20 üzerinden 4'ü için sihirli kare. Sihirli kare nasıl çalışır?

Bu bilmece hızla internette yayıldı. Binlerce kişi sihirli karenin nasıl çalıştığını merak etmeye başladı. Bugün nihayet cevabı bulacaksınız!

Sihirli karenin gizemi

Aslında bu bilmece oldukça basittir ve insanın dikkatsizliği düşünülerek yapılmıştır. Gerçek bir örnek kullanarak sihirli siyah karenin nasıl çalıştığını görelim:

1. 10'dan 19'a kadar herhangi bir sayıyı tahmin edelim. Şimdi onu oluşturan rakamları bu sayıdan çıkaralım. Mesela 11'i alalım. 11'den birini, sonra bir tane daha çıkaralım. Sonuç 9. 10'dan 19'a kadar hangi sayıyı aldığınız önemli değil. Hesaplamaların sonucu her zaman 9 olacaktır. “Sihirli Kare”deki 9 sayısı, resimli ilk sayıya karşılık gelir. Yakından bakarsanız aynı resimlere çok sayıda sayının atandığını görebilirsiniz.
2. 20 ile 29 arasında bir sayı alırsanız ne olur? Belki zaten kendin tahmin ettin? Sağ! Hesaplamanın sonucu her zaman 18 olacaktır. 18 sayısı resimlerle köşegendeki ikinci konuma karşılık gelir.
3. 30'dan 39'a kadar bir sayı alırsanız, tahmin edebileceğiniz gibi 27 sayısı çıkacaktır, 27 sayısı aynı zamanda bu kadar açıklanamayan "Sihirli Kare" nin köşegenindeki sayıya da karşılık gelir.
4. Benzer bir algoritma 40'tan 49'a, 50'den 59'a vb. tüm sayılar için geçerlidir.

Yani, hangi sayıyı tahmin ettiğiniz önemli değil - "Sihirli Kare" sonucu tahmin edecek çünkü 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 ve 81 numaralı hücrelerde aslında aynı sembol.

Aslında bu gizem basit bir denklemle kolaylıkla açıklanabilir:

1. İki basamaklı herhangi bir sayı düşünün. Sayı ne olursa olsun x*10+y olarak gösterilebilir. Onlar “x”, birimler ise “y” görevi görür.
2. Onu oluşturan sayıları gizli sayıdan çıkarın. Denklemi ekleyin: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
3. Hesaplamalar sonucunda ortaya çıkan sayının tabloda belirli bir simgeye işaret etmesi gerekmektedir.

"X" rolünde hangi sayının olduğu önemli değil, öyle ya da böyle, sayısı dokuzun katı olacak bir sembol elde edeceksiniz. Farklı sayıların altında bir sembolün olduğundan emin olmak için tabloya ve 0,9,18,27,45,54,63,72,81 ve sonraki sayılara bakmanız yeterlidir.

SİHİRLİ KARE

Çin, sihirli karelerin doğduğu yer olarak kabul ediliyor. Çin'de, her bir elementin uzaydaki renginin, şeklinin ve fiziksel yerleşiminin Qi akışını etkilediğini, onu yavaşlattığını, yeniden yönlendirdiğini veya hızlandırdığını ve bunun da enerji seviyelerini doğrudan etkilediğini belirten Feng Shui öğretisi vardır. sakinlerinin. Tanrılar, dünyanın sırlarını öğrenmek için İmparator Yu'ya en eski sembol olan Lo Shu meydanını (Lo - nehri) gönderdi.

SİHİRLİ KARE LO SHU

Efsaneye göre yaklaşık dört bin yıl önce Luo Nehri'nin fırtınalı sularından büyük bir kaplumbağa Shu ortaya çıktı. Nehre kurban kesen insanlar kaplumbağayı görünce onun tanrı olduğunu hemen tanıdılar. Kadim bilgelerin düşünceleri İmparator Yu'ya o kadar makul göründü ki, kaplumbağa resminin kağıt üzerinde ölümsüzleştirilmesini emretti ve onu imparatorluk mührüyle mühürledi. Aksi takdirde bu olaydan nasıl haberimiz olacaktı?

Bu kaplumbağa aslında özeldi çünkü kabuğunda tuhaf bir nokta deseni vardı. Noktalar düzenli bir şekilde işaretlenmişti ve bu da antik filozofları, kaplumbağanın kabuğundaki sayıların bulunduğu karenin, Çin uygarlığının efsanevi kurucusu Huang Di tarafından derlenen bir dünya haritası olan bir uzay modeli olarak hizmet ettiği fikrine götürdü. Aslında karenin sütunlarındaki, satırlarındaki ve her iki köşegenindeki sayıların toplamı aynı M = 15'tir ve Çin güneş yılının 24 döngüsünün her birindeki gün sayısına eşittir.

Çift ve tek sayılar dönüşümlüdür: Dört köşede 4 çift sayı (aşağıdan yukarıya doğru yazılan) bulunur ve 5 tek sayı (artan sırayla aşağıdan yukarıya yazılan) karenin ortasında bir çarpı işareti oluşturur. Haçın beş unsuru toprak, ateş, metal, su ve ormanı yansıtır. Bir merkezle ayrılan herhangi iki sayının toplamı Ho Ti sayısına eşittir; on.

Lo Shu'nun çift sayıları (Dünya sembolleri) kaplumbağanın vücudunda siyah noktalar veya Yin sembolleri şeklinde ve tek sayılar (Cennet sembolleri) beyaz noktalar veya Yang sembolleri şeklinde işaretlendi. Toprak 1 (veya su) aşağıda, Ateş 9 (veya gökyüzü) yukarıdadır. Kompozisyonun merkezine yerleştirilen 5 sayısının modern imajının, Yang ve Yin ikililiğinin Çin sembolünden kaynaklanması mümkündür.

KHAJURAHO'DAN BÜYÜLÜ KARE

Doğu odası

Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan ve tabii ki Tabaka'nın görüntülerini yaratan Joseph Rudyard Kipling'in büyüsü yirminci yüzyılın arifesinde başladı. Yarım yüzyıl önce, Şubat 1838'de, Bengal Mühendisleri'nden genç bir İngiliz subayı olan T.S. Tahtırevanını taşıyan hizmetkarların sohbetiyle ilgilenen Bert, rotadan saptı ve Hindistan ormanlarındaki antik tapınaklara rastladı.

Memur, Vishvanatha tapınağının merdivenlerinde yapıların eskiliğine tanıklık eden bir yazıt buldu. Kısa bir süre sonra enerjik Tümgeneral A. Cunningham, Khajuraho için ayrıntılı planlar çizdi. Kazılar başladı ve 22 tapınağın sansasyonel keşfiyle sonuçlandı. Tapınaklar Chandel hanedanının Maharajaları tarafından inşa edildi. Krallıklarının çöküşünden sonra orman, binaları bin yıl boyunca yuttu. Çıplak tanrı ve tanrıça resimleri arasında bulunan dördüncü derece kare muhteşemdi.

Bu karenin satır, sütun ve köşegenlerinin toplamları çakışıp 34'e eşit olduğu gibi, kare simit şeklinde katlandığında oluşan kırık köşegenler boyunca ve her iki yönde de çakışıyordu. Bu tür sayı büyüsü için, bu tür karelere "şeytani" (veya "pandiagonal" veya "nasik") denir.

Elbette bu, sömürgecilerden üstün olan yaratıcılarının olağandışı matematiksel yeteneklerine tanıklık ediyordu. Beyaz miğferli insanların kaçınılmaz olarak hissettikleri.

DURER'İN BÜYÜLÜ KARE'İ

16. yüzyılın başlarındaki ünlü Alman sanatçısı Albrecht Dürer, Avrupa sanatında ilk 4x4 sihirli kareyi yarattı. Herhangi bir satır, sütun, köşegendeki ve ayrıca şaşırtıcı bir şekilde her çeyrekteki (hatta merkezi karedeki) sayıların toplamı ve hatta köşe sayılarının toplamı 34'tür. Alt satırda ortadaki iki sayı tarihi gösterir. resmin yaratılışı (1514). İlk sütunun orta karelerinde düzeltmeler yapıldı - sayılar deforme oldu.

Gizli kanatlı fare Satürn'ün yer aldığı resimde sihirli kare, birbirine karşıt olan kanatlı zeka Jüpiter'den oluşuyor. Kare simetriktir, çünkü içinde bulunan ve merkeze göre simetrik olarak yerleştirilmiş herhangi iki sayının toplamı 17'ye eşittir. Satranç atının hareketiyle elde edilen dört sayıyı toplarsanız 34 elde edersiniz. Gerçekten Bu meydan kusursuz düzeniyle sanatçıyı içine çeken melankoliyi yansıtıyor.

Sabah rüyası.

Avrupalılar şaşırtıcı sayıdaki karelerle Bizanslı yazar ve dilbilimci Moschopoulos tarafından tanıştırıldı. Çalışması bu konuyla ilgili özel bir makaleydi ve yazarın sihirli karelerinden örnekler içeriyordu.

