukat, ay nagpapatuloy na kahanay sa unang segment mula sa kabaligtaran na gilid (ang gayong dayagonal ay nabuo ng mga may kulay na mga cell sa Fig. 3). Ang mga cell na simetriko sa gitna ng parisukat ay tinatawag na skew-symmetric. Ito ay, halimbawa, mga cell a at b sa Fig. 3.

Ang mga patakaran para sa paggawa ng mga magic square ay nahahati sa tatlong kategorya depende sa kung ang pagkakasunud-sunod ng parisukat ay kakaiba, katumbas ng dalawang beses sa isang kakaibang numero, o katumbas ng apat na beses ng isang kakaibang numero. Ang isang pangkalahatang paraan para sa pagtatayo ng lahat ng mga parisukat ay hindi alam, kahit na ang iba't ibang mga scheme ay malawakang ginagamit, ang ilan ay isasaalang-alang natin sa ibaba. Ang mga mahiwagang parisukat ng kakaibang pagkakasunud-sunod ay maaaring itayo gamit ang pamamaraan ng ika-17 siglong French geoometer. A. de la Lubera. Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng isang ika-5 order na parisukat (Larawan 4). Ang numero 1 ay inilalagay sa gitnang cell ng tuktok na hilera. Ang lahat ng mga natural na numero ay nakaayos sa isang natural na pagkakasunud-sunod na paikot mula sa ibaba hanggang sa itaas sa mga diagonal na selula mula kanan pakaliwa. Ang pagkakaroon ng maabot ang tuktok na gilid ng parisukat (tulad ng sa kaso ng numero 1), patuloy naming punan ang dayagonal simula sa ilalim na cell ng susunod na hanay. Nang maabot ang kanang gilid ng parisukat (numero 3), patuloy naming pinupunan ang dayagonal na nagmumula sa kaliwang cell sa linya sa itaas. Ang pagkakaroon ng naabot sa isang punong cell (numero 5) o isang sulok (numero 15), ang trajectory ay bumaba sa isang cell, pagkatapos nito ay nagpapatuloy ang proseso ng pagpuno.

Ang pamamaraan ng F. de la Hire (1640-1718) ay batay sa dalawang orihinal na parisukat. Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 5 kung paano ginagamit ang paraang ito upang makabuo ng ika-5 order na parisukat. Ang mga numero mula 1 hanggang 5 ay ipinasok sa cell ng unang parisukat upang ang numero 3 ay paulit-ulit sa mga cell ng pangunahing dayagonal na pataas sa kanan, at walang isang solong numero ang lilitaw nang dalawang beses sa parehong hilera o sa parehong hanay. Ginagawa namin ang parehong sa mga numero 0, 5, 10, 15, 20 na may pagkakaiba lamang na ang numero 10 ay paulit-ulit na ngayon sa mga cell ng pangunahing dayagonal, mula sa itaas hanggang sa ibaba (Larawan 5, b). Ang cell-by-cell sum ng dalawang parisukat na ito (Fig. 5c) ay bumubuo ng magic square. Ang pamamaraang ito ay ginagamit din upang bumuo ng mga parisukat ng pantay na pagkakasunud-sunod.

Kung alam mo kung paano bumuo ng mga parisukat ng order m at order n, pagkatapos ay maaari kang bumuo ng isang parisukat ng order mґn. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay ipinapakita sa Fig. 6. Dito m = 3 at n = 3. Ang isang mas malaking parisukat ng ika-3 ayos (na may mga numerong minarkahan ng primes) ay itinayo gamit ang de la Loubert method. Sa cell na may numerong 1ў (ang gitnang cell ng tuktok na hilera) ay umaangkop sa isang parisukat ng ika-3 pagkakasunud-sunod mula sa mga numero mula 1 hanggang 9, na binuo din ng pamamaraang de la Lubert. Sa cell na may numerong 2ў (kanan sa ilalim na linya) ay magkasya ang isang parisukat ng ika-3 order na may mga numero mula 10 hanggang 18; sa cell na may numerong 3ў - isang parisukat ng mga numero mula 19 hanggang 27, atbp. Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang parisukat ng ika-9 na order. Ang ganitong mga parisukat ay tinatawag na composite.

Collier's Encyclopedia. - Open Society. 2000 .

