Կոորդինատների համակարգեր. Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ. հիմնական հասկացություններ և օրինակներ Ինչպես պարզել, թե որ կոորդինատային համակարգն է օգտագործվում

Գլուխ I. Վեկտորները հարթության վրա և տարածության մեջ

§ 13. Անցում մեկ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգից մյուսին

Առաջարկում ենք այս թեման դիտարկել երկու տարբերակով.

1) Ի.Ի. Պրիվալովի «Անալիտիկ երկրաչափություն» դասագրքի հիման վրա (դասագիրք բարձրագույն տեխնիկական ուսումնական հաստատությունների համար, 1966 թ.)

Պրիվալով «Անալիտիկ երկրաչափություն»

§ 1. Կոորդինացնել փոխակերպման խնդիրը.

Հարթության վրա կետի դիրքը որոշվում է որոշ կոորդինատային համակարգի նկատմամբ երկու կոորդինատներով: Կետի կոորդինատները կփոխվեն, եթե ընտրենք այլ կոորդինատային համակարգ։

Կոորդինատների փոխակերպման խնդիրն է այնպես որ, իմանալով կոորդինատային համակարգի մի կետի կոորդինատները, գտնենք դրա կոորդինատները մեկ այլ համակարգում.

Այս խնդիրը կլուծվի, եթե սահմանենք երկու համակարգերում կամայական կետի կոորդինատները միացնող բանաձևեր, և այդ բանաձևերի գործակիցները ներառեն հաստատուն մեծություններ, որոնք որոշում են համակարգերի հարաբերական դիրքը:

Թող տրվի երկու դեկարտյան կոորդինատային համակարգ xOyԵվ XO 1 Յ(նկ. 68):

Նոր համակարգի դիրքորոշումը XO 1 Յհամեմատ հին համակարգի xOyկորոշվի, եթե հայտնի լինեն կոորդինատները Ա Եվ բ Նոր սկիզբ O 1ըստ հին համակարգի և անկյունի α առանցքների միջև Օ՜Եվ O 1 X. Նշենք ըստ XԵվ ժամը M կամայական M կետի կոորդինատները՝ համեմատած հին համակարգի, նոր համակարգի նկատմամբ նույն կետի X և Y կոորդինատների միջոցով: Մեր խնդիրն է ապահովել, որ հին կոորդինատները XԵվ ժամըարտահայտված նոր X-ով և Y-ով: Ստացված փոխակերպման բանաձևերը պետք է ակնհայտորեն ներառեն հաստատուններ ա, բ Եվ α .

Այս ընդհանուր խնդրի լուծումը մենք կստանանք՝ դիտարկելով երկու հատուկ դեպք։

1. Կոորդինատների ծագումը փոխվում է, բայց առանցքների ուղղությունները մնում են անփոփոխ ( α = 0).

2. Առանցքների ուղղությունները փոխվում են, բայց կոորդինատների սկզբնաղբյուրը մնում է անփոփոխ ( ա = բ = 0).

§ 2. Կոորդինատների սկզբնաղբյուրի փոխանցում.

Թող տրվեն տարբեր ծագում ունեցող դեկարտյան կոորդինատների երկու համակարգեր ՕԵվ O 1և առանցքների նույն ուղղությունները (նկ. 69):

Նշենք ըստ Ա Եվ բ նոր սկզբի կոորդինատները O 1հին համակարգում և միջոցով x, yԵվ X, Յ- կամայական M կետի կոորդինատները հին և նոր համակարգերում համապատասխանաբար: M կետի նախագծում առանցքի վրա O 1 XԵվ Օ՜, ինչպես նաև մի կետ O 1մեկ առանցքի Օ՜, մենք անցնում ենք առանցքի Օ՜երեք կետ Օհ, ԱհԵվ Ռ. Սեգմենտի չափերը ՕԱ, ԱՌԵվ ԿԱՄկապված են հետևյալ հարաբերություններով.

| ՕԱ| + | ԱՌ | = | ԿԱՄ |. (1)

Նկատելով, որ | ՕԱ| = Ա , | ԿԱՄ | = X , | ԱՌ | = | O 1 R 1 | = X, մենք վերագրում ենք հավասարությունը (1) ձևով.

Ա + X = x կամ x = X + Ա . (2)

Նմանապես, նախագծելով Մ և O 1Օրինատների առանցքի վրա մենք ստանում ենք.

y = Յ + բ (3)

Այսպիսով, հին կոորդինատը հավասար է նորին գումարած նոր ծագման կոորդինատը՝ ըստ հին համակարգի։

(2) և (3) բանաձևերից նոր կոորդինատները կարող են արտահայտվել հների միջոցով.

X = x - ա , (2")

Յ = y - բ . (3")

§ 3. Կոորդինատային առանցքների պտույտ:

Թող տրվեն նույն ծագմամբ երկու դեկարտյան կոորդինատային համակարգեր ՄԱՍԻՆև առանցքների տարբեր ուղղություններ (նկ. 70):

Թող α առանցքների միջև կա անկյուն Օ՜Եվ Օհ. Նշենք ըստ x, y Եվ X, Yկամայական M կետի կոորդինատները, համապատասխանաբար, հին և նոր համակարգերում.

X = | ԿԱՄ | , ժամը = | վարչապետ | ,

X= | ԿԱՄ 1 |, Յ= | Պ 1 Մ |.

Դիտարկենք կոտրված գիծ ԿԱՄ 1 պատգամավորև վերցրեք դրա պրոյեկցիան առանցքի վրա Օ՜. Նկատի ունենալով, որ ճեղքված գծի պրոյեկցիան հավասար է փակվող հատվածի պրոյեկցիայի (Գլուխ I, § 8) մենք ունենք.

ԿԱՄ 1 պատգամավոր = | ԿԱՄ |. (4)

Մյուս կողմից, կոտրված գծի պրոյեկցիան հավասար է նրա կապերի պրոյեկցիաների գումարին (Գլուխ I, § 8); հետևաբար, հավասարությունը (4) կգրվի հետևյալ կերպ.

և այլն ԿԱՄ 1+ պր Պ 1 Մ+ պր պատգամավոր= | ԿԱՄ | (4")

Քանի որ ուղղորդված հատվածի պրոյեկցիան հավասար է դրա մեծությանը` բազմապատկված պրոյեկցիաների առանցքի և այն առանցքի միջև անկյան կոսինուսով, որի վրա ընկած է հատվածը (Գլուխ I, § 8), ապա.

և այլն ԿԱՄ 1 = X cos α

և այլն Պ 1 Մ = Յ cos (90° + α ) = - Յմեղք α ,

պր պատգամավոր= 0.

Հետևաբար հավասարությունը (4") տալիս է մեզ.

x = X cos α - Յմեղք α . (5)

Նմանապես, նույն պոլիգիծը նախագծելով առանցքի վրա OU, մենք ստանում ենք արտահայտություն ժամը. Փաստորեն, մենք ունենք.