SİHİRLİ KARELERİN SİSTEMATİZASYONU

16. yüzyılın ortalarında. Avrupa'da sihirli karelerin matematiksel araştırma nesneleri olarak ortaya çıktığı çalışmalar ortaya çıktı. Bunu, özellikle Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessey, Euler, Gauss gibi modern bilimin kurucuları olan ünlü matematikçilerin birçok eseri izledi.

Büyülü Sihirli kare veya sihirli kare, her satırdaki, her sütundaki ve her iki köşegendeki sayıların toplamı aynı olacak şekilde n 2 sayıyla dolu bir kare tablodur. Tanım şartlıdır, çünkü eskiler aynı zamanda örneğin renge anlam da yüklemişlerdir.

Normal 1'den n2'ye kadar tam sayılarla dolu sihirli kare denir. Normal sihirli kareler, n = 2 dışındaki tüm sıralar için mevcuttur, ancak n = 1 durumu önemsizdir - kare tek bir sayıdan oluşur.

Her satır, sütun ve köşegendeki sayıların toplamına ne denir sihirli sabit M. Normal bir sihirli karenin sihirli sabiti yalnızca n'ye bağlıdır ve aşağıdaki formülle verilir:

M = n (n 2 + 1) /2

Sihirli sabitlerin ilk değerleri tabloda verilmiştir.

Bir karedeki sayıların toplamı yalnızca satır ve sütunlarda eşitse buna denir. yarı büyülü. Sihirli karenin adı çağrışımsal veya simetrik karenin merkezine simetrik olarak yerleştirilmiş herhangi iki sayının toplamı n 2 + 1'e eşitse.

Üçüncü dereceden yalnızca bir normal kare vardır. Birçok kişi onu tanıyordu. Lo Shu meydanındaki sayıların düzeni, Kabala'daki ruhların sembolik tanımlarına ve Hint astrolojisinin işaretlerine benzer.

Satürn karesi olarak da bilinir. Orta Çağ'daki bazı gizli topluluklar bunu "Dokuz Odanın Kabalası" olarak gördüler. Kuşkusuz, yasak büyünün gölgesi, görüntülerinin korunmasında çok şey ifade ediyordu.

Ortaçağ numerolojisinde önemliydi ve genellikle muska veya kehanet yardımı olarak kullanılıyordu. Her hücre mistik bir harfe veya başka bir sembole karşılık gelir. Belirli bir çizgi boyunca birlikte okunduğunda, bu işaretler gizli mesajlar taşıyordu. Doğum tarihini oluşturan sayılar karenin hücrelerine yerleştirildi ve ardından sayıların anlamına ve konumuna göre deşifre edildi.

Pandiagonal arasında, aynı zamanda şeytani sihirli kareler olarak da adlandırıldıkları gibi, simetrik olanlar ayırt edilir - ideal olanlar. Şeytani kare, onu döndürürseniz, yansıtırsanız, sırayı yukarıdan aşağıya ve tam tersi şekilde yeniden düzenlerseniz, sağdaki veya soldaki bir sütunun üzerini çizip karşı tarafa atarsanız şeytani kalır. Toplamda beş dönüşüm vardır, ikincisinin diyagramı şekilde gösterilmiştir.

Dönme ve yansıma hassasiyetine sahip 48 adet 4x4 şeytani kare bulunmaktadır. Torik paralel çevirilere göre simetriyi de hesaba katarsak, geriye yalnızca üç farklı 4x4 şeytani kare kalır:

Ünlü Amerikalı mimar Claude F. Bragdon, hücreleri tek veya çift sayıdaki sihirli karelerle tek tek kesikli bir çizgi üzerinde birleştirerek çoğu durumda zarif bir desen elde ettiğimizi keşfetti. Yaşadığı New York Rochester'daki Ticaret Odası'nın tavanındaki havalandırma ızgarası için icat ettiği desen, Lo-Shu tılsımının sihirli kırık hattından inşa edildi. Bragdon, kumaşlar, kitap kapakları, mimari dekorasyonlar ve dekoratif başlıklar için tasarımlarda "sihirli çizgiler" kullandı.

Aynı şeytani karelerden oluşan bir mozaik düzenlerseniz (her kare komşularına yakın olmalıdır), 4x4 hücreden oluşan herhangi bir gruptaki sayıların şeytani bir kare oluşturacağı parke gibi bir şey elde edersiniz. Dört hücredeki sayıların birbirini takip etmesi, dikey, yatay veya çapraz olarak nasıl konumlandırıldıklarına bakılmaksızın her zaman karenin sabitine eklenir. Modern matematikçiler bu tür karelere "mükemmel" adını veriyor.

LATİN KARE

Latin karesi, her satırda ve her sütunda (her biri bir kez) n sembolün tamamı görünecek şekilde n farklı sembolle doldurulmuş bir tür düzensiz matematiksel karedir.

Herhangi bir n için Latin kareleri mevcuttur. Herhangi bir Latin karesi, bir yarı grubun çarpım tablosudur (Cayley tablosu). "Latin kare" ismi, tablolarda sayılar yerine Latin harflerini kullanan Leonhard Euler'den gelmektedir.

İki Latin karesi denir dikey, eğer tüm sıralı sembol çiftleri (a,b) farklıysa; burada a, ilk Latin karesinin bir hücresindeki bir semboldür ve b, ikinci Latin karesinin aynı hücresindeki bir semboldür.

Ortogonal Latin kareleri 2 ve 6 dışında herhangi bir sıra için mevcuttur. n'nin bir asal sayının kuvveti olması nedeniyle, n-1 çiftli dik Latin karelerinden oluşan bir küme vardır. Bir Latin karesinin her köşegenindeki tüm öğeler farklıysa, böyle bir Latin karesi denir. diyagonal. 2, 3 ve 6 dışındaki tüm sıralar için ortogonal çapraz Latin kare çiftleri mevcuttur. Latin karesi genellikle çizelgeleme problemlerinde bulunur çünkü sayılar satır ve sütunlarda tekrarlanmaz.

Birbirine dik iki Latin karesinin eleman çiftlerinden oluşan kareye ne ad verilir? Greko-Latin meydanı. Bu tür kareler genellikle sihirli kareler oluşturmak için ve karmaşık planlama problemlerinde kullanılır.

Greko-Latin karelerini incelerken Euler, ikinci dereceden karelerin olmadığını, ancak 3, 4 ve 5. dereceden karelerin bulunduğunu kanıtladı. 6 dereceli tek bir kare bulamadı. 4'e (yani 6, 10, 14 vb.) bölünemeyen çift sıralı karelerin bulunmadığını varsaydı. 1901 yılında Gaston Terry 6. derece hipotezini kaba kuvvetle doğruladı. Ancak 1959'da hipotez, 10. mertebeden bir Graeco-Latin karesi keşfeden E. T. Parker, R. C. Bowes ve S. S. Shrickherd tarafından çürütüldü.

POLİMİNO ARTHUR CLARKE

Poliominolar - karmaşıklık açısından kesinlikle en zor matematiksel kareler kategorisine aittirler. Bilim kurgu yazarı A. Clark onun hakkında böyle yazıyor - aşağıda "Dünyevi İmparatorluk" kitabından bir alıntı var. Kendi adasında yaşayan Clark'ın Seylan'da yaşadığı aşikar ve toplumdan ayrılma felsefesi başlı başına ilginç, çocuğun büyükannesinin öğrettiği eğlenceyle ilgilenmeye başladı ve bunu bize aktardı. Bu canlı tanımlamayı, oyunun ruhunu değil de özünü aktaran mevcut sistemleştirmelere tercih edelim.

"Artık yeterince büyük bir çocuksun Duncan ve bu oyunu anlayabileceksin... ancak bu bir oyundan çok daha fazlası." Büyükannesinin söylediklerinin aksine Duncan oyundan etkilenmemişti. Peki beş beyaz plastik kareden ne yapabilirsiniz?

"Öncelikle" diye devam etti büyükanne, "karelerden kaç farklı desen oluşturabileceğinizi kontrol etmeniz gerekiyor."

– Masaya mı yatmalılar? – diye sordu Duncan.

– Evet, dokunarak yatmalılar. Bir kareyi diğeriyle üst üste getiremezsiniz.

Duncan kareleri yerleştirmeye başladı.

"Eh, hepsini düz bir çizgiye koyabilirim" diye başladı. "Şöyle... Sonra iki parçayı yeniden düzenleyip L harfini elde edebilirim... Ve diğer kenarı tutarsam harfi elde ederim" Sen..."

Çocuk hızla yarım düzine kombinasyon oluşturdu, sonra daha fazlasını yaptı ve aniden bunların mevcut kombinasyonları tekrarladığını keşfetti.

- Belki aptalım ama hepsi bu.

Duncan en basit figürleri kaçırdı; oluşturmak için beşinci karenin kenarlarına dört kare yerleştirmenin yeterli olduğu bir haç.

Büyükanne gülümsedi: "Çoğu insan haçla başlar." "Bana göre, kendini aptal ilan etmekte çok acele ettin." Düşünseniz iyi olur: başka rakamlar olabilir mi?