Tingnan kung ano ang "MAGIC SQUARE" sa iba pang mga diksyunaryo:

Isang parisukat na nahahati sa pantay na bilang n ng mga column at row, na may unang n2 natural na numero na nakasulat sa mga resultang cell, na nagdaragdag ng hanggang sa parehong numero para sa bawat column, bawat row at dalawang malalaking diagonal... Malaking Encyclopedic Dictionary

MAGIC SQUARE, isang parisukat na MATRIX, nahahati sa mga cell at puno ng mga numero o titik sa isang tiyak na paraan, pag-aayos ng isang espesyal na mahiwagang sitwasyon. Ang pinakakaraniwang letrang parisukat ay SATOR, na binubuo ng mga salitang SATOR, AREPO,... ... Pang-agham at teknikal na encyclopedic na diksyunaryo

Isang parisukat na nahahati sa pantay na bilang n ng mga column at row, na may mga natural na numero mula 1 hanggang n2 na nakasulat sa mga resultang cell, na nagdaragdag ng hanggang sa parehong numero para sa bawat column, bawat row at dalawang malalaking diagonal. Sa Fig. halimbawa ng M. k. s... ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary

Ang magic o magic square ay isang square table na puno ng mga numero sa paraang ang kabuuan ng mga numero sa bawat row, bawat column at sa parehong diagonal ay pareho. Kung ang mga kabuuan ng mga numero sa isang parisukat ay pantay lamang sa mga hilera at hanay, kung gayon ... Wikipedia

Isang parisukat na nahahati sa pantay na bilang n ng mga column at row, na may unang n2 natural na mga numero na nakasulat sa mga resultang cell, na nagdaragdag ng hanggang sa bawat column, bawat hilera at dalawang malalaking diagonal ng parehong numero [katumbas ng... ... Great Soviet Encyclopedia

Isang parisukat na talahanayan ng mga integer mula 1 hanggang n2, na tumutugon sa mga sumusunod na kundisyon: kung saan s=n(n2+1)/2. Isinasaalang-alang din ang mas pangkalahatang mga equation sa matematika, kung saan hindi kinakailangan na ang anumang numero a ay natatanging katangian ng isang pares ng mga nalalabi (a, b) modulo n(digit... Mathematical Encyclopedia

Aklat Isang parisukat na nahahati sa mga bahagi, na ang bawat isa ay naglalaman ng isang numero na nagdaragdag ng hanggang sa parehong numero kasama ng iba pa nang pahalang, patayo o pahilis. BTS, 512… Malaking diksyunaryo ng mga kasabihang Ruso

- (Greek magikos, mula sa magos mago). Magical, nauugnay sa magic. Diksyunaryo ng mga banyagang salita na kasama sa wikang Ruso. Chudinov A.N., 1910. MAGICAL magic. Diksyunaryo ng mga banyagang salita na kasama sa wikang Ruso. Pavlenkov F., 1907 ... Diksyunaryo ng mga banyagang salita ng wikang Ruso

Ito ay isang three-dimensional na bersyon ng magic square. Ang tradisyonal (klasikal) na magic cube ng order n ay isang cube ng mga dimensyon n×n×n, na puno ng iba't ibang natural na numero mula 1 hanggang n3 upang ang mga kabuuan ng mga numero sa alinman sa mga 3n2 na hanay, ... ... Wikipedia

Mga libro

Ang Magic Square, Irina Bjorno, "Magic Square" ay isang koleksyon ng mga kwento at maikling kwento na isinulat sa istilo ng mahiwagang realismo, kung saan ang realidad ay malapit na nauugnay sa mahika at pantasya, na bumubuo ng isang bago, mahiwagang istilo -... Kategorya: Horror at Misteryo Publisher: Publishing Solutions, eBook(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Panimula

Itinuring ng mga dakilang siyentipiko noong unang panahon na ang dami ng mga relasyon ay ang batayan ng kakanyahan ng mundo. Samakatuwid, ang mga numero at ang kanilang mga relasyon ay sumasakop sa pinakadakilang isipan ng sangkatauhan. "Sa mga araw ng aking kabataan, nilibang ko ang aking sarili sa aking mga bakanteng oras sa pamamagitan ng paggawa ng... magic squares," isinulat ni Benjamin Franklin. Ang magic square ay isang parisukat na ang kabuuan ng mga numero sa bawat pahalang na hilera, sa bawat patayong hilera at sa bawat dayagonal ay pareho.