և այլն ԿԱՄ 1+ պր Պ 1 Մ+ պր պատգամավոր= pp ԿԱՄ = 0.

Նկատելով դա

և այլն ԿԱՄ 1 = X cos( α - 90 °) = Xմեղք α ,

և այլն Պ 1 Մ = Յ cos α ,

պր պատգամավոր = - y ,

Կունենա:

Xմեղք α + Յ cos α - y = 0,

y = Xմեղք α + Յ cos α . (6)

(5) և (6) բանաձևերից մենք ստանում ենք նոր կոորդինատներ XԵվ Յարտահայտված հին միջոցով X Եվ ժամը , եթե լուծենք (5) և (6) հավասարումները XԵվ Յ.

Մեկնաբանություն.Բանաձևերը (5) և (6) կարելի է տարբեր կերպ ձեռք բերել:

Սկսած Նկ. 71 մենք ունենք.

X = ԿԱՄ = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ -ՕՄ մեղք α մեղք φ ,

ժամը = RM = OM մեղք ( α + φ ) = OM մեղք α cos φ + OM cos α մեղք φ .

Քանի որ (Գլուխ I, § 11) OM cos φ = X, ՕՄ մեղք φ =Յ, Դա

x = X cos α - Յմեղք α , (5)

y = Xմեղք α + Յ cos α . (6)

§ 4. Ընդհանուր գործ.

Թող բերվեն երկու դեկարտյան կոորդինատային համակարգեր՝ տարբեր սկզբնավորմամբ և առանցքների տարբեր ուղղություններով (նկ. 72):

Նշենք ըստ Ա Եվ բ նոր սկզբի կոորդինատները ՄԱՍԻՆ, ըստ հին համակարգի, միջոցով α - կոորդինատային առանցքների պտտման անկյունը և, վերջապես, միջով x, y Եվ X, Y- կամայական M կետի կոորդինատները ըստ հին և նոր համակարգերի համապատասխանաբար.

Արտահայտել X Եվ ժամը միջոցով XԵվ Յ, ներկայացնենք օժանդակ կոորդինատային համակարգ x 1 Օ 1 y 1, որի սկիզբը կտեղադրվի նոր սկզբում ՄԱՍԻՆ 1, և վերցրեք առանցքների ուղղությունները, որպեսզի համընկնեն հին առանցքների ուղղությունների հետ: Թող x 1 և y 1-ում նշվում են M կետի կոորդինատները այս օժանդակ համակարգի նկատմամբ: Անցնելով հին կոորդինատային համակարգից օժանդակ համակարգին, մենք ունենք (§ 2).

X = X 1 + ա , y = y 1 +b .

X 1 = X cos α - Յմեղք α , y 1 = Xմեղք α + Յ cos α .

Փոխարինելով X 1 և y 1-ը նախորդ բանաձևերում վերջին բանաձևերից իրենց արտահայտություններով վերջապես գտնում ենք.

x = X cos α - Յմեղք α + ա

y = Xմեղք α + Յ cos α + բ (ես)

Բանաձևերը (I) որպես հատուկ դեպք պարունակում են §§ 2 և 3-ի բանաձևերը: Այսպիսով, երբ α = 0 բանաձևեր (I) վերածվում են

x = X + Ա , y = Յ + բ ,

եւ երբ ա = բ = 0 մենք ունենք.

x = X cos α - Յմեղք α , y = Xմեղք α + Յ cos α .

Բանաձևերից (I) մենք ստանում ենք նոր կոորդինատներ XԵվ Յարտահայտված հին միջոցով X Եվ ժամը , եթե (I) հավասարումները լուծելի են նկատմամբ XԵվ Յ.

Նկատենք բանաձևերի (I) մի շատ կարևոր հատկություն. դրանք գծային են XԵվ Յ, այսինքն՝ ձևի.

x = AX + BY + C, y = Ա 1 X+B 1 Y+C 1 .

Հեշտ է ստուգել, ​​որ նոր կոորդինատներն են XԵվ Յկարտահայտվի հին միջոցով X Եվ ժամը նաև առնչվող առաջին աստիճանի բանաձևերով X Եվ u.

Գ.Ն.Յակովլև «Երկրաչափություն»

§ 13. Անցում մեկ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգից մյուսին

Ընտրելով ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ՝ հաստատվում է մեկ առ մեկ համապատասխանություն հարթության կետերի և իրական թվերի դասավորված զույգերի միջև։ Սա նշանակում է, որ հարթության յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է մեկ զույգ թվերի, իսկ իրական թվերի յուրաքանչյուր դասավորված զույգ համապատասխանում է մեկ կետի։

Այս կամ այն ​​կոորդինատային համակարգի ընտրությունը ոչ մի կերպ չի սահմանափակվում և յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում որոշվում է միայն հարմարության նկատառումներով: Հաճախ նույն հավաքածուն պետք է դիտարկել տարբեր կոորդինատային համակարգերում: Տարբեր համակարգերում նույն կետն ակնհայտորեն տարբեր կոորդինատներ ունի: Տարբեր կոորդինատային համակարգերում կետերի բազմությունը (մասնավորապես՝ շրջան, պարաբոլա, ուղիղ գիծ) տրված է տարբեր հավասարումներով։

Եկեք պարզենք, թե ինչպես են փոխակերպվում հարթության վրա գտնվող կետերի կոորդինատները մի կոորդինատային համակարգից մյուսը անցնելիս:

Թող հարթության վրա տրվեն երկու ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր՝ O, ես, ժ և մոտ», ես», ժ» (նկ. 41):

Առաջին համակարգը, որի սկիզբն է O կետը և հիմքի վեկտորները ես Եվ ժ եկեք պայմանավորվենք անվանել այն հինը, երկրորդը` սկիզբը O կետից և հիմքի վեկտորները ես" Եվ ժ» - նոր.

Մենք հայտնի կհամարենք նոր համակարգի դիրքը հին համակարգի նկատմամբ. թող հին համակարգում O կետը ունենա կոորդինատներ ( ա;բ ), վեկտոր ես" ձևեր վեկտորով ես անկյուն α . Անկյուն α Մենք հաշվում ենք ժամացույցի սլաքի շարժմանը հակառակ ուղղությամբ:

Դիտարկենք կամայական M կետը: Նշենք դրա կոորդինատները հին համակարգում (( x;y ), նորում - միջոցով ( x";y" ) Մեր խնդիրն է հաստատել M կետի հին և նոր կոորդինատների հարաբերությունները։

Եկեք զույգերով միացնենք O և O, O, O և M, O և M կետերը: Օգտագործելով եռանկյունի կանոնը՝ ստանում ենք.