Duncan konsantre bir şekilde kareleri hareket ettirerek üç figür daha buldu ve aramayı bıraktı.

"Artık kesinlikle bitti" dedi kendinden emin bir şekilde.

– Böyle bir rakam hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Kareleri hafifçe hareket ettiren büyükanne, onları kambur bir F harfi şeklinde katladı.

- İşte bir tane daha.

Duncan kendini tam bir aptal gibi hissediyordu ve büyükannesinin sözleri onun utanmış ruhuna merhem gibiydi:

– Harikasın. Bir düşünün, sadece iki parçayı kaçırdım. Ve toplam rakam sayısı on ikidir. Ne daha fazlası ne de daha azı. Artık hepsini biliyorsunuz. Sonsuzluğu ararsan bir daha asla bulamazsın.

Büyükanne beş beyaz kareyi bir köşeye sıkıştırdı ve bir düzine parlak, çok renkli plastik parçayı masanın üzerine koydu. Bunlar aynı on iki figürdü, ancak tamamlanmış formdaydı ve her biri beş kareden oluşuyordu. Duncan zaten başka hiçbir figürün var olmadığı konusunda hemfikirdi.

Ancak büyükanne bu rengarenk şeritleri döşediğine göre bu, oyunun devam ettiği ve Duncan'ı başka bir sürprizin beklediği anlamına geliyordu.

– Şimdi Duncan, dikkatlice dinle. Bu şekillere "pentamino" adı verilir. Adı Yunanca "beş" anlamına gelen "penta" kelimesinden geliyor. Her biri beş özdeş kareden oluştuğu için tüm şekillerin alanı eşittir. On iki rakam, beş kare var, dolayısıyla toplam alan altmış kareye eşit olacak. Sağ?

- Hımm evet.

- Daha fazla dinle. Altmış, çeşitli şekillerde oluşturulabilen harika bir yuvarlak sayıdır. En kolayı on ile altıyı çarpmaktır. Bu kutunun öyle bir alanı var ki, yatay olarak on, dikey olarak altı kare alabiliyor. Bu nedenle on iki rakamın tümü buna sığmalıdır. Basit, bileşik bir resim bilmecesi gibi.

Duncan bir yakalama bekliyordu. Büyükanne sözel ve matematiksel paradoksları severdi ve bunların hepsi on yaşındaki kurbanı için anlaşılır değildi. Ancak bu sefer hiçbir paradoks yoktu. Kutunun altı altmış kareyle kaplıydı, bu şu anlama geliyor... Durun! Alan bir alandır ancak figürlerin şekilleri farklıdır. Onları bir kutuya koymaya çalışın!

Büyükanne, onun pentomino'yu üzgün bir şekilde kutunun dibine doğru hareket ettirdiğini görünce, "Bu işi kendi başınıza çözmeniz için size bırakıyorum," dedi. "İnanın bana, birleştirilebilirler."

Kısa süre sonra Duncan büyükannesinin sözlerinden şiddetle şüphe etmeye başladı. Kolayca on rakamı kutuya sığdırmayı başardı ve bir kez de on birinci rakamı sığdırmayı başardı. Ancak doldurulmamış alanın ana hatları, çocuğun elinde çevirdiği on ikinci figürün hatlarıyla örtüşmüyordu. Bir haç vardı ve kalan rakam Z harfine benziyordu...

Yarım saat daha geçtikten sonra Duncan çoktan umutsuzluğun eşiğine gelmişti. Büyükanne bilgisayarıyla diyaloğa dalmıştı ama zaman zaman sanki "Bu düşündüğün kadar kolay değil" der gibi ilgiyle bakıyordu.

On yaşındayken Duncan gözle görülür derecede inatçıydı. Akranlarının çoğu uzun zaman önce denemekten vazgeçerdi. (Ancak birkaç yıl sonra büyükannesinin ona incelikle bir psikolojik test uyguladığını fark etti.) Duncan yardım almadan neredeyse kırk dakika dayandı...

Sonra büyükanne bilgisayardan kalktı ve yapbozun üzerine eğildi. Parmakları U, X ve L şekillerini hareket ettirdi...

Kutunun altı tamamen doluydu! Yapbozun tüm parçaları doğru yerdeydi.

– Tabii ki cevabı önceden biliyordun! – Duncan kırgın bir şekilde konuştu.

- Cevap? – büyükanneye sordu: “Sizce pentomino bu kutuya kaç şekilde yerleştirilebilir?”

İşte burada, bir tuzak. Duncan neredeyse bir saat boyunca bir çözüm bulamadan oyalandı, ancak bu süre zarfında en az yüz seçeneği denedi. Tek bir yol olduğunu düşünüyordu. On iki tane olabilir mi? Yada daha fazla?

- Peki sizce kaç yol olabilir? – Büyükanne tekrar sordu.

"Yirmi," diye ağzından kaçırdı Duncan, artık büyükannenin bunu umursamayacağını düşünerek.

- Tekrar deneyin.

Duncan tehlikeyi hissetti. Eğlencenin düşündüğünden çok daha kurnaz olduğu ortaya çıktı ve çocuk akıllıca davranarak bu riske girmemeye karar verdi.

"Aslında bilmiyorum." dedi başını sallayarak.

Büyükanne tekrar gülümsedi: "Ve sen anlayışlı bir çocuksun." "Sezgi tehlikeli bir rehberdir ama bazen başka yol göstericimiz olmaz." Sizi memnun edebilirim: Burada doğru cevabı tahmin etmek imkansızdır. Pentominoları bu kutuya yerleştirmenin iki binden fazla farklı yolu var. Daha doğrusu iki bin üç yüz otuz dokuz. Peki buna ne diyorsunuz?

Büyükannesinin onu aldatması pek olası değil. Ancak Duncan bir çözüm bulamamasından dolayı o kadar hayal kırıklığına uğramıştı ki, elinde olmadan şunu söyledi:

- İnanmıyorum!

Helen nadiren rahatsızlık gösteriyordu. Duncan onu bir şekilde gücendirdiğinde soğuk ve mesafeli davranıyordu. Ancak şimdi büyükanne sadece sırıttı ve bilgisayar klavyesinde bir şeye tıkladı.

"Buraya bakın" diye önerdi.

Ekranda on iki adet çok renkli pentominodan oluşan bir set belirdi ve ona altıya kadar bir dikdörtgeni doldurdu. Birkaç saniye sonra, figürlerin büyük olasılıkla farklı konumlarda olduğu başka bir görüntüyle değiştirildi (Duncan, ilk kombinasyonu hatırlamadığı için kesin olarak söyleyemedi). Kısa süre sonra görüntü tekrar değişti, sonra tekrar tekrar... Bu, büyükanne programı durdurana kadar devam etti.

Büyükanne şöyle açıkladı: "Bilgisayar yüksek hızda bile tüm yöntemleri incelemek için beş saate ihtiyaç duyacak. Bana güvenebilirsin: hepsi farklı." Bilgisayarlar olmasaydı, insanların her zamanki seçenek sıralamasıyla tüm yolları bulacağından şüpheliyim.

Duncan, aldatıcı derecede basit olan on iki figüre uzun süre baktı. Büyükannesinin sözlerini yavaş yavaş sindirdi. Bu hayatındaki ilk matematiksel keşifti. Aceleyle sıradan bir çocuk oyunu olarak gördüğü şey, birdenbire önünde sonsuz yollar ve ufuklar açılmaya başladı, ancak on yaşındaki en yetenekli çocuk bile bu evrenin sınırsızlığını neredeyse hiç hissedemezdi.

Ama Duncan'ın sevinci ve hayreti pasifti. Entelektüel zevkin gerçek patlaması daha sonra bağımsız olarak pentomino yerleştirmenin ilk yöntemini bulduğunda gerçekleşti. Birkaç hafta boyunca Duncan her yere yanında plastik bir kutu taşıdı. Boş zamanlarının tamamını sadece pentominolara harcadı. Rakamlar Duncan'ın kişisel arkadaşlarına dönüşecek. Bazı durumlarda benzerlik çok uzak olsa da, onları benzedikleri harflerle adlandırdı. Beş rakam - F, I, L, P, N - tutarsızdı, ancak geri kalan yedi rakam Latin alfabesinin sırasını tekrarlıyordu: T, U, V, W, X, Y, Z.

Bir gün, bir daha asla tekrarlanmayan geometrik bir trans ya da geometrik bir coşku halindeyken Duncan, bir saatten kısa bir süre içinde beş stil seçeneği buldu. Belki de Newton, Einstein ya da Chen Tzu bile gerçek anlarında kendilerini matematiğin tanrılarına Duncan Mackenzie kadar yakın hissetmiyorlardı.

Çok geçmeden, büyükannesinin yönlendirmesine gerek kalmadan, kendi başına, bir pentomino'nun farklı kenar boyutlarına sahip bir dikdörtgenin içine yerleştirilebileceğini fark etti. Duncan oldukça kolay bir şekilde 5'e 12 ve 4'e 15'lik dikdörtgenler için çeşitli seçenekler buldu. Sonra bütün bir hafta boyunca on iki rakamı daha uzun ve daha dar bir 3'e 20 dikdörtgenine sığdırmaya çalışarak acı çekti. Tekrar tekrar hain alanı doldurmaya başladı ve ... dikdörtgende delikler ve "ekstra" şekiller olsun.

Yıkılan Duncan, büyükannesini ziyaret ettiğinde kendisini yeni bir sürpriz bekliyordu.

Helen, "Deneylerinizden memnunum" dedi. "Genel bir model çıkarmaya çalışarak tüm olasılıkları araştırdınız." Bu matematikçilerin her zaman yaptığı şeydir. Ama yanılıyorsunuz: üçe yirmilik bir dikdörtgen için çözümler mevcut. Bunlardan sadece iki tane var ve birini bulursanız ikincisini de bulabileceksiniz.

Büyükannesinin övgüsünden ilham alan Duncan, "pentomino avına" yenilenmiş bir güçle devam etti. Bir hafta sonra omuzlarına ne kadar dayanılmaz bir yük yüklediğini anlamaya başladı. On iki figürün düzenlenebileceği yolların sayısı Duncan için kesinlikle kafa karıştırıcıydı. Üstelik her figürün dört konumu vardı!

Ve yine büyükannesinin yanına gelerek tüm zorluklarını ona anlattı. 3'e 20'lik bir dikdörtgen için yalnızca iki seçenek olsaydı, bunları bulmak ne kadar sürerdi?

"İstersen sana cevap vereyim" dedi büyükanne, "Beyinsiz bir bilgisayar gibi davranıp, basit bir kombinasyon araştırması yapıp her biri için bir saniye harcasaydın, ihtiyacın olurdu..." Burada kasıtlı olarak durakladı. “Altı milyondan fazlasına ihtiyacınız olacak… evet, altı milyon yıldan fazlasına.

Dünyevi mi yoksa titanik mi? Bu soru anında Duncan'ın aklına geldi. Ama fark nedir?

Büyükanne şöyle devam etti: "Ama siz beyinsiz bir bilgisayardan farklısınız. Uygun olmayan kombinasyonları anında görüyorsunuz ve bu nedenle bunları kontrol etmekle zaman kaybetmenize gerek yok." Tekrar deneyin.

Duncan, henüz coşkusu ve başarıya olan inancı olmadan itaat etti. Ve sonra aklına parlak bir fikir geldi.

Karl hemen pentominoyla ilgilenmeye başladı ve bu meydan okumayı kabul etti. Rakamların bulunduğu kutuyu Duncan'dan aldı ve birkaç saatliğine ortadan kayboldu.

Karl onu aradığında arkadaşı biraz üzgün görünüyordu.

– Bu sorunun gerçekten bir çözümü olduğundan emin misiniz? - O sordu.

- Kesinlikle emin. İki tane var. Gerçekten en az bir tane bulamadınız mı? Matematikte harika olduğunu sanıyordum.

"Hayal edin, anlayabiliyorum, bu yüzden görevinizin ne kadar çalışma gerektirdiğini biliyorum." Bir milyon milyar olası kombinasyonu kontrol etmemiz gerekiyor.

– Bu kadar çok olduklarını nasıl bildin? – diye sordu Duncan, en azından arkadaşının kafa karışıklığı içinde kafasını kaşımasını sağladığı için memnundu.

Karl, bazı diyagramlar ve sayılarla dolu bir kağıt parçasına yan gözle baktı.

– Kabul edilemez kombinasyonları hariç tutarsanız ve simetriyi ve dönme olasılığını hesaba katarsanız... bir faktöriyel elde edersiniz... toplam permütasyon sayısını... yine de anlayamazsınız. Size numaranın kendisini göstersem iyi olur.

Kameraya, üzerinde etkileyici bir sayı dizisinin ayrıntılı olarak tasvir edildiği başka bir kağıt sayfası getirdi:

1 004 539 160 000 000.

Duncan faktöriyeller hakkında hiçbir şey bilmiyordu ama Karl'ın hesaplamalarının doğruluğu konusunda hiçbir şüphesi yoktu. Uzun sayıyı gerçekten seviyordu.

“Peki bu görevi bırakacak mısın?” – Duncan dikkatle sordu.

- Dahası! Sadece sana bunun ne kadar zor olduğunu göstermek istedim.

Karl'ın yüzü sert bir kararlılığı ifade ediyordu. Bu sözleri söyledikten sonra bayıldı.

Ertesi gün Duncan çocukluk hayatının en büyük şoklarından birini yaşadı. Karl'ın bitkin yüzü, kan çanağı gözlerle ekrandan ona baktı. Uykusuz bir gece geçirdiği hissedildi.

"Eh, hepsi bu," diye duyurdu yorgun ama muzaffer bir sesle.

Duncan gözlerine inanamadı. Ona başarı şansının ihmal edilebilir olduğu görülüyordu. Hatta kendini buna ikna etti. Ve aniden... Önünde, on iki pentomino figürünün tamamıyla dolu, üçe yirmi bir dikdörtgen uzanıyordu.

Daha sonra Karl, orta kısma dokunulmadan uçlardaki parçaları değiştirdi ve çevirdi. Parmakları yorgunluktan hafifçe titriyordu.

"Bu ikinci çözüm" diye açıkladı. "Ve şimdi yatmaya gidiyorum." Peki iyi geceler ya da günaydın - nasıl istersen.

Aşağılanan Duncan, uzun süre karartılmış ekrana baktı. Bulmacaya bir çözüm bulmak için Karl'ın hangi yöne hareket ettiğini bilmiyordu. Ama arkadaşının galip geldiğini biliyordu. Her şeye rağmen.

Arkadaşının zaferini kıskanmadı. Duncan, Karl'ı çok seviyordu ve kendisi çoğu zaman kaybeden tarafta olmasına rağmen, başarılarından her zaman memnundu. Ama arkadaşımın bugünkü zaferinde farklı bir şey vardı, neredeyse büyülü bir şey.

Duncan ilk kez sezginin gücünü gördü. Zihnin gerçeklerin ötesine geçerek müdahale eden mantığı bir kenara atma konusundaki gizemli yeteneğiyle karşılaştı. Karl, birkaç saat içinde en hızlı bilgisayarı geride bırakarak devasa bir işi tamamladı.

Daha sonra Duncan, tüm insanların bu tür yeteneklere sahip olduğunu, ancak bunları çok nadiren - belki de hayatlarında bir kez kullandıklarını öğrendi. Karl'da bu yetenek olağanüstü bir gelişme gösterdi... O andan itibaren Duncan, arkadaşının akıl yürütmesini, sağduyu açısından en gülünç ve çirkin olanı bile ciddiye almaya başladı.

Bu yirmi yıl önceydi. Duncan plastik pentomino parçalarının nereye gittiğini hatırlamıyordu. Belki de Karl'la kaldılar.

Büyükannenin hediyesi, artık çok renkli taş parçaları biçimindeki yeni enkarnasyonları oldu. Şaşırtıcı, yumuşak pembe granit Galileo tepelerinden, obsidiyen Huygens Platosu'ndan ve sahte mermer Herschel sırtındandı. Ve aralarında... Duncan ilk başta yanıldığını düşündü. Hayır, öyle: Titan'ın en nadide ve en gizemli mineraliydi. Büyükannem titanitten pentomino taşı yaptı. Altın kapanımlara sahip bu mavi-siyah mineral hiçbir şeyle karıştırılamaz. Duncan daha önce hiç bu kadar büyük parçalar görmemişti ve maliyetinin ne kadar olduğunu ancak tahmin edebiliyordu.

"Ne diyeceğimi bilemiyorum," diye mırıldandı, "Ne güzel." Bunu ilk defa görüyorum.

Büyükannesinin ince omuzlarına sarıldı ve birden onların titrediğini hissetti ve o da titremeyi durduramadı. Duncan, omuzlarının titremesi durana kadar onu nazikçe kollarında tuttu. Böyle anlarda kelimelere gerek yoktur. Duncan, eskisinden çok daha net bir şekilde anladı: O, Helen Mackenzie'nin harap olmuş hayatındaki son aşktı. Ve şimdi onu anılarıyla baş başa bırakarak uçup gidiyor.

BÜYÜK SİHİRLİ KARE

13. yüzyıl Çinli matematikçi Yang Hui, Pascal üçgenine (aritmetik üçgen) aşinaydı. 4. ve daha yüksek derecedeki denklemleri çözme yöntemlerinin bir tanımını bıraktı; tam ikinci dereceden bir denklemi çözmek için kurallar, ilerlemeleri toplamak ve sihirli kareler oluşturma yöntemleri var. Altıncı dereceden sihirli bir kare oluşturmayı başardı ve ikincisinin neredeyse ilişkisel olduğu ortaya çıktı (içinde yalnızca iki çift merkezi zıt sayı 37'nin toplamını vermiyor).

Benjamin Franklin, tüm satır, sütun ve köşegenlerin sabit toplamı 2056'ya ek olarak bir ek özelliğe daha sahip olan 16x16'lık bir kare inşa etti. Bir kağıttan 4x4'lük bir kare kesip bu sayfayı büyük bir karenin üzerine, büyük karenin 16 hücresi bu yuvaya düşecek şekilde yerleştirirsek, nereye koyarsak koyalım bu yuvada görünen sayıların toplamı , aynı olacak - 2056.

Bu karenin en değerli yanı onu mükemmel bir sihirli kareye dönüştürmenin oldukça kolay olması, mükemmel sihirli kareleri inşa etmenin ise kolay bir iş olmamasıdır. Franklin bu kareyi "büyücüler tarafından şimdiye kadar yaratılmış tüm sihirli kareler arasında en büyüleyici büyü" olarak adlandırdı.

SİHİRLİ KARE, herhangi bir satır, herhangi bir sütun ve herhangi iki ana köşegendeki sayıların toplamının aynı sayıya eşit olduğu kare tamsayılar tablosu.

Sihirli kare eski Çin kökenlidir. Efsaneye göre, İmparator Yu'nun hükümdarlığı sırasında (MÖ 2200), Sarı Nehir'in (Sarı Nehir) sularından, kabuğunun üzerinde gizemli hiyeroglifler yazılı olan kutsal bir kaplumbağa ortaya çıktı (Şek. 1, A) ve bu işaretler lo-shu olarak bilinir ve Şekil 2'de gösterilen sihirli kareye eşdeğerdir. 1, B. 11. yüzyılda Sihirli kareleri Hindistan'da ve ardından 16. yüzyılda Japonya'da öğrendiler. Sihirli karelere geniş bir literatür ayrılmıştır. Avrupalılar sihirli karelerle 15. yüzyılda tanıştı. Bizanslı yazar E. Moschopoulos. Bir Avrupalı ​​tarafından icat edilen ilk karenin, ünlü gravüründe tasvir edilen A. Dürer'in karesi olduğu kabul edilir (Şek. 2). Melankoli 1. Gravürün oluşturulma tarihi (1514), alt satırın iki merkezi hücresindeki sayılarla gösterilir. Sihirli karelere çeşitli mistik özellikler atfedildi. 16. yüzyılda Cornelius Heinrich Agrippa, 7 gezegenin astrolojisiyle ilişkilendirilen 3., 4., 5., 6., 7., 8. ve 9. derece kareler inşa etti. Gümüş üzerine kazınmış sihirli bir karenin vebadan koruduğuna inanılıyordu. Bugün bile Avrupalı ​​kahinlerin özellikleri arasında sihirli kareleri görebilirsiniz.

19. ve 20. yüzyıllarda. sihirli karelere olan ilgi yenilenen bir güçle alevlendi. Yüksek cebir ve operasyonel hesap yöntemleri kullanılarak incelenmeye başlandı.

Sihirli karenin her bir elemanına hücre denir. Kenarı aşağıdakilerden oluşan bir kare N hücreler içerir N 2 hücrelidir ve buna kare denir N-inci sipariş. Çoğu sihirli kare ilkini kullanır N ardışık doğal sayılar Toplam S Her satırda, her sütunda ve herhangi bir köşegende bulunan sayılara kare sabiti denir ve eşittir S = N(N 2 + 1)/2. Kanıtlanmıştır ki N 3. 3. dereceden bir kare için S= 15, 4. sıra – S= 34, 5. sıra – S = 65.

Karenin merkezinden geçen iki köşegene ana köşegenler denir. Kırık çizgi, karenin kenarına ulaştıktan sonra karşı kenardan ilk parçaya paralel devam eden bir köşegendir (böyle bir köşegen, Şekil 3'teki gölgeli hücreler tarafından oluşturulur). Karenin merkezine göre simetrik olan hücrelere çarpık simetrik hücreler denir. Bunlar örneğin hücrelerdir. A Ve B incirde. 3.

Sihirli kare oluşturma kuralları, karenin sırasının tek olmasına, tek sayının iki katına eşit olmasına veya tek sayının dört katına eşit olmasına bağlı olarak üç kategoriye ayrılır. Tüm kareleri inşa etmek için genel bir yöntem bilinmemektedir, ancak çeşitli şemalar yaygın olarak kullanılmasına rağmen, bunlardan bazılarını aşağıda ele alacağız.

Tek sıralı sihirli kareler, 17. yüzyıl Fransız geometri yöntemi kullanılarak inşa edilebilir. A. de la Lubera. Bu yöntemi 5. dereceden kare örneğini kullanarak ele alalım (Şekil 4). 1 sayısı üst sıranın orta hücresine yerleştirilir. Tüm doğal sayılar, çapraz hücrelerde sağdan sola doğru döngüsel olarak aşağıdan yukarıya doğru doğal bir sırayla düzenlenir. Karenin üst kenarına ulaştıktan sonra (1 numarada olduğu gibi), bir sonraki sütunun alt hücresinden başlayarak köşegeni doldurmaya devam ediyoruz. Karenin (3 numara) sağ kenarına ulaştıktan sonra yukarıdaki satırda sol hücreden gelen köşegeni doldurmaya devam ediyoruz. Dolu bir hücreye (5 numara) veya bir köşeye (15 numara) ulaştıktan sonra yörünge bir hücre aşağı iner ve ardından doldurma işlemi devam eder.

F. de la Hire'ın (1640–1718) yöntemi iki orijinal kareye dayanmaktadır. İncirde. Şekil 5, bu yöntemin 5. dereceden bir kare oluşturmak için nasıl kullanıldığını göstermektedir. İlk karenin hücresine 1'den 5'e kadar sayılar girilir, böylece 3 sayısı sağa doğru ana köşegenin hücrelerinde tekrarlanır ve tek bir sayı aynı satırda veya aynı yerde iki kez görünmez. kolon. Aynısını 0, 5, 10, 15, 20 sayıları için de yapıyoruz, tek fark 10 sayısının artık ana köşegendeki hücrelerde yukarıdan aşağıya doğru tekrarlanmasıdır (Şekil 5, B). Bu iki karenin hücre hücre toplamı (Şekil 5, V) sihirli bir kare oluşturur. Bu yöntem aynı zamanda eşit sıralı kareler oluşturmak için de kullanılır.

Düzen kareleri oluşturmanın bir yolunu biliyorsanız M ve sipariş et N, o zaman bir derece karesi oluşturabiliriz Mґ N. Bu yöntemin özü Şekil 2'de gösterilmektedir. 6. Burada M= 3 ve N= 3. 3. dereceden daha büyük bir kare (sayıların asal sayılarla işaretlendiği) de la Loubert yöntemi kullanılarak oluşturulur. 1ў numaralı hücreye (üst sıranın merkezi hücresi), yine de la Lubert yöntemiyle oluşturulan 1'den 9'a kadar olan sayılardan 3. sıradaki bir kare sığar. 2ў numaralı hücreye (sağ alt satırda), 10'dan 18'e kadar sayıların bulunduğu 3. dereceden bir kare sığar; 3ў numaralı hücrede - 19'dan 27'ye kadar sayıların karesi vb. Sonuç olarak 9. dereceden bir kare elde ediyoruz. Bu tür karelere bileşik denir.

SİHİRLİ KARE
herhangi bir satır, herhangi bir sütun ve herhangi iki ana köşegendeki sayıların toplamının aynı sayıya eşit olduğu kare tamsayılar tablosu. Sihirli kare eski Çin kökenlidir. Efsaneye göre, İmparator Yu'nun hükümdarlığı sırasında (M.Ö. 2200), Sarı Nehir'in (Sarı Nehir) sularından, kabuğunun üzerinde gizemli hiyerogliflerin yazılı olduğu kutsal bir kaplumbağa ortaya çıkmıştır (Şekil 1a) ve bu işaretler lo-shu olarak bilinir ve Şekil 2'de gösterilen sihirli kareye eşdeğerdir. 1, b. 11. yüzyılda Sihirli kareleri Hindistan'da ve ardından 16. yüzyılda Japonya'da öğrendiler. Sihirli karelere geniş bir literatür ayrılmıştır. Avrupalılar sihirli karelerle 15. yüzyılda tanıştı. Bizanslı yazar E. Moschopoulos. Bir Avrupalı ​​tarafından icat edilen ilk karenin, ünlü gravürü Melankoli 1'de tasvir edilen A. Dürer'in karesi olduğu kabul edilir (Şek. 2). Gravürün oluşturulma tarihi (1514), iki ortadaki sayılarla gösterilir. alt satırdaki hücreler. Sihirli karelere çeşitli mistik özellikler atfedildi. 16. yüzyılda Cornelius Heinrich Agrippa, 7 gezegenin astrolojisiyle ilişkilendirilen 3., 4., 5., 6., 7., 8. ve 9. derece kareler inşa etti. Gümüş üzerine kazınmış sihirli bir karenin vebadan koruduğuna inanılıyordu. Bugün bile Avrupalı ​​kahinlerin özellikleri arasında sihirli kareleri görebilirsiniz.

19. ve 20. yüzyıllarda. sihirli karelere olan ilgi yenilenen bir güçle alevlendi. Yüksek cebir ve operasyonel hesap yöntemleri kullanılarak incelenmeye başlandı. Sihirli karenin her bir elemanına hücre denir. Kenarı n hücreden oluşan kare, n2 hücre içerir ve n'inci dereceden kare olarak adlandırılır. Çoğu sihirli kare ardışık ilk n doğal sayıyı kullanır. Her satırda, her sütunda ve herhangi bir köşegendeki S sayılarının toplamına kare sabiti denir ve S = n(n2 + 1)/2'ye eşittir. n = 3 olduğu kanıtlanmıştır. 3. dereceden bir kare için S = 15, 4. dereceden - S = 34, 5. dereceden - S = 65. Karenin merkezinden geçen iki köşegene ana köşegenler denir. Kırık çizgi, karenin kenarına ulaştıktan sonra karşı kenardan ilk parçaya paralel devam eden bir köşegendir (böyle bir köşegen, Şekil 3'teki gölgeli hücreler tarafından oluşturulur). Karenin merkezine göre simetrik olan hücrelere çarpık simetrik hücreler denir. Bunlar, örneğin Şekil 2'deki a ve b hücreleridir. 3.

Sihirli kare oluşturma kuralları, karenin sırasının tek olmasına, tek sayının iki katına eşit olmasına veya tek sayının dört katına eşit olmasına bağlı olarak üç kategoriye ayrılır. Tüm kareleri inşa etmek için genel bir yöntem bilinmemektedir, ancak çeşitli şemalar yaygın olarak kullanılmasına rağmen, bunlardan bazılarını aşağıda ele alacağız. Tek sıralı sihirli kareler, 17. yüzyıl Fransız geometri yöntemi kullanılarak inşa edilebilir. A. de la Lubera. Bu yöntemi 5. dereceden kare örneğini kullanarak ele alalım (Şekil 4). 1 sayısı üst sıranın orta hücresine yerleştirilir. Tüm doğal sayılar, çapraz hücrelerde sağdan sola doğru döngüsel olarak aşağıdan yukarıya doğru doğal bir sırayla düzenlenir. Karenin üst kenarına ulaştıktan sonra (1 numarada olduğu gibi), bir sonraki sütunun alt hücresinden başlayarak köşegeni doldurmaya devam ediyoruz. Karenin (3 numara) sağ kenarına ulaştıktan sonra yukarıdaki satırda sol hücreden gelen köşegeni doldurmaya devam ediyoruz. Dolu bir hücreye (5 numara) veya bir köşeye (15 numara) ulaştıktan sonra yörünge bir hücre aşağı iner ve ardından doldurma işlemi devam eder.

F. de la Hire'ın (1640-1718) yöntemi iki orijinal kareye dayanmaktadır. İncirde. Şekil 5, bu yöntemin 5. dereceden bir kare oluşturmak için nasıl kullanıldığını göstermektedir. İlk karenin hücresine 1'den 5'e kadar sayılar girilir, böylece 3 sayısı sağa doğru ana köşegenin hücrelerinde tekrarlanır ve tek bir sayı aynı satırda veya aynı yerde iki kez görünmez. kolon. Aynısını 0, 5, 10, 15, 20 sayıları için de yapıyoruz, tek fark, 10 sayısının artık ana köşegenin hücrelerinde yukarıdan aşağıya doğru tekrarlanarak tekrarlanmasıdır (Şekil 5, b). Bu iki karenin hücre hücre toplamı (Şekil 5c) sihirli bir kare oluşturur. Bu yöntem aynı zamanda eşit sıralı kareler oluşturmak için de kullanılır.

M mertebesinde ve n mertebesinde karelerin nasıl oluşturulacağını biliyorsanız, o zaman mґn mertebesinde bir kare oluşturabilirsiniz. Bu yöntemin özü Şekil 2'de gösterilmektedir. 6. Burada m = 3 ve n = 3. 3. dereceden daha büyük bir kare (sayıların asal sayılarla işaretlendiği) de la Loubert yöntemi kullanılarak oluşturulur. 1ў numaralı hücreye (üst sıranın merkezi hücresi), yine de la Lubert yöntemiyle oluşturulan 1'den 9'a kadar olan sayılardan 3. sıradaki bir kare sığar. 2ў numaralı hücreye (sağ alt satırda), 10'dan 18'e kadar sayıların bulunduğu 3. dereceden bir kare sığar; 3ў numaralı hücrede - 19'dan 27'ye kadar sayıların karesi vb. Sonuç olarak 9. dereceden bir kare elde ediyoruz. Bu tür karelere bileşik denir.

Collier'in Ansiklopedisi. - Açık Toplum. 2000 .

Diğer sözlüklerde "MAGIC SQUARE" in ne olduğunu görün:

Eşit sayıda n sütun ve satıra bölünmüş, ilk n2 doğal sayının sonuçtaki hücrelere yazıldığı, bunların toplamı her sütun, her satır ve iki büyük köşegen için aynı sayıya eşit olan bir kare... Büyük Ansiklopedik Sözlük

SİHİRLİ KARE, hücrelere bölünmüş ve belirli bir şekilde sayı veya harflerle doldurulmuş, özel bir büyülü durumu sabitleyen kare bir MATRİS. En yaygın harf karesi SATOR, AREPO,... ... kelimelerinden oluşan SATOR'dur. Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

Eşit sayıda n sütun ve satıra bölünmüş, elde edilen hücrelere 1'den n2'ye kadar doğal sayılar yazılan ve bunların toplamı her sütun, her satır ve iki büyük köşegen için aynı sayıya eşit olan bir kare. İncirde. M.k.s örneği... ... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Sihirli veya sihirli kare, her satırdaki, her sütundaki ve her iki köşegendeki sayıların toplamı aynı olacak şekilde sayılarla dolu kare bir tablodur. Bir karedeki sayıların toplamları yalnızca satır ve sütunlarda eşitse, o zaman ... Vikipedi

Eşit sayıda n sütun ve satıra bölünmüş, ilk n2 doğal sayının sonuçtaki hücrelere yazıldığı ve bunların toplamı her sütun, her satır ve iki büyük köşegen için aynı sayıya eşit olan bir kare. Resimde bir örnek gösterilmektedir... ... ansiklopedik sözlük

Eşit sayıda n sütun ve satıra bölünmüş, ilk n2 doğal sayının sonuçtaki hücrelere yazıldığı, her sütuna, her satıra ve iki büyük köşegen toplamı aynı sayıya eşit olan bir kare [... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Aşağıdaki koşulları karşılayan, 1'den n2'ye kadar tamsayılardan oluşan kare bir tablo: burada s=n(n2+1)/2. Herhangi bir a sayısının benzersiz bir şekilde (a, b) modulo n(sayılar...) çifti ile karakterize edilmesinin gerekli olmadığı daha genel matematiksel denklemler de dikkate alınır. Matematik Ansiklopedisi

Kitap Her biri yatay, dikey veya çapraz olarak diğerleriyle birlikte aynı sayıya eşit olan bir sayı içeren parçalara bölünmüş bir kare. BTS, 512… Büyük Rusça sözler sözlüğü

- (Yunan magikos, magos sihirbazından). Büyülü, büyüyle ilgili. Rus dilinde yer alan yabancı kelimeler sözlüğü. Chudinov A.N., 1910. BÜYÜLÜ büyü. Rus dilinde yer alan yabancı kelimeler sözlüğü. Pavlenkov F., 1907 ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

Sihirli karenin üç boyutlu versiyonudur. N mertebesinden geleneksel (klasik) bir sihirli küp, boyutları n×n×n olan, 1'den n3'e kadar çeşitli doğal sayılarla doldurulmuş, böylece 3n2 satırlarının herhangi birindeki sayıların toplamları olan bir küptür, ... ... Vikipedi

Kitabın

• Sihirli Kare, Irina Bjorno, "Sihirli Kare", gerçekliğin sihir ve fanteziyle yakından iç içe geçtiği, yeni, büyülü bir tarz oluşturduğu büyülü gerçekçilik tarzında yazılmış öyküler ve kısa öykülerden oluşan bir koleksiyon -... Kategori: Korku ve Gizem Yayıncı: Yayıncılık Çözümleri, e-Kitap(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

giriiş

Antik çağın büyük bilim adamları, niceliksel ilişkileri dünyanın özünün temeli olarak görüyorlardı. Bu nedenle sayılar ve bunların ilişkileri insanlığın en büyük zihinlerini meşgul ediyordu. Benjamin Franklin, "Gençliğimin günlerinde boş zamanlarımda... sihirli kareler yaparak kendimi eğlendiriyordum" diye yazdı. Sihirli kare, her yatay satırdaki, her dikey satırdaki ve her köşegendeki sayıların toplamı aynı olan bir karedir.

Bazı önde gelen matematikçiler çalışmalarını sihirli karelere adadılar ve elde ettikleri sonuçlar grupların, yapıların, Latin karelerinin, determinantların, bölmelerin, matrislerin, karşılaştırmaların ve matematiğin önemsiz olmayan diğer alanlarının gelişimini etkiledi.

Bu makalenin amacı çeşitli sihirli kareleri, Latin karelerini tanımak ve uygulama alanlarını incelemektir.

Sihirli kareler

Olası tüm sihirli karelerin tam bir açıklaması bugüne kadar elde edilemedi. Sihirli 2x2 kareler yoktur. Yalnızca bir tane 3x3 sihirli kare vardır, çünkü diğer 3x3 sihirli kareler ya merkezin etrafında döndürülerek ya da simetri eksenlerinden biri etrafında yansıtılarak ondan elde edilir.

3x3 sihirli karede 1'den 9'a kadar doğal sayıları düzenlemenin 8 farklı yolu vardır:

• 9+5+1
• 9+4+2
• 8+6+2
• 8+5+2
• 8+4+3
• 7+6+2
• 7+5+3
• 6+5+4

3x3'lük bir sihirli karede sihirli sabit 15, 8 yöndeki üç sayının toplamına eşit olmalıdır: 3 satır, 3 sütun ve 2 köşegen. Ortadaki sayı 1 satır, 1 sütun ve 2 köşegene ait olduğundan sihirli sabiti oluşturan 8 üçlünün 4'ünde yer alır. Böyle tek bir sayı var: 5. Dolayısıyla 3x3 sihirli karenin ortasındaki sayı zaten biliniyor: 5.

9 sayısını düşünün. Sadece 2 üçlü sayının içinde yer alır. Her köşe hücresi 3 üçlüye ait olduğundan onu bir köşeye yerleştiremeyiz: satır, sütun ve köşegen. Bu nedenle 9 sayısının ortadaki karenin kenarına bitişik bir hücrede olması gerekir. Karenin simetrisi nedeniyle hangi tarafı seçtiğimiz önemli değil, bu nedenle merkez hücredeki 5 sayısının üstüne 9 yazıyoruz. Üst satırdaki dokuzun her iki yanına sadece 2 ve 4 rakamlarını yazabiliriz. Bu iki sayıdan hangisinin sağ üst köşede, hangisinin yine solda olacağı önemli değil, çünkü sayıların bir düzenlemesi yansıtıldığında başka biri. Kalan hücreler otomatik olarak doldurulur. 3x3'lük sihirli kareden oluşan basit yapımız, benzersizliğini kanıtlıyor.

Böyle sihirli bir kare, eski Çinliler arasında büyük önem taşıyan bir semboldü. Ortadaki 5 sayısı toprak anlamına geliyordu ve çevresinde kesin bir denge içinde ateş (2 ve 7), su (1 ve 6),

ahşap (3 ve 8), metal (4 ve 9).

Karenin boyutu (hücre sayısı) arttıkça o büyüklükteki olası sihirli karelerin sayısı da hızla artar. 4. dereceden 880 sihirli kare ve 5. dereceden 275.305.224 sihirli kare vardır. Üstelik Orta Çağ'da 5x5 kareler biliniyordu. Örneğin Müslümanlar, ortasında 1 rakamı bulunan böyle bir kareye, Allah'ın birliğinin sembolü olduğunu düşünerek büyük saygı duyuyorlardı.

Pisagor'un sihirli meydanı

Niceliksel ilişkilerin şeylerin özünün temeli olduğunu iddia eden dini ve felsefi doktrini kuran büyük bilim adamı Pisagor, insanın özünün de sayıda - doğum tarihinde - yattığına inanıyordu. Dolayısıyla Pisagor'un sihirli karesinin yardımıyla bir kişinin karakterini, sağlık derecesini ve potansiyelini öğrenebilir, avantajlarını ve dezavantajlarını ortaya çıkarabilir ve böylece onu geliştirmek için ne yapılması gerektiğini belirleyebilirsiniz.

Pisagor'un sihirli karesinin ne olduğunu ve göstergelerinin nasıl hesaplandığını anlamak için kendi örneğimi kullanarak hesaplayacağım. Ve hesaplama sonuçlarının gerçekten belirli bir kişinin gerçek karakterine karşılık geldiğinden emin olmak için önce bunu kendim kontrol edeceğim. Bunun için doğum tarihime göre hesaplama yapacağım. Yani doğum tarihim 08/20/1986. Doğum gün, ay ve yıl rakamlarını (sıfırlar hariç) toplayalım: 2+8+1+9+8+6=34. Daha sonra sonuçtaki sayıları topluyoruz: 3+4=7. Daha sonra ilk sayıdan doğum gününün ilk rakamının iki katını çıkarıyoruz: 34-4=30. Ve yine son sayının rakamlarını ekliyoruz:

3+0=3. Geriye son eklemeleri yapmak kalıyor - 1. ve 3. ve 2. ve 4. toplamlar: 34+30=64, 7+3=10. 20.08.1986,34,7,30, 64,10 rakamlarını aldık.

ve sihirli bir kare yapın, böylece bu sayıların tümü hücre 1'e, tüm ikililer hücre 2'ye vb. girsin. Sıfırlar dikkate alınmaz. Sonuç olarak karem şöyle görünecek:

Kare hücreler şu anlama gelir:

Hücre 1 - kararlılık, irade, azim, bencillik.

• 1 - tam egoistler, her durumdan maksimum faydayı elde etmeye çalışırlar.
• 11 - egoistliğe yakın bir karakter.
• 111 - “altın ortalama”. Karakter sakin, esnek ve girişken.
• 1111 - güçlü karakterli, iradeli insanlar. Bu karaktere sahip erkekler askeri profesyonellerin rolüne uygundur ve kadınlar ailelerini ellerinde tutar.
• 11111 - diktatör, zorba.
• 111111 - imkansızı başarabilen zalim bir kişi; çoğu zaman bir fikrin etkisi altına girer.

Hücre 2 - biyoenerji, duygusallık, samimiyet, duygusallık. İkililerin sayısı biyoenerji seviyesini belirler.

İkili yok - kanal yoğun bir biyoenerji koleksiyonuna açık. Bu insanlar doğası gereği iyi huylu ve asildir.

• 2 - biyoenerjetik açıdan sıradan insanlar. Bu tür insanlar atmosferdeki değişikliklere karşı çok hassastır.
• 22 - nispeten büyük bir biyoenerji rezervi. Bu tür insanlardan iyi doktorlar, hemşireler ve hademeler olurlar. Bu tür insanların ailesinde nadiren sinirsel stres yaşayan kimse yoktur.
• 222 medyumun işaretidir.

Hücre 3 - doğruluk, özgüllük, organizasyon, düzenlilik, dakiklik, temizlik, cimrilik, sürekli "adaletin yeniden tesis edilmesine" eğilim.

Üçlerin artması tüm bu nitelikleri artırır. Onlarla birlikte, kişinin kendisini bilimlerde, özellikle de kesin bilimlerde araması mantıklıdır. Üçlülerin baskınlığı bilgiçlere, bir durumda insanlara yol açar.

Hücre 4 - sağlık. Bu, ataların geliştirdiği ve kişiyi koruyan enerji alanı olan ecgregor ile bağlantılıdır. Dörtlüğün yokluğu kişinin hasta olduğunu gösterir.

• 4 - ortalama sağlık, vücudun sertleşmesi gerekiyor. Yüzme ve koşma önerilen sporlardır.
• 44 - sağlık.
• 444 ve daha fazlası - sağlığı çok iyi olan insanlar.

Hücre 5 - bu tür insanlarda zaten üç beş seviyesinde kendini göstermeye başlayan sezgi, basiret.

Beşli yok - alanla iletişim kanalı kapalı. Bu insanlar sıklıkla

yanılıyorlar.

• 5 - iletişim kanalı açık. Bu kişiler durumu doğru hesaplayabilir ve bundan en iyi şekilde yararlanabilirler.
• 55 - son derece gelişmiş sezgi. “Peygamberlik rüyaları” gördüklerinde olayların gidişatını tahmin edebilirler. Onlara uygun meslekler avukatlık, dedektifliktir.
• 555 - neredeyse durugörü sahibi.
• 5555 - basiretçiler.

Hücre 6 - temellilik, önemlilik, hesaplama, dünyanın niceliksel keşfine yönelik bir tutku ve niteliksel sıçramalara ve hatta daha fazlası manevi mucizelere güvensizlik.

Altı yok - bu insanların fiziksel emeğe ihtiyacı var, ancak kural olarak bundan hoşlanmıyorlar. Olağanüstü hayal gücü, fantezi ve sanatsal zevkle donatılmıştır. İnce doğaları olmasına rağmen yine de harekete geçme yeteneğine sahiptirler.

• 6 - yaratıcılıkla veya kesin bilimlerle meşgul olabilir, ancak fiziksel emek varoluşun bir ön koşuludur.
• 66 - insanlar çok topraklıdır, onlar için zorunlu olmasa da fiziksel emeğe çekilirler; Zihinsel aktivite veya sanatsal uğraşlar arzu edilir.
• 666, özel ve uğursuz bir işaret olan Şeytan'ın işaretidir. Bu insanlar yüksek bir mizaca sahiptirler, çekicidirler ve her zaman toplumun ilgi odağı haline gelirler.
• 6666 - bu insanlar önceki enkarnasyonlarında çok fazla temel kazandılar, çok çalıştılar ve işsiz bir hayat hayal edemiyorlar. Eğer kareleri şunları içeriyorsa

Dokuzlar, kesinlikle zihinsel faaliyetlerde bulunmaları, zekalarını geliştirmeleri ve en azından yüksek öğrenim almaları gerekiyor.