Ang ilang kilalang mathematician ay nagtalaga ng kanilang trabaho sa magic squares, at ang mga resulta na nakuha nila ay nakaimpluwensya sa pagbuo ng mga grupo, istruktura, Latin squares, determinants, partitions, matrice, paghahambing at iba pang di-trivial na lugar ng matematika.

Ang layunin ng sanaysay na ito ay upang pamilyar sa iba't ibang mga magic square, Latin squares at pag-aralan ang mga lugar ng kanilang aplikasyon.

Mga mahiwagang parisukat

Ang kumpletong paglalarawan ng lahat ng posibleng magic squares ay hindi pa nakukuha hanggang ngayon. Walang magic 2x2 squares. Mayroon lamang isang 3x3 magic square, dahil ang iba pang 3x3 magic square ay nakuha mula dito alinman sa pamamagitan ng pag-ikot sa gitna o sa pamamagitan ng pagmuni-muni tungkol sa isa sa mga axes ng symmetry nito.

Mayroong 8 iba't ibang paraan upang ayusin ang mga natural na numero mula 1 hanggang 9 sa isang 3x3 magic square:

9+5+1
9+4+2
8+6+2
8+5+2
8+4+3
7+6+2
7+5+3
6+5+4

Sa isang 3x3 magic square, ang magic constant na 15 ay dapat na katumbas ng kabuuan ng tatlong numero sa 8 direksyon: 3 row, 3 column at 2 diagonal. Dahil ang numero sa gitna ay kabilang sa 1 row, 1 column at 2 diagonal, kasama ito sa 4 sa 8 triplets na nagdaragdag ng magic constant. Mayroon lamang isang ganoong numero: ito ay 5. Samakatuwid, ang numero sa gitna ng 3x3 magic square ay kilala na: ito ay 5.

Isaalang-alang ang numero 9. Ito ay kasama lamang sa 2 triplets ng mga numero. Hindi namin ito mailalagay sa isang sulok, dahil ang bawat cell ng sulok ay kabilang sa 3 triplets: row, column at diagonal. Samakatuwid, ang numero 9 ay dapat nasa ilang cell na katabi ng gilid ng parisukat sa gitna nito. Dahil sa mahusay na proporsyon ng parisukat, hindi mahalaga kung aling panig ang pipiliin natin, kaya sumulat kami ng 9 sa itaas ng numero 5 sa gitnang cell. Sa magkabilang panig ng siyam sa tuktok na linya, maaari lamang nating isulat ang mga numero 2 at 4. Alin sa dalawang numerong ito ang nasa kanang sulok sa itaas at kung alin sa kaliwa muli ay hindi mahalaga, dahil ang isang pag-aayos ng mga numero ay napupunta sa isa pa kapag nakasalamin . Ang natitirang mga cell ay awtomatikong napunan. Ang aming simpleng konstruksyon ng isang 3x3 magic square ay nagpapatunay sa pagiging natatangi nito.

Ang nasabing magic square ay isang simbolo ng malaking kahalagahan sa mga sinaunang Tsino. Ang numero 5 sa gitna ay nangangahulugang lupa, at sa paligid nito sa mahigpit na balanse ay apoy (2 at 7), tubig (1 at 6),

kahoy (3 at 8), metal (4 at 9).

Habang lumalaki ang laki ng parisukat (bilang ng mga cell), ang bilang ng mga posibleng magic square na ganoong laki ay mabilis na tumataas. Mayroong 880 magic squares ng order 4 at 275,305,224 magic squares ng order 5. Bukod dito, kilala ang 5x5 squares noong Middle Ages. Ang mga Muslim, halimbawa, ay napaka-magalang tungkol sa isang parisukat na may numero 1 sa gitna, na isinasaalang-alang ito bilang isang simbolo ng pagkakaisa ng Allah.