Օ.Մ > = OO" > + Օ"Մ > . (1)

Ընդլայնենք վեկտորները Օ.Մ> և OO"> ըստ հիմքի վեկտորների ես Եվ ժ , և վեկտորը Օ"Մ> ըստ հիմքի վեկտորների ես" Եվ ժ» :

Օ.Մ > = x ես+ y ժ , OO" > = ա ես+b ժ , Օ"Մ > = x" ես«+ y» ժ "

Այժմ հավասարությունը (1) կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

x ես+ y ժ = (ա ես+b ժ ) + (x" ես«+ y» ժ "). (2)

Նոր հիմքի վեկտորներ ես" Եվ ժ» ընդլայնվում են ըստ հին հիմքի վեկտորների ես Եվ ժ հետևյալ կերպ.

ես" =cos α ես + մեղք α ժ ,

ժ» =cos( π / 2 + α ) ես + մեղք ( π / 2 + α ) ժ = - մեղք α ես + cos α ժ .

Գտնված արտահայտությունների փոխարինում ես" Եվ ժ» բանաձևով (2) մենք ստանում ենք վեկտորի հավասարություն

x ես+ y ժ = ա ես+b ժ + X"(cos α ես + մեղք α ժ ) + y"(- մեղք α ես + cos α ժ )

համարժեք է երկու թվային հավասարումների.

x = a + X" cos α - y"մեղք α , ժամը = բ+ X"մեղք α + y" cos α

Բանաձևերը (3) տալիս են հին կոորդինատների պահանջվող արտահայտությունները XԵվ ժամըմատնանշում է իր նոր կոորդինատները X"Եվ y". Հների առումով նոր կոորդինատների արտահայտություններ գտնելու համար բավական է լուծել (3) հավասարման համակարգը անհայտների նկատմամբ. X"Եվ y".

Այսպիսով, այն կետերի կոորդինատները, երբ կոորդինատների սկզբնաղբյուրը փոխանցվում է կետին ( Ա; բ ) և առանցքները շրջել անկյան տակ α փոխակերպվում են ըստ (3) բանաձևերի։

Եթե ​​փոխվում է միայն կոորդինատների սկզբնաղբյուրը, և առանցքների ուղղությունները մնում են նույնը, ապա, ենթադրելով (3) բանաձևով. α = 0, մենք ստանում ենք

Բանաձևերը (5) կոչվում են ռոտացիայի բանաձևեր.

Առաջադրանք 1.Հին համակարգում նոր սկզբի կոորդինատները թող լինեն (2; 3), իսկ A կետի կոորդինատները հին համակարգում (4; -1): Գտե՛ք նոր համակարգում A կետի կոորդինատները, եթե առանցքների ուղղությունները մնում են նույնը:

Ըստ (4) բանաձևերի ունենք

Պատասխանել. A (2;-4)

Առաջադրանք 2.Հին համակարգում P կետի կոորդինատները թող լինեն (-2; 1), իսկ նոր համակարգում, որի առանցքների ուղղությունները նույնն են, այս կետի կոորդինատները (5; 3): Գտե՛ք նոր սկզբի կոորդինատները հին համակարգում:

A (4) բանաձևերից մենք ստանում ենք

- 2= ա + 5 1 = բ + 3

որտեղ Ա = - 7, բ = - 2.

Պատասխանել. (-7; -2):

Առաջադրանք 3.Ա կետի կոորդինատները նոր համակարգում (4; 2). Գտե՛ք այս կետի կոորդինատները հին համակարգում, եթե սկզբնաղբյուրը մնում է նույնը, և հին համակարգի կոորդինատային առանցքները պտտվում են անկյան տակ։ α = 45 °:

Օգտագործելով (5) բանաձևերը՝ գտնում ենք

Առաջադրանք 4.Ա կետի կոորդինատները հին համակարգում (2 √3 ; - √3 ). Գտե՛ք այս կետի կոորդինատները նոր համակարգում, եթե հին համակարգի սկզբնաղբյուրը տեղափոխվում է (-1;-2) կետ և առանցքները պտտվում են անկյան տակ։ α = 30 °:

Ըստ (3) բանաձևերի ունենք

Լուծելով այս հավասարումների համակարգը X"Եվ y", գտնում ենք. X" = 4, y" = -2.

Պատասխանել. Ա (4; -2):

Առաջադրանք 5.Տրված է գծի հավասարումը ժամը = 2X - 6. Նոր կոորդինատային համակարգում գտե՛ք նույն ուղիղի հավասարումը, որը ստացվում է հին համակարգից՝ առանցքները անկյան տակ պտտելով. α = 45 °:

Պտտման բանաձևերը այս դեպքում ունեն ձևը

Հավասարման մեջ ուղիղ գիծը փոխարինելը ժամը = 2X - 6 հին փոփոխականներ X Եվ ժամը նոր, մենք ստանում ենք հավասարումը

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

որը պարզեցումներից հետո ստանում է ձև y" = x" / 3 - 2√2

Կոորդինատներ - դրանք մեծություններ են, որոնք որոշում են ընդունված կոորդինատային համակարգում ցանկացած կետի դիրքը մակերեսի կամ տարածության վրա: Կոորդինատների համակարգը սահմանում է սկզբնական (ծագման) կետերը, գծերը կամ հարթությունները՝ անհրաժեշտ քանակությունները հաշվելու համար՝ կոորդինատների և դրանց միավորների ծագումը: Տեղագրության և գեոդեզիայի մեջ առավել լայնորեն կիրառվում են աշխարհագրական, ուղղանկյուն, բևեռային և երկբևեռ կոորդինատների համակարգերը։
Աշխարհագրական կոորդինատները (նկ. 2.8) օգտագործվում են էլիպսոիդի (գնդիկի) վրա Երկրի մակերեւույթի կետերի դիրքը որոշելու համար։ Այս կոորդինատային համակարգում սկզբնական հարթությունը հիմնական միջօրեականն է և հասարակածային հարթությունը։ Միջօրեականը էլիպսոիդի կտրվածքի ուղիղ է տվյալ կետով և Երկրի պտտման առանցքով անցնող հարթությամբ։