Hücre 7 - yedilerin sayısı yeteneğin ölçüsünü belirler.

• 7- Ne kadar çok çalışırlarsa o kadar geç kazanırlar.
• 77 - çok yetenekli, müzikal insanlar, ince bir sanatsal zevke sahiptirler ve güzel sanatlara karşı bir tutkuları olabilir.
• 777 - bu insanlar kural olarak kısa bir süre için Dünya'ya geliyorlar. Nazik, sakin ve her türlü haksızlığa karşı duyarlıdırlar. Hassastırlar, hayal kurmayı severler ve her zaman gerçeği hissetmezler.
• 7777 Melek burcudur. Bu burcu taşıyan kişiler bebeklik döneminde ölürler ve yaşarlarsa hayatları sürekli tehlike altındadır.

Hücre 8 - karma, görev, yükümlülük, sorumluluk. Sekiz sayısı görev duygusunun derecesini belirler.

Sekiz yok - bu insanların neredeyse tamamen görev duygusu yok.

• 8 - sorumlu, vicdanlı, doğru doğa.
• 88 - bu insanlar gelişmiş bir görev duygusuna sahiptirler, her zaman başkalarına, özellikle de zayıf, hasta ve yalnız olanlara yardım etme arzusuyla ayırt edilirler.
• 888 büyük bir görevin, halka hizmetin bir göstergesidir. Üç sekizli bir cetvel olağanüstü sonuçlar elde eder.
• 8888 - bu insanların parapsikolojik yetenekleri ve kesin bilimlere karşı olağanüstü hassasiyetleri var. Doğaüstü yollar onlara açıktır.

Hücre 9 - zeka, bilgelik. Dokuzların yokluğu zihinsel yeteneklerin son derece sınırlı olduğunun kanıtıdır.

• 9 - Bu insanlar zeka eksikliklerini telafi etmek için hayatları boyunca çok çalışmak zorundadırlar.
• 99 - bu insanlar doğuştan akıllıdır. Öğrenmeye her zaman isteksizdirler çünkü bilgi onlara kolayca ulaşır. İronik bir mizah anlayışına sahiptirler ve bağımsızdırlar.
• 999 - çok akıllı. Öğrenmek için hiçbir çaba gösterilmiyor. Mükemmel konuşmacılar.
• 9999 - bu insanlara gerçek ortaya çıkıyor. Eğer sezgileri de gelişmişse, herhangi bir girişimde başarısızlığa karşı garantilidirler. Bütün bunlarla birlikte genellikle oldukça hoşturlar çünkü keskin zekaları onları kaba, acımasız ve zalim yapar.

Böylece, Pisagor'un sihirli karesini çizdikten ve hücrelerinde bulunan tüm sayı kombinasyonlarının anlamını bilerek, Doğa Ana'nın doğanızın bahşettiği nitelikleri yeterince değerlendirebileceksiniz.

Latin kareleri

Matematikçilerin esas olarak sihirli karelerle ilgilenmesine rağmen Latin kareleri bilim ve teknolojide en büyük uygulamayı buldu.

Latin karesi, içine 1, 2,..., n sayılarının yazıldığı ve bu sayıların tümü her satırda ve her sütunda bir kez görünecek şekilde nxn hücrelerinden oluşan bir karedir. Şekil 3'te bu tür iki adet 4x4 kare gösterilmektedir. İlginç bir özellikleri var: Bir kare diğerinin üzerine bindirilirse, ortaya çıkan tüm sayı çiftleri farklı olur. Bu tür Latin kare çiftlerine ortogonal denir.

Dik Latin kareleri bulma sorunu ilk kez L. Euler tarafından ve çok eğlenceli bir formülasyonla ortaya atıldı: “36 subay arasında eşit sayıda mızraklı süvariler, süvariler, süvariler, zırhlılar, süvari muhafızları ve el bombacıları var ve bunlara ek olarak bir de eşit sayıda general, albay, binbaşı, yüzbaşı, teğmen ve teğmen bulunur ve Ordunun her kolu, altı rütbenin tamamından subaylar tarafından temsil edilir. Tüm subayları 6x6'lık bir karede, herhangi bir sütunda ve her rütbede her rütbeden subay olacak şekilde sıraya dizmek mümkün müdür?

Euler bu soruna bir çözüm bulamadı. 1901 yılında böyle bir çözümün olmadığı kanıtlandı. Aynı zamanda Euler, n'nin tüm tek değerleri ve n'nin 4'e bölünebilen çift değerleri için ortogonal Latin kare çiftlerinin mevcut olduğunu kanıtladı. Euler, n'nin geri kalan değerleri için şunu varsaydı: yani n sayısı 4'e bölündüğünde kalan 2 ise, dik kareler yoktur. 1901'de 6 6 dik karelerinin olmadığı kanıtlandı ve bu, Euler'in hipotezinin geçerliliğine olan güveni artırdı. Ancak 1959 yılında bilgisayar yardımıyla 10x10, ardından 14x14, 18x18, 22x22 dik kareler ilk kez bulundu. Daha sonra 6 dışında herhangi bir n için nxn dik karenin olduğu gösterildi.

Büyü ve Latin kareleri yakın akrabadır. İki dik karemiz olsun. Aynı boyutlardaki yeni bir karenin hücrelerini aşağıdaki gibi dolduralım. Oraya n(a - 1)+b sayısını koyalım; burada a, birinci karenin böyle bir hücresindeki sayıdır ve b, ikinci karenin aynı hücresindeki sayıdır. Ortaya çıkan karede satır ve sütunlardaki (ancak köşegenlerdeki) sayıların toplamlarının aynı olacağını anlamak kolaydır.

Latin kareler teorisi hem matematikte hem de uygulamalarında çok sayıda uygulama bulmuştur. Bir örnek verelim. Belirli bir alanda 4 buğday çeşidini verim açısından test etmek istediğimizi ve mahsullerin seyreklik derecesinin etkisini ve iki tür gübrenin etkisini hesaba katmak istediğimizi varsayalım. Bunu yapmak için kare bir arsayı 16 parsele böleceğiz (Şekil 4). İlk buğday çeşidini alt yatay şeride karşılık gelen parsellere, sonraki çeşidi bir sonraki şeride karşılık gelen dört parsele vb. ekeceğiz (şekilde çeşitlilik renkle gösterilmiştir). Bu durumda, maksimum mahsul yoğunluğunun, şeklin sol dikey sütununa karşılık gelen alanlarda olmasına ve sağa doğru hareket ederken azalmasına izin verin (şekilde bu, renk yoğunluğundaki bir azalmaya karşılık gelir). Resmin hücrelerindeki sayıların şu anlama gelmesine izin verin:

birincisi bu alana uygulanan birinci tip gübrenin kilogram sayısı, ikincisi ise uygulanan ikinci tip gübre miktarıdır. Bu durumda, hem çeşit hem de ekim yoğunluğu ve diğer bileşenlerin olası tüm kombinasyon çiftlerinin gerçekleştirildiğini anlamak kolaydır: birinci tip çeşit ve gübreler, birinci ve ikinci tip gübreler, ikinci tip yoğunluk ve gübreler.

Dik Latin karelerinin kullanılması tarım, fizik, kimya ve teknoloji deneylerinde olası tüm seçeneklerin dikkate alınmasına yardımcı olur.

kare büyü pisagor latince

Çözüm

Bu makale, matematikte birçok büyük insanın zihnini meşgul eden sorulardan birinin, sihirli karelerin gelişim tarihi ile ilgili konuları incelemektedir. Sihirli karelerin bilim ve teknolojide geniş bir uygulama alanı bulamamasına rağmen, birçok olağanüstü insana matematik çalışması konusunda ilham verdiler ve matematiğin diğer dallarının (gruplar teorisi, determinantlar, matrisler vb.) gelişimine katkıda bulundular.

Sihirli karelerin en yakın akrabaları olan Latin kareler, hem matematikte hem de deney sonuçlarının oluşturulması ve işlenmesindeki uygulamalarında çok sayıda uygulama alanı bulmuştur. Özette böyle bir deneyin nasıl oluşturulacağıyla ilgili bir örnek verilmektedir.

Özette aynı zamanda tarihsel açıdan ilgi çekici olan ve muhtemelen bir kişinin psikolojik portresini çizmek için yararlı olan Pisagor karesi konusu da tartışılmaktadır.

Kaynakça

• 1. Genç bir matematikçinin ansiklopedik sözlüğü. M., “Pedagoji”, 1989.
• 2. M. Gardner “Zamanda Yolculuk”, M., “Mir”, 1990.
• 3. Beden Eğitimi ve Spor No. 10, 1998