Magic square ng Pythagoras

Ang dakilang siyentipiko na si Pythagoras, na nagtatag ng doktrinang relihiyoso at pilosopikal na nagpahayag ng mga ugnayang dami upang maging batayan ng kakanyahan ng mga bagay, ay naniniwala na ang kakanyahan ng tao ay nakasalalay din sa bilang - ang petsa ng kapanganakan. Samakatuwid, sa tulong ng magic square ng Pythagoras, malalaman mo ang katangian ng isang tao, ang antas ng kalusugan at ang kanyang potensyal, ibunyag ang mga pakinabang at disadvantages at sa gayon ay matukoy kung ano ang dapat gawin upang mapabuti siya.

Upang maunawaan kung ano ang magic square ng Pythagoras at kung paano kinakalkula ang mga tagapagpahiwatig nito, kakalkulahin ko ito gamit ang aking sariling halimbawa. At upang matiyak na ang mga resulta ng pagkalkula ay talagang tumutugma sa tunay na katangian ng isang partikular na tao, susuriin ko muna ito sa aking sarili. Para magawa ito, gagawin ko ang pagkalkula batay sa petsa ng aking kapanganakan. So, 08/20/1986 ang date of birth ko. Idagdag natin ang mga numero ng araw, buwan at taon ng kapanganakan (hindi kasama ang mga zero): 2+8+1+9+8+6=34. Susunod ay idinagdag namin ang mga numero ng resulta: 3+4=7. Pagkatapos mula sa unang halaga ay ibawas natin ng doble ang unang digit ng kaarawan: 34-4=30. At muli idinagdag namin ang mga digit ng huling numero:

3+0=3. Nananatili itong gawin ang mga huling pagdaragdag - ika-1 at ika-3 at ika-2 at ika-4 na kabuuan: 34+30=64, 7+3=10. Nakuha namin ang mga numero 08/20/1986,34,7,30, 64,10.

at gumawa ng magic square upang ang lahat ng mga numerong ito ay mapunta sa cell 1, lahat ng dalawa sa cell 2, atbp. Ang mga zero ay hindi isinasaalang-alang. Bilang resulta, ang aking parisukat ay magiging ganito:

Ang ibig sabihin ng mga square cell ay ang mga sumusunod:

Cell 1 - determinasyon, kalooban, tiyaga, pagkamakasarili.

1 - kumpletong egoists, nagsusumikap na kunin ang maximum na benepisyo mula sa anumang sitwasyon.
11 - isang karakter na malapit sa egoistic.
111 - "gintong ibig sabihin". Ang karakter ay kalmado, flexible, at palakaibigan.
1111 - mga taong may malakas na karakter, malakas ang kalooban. Ang mga lalaking may ganitong karakter ay angkop para sa papel ng mga propesyonal sa militar, at ang mga kababaihan ay pinapanatili ang kanilang pamilya sa kanilang kamao.
11111 - diktador, malupit.
111111 - isang malupit na tao, na may kakayahang gawin ang imposible; kadalasang nasa ilalim ng impluwensya ng ilang ideya.

Cell 2 - bioenergy, emosyonalidad, katapatan, senswalidad. Tinutukoy ng bilang ng dalawa ang antas ng bioenergy.

Walang dalawa - ang channel ay bukas para sa isang masinsinang koleksyon ng bioenergy. Ang mga taong ito ay likas na magalang at marangal.

2 - mga taong karaniwan sa bioenergetic terms. Ang ganitong mga tao ay napaka-sensitibo sa mga pagbabago sa kapaligiran.
22 - isang medyo malaking reserba ng bioenergy. Ang ganitong mga tao ay gumagawa ng mabubuting doktor, nars, at kautusan. Sa pamilya ng gayong mga tao, bihira ang sinumang nakakaranas ng stress sa nerbiyos.
Ang 222 ay tanda ng isang saykiko.

Cell 3 - katumpakan, pagtitiyak, organisasyon, kalinisan, pagiging maagap, kalinisan, pagkakuripot, pagkahilig sa patuloy na "pagpapanumbalik ng hustisya."

Ang pagtaas ng tatlo ay nagpapahusay sa lahat ng mga katangiang ito. Sa kanila, makatuwiran para sa isang tao na hanapin ang kanyang sarili sa mga agham, lalo na ang mga eksakto. Ang pamamayani ng tatlo ay nagbibigay ng mga pedants, mga tao sa isang kaso.

Cell 4 - kalusugan. Ito ay konektado sa ecgregor, iyon ay, ang puwang ng enerhiya na binuo ng mga ninuno at nagpoprotekta sa isang tao. Ang kawalan ng apat ay nagpapahiwatig na ang isang tao ay may sakit.