Զուգահեռը էլիպսոիդի կտրվածքի ուղիղն է հարթության վրա, որն անցնում է տվյալ կետով և ուղղահայաց է երկրի առանցքին: Զուգահեռը, որի հարթությունն անցնում է էլիպսոիդի կենտրոնով, կոչվում է հասարակած։ Երկրագնդի մակերեսին ընկած յուրաքանչյուր կետի միջով կարելի է անցկացնել միայն մեկ միջօրեական և միայն մեկ զուգահեռ:
Աշխարհագրական կոորդինատները անկյունային մեծություններ են՝ երկայնություն l և լայնություն j։
Աշխարհագրական երկայնություն l-ը տրված միջօրեականի (B կետով անցնող) հարթության և հիմնական միջօրեականի հարթության միջև երկայնական անկյունն է։ Հիմնական միջօրեականը համարվում է Լոնդոն քաղաքի Գրինվիչի աստղադիտարանի գլխավոր սրահի կենտրոնով անցնող միջօրեականը: B կետի համար երկայնությունը որոշվում է l = WCD անկյունով: Երկայնությունները հաշվվում են հիմնական միջօրեականից երկու ուղղություններով՝ արևելք և արևմուտք: Այս առումով առանձնանում են արևմտյան և արևելյան երկայնություններ, որոնք տատանվում են 0°-ից մինչև 180°։
Աշխարհագրական լայնություն j-ն այն անկյունն է, որը ձևավորվում է հասարակածային հարթության և տրված կետով անցնող սյունագծի կողմից: Եթե ​​Երկիրը վերցված է որպես գնդիկ, ապա B կետի համար (նկ. 2.8) լայնությունը j-ն որոշվում է DCB անկյան տակ: Հասարակածից դեպի հյուսիս չափվող լայնությունները կոչվում են հյուսիսային, իսկ հարավից հարավ՝ դրանք տատանվում են 0°-ից հասարակածում մինչև 90° բևեռներում։
Աշխարհագրական կոորդինատները կարելի է ստանալ աստղագիտական ​​դիտարկումներից կամ գեոդեզիական չափումներից։ Առաջին դեպքում դրանք կոչվում են աստղագիտական, իսկ երկրորդում՝ գեոդեզիական (L՝ երկայնություն, B՝ լայնություն)։ Աստղագիտական ​​դիտարկումների ժամանակ կետերի պրոյեկցիան հենման մակերևույթի վրա իրականացվում է գծագծերով, իսկ գեոդեզիական չափումների ժամանակ՝ նորմալներով: Հետևաբար, աստղագիտական ​​և գեոդեզիական կոորդինատների արժեքները տարբերվում են շեղման գծի շեղման չափով:
Տարբեր վիճակների կողմից տարբեր հղման էլիպսոիդների օգտագործումը հանգեցնում է նույն կետերի կոորդինատների տարբերությունների, որոնք հաշվարկվում են տարբեր հղման մակերեսների նկատմամբ: Գործնականում դա արտահայտվում է քարտեզագրական պատկերի ընդհանուր տեղաշարժով միջօրեականների և զուգահեռների նկատմամբ խոշոր և միջին մասշտաբների քարտեզների վրա:
Ուղղանկյուն կոորդինատներ կոչվում են գծային մեծություններ՝ աբսցիսա և օրդինատ, որոնք որոշում են հարթության վրա կետի դիրքը սկզբնական ուղղությունների նկատմամբ։

(նկ. 2.9)
Գեոդեզիայի և տեղագրության մեջ ընդունված է ուղղանկյուն կոորդինատների աջակողմյան համակարգը։ Սա տարբերում է այն ձախակողմյան կոորդինատների համակարգից, որն օգտագործվում է մաթեմատիկայում: Սկզբնական ուղղությունները երկու փոխադարձ ուղղահայաց գծեր են, որոնց մեկնարկային կետը հատման կետում O:
XX ուղիղ գիծը (աբսցիսային առանցք) հավասարեցվում է միջօրեականի ուղղությանը, որն անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով կամ որոշակի միջօրեականին զուգահեռ ուղղության հետ։ Ուղիղ YY (օրդինատների առանցք) անցնում է աբսցիսայի առանցքին ուղղահայաց O կետով: Նման համակարգում կետի դիրքը հարթության վրա որոշվում է կոորդինատային առանցքներից նրան ամենակարճ հեռավորությամբ։ A կետի դիրքը որոշվում է Xa և Ya ուղղանկյունների երկարությամբ: Xa հատվածը կոչվում է A կետի աբսցիսսա, իսկ Ya-ն այս կետի օրդինատն է: Ուղղանկյուն կոորդինատները սովորաբար արտահայտվում են մետրերով: Օ կետի տեղանքի տարածքը աբսցիսով և օրդինատային առանցքներով բաժանված է չորս քառորդի (նկ. 2.9): Թաղամասերի անվանումը որոշվում է կարդինալ կետերի ընդունված նշանակումներով։ Քառորդները համարակալված են ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ՝ I - NE; II - SE; III - SW; IV - հս.
Աղյուսակում 2.3-ը ցույց է տալիս X abscissa և Y օրդինատները տարբեր քառորդներում տեղակայված կետերի համար և տալիս նրանց անունները:

Աղյուսակ 2.3
Կոորդինատների սկզբնակետից դեպի վեր տեղակայված կետերի աբսցիսները համարվում են դրական, իսկ դրանից ներքև՝ բացասական, դեպի աջ տեղակայված կետերի օրդինատները՝ դրական, դեպի ձախ՝ բացասական։ Հարթ ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգն օգտագործվում է երկրագնդի մակերևույթի սահմանափակ տարածքներում, որոնք կարող են սխալմամբ հարթվել:
Կոորդինատները, որոնց ծագումը գետնի վրա ինչ-որ կետ է, կոչվում են բևեռային: Այս կոորդինատային համակարգում չափվում են կողմնորոշման անկյունները: Հորիզոնական հարթության վրա (նկ. 2.10) կամայականորեն ընտրված O կետի միջով, որը կոչվում է բևեռ, գծեք ուղիղ գիծ OX - բևեռային առանցքը:

Այնուհետև ցանկացած կետի դիրքը, օրինակ՝ M, կորոշվի շառավղով` r1 վեկտորով և ուղղության անկյունով a1, իսկ N կետով` համապատասխանաբար r2 և a2: A1 և a2 անկյունները չափվում են բևեռային առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ մինչև շառավիղի վեկտորը: Բևեռային առանցքը կարող է տեղակայվել կամայականորեն կամ հավասարեցնել O բևեռով անցնող ցանկացած միջօրեականի ուղղությանը:
Երկբևեռ կոորդինատային համակարգը (նկ. 2.11) ներկայացնում է երկու ընտրված ֆիքսված բևեռներ O1 և O2, որոնք միացված են ուղիղ գծով` բևեռային առանցքով: Այս կոորդինատային համակարգը թույլ է տալիս որոշել M կետի դիրքը հարթության վրա բևեռային առանցքի նկատմամբ՝ օգտագործելով երկու անկյուններ b1 և b2, երկու շառավղով վեկտորներ r1 և r2 կամ դրանց համակցությունները: Եթե ​​հայտնի են O1 և O2 կետերի ուղղանկյուն կոորդինատները, ապա M կետի դիրքը կարելի է հաշվարկել վերլուծական եղանակով։


Բրինձ. 2.11

Բրինձ. 2.12
Երկրի մակերևույթի կետերի բարձրությունները: Երկրի ֆիզիկական մակերեսի վրա կետերի դիրքը որոշելու համար բավական չէ իմանալ միայն X, Y կամ l, j հորիզոնական կոորդինատները, անհրաժեշտ է երրորդ կոորդինատը՝ H կետի բարձրությունը: H կետի բարձրությունը ( Նկար 2.12) ուղղահայաց ուղղությամբ հեռավորությունն է տվյալ կետից (A´; B´´) մինչև ընդունված հիմնական մակարդակի MN մակերեսը: Կետի բարձրության թվային արժեքը կոչվում է բարձրություն: Հիմնական մակարդակի MN մակերևույթից չափվող բարձրությունները կոչվում են բացարձակ բարձրություններ (AA´; BB´´), իսկ կամայականորեն ընտրված մակարդակի մակերեսի նկատմամբ որոշվածները կոչվում են պայմանական բարձրություններ (В´В´»: Երկու կետերի բարձրությունների տարբերությունը կամ Երկրի ցանկացած երկու կետերով անցնող հարթ մակերեսների միջև ուղղահայաց ուղղությամբ հեռավորությունը կոչվում է հարաբերական բարձրություն (В´В´») կամ այդ կետերի բարձրությունը h:
Բելառուսի Հանրապետությունում ընդունվել է 1977 թվականի Բալթյան բարձրության համակարգը, որը հաշվարկվում է մակարդակի մակերևույթից, որը համընկնում է Ֆիննական ծոցի ջրի միջին մակարդակի հետ՝ Կրոնշտադտի ջրաչափի զրոյից:

Ահա ևս մեկ

Որոշելու համարԳեոդեզիայում կետերի դիրքերում օգտագործվում են տարածական ուղղանկյուն, գեոդեզիական և հարթ ուղղանկյուն կոորդինատներ։

Տարածական ուղղանկյուն կոորդինատներ. Կոորդինատային համակարգի սկզբնաղբյուրը գտնվում է կենտրոնում Օ երկրի էլիպսոիդ(նկ. 2.2):

Առանցք Զուղղորդվածէլիպսոիդի պտտման առանցքի երկայնքով դեպի հյուսիս։ Առանցք Xգտնվում է Գրինվիչի սկզբնական միջօրեականի հետ հասարակածային հարթության հատման կետում։ Առանցք Յուղղված առանցքներին ուղղահայաց ԶԵվ Xդեպի արևելք։

Գեոդեզիական կոորդինատներ. Կետի գեոդեզիական կոորդինատներն են նրա լայնությունը, երկայնությունը և բարձրությունը (նկ. 2.2):

Գեոդեզիական լայնություն միավորներ Մկոչվում է անկյուն IN, որը ձևավորվում է տրված կետով և հասարակածային հարթությամբ անցնող էլիպսոիդի մակերեսի նորմալից։

Լայնությունը չափվում է հասարակածից հյուսիսից և հարավից 0°-ից մինչև 90° և կոչվում է հյուսիս կամ հարավ։ Հյուսիսային լայնությունը համարվում է դրական, իսկ հարավայինը՝ բացասական։

Առանցքով անցնող էլիպսոիդի հատվածային հարթություններ ՕԶ, կոչվում են գեոդեզիական միջօրեականներ.

Գեոդեզիական երկայնություն միավորներ Մկոչվում է երկփեղկ անկյուն Լ, որը ձևավորվում է սկզբնական (Գրինվիչի) գեոդեզիական միջօրեականի և տվյալ կետի գեոդեզիական միջօրեականի հարթություններով։

Երկայնությունները չափվում են հիմնական միջօրեականից 0°-ից մինչև 360° արևելք, կամ 0°-ից մինչև 180° արևելք (դրական) և 0°-ից մինչև 180° արևմուտք (բացասական):

Գեոդեզիական բարձրությունմիավորներ Մնրա բարձրությունն է Ներկրագնդի էլիպսոիդի մակերևույթից վեր։

Գեոդեզիական կոորդինատները և տարածական ուղղանկյուն կոորդինատները փոխկապակցված են բանաձևերով

X =(N+H) cos Բ cos Լ,

Y=(N+H) cos Բմեղք Լ,

Z=[(1- e 2)N+H] մեղք Բ,

Որտեղ ե- միջօրեականի էլիպսի առաջին էքսցենտրիկությունը և Ն-առաջին ուղղահայաց կորության շառավիղը Այս դեպքում N=a/(1 - ե 2 մեղք 2 Բ) 1/2 .

Գեոդեզիական և տարածականԿետերի ուղղանկյուն կոորդինատները որոշվում են արբանյակային չափումների միջոցով, ինչպես նաև դրանք գեոդեզիական չափումների հետ կապելով հայտնի կոորդինատներով կետերին:

Նշենք, որ հետ միասինԳեոդեզիկայի հետ մեկտեղ կան նաև աստղագիտական ​​լայնություն և երկայնություն։ Աստղագիտական ​​լայնություն j-ն հասարակածի հարթության հետ տրված կետում սյունագծի կողմից կազմված անկյունն է: Աստղագիտական ​​երկայնություն l-ն Գրինվիչի միջօրեականի և աստղագիտական ​​միջօրեականի հարթությունների միջև անկյունն է, որն անցնում է տրված կետում գծի միջով: Աստղագիտական ​​կոորդինատները որոշվում են գետնի վրա աստղագիտական ​​դիտարկումներից։

Աստղագիտական ​​կոորդինատներտարբերվում են գեոդեզիկներից, քանի որ սալաքարերի ուղղությունները չեն համընկնում էլիպսոիդի մակերեսի նորմերի ուղղությունների հետ: Էլիպսոիդի մակերևույթին նորմալի ուղղության և Երկրի մակերևույթի տվյալ կետում սյունագծի միջև ընկած անկյունը կոչվում է. գծի շեղում.

Գեոդեզիական և աստղագիտական ​​կոորդինատների ընդհանրացում է տերմինը. աշխարհագրական կոորդինատները.

Հարթ ուղղանկյուն կոորդինատներ. Ինժեներական գեոդեզիայի խնդիրները լուծելու համար նրանք տարածական և գեոդեզիական կոորդինատներից տեղափոխվում են ավելի պարզ՝ հարթ կոորդինատներ, որոնք հնարավորություն են տալիս հարթության վրա պատկերել տեղանքը և երկու կոորդինատներով որոշել կետերի դիրքը։ XԵվ ժամը.

Քանի որ Երկրի ուռուցիկ մակերեսըչի կարող պատկերվել հարթության վրա առանց աղավաղումների, հարթության կոորդինատների ներմուծումը հնարավոր է միայն սահմանափակ տարածքներում, որտեղ աղավաղումները այնքան փոքր են, որ դրանք կարող են անտեսվել: Ռուսաստանում ընդունվել է ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգ, որի հիմքը հավասարանկյուն լայնակի գլանաձև է. Գաուսյան պրոյեկցիա. Էլիպսոիդի մակերեսը հարթության վրա պատկերված է գոտիներ կոչվող մասերում։ Գոտիները գնդաձև եռանկյուններ են՝ սահմանափակված միջօրեականներով և ձգվում են հյուսիսային բևեռից հարավ (նկ. 2.3): Գոտու չափը երկայնության մեջ 6° է։ Յուրաքանչյուր գոտու կենտրոնական միջօրեականը կոչվում է առանցքային միջօրեական: Գոտիները համարակալված են Գրինվիչից դեպի արևելք։

N թվով գոտու առանցքային միջօրեականի երկայնությունը հավասար է.