4 - average na kalusugan, ito ay kinakailangan upang patigasin ang katawan. Ang paglangoy at pagtakbo ay inirerekomendang sports.
44 - mabuting kalusugan.
444 at higit pa - mga taong may napakahusay na kalusugan.

Cell 5 - intuwisyon, clairvoyance, na nagsisimulang magpakita mismo sa gayong mga tao na nasa antas ng tatlong fives.

Walang mga fives - ang channel ng komunikasyon na may espasyo ay sarado. Madalas ang mga taong ito

ay mali.

5 - bukas ang channel ng komunikasyon. Ang mga taong ito ay maaaring wastong kalkulahin ang sitwasyon at masulit ito.
55 - lubos na binuo intuwisyon. Kapag nakakita sila ng “prophetic dreams,” mahuhulaan nila ang takbo ng mga pangyayari. Ang angkop na propesyon para sa kanila ay abogado, imbestigador.
555 - halos clairvoyant.
5555 - mga clairvoyant.

Cell 6 - groundedness, materyalidad, kalkulasyon, isang pagkahilig sa dami ng pagsaliksik sa mundo at kawalan ng tiwala sa mga qualitative leaps, at higit pa sa mga espirituwal na himala.

Walang anim - ang mga taong ito ay nangangailangan ng pisikal na paggawa, bagaman, bilang panuntunan, hindi nila ito gusto. Sila ay pinagkalooban ng hindi pangkaraniwang imahinasyon, pantasya, at masining na panlasa. Mga banayad na kalikasan, gayunpaman ay may kakayahang kumilos.

6 - maaaring makisali sa pagkamalikhain o eksaktong mga agham, ngunit ang pisikal na paggawa ay isang kinakailangan para sa pagkakaroon.
66 - ang mga tao ay napaka-grounded, iginuhit sa pisikal na paggawa, bagaman hindi ito obligado para sa kanila; Ang mental na aktibidad o artistikong gawain ay kanais-nais.
Ang 666 ay ang tanda ni Satanas, isang espesyal at nakakatakot na tanda. Ang mga taong ito ay may mataas na ugali, kaakit-akit, at palaging nagiging sentro ng atensyon sa lipunan.
6666 - ang mga taong ito sa kanilang mga nakaraang pagkakatawang-tao ay nakakuha ng labis na saligan, nagtrabaho sila nang husto at hindi maisip ang kanilang buhay nang walang trabaho. Kung ang kanilang parisukat ay naglalaman ng

Siyam, tiyak na kailangan nilang makisali sa aktibidad ng pag-iisip, paunlarin ang kanilang talino, at hindi bababa sa makakuha ng mas mataas na edukasyon.

Cell 7 - ang bilang ng pito ay tumutukoy sa sukat ng talento.

7 - mas marami silang trabaho, mas marami silang makukuha sa ibang pagkakataon.
77 - napakahusay, musikal na mga tao, may banayad na artistikong panlasa, at maaaring may pagkahilig sa sining.
777 - ang mga taong ito, bilang panuntunan, ay pumupunta sa Earth sa maikling panahon. Sila ay mabait, matahimik, at sensitibo sa anumang kawalang-katarungan. Sila ay sensitibo, mahilig managinip, at hindi palaging nararamdaman ang katotohanan.
Ang 7777 ay tanda ng isang Anghel. Ang mga taong may ganitong palatandaan ay namamatay sa pagkabata, at kung sila ay nabubuhay, ang kanilang buhay ay patuloy na nasa panganib.

Cell 8 - karma, tungkulin, obligasyon, responsibilidad. Tinutukoy ng bilang ng walo ang antas ng pakiramdam ng tungkulin.

Walang mga Eights - ang mga taong ito ay may halos kumpletong kawalan ng pakiramdam ng tungkulin.

8 - responsable, matapat, tumpak na kalikasan.
88 - ang mga taong ito ay may nabuong pakiramdam ng tungkulin, palagi silang nakikilala sa pamamagitan ng pagnanais na tumulong sa iba, lalo na sa mahihina, may sakit, at malungkot.
Ang 888 ay tanda ng dakilang tungkulin, tanda ng paglilingkod sa bayan. Ang isang ruler na may tatlong walo ay nakakamit ng mga natitirang resulta.
8888 - ang mga taong ito ay may mga parapsychological na kakayahan at pambihirang sensitivity sa mga eksaktong agham. Ang mga supernatural na landas ay bukas sa kanila.

Cell 9 - katalinuhan, karunungan. Ang kawalan ng nines ay katibayan na ang mga kakayahan sa pag-iisip ay lubhang limitado.

9 - ang mga taong ito ay dapat magsumikap sa buong buhay nila upang mapunan ang kanilang kakulangan sa katalinuhan.
99 - ang mga taong ito ay matalino mula sa kapanganakan. Lagi silang nag-aatubili na matuto, dahil ang kaalaman ay madaling dumarating sa kanila. Sila ay pinagkalooban ng pagkamapagpatawa na may kabalintunaan at malaya.
999 - napakatalino. Walang pagsisikap na inilalagay sa pag-aaral. Mahusay na mga kausap.
9999 - ang katotohanan ay nahayag sa mga taong ito. Kung mayroon din silang intuwisyon, sila ay garantisadong laban sa kabiguan sa alinman sa kanilang mga pagsusumikap. Sa lahat ng ito, kadalasan sila ay medyo kaaya-aya, dahil ang kanilang matalas na pag-iisip ay ginagawa silang bastos, walang awa at malupit.

Kaya, sa pagguhit ng magic square ng Pythagoras at pag-alam sa kahulugan ng lahat ng mga kumbinasyon ng mga numero na kasama sa mga cell nito, magagawa mong sapat na masuri ang mga katangian ng iyong kalikasan na pinagkalooban ng Inang Kalikasan.

Mga parisukat sa Latin

Sa kabila ng katotohanan na ang mga mathematician ay pangunahing interesado sa mga magic square, natagpuan ng mga Latin square ang pinakadakilang aplikasyon sa agham at teknolohiya.

Ang Latin square ay isang parisukat ng mga nxn cell kung saan ang mga numero 1, 2,..., n ay isinusulat, at sa paraang ang lahat ng mga numerong ito ay lumilitaw nang isang beses sa bawat hilera at bawat column. Ang Figure 3 ay nagpapakita ng dalawang tulad na 4x4 na parisukat. Mayroon silang isang kawili-wiling tampok: kung ang isang parisukat ay nakapatong sa isa pa, kung gayon ang lahat ng mga pares ng mga nagreresultang numero ay magiging iba. Ang ganitong mga pares ng mga parisukat sa Latin ay tinatawag na orthogonal.

Ang problema sa paghahanap ng orthogonal Latin na mga parisukat ay unang ibinangon ni L. Euler, at sa gayong nakakaaliw na pormulasyon: “Sa 36 na opisyal ay may pantay na bilang ng mga lancer, dragoon, hussars, cuirassier, cavalry guards at grenadiers, at bilang karagdagan isang pantay na bilang ng mga heneral, koronel, mayor, kapitan, tinyente at pangalawang tinyente, at Ang bawat sangay ng militar ay kinakatawan ng mga opisyal ng lahat ng anim na ranggo. Posible bang ihanay ang lahat ng mga opisyal sa isang 6 x 6 na parisukat upang sa anumang hanay at anumang ranggo ay mayroong mga opisyal ng lahat ng ranggo?”

Hindi nakahanap ng solusyon si Euler sa problemang ito. Noong 1901 napatunayan na ang gayong solusyon ay hindi umiiral. Kasabay nito, pinatunayan ni Euler na ang mga orthogonal na pares ng Latin na parisukat ay umiiral para sa lahat ng kakaibang halaga ng n at para sa mga pantay na halaga ng n na nahahati ng 4. Ipinagpalagay ni Euler na para sa natitirang mga halaga ng n, na ay, kung ang bilang n kapag hinati sa 4 ay nagbibigay sa natitirang 2, walang mga parisukat na orthogonal. Noong 1901 napatunayan na walang mga parisukat na orthogonal 6 6, at ito ay nagpapataas ng kumpiyansa sa bisa ng hypothesis ni Euler. Gayunpaman, noong 1959, sa tulong ng isang computer, ang mga orthogonal na parisukat na 10x10, pagkatapos ay unang natagpuan ang 14x14, 18x18, 22x22. At pagkatapos ay ipinakita na para sa anumang n maliban sa 6, mayroong nxn orthogonal squares.