լ 0 = 6°× N - 3°:

Գոտու և հասարակածի առանցքային միջօրեականըհարթության վրա պատկերված են ուղիղ գծերով (նկ. 2.4): Որպես աբսցիսային առանցք ընդունվում է առանցքային միջօրեականը x, իսկ հասարակածը գտնվում է օրդինատների առանցքի հետևում y.Նրանց խաչմերուկը (կետ Օ) ծառայում է որպես այս գոտու կոորդինատների սկզբնաղբյուր:

Խուսափելբացասական օրդինատների արժեքներ, հատման կոորդինատները վերցվում են հավասար x 0 = 0, y 0 = 500 կմ, որը համարժեք է առանցքի տեղաշարժին X 500 կմ արևմուտք։

Որպեսզի կետի ուղղանկյուն կոորդինատներով կարելի է դատել, թե որ գոտում է այն գտնվում՝ ըստ օրդինատների. yկոորդինատային գոտու համարը վերագրվում է ձախ կողմում:

Եկեք, օրինակ, կետի կոորդինատները Աունեն ձևը.

x Ա= 6,276,427 մ

y Ա= 12,428,566 մ

Այս կոորդինատները ցույց են տալիսդա է կետը Ագտնվում է հասարակածից 6276427 մ հեռավորության վրա, արևմտյան մասում ( y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.

Տարածական ուղղանկյունի համարՌուսաստանում գեոդեզիական և հարթ ուղղանկյուն կոորդինատները, ընդունվել է SK-95 միասնական կոորդինատային համակարգ, որը ամրագրվել է գետնին պետական ​​գեոդեզիական ցանցի կետերով և կառուցվել արբանյակային և ցամաքային չափումների համաձայն 1995թ.

Տեղական ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր:Տարբեր օբյեկտների կառուցման ժամանակ հաճախ օգտագործվում են տեղական (պայմանական) կոորդինատային համակարգեր, որոնցում առանցքների ուղղությունները և կոորդինատների ծագումը նշանակվում են օբյեկտի կառուցման և հետագա շահագործման ընթացքում դրանց օգտագործման հարմարության հիման վրա:

Այսպիսով, կրակելիսերկաթուղային կայարանի առանցքը ժամըուղղվում են հիմնական երկաթուղային գծի առանցքի երկայնքով՝ պիկետաժի ավելացման ուղղությամբ, իսկ առանցքը. X- մարդատար կայանի շենքի առանցքով.

Շինարարության ընթացքումկամուրջների անցման առանցք Xսովորաբար զուգորդվում է կամրջի առանցքի հետ, իսկ առանցքը yգնում է ուղղահայաց ուղղությամբ.

Շինարարության ընթացքումխոշոր արդյունաբերական և քաղաքացիական առանցքի օբյեկտներ xԵվ yուղղված կառուցվող շենքերի առանցքներին զուգահեռ.

Կիրառական գիտությունների խնդիրների մեծ մասը լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ օբյեկտի կամ կետի գտնվելու վայրը, որը որոշվում է ընդունված կոորդինատային համակարգերից մեկի միջոցով։ Բացի այդ, կան բարձրության համակարգեր, որոնք նաև որոշում են կետի բարձրության գտնվելու վայրը

Որոնք են կոորդինատները

Կոորդինատները թվային կամ այբբենական արժեքներ են, որոնք կարող են օգտագործվել գետնի վրա գտնվող կետի գտնվելու վայրը որոշելու համար: Որպես հետևանք, կոորդինատային համակարգը նույն տիպի արժեքների մի շարք է, որոնք ունեն կետ կամ օբյեկտ գտնելու նույն սկզբունքը:

Շատ գործնական խնդիրներ լուծելու համար պահանջվում է կետի գտնվելու վայրը գտնելը: Այնպիսի գիտության մեջ, ինչպիսին է գեոդեզիան, տվյալ տարածության մեջ կետի գտնվելու վայրը որոշելը հիմնական նպատակն է, որի հասնելու վրա հիմնված են բոլոր հետագա աշխատանքները:

Կոորդինատային համակարգերի մեծ մասը սովորաբար սահմանում է կետի գտնվելու վայրը հարթության վրա, որը սահմանափակվում է ընդամենը երկու առանցքով: Եռաչափ տարածության մեջ կետի դիրքը որոշելու համար օգտագործվում է նաև բարձրության համակարգ։ Նրա օգնությամբ դուք կարող եք պարզել ճշգրիտ գտնվելու վայրըցանկալի օբյեկտը.

Համառոտ գեոդեզիայում օգտագործվող կոորդինատային համակարգերի մասին

Կոորդինատային համակարգերը որոշում են կետի գտնվելու վայրը տարածքի վրա՝ տալով նրան երեք արժեք: Յուրաքանչյուր կոորդինատային համակարգի համար դրանց հաշվարկման սկզբունքները տարբեր են։

Գեոդեզիայում օգտագործվող հիմնական տարածական կոորդինատային համակարգերը.

1. Գեոդեզիական.
2. Աշխարհագրական.
3. Բևեռային.
4. Ուղղանկյուն:
5. Zonal Gauss-Kruger կոորդինատները.

Բոլոր համակարգերն ունեն իրենց ելակետը, արժեքները օբյեկտի գտնվելու վայրի և կիրառման տարածքի համար:

Գեոդեզիական կոորդինատներ

Գեոդեզիական կոորդինատները չափելու համար օգտագործվող հիմնական ցուցանիշը երկրագնդի էլիպսոիդն է։

Էլիպսոիդը եռաչափ սեղմված պատկեր է, որը լավագույնս ներկայացնում է երկրագնդի ձևը: Շնորհիվ այն բանի, որ գլոբուսը մաթեմատիկորեն անկանոն պատկեր է, դրա փոխարեն օգտագործվում է էլիպսոիդ՝ գեոդեզիական կոորդինատները որոշելու համար։ Սա հեշտացնում է բազմաթիվ հաշվարկներ՝ մակերեսի վրա մարմնի դիրքը որոշելու համար։

Գեոդեզիական կոորդինատները սահմանվում են երեք արժեքներով՝ գեոդեզիական լայնություն, երկայնություն և բարձրություն։

1. Գեոդեզիական լայնությունը այն անկյունն է, որի սկիզբը գտնվում է հասարակածի հարթության վրա, իսկ վերջը գտնվում է ցանկալի կետին գծված ուղղահայաց վրա:
2. Գեոդեզիական երկայնությունը այն անկյունն է, որը չափվում է հիմնական միջօրեականից մինչև այն միջօրեականը, որի վրա գտնվում է ցանկալի կետը:
3. Գեոդեզիական բարձրությունը տվյալ կետից Երկրի պտտման էլիպսոիդի մակերեսին վերցված նորմայի արժեքն է։