Ang magic at Latin na mga parisukat ay malapit na kamag-anak. Magkaroon tayo ng dalawang orthogonal na parisukat. Punan natin ang mga cell ng isang bagong parisukat ng parehong mga sukat tulad ng sumusunod. Ilagay natin doon ang numerong n(a - 1)+b, kung saan ang a ay ang numero sa naturang cell ng unang parisukat, at ang b ay ang numero sa parehong cell ng pangalawang parisukat. Madaling maunawaan na sa resultang parisukat, ang mga kabuuan ng mga numero sa mga hilera at hanay (ngunit hindi kinakailangan sa mga dayagonal) ay magiging pareho.

Ang teorya ng mga parisukat sa Latin ay nakahanap ng maraming aplikasyon kapwa sa matematika mismo at sa mga aplikasyon nito. Magbigay tayo ng halimbawa. Ipagpalagay na gusto naming subukan ang 4 na uri ng trigo para sa ani sa isang naibigay na lugar, at nais naming isaalang-alang ang impluwensya ng antas ng sparseness ng mga pananim at ang impluwensya ng dalawang uri ng mga pataba. Upang gawin ito, hahatiin namin ang isang parisukat na plot ng lupa sa 16 na mga plots (Larawan 4). Itatanim namin ang unang uri ng trigo sa mga plot na naaayon sa mas mababang pahalang na guhit, ang susunod na pagkakaiba-iba sa apat na mga plot na tumutugma sa susunod na guhit, atbp. (sa figure, ang iba't ay ipinahiwatig ng kulay). Sa kasong ito, hayaan ang maximum na density ng mga pananim sa mga plot na tumutugma sa kaliwang vertical na haligi ng figure, at bumaba kapag lumilipat sa kanan (sa figure na ito ay tumutugma sa pagbawas sa intensity ng kulay). Hayaang ang mga numero sa mga cell ng larawan ay nangangahulugan ng:

ang una ay ang bilang ng mga kilo ng pataba ng unang uri na inilapat sa lugar na ito, at ang pangalawa ay ang dami ng pataba ng pangalawang uri na inilapat. Madaling maunawaan na sa kasong ito ang lahat ng posibleng mga pares ng mga kumbinasyon ng parehong uri at density ng paghahasik at iba pang mga sangkap ay natanto: iba't-ibang at mga pataba ng unang uri, mga pataba ng una at pangalawang uri, density at mga pataba ng pangalawang uri.

Ang paggamit ng orthogonal Latin squares ay nakakatulong na isaalang-alang ang lahat ng posibleng opsyon sa mga eksperimento sa agrikultura, pisika, kimika, at teknolohiya.

square magic pythagoras latin

Konklusyon

Sinusuri ng sanaysay na ito ang mga isyu na may kaugnayan sa kasaysayan ng pag-unlad ng isa sa mga tanong sa matematika na sumasakop sa isipan ng maraming dakilang tao - mga magic square. Sa kabila ng katotohanan na ang mga magic square mismo ay hindi nakahanap ng malawak na aplikasyon sa agham at teknolohiya, sila ay nagbigay inspirasyon sa maraming mga pambihirang tao na mag-aral ng matematika at nag-ambag sa pag-unlad ng iba pang mga sangay ng matematika (ang teorya ng mga grupo, determinant, matrice, atbp.).

Ang pinakamalapit na kamag-anak ng magic squares, Latin squares, ay nakahanap ng maraming aplikasyon sa matematika at sa mga aplikasyon nito sa pag-set up at pagproseso ng mga resulta ng mga eksperimento. Ang abstract ay nagbibigay ng halimbawa ng pagse-set up ng naturang eksperimento.

Tinatalakay din ng abstract ang isyu ng Pythagorean square, na may makasaysayang interes at posibleng kapaki-pakinabang para sa pagguhit ng isang sikolohikal na larawan ng isang tao.

Bibliograpiya

1. Encyclopedic dictionary ng isang batang mathematician. M., "Pedagogy", 1989.
2. M. Gardner "Paglalakbay sa Oras", M., "Mir", 1990.
3. Edukasyong pisikal at palakasan Blg. 10, 1998