Աշխարհագրական կոորդինատները

Բարձրագույն գեոդեզիայի բարձր ճշգրտության խնդիրները լուծելու համար անհրաժեշտ է տարբերակել գեոդեզիական և աշխարհագրական կոորդինատները։ Ինժեներական գեոդեզիայում օգտագործվող համակարգում նման տարբերություններ սովորաբար չեն արվում աշխատանքի ծածկված փոքր տարածքի պատճառով։

Գեոդեզիական կոորդինատները որոշելու համար էլիպսոիդն օգտագործվում է որպես հղման հարթություն, իսկ գեոիդը՝ աշխարհագրական կոորդինատները որոշելու համար։ Գեոիդը մաթեմատիկորեն անկանոն պատկեր է, որն ավելի մոտ է Երկրի իրական ձևին: Նրա հարթեցված մակերեսը համարվում է այն, ինչը շարունակվում է ծովի մակարդակի տակ իր հանգիստ վիճակում:

Աշխարհագրական կոորդինատների համակարգը, որն օգտագործվում է գեոդեզիայում, նկարագրում է երեք արժեք ունեցող կետի դիրքը տարածության մեջ։ երկայնությունը համընկնում է գեոդեզիականին, քանի որ հղման կետը նույնպես կոչվելու է Գրինվիչ։ Այն անցնում է Լոնդոնի համանուն աստղադիտարանի միջով։ որոշվում է գեոիդի մակերեսի վրա գծված հասարակածից։

Գեոդեզիայում օգտագործվող տեղական կոորդինատային համակարգում բարձրությունը չափվում է ծովի մակարդակից իր հանգիստ վիճակում: Ռուսաստանի և նախկին միության երկրների տարածքում նշագիծը, որից որոշվում են բարձունքները, Կրոնշտադտի ոտնամանն է։ Այն գտնվում է Բալթիկ ծովի մակարդակում։

Բևեռային կոորդինատներ

Գեոդեզիայում օգտագործվող բևեռային կոորդինատային համակարգը չափումներ կատարելու այլ նրբերանգներ ունի։ Այն օգտագործվում է տեղանքի փոքր տարածքներում՝ որոշելու կետի հարաբերական դիրքը: Ծագումը կարող է լինել ցանկացած առարկա, որը նշված է որպես սկզբնական: Այսպիսով, օգտագործելով բևեռային կոորդինատները, անհնար է որոշել երկրագնդի տարածքում գտնվող կետի միանշանակ գտնվելու վայրը:

Բևեռային կոորդինատները որոշվում են երկու մեծությամբ՝ անկյուն և հեռավորություն։ Անկյունը չափվում է միջօրեականի հյուսիսային ուղղությունից մինչև տվյալ կետ՝ որոշելով նրա դիրքը տարածության մեջ։ Բայց մեկ անկյունը բավարար չի լինի, ուստի ներկայացվում է շառավղային վեկտոր՝ կանգնած կետից մինչև ցանկալի օբյեկտի հեռավորությունը: Օգտագործելով այս երկու պարամետրերը, դուք կարող եք որոշել կետի գտնվելու վայրը տեղական համակարգում:

Որպես կանոն, այս կոորդինատային համակարգը օգտագործվում է տեղանքի փոքր տարածքում իրականացվող ինժեներական աշխատանքներ կատարելու համար:

Ուղղանկյուն կոորդինատներ

Գեոդեզիայում օգտագործվող ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը նույնպես օգտագործվում է տեղանքի փոքր տարածքներում: Համակարգի հիմնական տարրը կոորդինատային առանցքն է, որից կատարվում է հաշվարկը: Կետի կոորդինատները հայտնաբերվում են որպես աբսցիսից և օրդինատների առանցքներից մինչև ցանկալի կետը գծված ուղղահայացների երկարությունը:

X-առանցքի հյուսիսային ուղղությունը և Y-առանցքի արևելյան ուղղությունը համարվում է դրական, իսկ հարավային և արևմտյան ուղղությունները` բացասական: Կախված նշաններից և քառորդներից՝ որոշվում է տարածության կետի գտնվելու վայրը։

Գաուս-Կրյուգերի կոորդինատները

Գաուս-Կրյուգերի կոորդինատային գոտիական համակարգը նման է ուղղանկյունին։ Տարբերությունն այն է, որ այն կարող է կիրառվել ամբողջ երկրագնդի վրա, ոչ միայն փոքր տարածքների վրա:

Գաուս-Կրյուգերի գոտիների ուղղանկյուն կոորդինատները ըստ էության երկրագնդի պրոյեկցիան են հարթության վրա։ Այն առաջացել է գործնական նպատակներով՝ թղթի վրա Երկրի մեծ տարածքները պատկերելու համար։ Փոխանցման ընթացքում առաջացած աղավաղումները համարվում են աննշան:

Համաձայն այս համակարգի՝ գլոբուսը ըստ երկայնության բաժանվում է վեց աստիճանի գոտիների՝ մեջտեղում առանցքային միջօրեականով։ Հասարակածը գտնվում է կենտրոնում հորիզոնական գծի երկայնքով: Արդյունքում կա 60 նման գոտի։

Վաթսուն գոտիներից յուրաքանչյուրն ունի ուղղանկյուն կոորդինատների իր համակարգը, որը չափվում է X-ից օրդինատների առանցքի երկայնքով և երկրագնդի հասարակածի Y հատվածից աբսցիսայի առանցքի երկայնքով: Ամբողջ երկրագնդի տարածքում գտնվելու վայրը միանշանակ որոշելու համար գոտին թիվը դրվում է X և Y արժեքների դիմաց:

Ռուսաստանի տարածքում X առանցքի արժեքները, որպես կանոն, դրական են, իսկ Y արժեքները կարող են բացասական լինել: X առանցքի արժեքներում մինուս նշանից խուսափելու համար յուրաքանչյուր գոտու առանցքային միջօրեականը պայմանականորեն տեղափոխվում է 500 մետր դեպի արևմուտք։ Այնուհետև բոլոր կոորդինատները դրական են դառնում:

Կոորդինատների համակարգը որպես հնարավորություն առաջարկվել է Գաուսի կողմից և մաթեմատիկորեն հաշվարկվել է Քրյուգերի կողմից քսաներորդ դարի կեսերին։ Այդ ժամանակվանից այն օգտագործվել է գեոդեզիայում՝ որպես հիմնականներից մեկը։

Բարձրության համակարգ

Գեոդեզիայում օգտագործվող կոորդինատային և բարձրության համակարգերը օգտագործվում են Երկրի վրա կետի դիրքը ճշգրիտ որոշելու համար: Բացարձակ բարձրությունները չափվում են ծովի մակարդակից կամ որպես աղբյուր վերցված այլ մակերեսից: Բացի այդ, կան հարաբերական բարձրություններ. Վերջիններս հաշվվում են որպես ցանկալի կետից ցանկացած այլ կետի ավելացում: Դրանք հարմար են տեղական կոորդինատային համակարգում աշխատելու համար՝ արդյունքների հետագա մշակումը պարզեցնելու համար:

Կոորդինատային համակարգերի կիրառումը գեոդեզիայում

Բացի վերը նշվածից, կան նաև այլ կոորդինատային համակարգեր, որոնք օգտագործվում են գեոդեզիայում: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր առավելություններն ու թերությունները: Կան նաև աշխատանքի ոլորտներ, որոնց համար տեղին է գտնվելու վայրի որոշման այս կամ այն ​​մեթոդը:

Հենց աշխատանքի նպատակն է որոշում, թե գեոդեզիայում օգտագործվող կոորդինատային համակարգերն են լավագույնս օգտագործվում: Փոքր տարածքներում աշխատելու համար հարմար է օգտագործել ուղղանկյուն և բևեռային կոորդինատային համակարգեր, սակայն լայնածավալ խնդիրներ լուծելու համար անհրաժեշտ են համակարգեր, որոնք թույլ են տալիս ծածկել երկրի մակերևույթի ամբողջ տարածքը։

Ծագում

Ծագում(ծագում) էվկլիդյան տարածության մեջ - եզակի կետ, որը սովորաբար նշվում է տառով ՄԱՍԻՆ, որն օգտագործվում է որպես հղում բոլոր մյուս կետերի համար։ Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ կոորդինատների ծագումը կարելի է կամայականորեն ընտրել ցանկացած հարմար կետում։

Վեկտորը, որը գծվում է սկզբնակետից մեկ այլ կետ, կոչվում է շառավղային վեկտոր:

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ

Ծագումը առանցքներից յուրաքանչյուրը բաժանում է երկու ճառագայթների՝ դրական կիսաառանցքի և բացասական կիսաառանցքի։

Մասնավորապես, սկզբնաղբյուրը կարելի է մուտքագրել թվային առանցքի վրա։ Այս առումով մենք կարող ենք խոսել տարբեր ծավալուն մեծությունների (ժամանակ, ջերմաստիճան և այլն) կոորդինատների ծագման մասին:

Բևեռային կոորդինատային համակարգեր

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ.

Տեսեք, թե ինչ է «Կորդինատների ծագումը» այլ բառարաններում.

ծագում- Զրո կետ (առանցքների հատման կետ) հարթ կոորդինատային համակարգում, որն օգտագործվում է երկչափ պատկերներով աշխատող գրաֆիկական համակարգերում: Կետի կոորդինատը որոշվում է հորիզոնական X առանցքի երկայնքով կոորդինատների սկզբնակետից (կենտրոնից) հեռավորությամբ (աբսցիսա)……

ծագում- koordinačių pradžia statusas T sritis automatika atitikmenys՝ անգլ. կոորդինատների ծագումը vok. Koordinatenanfangspunkt, մ; Koordinatenursprung, m rus. ծագում, n pranc. սկզբնաղբյուրը, f … Ավտոմատ տերմինալը

ծագում (սյուժե)- - [E.S. Alekseev, A.A. Myachev. Անգլերեն-ռուսերեն բացատրական բառարան համակարգչային համակարգերի ճարտարագիտության վերաբերյալ: Մոսկվա 1993] Թեմաներ ինֆորմացիոն տեխնոլոգիաընդհանուր EN հողամասի ծագում... Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց

- (ծագում) Գրաֆիկի մի կետ, որը ներկայացնում է զրո ցանկացած չափման համար: Դիագրամը կարող է ունենալ մեկից ավելի հղման կետ: Երկգործոնով տուփի դիագրամը, օրինակ, կառուցված է այնպես, որ ցանկացած գործոնի ընդհանուր հասանելի ծավալները ... Տնտեսական բառարան

ուղղորդված դիմադրության ռելե՝ բնութագրիչով, որը չի անցնում կոորդինատների սկզբնաղբյուրով- - [Վ.Ա.Սեմենով. Անգլերեն-ռուսերեն բառարան ռելեային պաշտպանության մասին] Թեմաներ ռելեի պաշտպանություն EN օֆսեթ mho հեռավորության ռելե ... Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց

Կոորդինատների սկզբնակետով անցնող շրջանագծի տեսքով ուղղորդված դիմադրության ռելեի բնորոշ- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Էլեկտրատեխնիկայի և էներգետիկայի անգլերեն-ռուսերեն բառարան, Մոսկվա, 1999] Էլեկտրատեխնիկայի թեմաներ, հիմնական հասկացություններ EN mho բնութագրիչ ... Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց

հաշվարկի սկիզբը- Ցուցադրման էկրանի դիրքը, որից սկսվում են բոլոր կոորդինատային համակարգերը: Սովորաբար գտնվում է էկրանի վերին ձախ անկյունում: Տեղեկատվական տեխնոլոգիաների թեմաները ընդհանուր EN ծագման ... Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը հարթության վրա կամ տարածության վրա փոխադարձ ուղղահայաց առանցքներով ուղղագիծ կոորդինատային համակարգ է։ Ամենապարզ և հետևաբար ամենատարածված կոորդինատային համակարգը: Շատ հեշտ և ուղղակիորեն ամփոփված է... ... Վիքիպեդիայի համար

Կետն ունի երեք դեկարտյան և երեք գնդաձև կոորդինատներ Հարմար է որոշել գնդաձև կոորդինատային համակարգը դ ... Վիքիպեդիա

Սահմանումների մի շարք, որն իրականացնում է կոորդինատների մեթոդը, այսինքն՝ թվերի կամ այլ նշանների միջոցով կետի կամ մարմնի դիրքը որոշելու միջոց։ Կոնկրետ կետի դիրքը որոշող թվերի բազմությունը կոչվում է այս կետի կոորդինատներ։ Վիքիպեդիայում...

Գրքեր

• Տասնութ տարեկան, Ստեֆանիա Դանիլովա, բանաստեղծ Ստեֆանիա Դանիլովան ծնվել է 1994 թվականի օգոստոսի 16-ին Սանկտ Պետերբուրգում և անվերապահորեն սիրահարված է այս քաղաքին։ Երկկողմանի, մանկական հրաշամանուկ, պոլիգլոտ, ով իր առաջին չափահաս բանաստեղծությունը ստեղծել է երեք տարեկանում... Կատեգորիա՝ Ժամանակակից ռուսական պոեզիա Սերիան: Runet Star Հրատարակիչ՝ ԱՍՏ,
• Պրովիդենս, Ռոգատկո Սերգեյ Ալեքսանդրովիչ, գրող Սերգեյ Ռոգատկոյի «Կրակ» նոր վեպը, ով դավանում է ռուս գրականության ռեալիստական ​​սկզբունք և դա հաստատում է իր հայտնի «Աշխարհիկ» վեպում, գրված է առակի ժանրում։ Կատեգորիա: