Կախարդական քառակուսի 20-ից 4-ի համար: Ինչպես է աշխատում կախարդական քառակուսին

Այս հանելուկը շատ արագ տարածվեց ողջ համացանցում։ Հազարավոր մարդիկ սկսեցին մտածել, թե ինչպես է աշխատում կախարդական հրապարակը: Այսօր վերջապես կգտնեք պատասխանը։

Կախարդական հրապարակի առեղծվածը

Իրականում, այս հանելուկը բավականին պարզ է և պատրաստված է մարդկային անուշադրության մատնվածությամբ: Տեսնենք, թե ինչպես է աշխատում կախարդական սև քառակուսին, օգտագործելով իրական օրինակ.

1. Եկեք գուշակենք 10-ից մինչև 19-ը ցանկացած թիվ: Այժմ այս թվից հանենք դրա բաղկացուցիչ թվերը: Օրինակ՝ վերցնենք 11-ը: 11-ից հանենք մեկը, հետո ևս մեկը: Արդյունքը 9 է: Կարևոր չէ, թե 10-ից 19-ը որ թիվն եք վերցնում: Հաշվարկների արդյունքը միշտ կլինի 9: «Կախարդական հրապարակում» 9 թիվը համապատասխանում է նկարներով առաջին թվին: Եթե ​​ուշադիր նայեք, կարող եք տեսնել, որ շատ մեծ թվով թվերի վերագրված են նույն նկարները:
2. Ի՞նչ կպատահի, եթե 20-ից 29-ի միջակայքում թիվ վերցնես: Միգուցե դուք ինքներդ արդեն գուշակե՞լ եք: Ճիշտ! Հաշվարկի արդյունքը միշտ կլինի 18։ 18 թիվը համապատասխանում է նկարներով անկյունագծով երկրորդ դիրքին։
3. Եթե ​​թիվը վերցնում եք 30-ից մինչև 39, ապա, ինչպես արդեն կարող եք կռահել, դուրս կգա 27 թիվը, իսկ 27-ը նույնպես համապատասխանում է այդքան անբացատրելի «Կախարդական քառակուսի» անկյունագծի թվին:
4. Նմանատիպ ալգորիթմը ճշմարիտ է մնում 40-ից 49-ը, 50-ից 59-ը և այլն ցանկացած թվերի համար:

Այսինքն, պարզվում է, որ կարևոր չէ, թե ինչ թիվ եք գուշակել. «Magic Square»-ը կկռահի արդյունքը, քանի որ 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 և 81 համարակալված բջիջներում կա. իրականում նույն խորհրդանիշն է:

Փաստորեն, այս առեղծվածը կարելի է հեշտությամբ բացատրել՝ օգտագործելով պարզ հավասարումը.

1. Պատկերացրեք ցանկացած երկնիշ թիվ: Անկախ թվից, այն կարելի է ներկայացնել x*10+y տեսքով։ Տասնյակները գործում են որպես «x», իսկ միավորները՝ «y»:
2. Թաքնված թվից հանի՛ր այն կազմող թվերը։ Ավելացնել հավասարումը` (x*10+y)-(x+y)=9*x:
3. Հաշվարկների արդյունքում դուրս եկած թիվը պետք է մատնանշի աղյուսակի կոնկրետ նշանը:

Կարևոր չէ, թե որ թիվն է «x»-ի դերում, այսպես թե այնպես դուք կստանաք խորհրդանիշ, որի թիվը կլինի իննի բազմապատիկ: Որպեսզի համոզվեք, որ տարբեր թվերի տակ մեկ նշան կա, պարզապես նայեք աղյուսակին և 0,9,18,27,45,54,63,72,81 և հաջորդ թվերին:

ԿԱԽԱՐԴԱԿԱՆ ՀՐԱՊԱՐԱԿ

Չինաստանը համարվում է կախարդական հրապարակների ծննդավայրը։ Չինաստանում կա Ֆենգ Շուիի ուսմունքը, որն ասում է, որ տարածության մեջ յուրաքանչյուր տարրի գույնը, ձևը և ֆիզիկական տեղադրումը ազդում է Qi-ի հոսքի վրա՝ դանդաղեցնելով այն, վերահղելով այն կամ արագացնելով այն, որն ուղղակիորեն ազդում է էներգիայի վրա։ բնակիչների մակարդակը. Աշխարհի գաղտնիքները իմանալու համար աստվածները Յու կայսրին ուղարկեցին ամենահին խորհրդանիշը՝ Լո Շու հրապարակը (Լո - գետ):

MAGIC SQUARE LO SHU

Լեգենդն ասում է, որ մոտ չորս հազար տարի առաջ Լուո գետի փոթորկոտ ջրերից դուրս է եկել մի մեծ կրիա՝ Շուն։ Գետին զոհեր անող մարդիկ տեսան կրիային և անմիջապես ճանաչեցին նրան որպես աստվածություն։ Հին իմաստունների նկատառումներն այնքան խելամիտ են թվացել Յու կայսրին, որ նա հրամայել է կրիայի պատկերը հավերժացնել թղթի վրա և այն կնքել իր կայսերական կնիքով։ Հակառակ դեպքում մենք որտեղի՞ց կիմանայինք այս իրադարձության մասին։

Այս կրիան իրականում առանձնահատուկ էր, քանի որ իր պատյանին ուներ կետերի տարօրինակ նախշ: Կետերը նշվում էին կարգով, ինչը հնագույն փիլիսոփաներին հանգեցրեց այն մտքին, որ կրիայի կեղևի վրա թվերով քառակուսին ծառայում է որպես տիեզերքի մոդել՝ աշխարհի քարտեզ, որը կազմվել է չինական քաղաքակրթության առասպելական հիմնադիր Հուանգ Դիի կողմից: Փաստորեն, քառակուսու սյունակների, տողերի և երկու անկյունագծերի թվերի գումարը նույնն է M = 15 և հավասար է չինական արեգակնային տարվա 24 ցիկլերից յուրաքանչյուրի օրերի քանակին:

Զույգ և կենտ թվերը փոխարինվում են. 4 զույգ թվեր (ներքևից վերև գրված նվազման կարգով) չորս անկյուններում են, իսկ 5 կենտ թվերը (ներքևից վերև գրված աճման կարգով) խաչ են կազմում քառակուսու կենտրոնում: Խաչի հինգ տարրերը արտացոլում են հողը, կրակը, մետաղը, ջուրը և անտառը: Կենտրոնով առանձնացված ցանկացած երկու թվերի գումարը հավասար է Ho Ti թվին, այսինքն. տասը.

Լո Շուի զույգ թվերը (Երկրի խորհրդանիշները) կրիայի մարմնի վրա նշվում էին սև կետերի կամ Յին նշանների տեսքով, իսկ կենտ թվերը (երկնքի նշաններ)՝ սպիտակ կետերի կամ Յանգի նշանների տեսքով: Երկիր 1 (կամ ջուր) ներքեւում է, կրակ 9 (կամ երկինք) վերեւում: Հնարավոր է, որ կոմպոզիցիայի կենտրոնում տեղադրված 5 թվի ժամանակակից կերպարը պայմանավորված է Յանգի և Ինի երկակիության չինական խորհրդանիշով։

ԿԱԽԱՐԴԱԿԱՆ ՀՐԱՊԱՐԱԿ ԽԱՋՈՒՐԱՀՈՑ

Արևելյան սենյակ

Ջոզեֆ Ռադյարդ Քիփլինգի կախարդանքը, ով ստեղծել է Մաուգլիի, Բաղիրայի, Բալուի, Շեր Խանի և, իհարկե, Տաբակայի կերպարները, սկսվել է քսաներորդ դարի նախօրեին: Կես դար առաջ՝ 1838 թվականի փետրվարին, բենգալյան ինժեներների բրիտանացի երիտասարդ սպա Տ.Ս. Բերտը, հետաքրքրված լինելով իր պալանկին տանող ծառաների զրույցով, շեղվեց երթուղուց և բախվեց հնագույն տաճարների Հնդկաստանի ջունգլիներում։

Վիշվանաթա տաճարի աստիճանների վրա սպան գտավ մի գրություն, որը վկայում է կառույցների հնության մասին։ Կարճ ժամանակ անց եռանդուն գեներալ-մայոր Ա. Կանինգհեմը մանրամասն պլաններ գծեց Խաջուրահոյի համար: Սկսվեցին պեղումները, որոնք ավարտվեցին 22 տաճարների աղմկահարույց հայտնաբերմամբ: Տաճարները կառուցվել են իրենց Շանդել դինաստիայի մահարաջաների կողմից։ Իրենց թագավորության փլուզումից հետո ջունգլիները հազար տարի շարունակ կլանել են շենքերը։ Չորրորդ կարգի քառակուսին, որը հայտնաբերվել է մերկ աստվածների և աստվածուհիների պատկերների մեջ, զարմանալի էր:

Այս քառակուսու գումարները ոչ միայն տողերի, սյուների և անկյունագծերի երկայնքով համընկել են և հավասար են 34-ի: Նրանք նաև համընկնում են կոտրված անկյունագծերի երկայնքով, որոնք ձևավորվել են, երբ քառակուսին ծալվում է տորուսի մեջ և երկու ուղղություններով: Թվերի նման կախարդության համար նման քառակուսիները կոչվում են «սատանայական» (կամ «պանդիագոնալ» կամ «նասիկ»):

Իհարկե, դա վկայում էր դրանց ստեղծողների անսովոր մաթեմատիկական ունակությունների մասին, որոնք գերազանցում էին գաղութատերերին։ Այն, ինչ անխուսափելիորեն զգացել են սպիտակ սաղավարտներով մարդիկ:

ԴՅՈՒՐԵՐԻ ԿԱԽԱՐԴԱԿԱՆ ՀՐԱՊԱՐԱԿ

16-րդ դարի սկզբի գերմանացի հայտնի նկարիչ Ալբրեխտ Դյուրերը ստեղծել է եվրոպական արվեստի առաջին 4x4 կախարդական քառակուսին: Ցանկացած տողում, սյունակում, անկյունագծում, ինչպես նաև, զարմանալիորեն, յուրաքանչյուր քառորդում (նույնիսկ կենտրոնական հրապարակում) և նույնիսկ անկյունային թվերի գումարը 34 է: Ներքևի շարքի երկու միջին թվերը ցույց են տալիս ամսաթիվը: նկարի ստեղծումը (1514)։ Առաջին սյունակի միջին քառակուսիներում ուղղումներ են կատարվել՝ թվերը դեֆորմացված են։

Օկուլտային թեւավոր մկնիկի Սատուրնի հետ նկարում կախարդական քառակուսին կազմված է թեւավոր ինտելեկտի Յուպիտերից, որոնք հակադրվում են միմյանց: Քառակուսին սիմետրիկ է, քանի որ դրանում ընդգրկված ցանկացած երկու թվի գումարը, որը գտնվում է իր կենտրոնի նկատմամբ սիմետրիկորեն, հավասար է 17-ի: Եթե գումարենք շախմատային ասպետի շարժումով ստացված չորս թվերը, ապա կստանաս 34: , այս հրապարակն իր անբասիր կարգուկանոնով արտացոլում է արվեստագետին պատած մելամաղձությունը։

Առավոտյան երազ.

Եվրոպացիներին թվերի զարմանալի քառակուսիները ծանոթացրել է բյուզանդացի գրող և լեզվաբան Մոսկոպուլոսը: Նրա աշխատանքը հատուկ էսսե էր այս թեմայով և պարունակում էր հեղինակի կախարդական քառակուսիների օրինակներ:

Կախարդական Քառակուսիների ՀԱՄԱԿԱՐԳԱՑՈՒՄ

16-րդ դարի կեսերին։ Եվրոպայում հայտնվեցին գործեր, որոնցում կախարդական քառակուսիները հայտնվում էին որպես մաթեմատիկական հետազոտության առարկա։ Դրան հաջորդեցին բազմաթիվ այլ աշխատություններ, մասնավորապես այնպիսի հայտնի մաթեմատիկոսների, ժամանակակից գիտության հիմնադիրների, ինչպիսիք են Շտիֆելը, Բաշեթը, Պասկալը, Ֆերմատը, Բեսսին, Էյլերը, Գաուսը։

Կախարդական, կամ կախարդական քառակուսի, քառակուսի աղյուսակ է, որը լցված է n 2 թվերով այնպես, որ յուրաքանչյուր տողի, յուրաքանչյուր սյունակի և երկու անկյունագծերի թվերի գումարը նույնն է։ Սահմանումը պայմանական է, քանի որ հին մարդիկ նույնպես նշանակություն են տվել, օրինակ, գույնին։

Նորմալկոչվում է կախարդական քառակուսի, որը լցված է 1-ից մինչև n 2 ամբողջ թվերով: Նորմալ կախարդական քառակուսիները գոյություն ունեն բոլոր կարգերի համար, բացառությամբ n = 2-ի, չնայած n = 1 դեպքը չնչին է. քառակուսին բաղկացած է մեկ թվից:

Յուրաքանչյուր տողի, սյունակի և անկյունագծի թվերի գումարը կոչվում է կախարդական հաստատուն M. Նորմալ կախարդական քառակուսու կախարդական հաստատունը կախված է միայն n-ից և տրվում է բանաձևով

M = n (n 2 + 1) /2

Կախարդական հաստատունների առաջին արժեքները տրված են աղյուսակում

Եթե ​​քառակուսու թվերի գումարը հավասար է միայն տողերում և սյունակներում, ապա այն կոչվում է կիսակախարդական. Կախարդական հրապարակը կոչվում է ասոցիատիվկամ սիմետրիկ, եթե քառակուսու կենտրոնի նկատմամբ սիմետրիկորեն տեղակայված ցանկացած երկու թվերի գումարը հավասար է n 2 + 1-ի։

Երրորդ կարգի միայն մեկ նորմալ քառակուսի կա։ Շատերը նրան ճանաչում էին։ Լո Շու հրապարակում թվերի դասավորությունը նման է Կաբալայում ոգիների խորհրդանշական նշանակմանը և հնդկական աստղագուշակության նշաններին:

Հայտնի է նաև որպես Սատուրնի քառակուսի։ Որոշ գաղտնի ընկերություններ միջնադարում այն ​​տեսնում էին որպես «Ինը պալատների Կաբբալա»: Անկասկած, արգելված մոգության երանգը շատ բան էր նշանակում նրա կերպարների պահպանման համար։

Այն կարևոր նշանակություն ուներ միջնադարյան թվաբանության մեջ, հաճախ օգտագործվում էր որպես ամուլետ կամ գուշակություն: Յուրաքանչյուր բջիջ համապատասխանում է միստիկական տառի կամ այլ խորհրդանիշի: Միասին կարդացեք որոշակի տողով, այս նշանները գաղտնի հաղորդագրություններ էին հաղորդում: Ծննդյան տարեթիվը կազմող թվերը տեղադրվել են քառակուսու վանդակներում, այնուհետև վերծանվել՝ կախված թվերի նշանակությունից և գտնվելու վայրից։

Պանդիագոնալներից, ինչպես նաև կոչվում են, առանձնանում են սատանայական կախարդական քառակուսիները, սիմետրիկները՝ իդեալականները։ Սատանայական քառակուսին մնում է սատանայական, եթե այն պտտես, արտացոլես, վերևից ներքև վերադասավորես տողը և հակառակը, աջ կամ ձախ կողմում մի սյունակ հատես և նշանակես հակառակ կողմին։ Ընդհանուր առմամբ կան հինգ փոխակերպումներ, վերջիններիս դիագրամը ներկայացված է նկարում

Կան 48 4x4 սատանայական քառակուսիներ՝ պտտման և արտացոլման ճշգրտությամբ: Եթե ​​հաշվի առնենք նաև համաչափությունը տորիկական զուգահեռ թարգմանությունների նկատմամբ, ապա մնում է միայն երեք էապես տարբեր 4x4 սատանայական քառակուսի.

Ամերիկացի հայտնի ճարտարապետ Կլոդ Բրագդոնը հայտնաբերել է, որ կոտրված գծի վրա մեկ առ մեկ միացնելով կախարդական քառակուսիների միայն զույգ կամ միայն կենտ թվով բջիջները, շատ դեպքերում մենք ստանում ենք էլեգանտ նախշ: Նյու Յորքի Ռոչեսթեր քաղաքի Առևտրի պալատի առաստաղի օդափոխման վանդակի համար, որտեղ նա ապրում էր, հորինված նախշը կառուցվել է Լո-Շու թալիսմանի կախարդական կոտրված գծից: Բրագդոնն օգտագործել է «կախարդական գծեր»՝ որպես գործվածքների, գրքերի շապիկների, ճարտարապետական ​​դեկորացիաների և դեկորատիվ գլխիկների ձևավորում։

Եթե ​​միանման սատանայական քառակուսիների խճանկարը դնեք (յուրաքանչյուր քառակուսի պետք է մոտ լինի իր հարևաններին), դուք կստանաք մանրահատակի նման մի բան, որում 4x4 բջիջների ցանկացած խմբի թվերը կկազմեն սատանայական քառակուսի: Չորս բջիջների թվերը, որոնք հաջորդում են մեկը մյուսի հետևից, անկախ նրանից, թե ինչպես են դրանք տեղակայված՝ ուղղահայաց, հորիզոնական կամ անկյունագծով, միշտ գումարվում են քառակուսու հաստատունին: Ժամանակակից մաթեմատիկոսները նման քառակուսիներն անվանում են «կատարյալ»:

ԼԱՏԻՆԱԿԱՆ ՀՐԱՊԱՐԱԿ

Լատինական քառակուսին անկանոն մաթեմատիկական քառակուսու տեսակ է, որը լցված է n տարբեր նշաններով այնպես, որ բոլոր n նշանները հայտնվում են յուրաքանչյուր տողում և յուրաքանչյուր սյունակում (յուրաքանչյուրը մեկ անգամ):

Լատինական քառակուսիները գոյություն ունեն ցանկացած n-ի համար: Ցանկացած լատիներեն քառակուսի քվազխմբի բազմապատկման աղյուսակ է (Քեյլի աղյուսակ): «Լատինական քառակուսի» անվանումը գալիս է Լեոնհարդ Էյլերից, ով աղյուսակում թվերի փոխարեն օգտագործում էր լատինատառ տառեր։

Երկու լատիներեն քառակուսի են կոչվում ուղղանկյուն, եթե նշանների բոլոր դասավորված զույգերը (a,b) տարբեր են, որտեղ a-ն առաջին լատինական քառակուսու որոշ վանդակի խորհրդանիշն է, իսկ b-ն երկրորդ լատինական քառակուսու նույն վանդակի խորհրդանիշն է։

Ուղղանկյուն լատիներեն քառակուսիները գոյություն ունեն ցանկացած կարգի համար, բացառությամբ 2-ի և 6-ի: Քանի որ n-ը պարզ թվի ուժ է, կա n–1 զույգ ուղղանկյուն լատիներեն քառակուսիների մի շարք: Եթե ​​լատինատառ քառակուսու յուրաքանչյուր անկյունագծում բոլոր տարրերը տարբեր են, ապա այդպիսի լատիներեն քառակուսին կոչվում է անկյունագծային. Ուղղանկյուն շեղանկյուն լատիներեն քառակուսիների զույգեր գոյություն ունեն բոլոր կարգերի համար, բացառությամբ 2-ի, 3-ի և 6-ի: Լատինական քառակուսին հաճախ հանդիպում է պլանավորման խնդիրներում, քանի որ թվերը չեն կրկնվում տողերում և սյունակներում:

Երկու ուղղանկյուն լատինական քառակուսիների զույգ տարրերից կազմված քառակուսին կոչվում է Հունա-լատիներեն հրապարակ. Նման քառակուսիները հաճախ օգտագործվում են կախարդական քառակուսիներ կառուցելու և պլանավորման բարդ խնդիրներում:

Հունա-լատիներեն քառակուսիներն ուսումնասիրելիս Էյլերն ապացուցեց, որ երկրորդ կարգի քառակուսիներ գոյություն չունեն, այլ գտնվել են 3, 4 և 5 կարգի քառակուսիներ։ Նա 6-րդ կարգի ոչ մի քառակուսի չգտավ։ Նա ենթադրեց, որ չկան զույգ կարգի քառակուսիներ, որոնք չբաժանվեն 4-ի (այսինքն՝ 6-ի, 10-ի, 14-ի և այլն): 1901 թվականին Գասթոն Թերին կոպիտ ուժով հաստատեց 6-րդ կարգի վարկածը։ Բայց 1959-ին վարկածը հերքվեց Է. Տ. Փարքերի, Ռ. Ք. Բոուսի և Ս. Ս. Շրիքհերդի կողմից, ովքեր հայտնաբերեցին 10 կարգի հունա-լատիներեն քառակուսի:

ՊՈԼԻՄԻՆՈ ԱՐԹՈՒՐ ԿԼԱՐԿ

Պոլիոմինոներ - բարդության առումով դրանք, անշուշտ, պատկանում են ամենադժվար մաթեմատիկական քառակուսիների կատեգորիային: Ահա թե ինչպես է նրա մասին գրում գիտաֆանտաստիկ գրող Ա. Քլարկը. ստորև ներկայացնում ենք մի հատված «Երկրային կայսրություն» գրքից։ Ակնհայտ է, որ Քլարկը, ապրելով իր կղզում, նա ապրում էր Ցեյլոնում, և հասարակությունից բաժանվելու նրա փիլիսոփայությունը ինքնին հետաքրքիր է, հետաքրքրվեց այն զվարճանքով, որը սովորեցնում է տղայի տատիկը, և այն փոխանցեց մեզ: Այս կենդանի նկարագրությունը գերադասենք գոյություն ունեցող համակարգումներից, որոնք փոխանցում են, թերեւս, խաղի էությունը, բայց ոչ ոգին։

«Դու հիմա բավական մեծ տղա ես, Դունկան, և դու կկարողանաս հասկանալ այս խաղը, սակայն, դա շատ ավելին է, քան խաղը»: Հակառակ տատիկի խոսքերի՝ Դունկանը չի տպավորվել խաղից։ Դե, ինչ կարող եք պատրաստել հինգ սպիտակ պլաստիկ քառակուսիներից:

«Առաջին հերթին, - շարունակեց տատիկը, - դուք պետք է ստուգեք, թե քանի տարբեր նախշեր կարող եք հավաքել քառակուսիներից»:

- Նրանք պետք է պառկեն սեղանի վրա: – հարցրեց Դունկանը:

- Այո, նրանք պետք է պառկեն հպվելով: Դուք չեք կարող համընկնել մեկ քառակուսի մյուսի հետ:

Դունկանը սկսեց շարել հրապարակները։

«Դե, ես կարող եմ բոլորին ուղիղ գծի մեջ դնել,- սկսեց նա:- Այսպես... Եվ հետո ես կարող եմ վերադասավորել երկու կտոր և ստանալ L տառը... Եվ եթե բռնեմ մյուս ծայրը, կստանամ տառը: դու...»

Տղան արագ հորինեց կես տասնյակ կոմբինացիաներ, հետո ավելին ու հանկարծ հայտնաբերեց, որ նրանք կրկնում են եղածները։

-Գուցե ես հիմար եմ, բայց վերջ:

Դունկանը բաց թողեց ամենապարզ ֆիգուրները՝ խաչը, որի ստեղծման համար բավական էր հինգերորդ, կենտրոնականի կողքերում չորս քառակուսի դնել։

«Մարդկանց մեծ մասը սկսում է խաչից,- ժպտաց տատիկը,- իմ կարծիքով, դու չափազանց շտապեցիր քեզ հիմար հայտարարելու մեջ»: Ավելի լավ է մտածեք՝ կարո՞ղ են այլ թվեր լինել:

Կենտրոնացված տեղաշարժելով հրապարակները՝ Դունկանը գտավ ևս երեք ֆիգուր, իսկ հետո դադարեց փնտրել։

«Այժմ դա հաստատ ավարտված է», - ասաց նա վստահորեն:

-Ի՞նչ կասեք նման գործչի մասին:

Քառակուսիները մի փոքր շարժելով՝ տատիկը ծալեց դրանք կուզիկ F տառի տեսքով։

-Եվ ահա ևս մեկը:

Դունկանն իրեն լրիվ ապուշ էր զգում, իսկ տատիկի խոսքերը բալասանի պես էին նրա ամոթահար հոգու վրա.

-Դու ուղղակի հիանալի ես: Միայն մտածեք, ես բաց եմ թողել ընդամենը երկու կտոր: Իսկ թվերի ընդհանուր թիվը տասներկու է։ Ոչ ավել, ոչ պակաս։ Այժմ դուք գիտեք նրանց բոլորին: Եթե ​​դու փնտրես հավերժություն, երբեք ուրիշը չես գտնի:

Տատիկը հինգ սպիտակ քառակուսիները սրբեց մի անկյունում և սեղանի վրա դրեց մի տասնյակ վառ, բազմերանգ պլաստիկ կտորներ: Սրանք նույն տասներկու ֆիգուրներն էին, բայց պատրաստի տեսքով, և յուրաքանչյուրը բաղկացած էր հինգ քառակուսուց: Դունկանն արդեն պատրաստ էր համաձայնել, որ այլ գործիչներ իրականում գոյություն չունեն։

Բայց քանի որ տատիկը շարել է այս բազմագույն շերտերը, նշանակում է, որ խաղը շարունակվում է, և Դունկանին սպասվում էր ևս մեկ անակնկալ:

– Հիմա, Դունկան, ուշադիր լսիր։ Այս թվերը կոչվում են «պենտամինոներ»: Անունը ծագել է հունարեն «penta» բառից, որը նշանակում է «հինգ»։ Բոլոր թվերը մակերեսով հավասար են, քանի որ յուրաքանչյուրը բաղկացած է հինգ նույնական քառակուսուց: Կան տասներկու գործիչներ, հինգ քառակուսիներ, հետևաբար, ընդհանուր մակերեսը հավասար կլինի վաթսուն քառակուսու: Ճիշտ?

-Հմմ այո:

- Լսիր հետագա: Վաթսունը հիանալի կլոր թիվ է, որը կարող է կազմվել մի քանի ձևով: Ամենահեշտը տասը վեցով բազմապատկելն է։ Այս տուփն ունի այսպիսի տարածք՝ այն կարող է տասը քառակուսի հորիզոնական պահել, իսկ վեցը՝ ուղղահայաց։ Հետեւաբար, բոլոր տասներկու գործիչները պետք է տեղավորվեն դրա մեջ: Պարզ, ինչպես կոմպոզիտային նկար-հանելուկ:

Դունկանը բռնում էր սպասում: Տատիկը սիրում էր բանավոր և մաթեմատիկական պարադոքսներ, և ոչ բոլորն էին հասկանալի իր տասնամյա զոհի համար: Բայց այս անգամ պարադոքսներ չկային։ Տուփի ներքևի մասը վաթսուն քառակուսի էր շարված, ինչը նշանակում է... Կանգ առե՛ք։ Տարածքը տարածք է, բայց ֆիգուրները տարբեր ձևեր ունեն։ Փորձեք դրանք արկղի մեջ դնել:

«Ես այս առաջադրանքը կթողնեմ, որ դուք ինքներդ լուծեք», - հայտարարեց տատիկը, տեսնելով, թե ինչպես նա տխուր շարժեց պենտոմինոն տուփի ներքևի մասով: - Հավատացեք, որ դրանք կարող են հավաքվել:

Շուտով Դունկանը սկսեց խիստ կասկածել տատիկի խոսքերին։ Նա հեշտությամբ կարողացավ տասը ֆիգուր տեղավորել տուփի մեջ, իսկ մեկ անգամ կարողացավ սեղմել տասնմեկերորդին։ Բայց չլցված տարածության ուրվագծերը չէին համընկնում տասներկուերորդ կերպարի ուրվագծերի հետ, որը տղան շրջում էր ձեռքերի մեջ։ Խաչ կար, իսկ մնացած ֆիգուրը հիշեցնում էր Զ տառը...

Եվս կես ժամ անց Դունկանն արդեն հուսահատության եզրին էր։ Տատիկը խորասուզվում էր համակարգչի հետ երկխոսության մեջ, բայց ժամանակ առ ժամանակ հետաքրքրությամբ նայում էր դրան, ասես ուզում էր ասել. «Սա այնքան էլ հեշտ չէ, որքան կարծում էիր»։

Տասը տարեկանում Դունկանը նկատելիորեն համառ էր։ Նրա հասակակիցներից շատերը վաղուց կհրաժարվեին փորձերից։ (Միայն մի քանի տարի անց նա հասկացավ, որ տատիկը նրբանկատորեն հոգեբանական թեստ է արել իրեն:) Դանկանը գրեթե քառասուն րոպե դիմացավ առանց օգնության...

Հետո տատիկը վեր կացավ համակարգչից ու կռացավ փազլի վրա։ Նրա մատները շարժեցին U, X և L ձևերը...

Տուփի հատակն ամբողջությամբ լցված էր։ Փազլի բոլոր կտորները ճիշտ տեղերում էին:

– Իհարկե, պատասխանը նախապես գիտեիք։ – Դունկանը վիրավորված քաշքշեց:

-Պատասխանե՞ք: – հարցրեց տատիկը։– Ի՞նչ եք կարծում, քանի՞ ձևով կարելի է պենտոմինոն տեղադրել այս տուփի մեջ։

Ահա, դա թակարդ է: Դունկանը գրեթե մեկ ժամ պտտվում էր առանց լուծում գտնելու, թեև այս ընթացքում նա փորձեց առնվազն հարյուր տարբերակ։ Նա կարծում էր, որ միայն մեկ ճանապարհ կա. Կարո՞ղ է նրանցից... տասներկուսը լինել: Կամ ավելի?

- Այսպիսով, ձեր կարծիքով քանի՞ ճանապարհ կարող է լինել: – նորից հարցրեց տատիկը:

— Քսան,— բացականչեց Դունկանը՝ մտածելով, որ այժմ տատիկը դեմ չէր լինի։

- Նորից փորձիր:

Դունկանը վտանգ էր զգում։ Զվարճանքը շատ ավելի խորամանկ ստացվեց, քան նա կարծում էր, և տղան խելամտորեն որոշեց ռիսկի չդիմել:

«Իրականում, ես չգիտեմ», - ասաց նա գլուխը շարժելով:

-Իսկ դու ընկալունակ տղա ես,- տատիկը նորից ժպտաց,- ինտուիցիան վտանգավոր ուղեցույց է, բայց երբեմն ուրիշը չունենք: Ես կարող եմ ձեզ գոհացնել. այստեղ հնարավոր չէ կռահել ճիշտ պատասխանը: Այս տուփի մեջ պենտոմինոները տեղավորելու ավելի քան երկու հազար տարբեր եղանակներ կան: Ավելի ճիշտ՝ երկու հազար երեք հարյուր երեսունինը։ Իսկ դուք ի՞նչ կասեք սրան։

Դժվար թե տատիկը խաբել է նրան։ Բայց Դունկանն այնքան հիասթափված էր լուծում գտնելու իր անկարողությունից, որ նա չկարողացավ զսպել.

- Ես չեմ հավատում!

Հելենը հազվադեպ էր գրգռվածություն ցուցաբերում։ Երբ Դունկանը ինչ-որ կերպ վիրավորեց նրան, նա պարզապես սառն ու հեռու դարձավ: Սակայն հիմա տատիկը պարզապես քմծիծաղ տվեց և ինչ-որ բան դիպչեց համակարգչի ստեղնաշարին։

«Նայիր այստեղ», - առաջարկեց նա:

Էկրանի վրա հայտնվեց տասներկու գունավոր պենտոմինոների հավաքածու, որը լրացնում էր տասը վեց ուղղանկյուն: Մի քանի վայրկյան անց այն փոխարինվեց մեկ այլ պատկերով, որտեղ թվերը, ամենայն հավանականությամբ, այլ կերպ էին տեղակայված (Դունկանը չէր կարող հստակ ասել, քանի որ նա չէր հիշում առաջին համադրությունը): Շուտով կերպարը նորից փոխվեց, հետո նորից ու նորից... Այսպես շարունակվեց, մինչև տատիկը դադարեցրեց հաղորդումը։

«Նույնիսկ բարձր արագությամբ համակարգչին հինգ ժամ կպահանջվի բոլոր մեթոդներն անցնելու համար», - բացատրեց տատիկը, - դուք կարող եք ընդունել իմ խոսքը. նրանք բոլորը տարբեր են: Եթե ​​չլինեին համակարգիչները, ես կասկածում եմ, որ մարդիկ բոլոր ճանապարհները կգտնեին տարբերակների սովորական թվարկումով։

Դունկանը երկար նայում էր տասներկու խաբուսիկ պարզ կերպարներին։ Նա դանդաղ մարսեց տատիկի խոսքերը. Սա նրա կյանքում առաջին մաթեմատիկական հայտնությունն էր։ Այն, ինչ նա այդքան հապճեպ համարում էր սովորական մանկական խաղ, հանկարծ սկսեց բացվել նրա առջև անվերջ արահետներ ու հորիզոններ, թեև նույնիսկ ամենատաղանդավոր տասը տարեկան երեխան դժվար թե կարողանա զգալ այս տիեզերքի անսահմանությունը:

Բայց հետո Դունկանի հրճվանքն ու ակնածանքը պասիվ էին։ Ինտելեկտուալ հաճույքի իրական պայթյունը տեղի ունեցավ ավելի ուշ, երբ նա ինքնուրույն գտավ պենտոմինոներ դնելու իր առաջին մեթոդը։ Դունկանը մի քանի շաբաթ շարունակ իր հետ ամենուր պլաստիկ տուփ է տարել։ Ամբողջ ազատ ժամանակը նա ծախսում էր միայն պենտոմինոների վրա։ Ֆիգուրները կդառնան Դունկանի անձնական ընկերները։ Նա նրանց անվանում էր իրենց նման տառերով, թեև որոշ դեպքերում նմանությունն ավելի քան հեռու էր։ Հինգ թվեր՝ F, I, L, P, N, անհամապատասխան էին, բայց մնացած յոթը կրկնում էին լատինական այբուբենի հաջորդականությունը՝ T, U, V, W, X, Y, Z:

Մի օր, կա՛մ երկրաչափական տրանսի, կա՛մ երկրաչափական էքստազի վիճակում, որն այդպես էլ չկրկնվեց, Դունկանը մեկ ժամից պակաս ժամանակում գտավ ոճավորման հինգ տարբերակ: Թերևս նույնիսկ Նյուտոնը, Էյնշտեյնը կամ Չեն Ցզին իրենց ճշմարտության պահերին ավելի սերտ կապված չեն զգացել մաթեմատիկայի աստվածների հետ, քան Դունկան Մաքենզին:

Շուտով նա ինքնուրույն, առանց տատիկի հուշելու, հասկացավ, որ պենտոմինոն կարելի է տեղադրել տարբեր չափսերով ուղղանկյունի մեջ: Շատ հեշտությամբ Դունկանը գտավ մի քանի տարբերակներ 5-ից 12-ի և 4-ի 15-ի ուղղանկյունների համար: Հետո նա մի ամբողջ շաբաթ տանջվեց՝ փորձելով տասներկու պատկեր տեղավորել ավելի երկար և նեղ ուղղանկյունի մեջ 3-ը 20-ով: Նա նորից ու նորից սկսեց լցնել դավաճանական տարածքը և ... ուղղանկյունի վրա անցքեր և «լրացուցիչ» պատկերներ:

Ավերված Դունկանն այցելել է տատիկին, որտեղ նրան նոր անակնկալ էր սպասվում։

— Ես ուրախ եմ ձեր փորձերի համար,— ասաց Հելենը։— Դուք ուսումնասիրեցիք բոլոր հնարավորությունները՝ փորձելով ընդհանուր օրինաչափություն ստանալ։ Սա այն է, ինչ միշտ անում են մաթեմատիկոսները։ Բայց դուք սխալվում եք. երեքից քսան ուղղանկյունի լուծումներ գոյություն ունեն: Դրանցից միայն երկուսն են, և եթե գտնեք մեկը, ապա կկարողանաք գտնել երկրորդը:

Ոգեշնչված իր տատիկի գովասանքից՝ Դունկանը նոր թափով շարունակեց իր «պենտոմինոների որսը»։ Եվս մեկ շաբաթ անց նա սկսեց հասկանալ, թե ինչ անտանելի բեռ է դրել իր ուսերին։ Տասներկու ֆիգուրները դասավորելու եղանակների թիվը Դունկանին պարզապես շշմեցնող էր։ Ընդ որում, յուրաքանչյուր գործիչ չորս դիրք ուներ։

Եվ նորից եկավ տատիկի մոտ՝ պատմելով իր բոլոր դժվարությունները։ Եթե ​​3-ից 20 ուղղանկյունի համար ընդամենը երկու տարբերակ լիներ, որքա՞ն ժամանակ կպահանջվեր դրանք գտնելու համար:

«Եթե խնդրում եմ, ես քեզ կպատասխանեմ,- ասաց տատիկը,- եթե դու անուղեղ համակարգչի պես վարվես, կոմբինացիաների պարզ որոնում անես և յուրաքանչյուրի վրա մեկ վայրկյան ծախսես, քեզ պետք կգա...» Այստեղ նա միտումնավոր դադար տվեց: «Ձեզ կպահանջվի ավելի քան վեց միլիոն ... այո, ավելի քան վեց միլիոն տարի:

Երկրակա՞ն, թե՞ տիտանական. Այս հարցը միանգամից հայտնվեց Դունկանի մտքում։ Բայց ո՞րն է տարբերությունը:

«Բայց դուք տարբերվում եք անուղեղ համակարգչից», - շարունակեց տատիկը, - դուք անմիջապես տեսնում եք ակնհայտորեն ոչ պիտանի համակցություններ, և, հետևաբար, պետք չէ ժամանակ վատնել դրանք ստուգելու համար: Նորից փորձեք:

Դունկանը հնազանդվեց՝ արդեն առանց ոգևորության և հաջողության հավատքի։ Եվ հետո նրա գլխում մի փայլուն միտք ծագեց.

Կարլը անմիջապես հետաքրքրվեց պենտոմինոյով և ընդունեց մարտահրավերը։ Նա Դունկանից վերցրեց ֆիգուրներով տուփը և մի քանի ժամով անհետացավ։

Երբ Կարլը զանգահարեց նրան, նրա ընկերը մի տեսակ վրդովված տեսք ուներ։

– Վստա՞հ եք, որ այս խնդիրն իսկապես լուծում ունի։ - Նա հարցրեց.

- Միանգամայն վստահ: Դրանք երկուսն են։ Իսկապե՞ս չե՞ք գտել գոնե մեկը: Ես կարծում էի, որ դու հիանալի ես մաթեմատիկայի մեջ:

«Պատկերացրեք, ես կարող եմ դա պարզել, դրա համար ես գիտեմ, թե որքան աշխատանք է պահանջում ձեր խնդիրը»: Պետք է ստուգել... միլիոն միլիարդ հնարավոր համակցությունները:

-Ինչպե՞ս իմացար, որ դրանք այդքան շատ են: – հարցրեց Դունկանը՝ գոհ լինելով, որ գոնե կարողացավ ստիպել ընկերոջը շփոթված գլուխը քորել:

Կառլը մի կողմ նայեց մի թղթի վրա, որը լցված էր որոշ դիագրամներով և թվերով։

– Եթե բացառեք անընդունելի կոմբինացիաները և հաշվի առնեք համաչափությունն ու պտտման հնարավորությունը... կստանաք գործակցի... փոխարկումների ընդհանուր թիվը... դուք դեռ չեք հասկանա։ Ավելի լավ է ցույց տամ հենց համարը:

Նա տեսախցիկի մոտ բերեց ևս մեկ թուղթ, որի վրա մեծ մանրամասնությամբ պատկերված էր թվերի տպավորիչ շարան.

1 004 539 160 000 000.

Դունկանը ոչինչ չգիտեր ֆակտորիալների մասին, բայց նա կասկած չուներ Կարլի հաշվարկների ճշգրտության վրա։ Նրան շատ դուր եկավ երկար համարը։

«Ուրեմն պատրաստվում եք հրաժարվել այս գործից»: – Ուշադիր հարցրեց Դունկանը:

- Էլ ինչ! Ես պարզապես ուզում էի ցույց տալ, թե որքան դժվար է դա:

Կարլի դեմքը մռայլ վճռականություն էր արտահայտում։ Այս խոսքերն ասելուց հետո նա ուշաթափվեց։

Հաջորդ օրը Դունկանը ապրեց իր մանկության կյանքի ամենամեծ ցնցումներից մեկը: Կարլի թշվառ դեմքը՝ արյունոտ աչքերով, նայեց նրան էկրանից։ Զգացվում էր, որ նա անքուն գիշեր է անցկացրել։

«Դե, այսքանը», - հայտարարեց նա հոգնած, բայց հաղթական ձայնով:

Դունկանը հազիվ էր հավատում իր աչքերին։ Նրան թվում էր, թե հաջողության հասնելու շանսերն աննշան են։ Նա նույնիսկ ինքն իրեն համոզեց դրանում։ Եվ հանկարծ... Նրա առջև ընկած էր երեք քսան ուղղանկյուն՝ լցված բոլոր տասներկու պենտոմինո ֆիգուրներով։

Հետո Կառլը փոխանակեց ու պտտեց կտորները ծայրերում՝ կենտրոնական հատվածը թողնելով անձեռնմխելի։ Նրա մատները թեթեւակի դողացին հոգնությունից։

«Սա երկրորդ լուծումն է,- բացատրեց նա:- Եվ հիմա ես գնում եմ քնելու»: Այնպես որ, բարի գիշեր կամ բարի առավոտ - ինչ ուզում եք:

Նվաստացած Դունկանը երկար նայեց մթնած էկրանին։ Նա չգիտեր, թե որ կողմով շարժվեց Կառլը՝ փազլի լուծում գտնելով։ Բայց նա գիտեր, որ իր ընկերը հաղթանակած է դուրս եկել։ Բոլոր հավանականություններին հակառակ.

Նա չէր նախանձում ընկերոջ հաղթանակին. Դունկանը չափազանց շատ էր սիրում Կառլին և միշտ ուրախանում էր նրա հաջողություններով, թեև ինքն էլ հաճախ էր հայտնվում պարտվողի կողմում։ Բայց ինչ-որ այլ բան կար իմ ընկերոջ այսօրվա հաղթանակի մեջ, գրեթե կախարդական բան:

Դունկանն առաջին անգամ տեսավ ինտուիցիայի ուժը։ Նա հանդիպեց մտքի առեղծվածային կարողությանը` դուրս գալ փաստերից և մի կողմ նետել խանգարող տրամաբանությունը: Մի քանի ժամվա ընթացքում Կառլը կատարեց հսկայական աշխատանք՝ գերազանցելով ամենաարագ համակարգիչը։

Հետագայում Դունկանը իմացավ, որ բոլոր մարդիկ ունեն նման ունակություններ, բայց նրանք օգտագործում են դրանք չափազանց հազվադեպ, գուցե մեկ անգամ իրենց կյանքում: Կարլում այս նվերը բացառիկ զարգացում ստացավ... Այդ պահից Դունկանը սկսեց լրջորեն վերաբերվել իր ընկերոջ դատողություններին, նույնիսկ ամենածիծաղելիին և ողջախոհության տեսակետից:

Սա քսան տարի առաջ էր։ Դունկանը չէր հիշում, թե ուր են գնացել պլաստիկ պենտոմինոյի կտորները։ Երևի Կարլի հետ մնացին։

Տատիկի նվերը դարձավ նրանց նոր մարմնավորումը՝ այժմ բազմերանգ քարի կտորների տեսքով։ Զարմանալի, փափուկ վարդագույն գրանիտը Գալիլեոյի բլուրներից էր, օբսիդիանը Հյուգենս սարահարթից էր, իսկ կեղծ մարմարը՝ Հերշելի լեռնաշղթայից։ Եվ նրանց մեջ... սկզբում Դունկանը մտածեց, որ նա սխալվել է։ Ոչ, դա այդպես է. դա Տիտանի ամենահազվագյուտ և առեղծվածային հանքանյութն էր: Տատիկս քարե պենտոմինո խաչը տիտանիտից է պատրաստել։ Ոսկեգույն ներդիրներով այս կապույտ-սև հանքանյութը ոչ մի բանի հետ չի կարելի շփոթել։ Դունկանը նախկինում երբեք չէր տեսել այդքան մեծ կտորներ և կարող էր միայն կռահել, թե որքան է դրա արժեքը։

«Ես չգիտեմ, թե ինչ ասեմ», - մրթմրթաց նա, - ինչ գեղեցկություն է: Սա առաջին անգամ եմ տեսնում:

Նա գրկեց տատիկի բարակ ուսերը և հանկարծ զգաց, որ նրանք դողում են, և նա չի կարող զսպել դողը։ Դունկանը նրբորեն պահեց նրան իր գրկում, մինչև որ նրա ուսերը դադարեցին դողալ։ Նման պահերին խոսքեր պետք չեն։ Ավելի պարզ, քան նախկինում, Դունկանը հասկացավ. նա Հելեն Մաքենզիի ավերված կյանքի վերջին սերն էր։ Իսկ հիմա նա թռչում է՝ թողնելով նրան մենակ իր հիշողությունների հետ։

ՄԵԾ ԿԱԽԱՐԴԱԿԱՆ ՀՐԱՊԱՐԱԿ

13-րդ դարի չինացի մաթեմատիկոս Յան Հուին ծանոթ էր Պասկալի եռանկյունին (թվաբանական եռանկյունին)։ Նա թողել է 4-րդ և ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների լուծման մեթոդների նկարագրությունը, կան ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման կանոններ, առաջընթացների գումարում և կախարդական քառակուսիներ կառուցելու մեթոդներ։ Նրան հաջողվեց կառուցել վեցերորդ կարգի կախարդական քառակուսի, և վերջինս պարզվեց, որ գրեթե ասոցիատիվ է (դրանում միայն երկու զույգ կենտրոնական հակառակ թվերը չեն տալիս 37-ի գումարը):

Բենջամին Ֆրանկլինը կառուցեց 16x16 քառակուսի, որը, բացի 2056-ի հաստատուն գումարից բոլոր տողերում, սյունակներում և անկյունագծերում, ուներ ևս մեկ լրացուցիչ հատկություն։ Եթե ​​թղթի թերթիկից կտրենք 4x4 քառակուսի և այս թերթիկը տեղադրենք մեծ քառակուսու վրա այնպես, որ ավելի մեծ քառակուսու 16 բջիջ ընկնեն այս անցքի մեջ, ապա այս բնիկում հայտնված թվերի գումարը, անկախ նրանից, թե որտեղ ենք այն դնում: , նույնը կլինի՝ 2056 թ.

Այս հրապարակի ամենաարժեքավոր բանն այն է, որ այն բավականին հեշտ է վերածել կատարյալ կախարդական քառակուսու, մինչդեռ կատարյալ կախարդական քառակուսիներ կառուցելը հեշտ գործ չէ: Ֆրանկլինն այս հրապարակն անվանեց «ամենահմայիչ մոգությունը բոլոր կախարդական հրապարակներից, որոնք երբևէ ստեղծվել են կախարդների կողմից»:

Կախարդական հրապարակ,ամբողջ թվերի քառակուսի աղյուսակ, որտեղ ցանկացած տողի, ցանկացած սյունակի և երկու հիմնական անկյունագծերի երկայնքով թվերի գումարները հավասար են նույն թվին:

Կախարդական հրապարակը հին չինական ծագում ունի։ Ըստ լեգենդի՝ Յու կայսրի օրոք (մ.թ.ա. մոտ 2200 թ.) Դեղին գետի (Դեղին գետ) ջրերից դուրս է եկել սուրբ կրիա, որի պատյանի վրա մակագրված են խորհրդավոր հիերոգլիֆներ (նկ. 1. Ա), և այս նշանները հայտնի են որպես lo-shu և համարժեք են Նկ. 1, բ. 11-րդ դարում Կախարդական հրապարակների մասին նրանք իմացան Հնդկաստանում, իսկ հետո Ճապոնիայում, որտեղ 16-րդ դ. Մեծ գրականություն է հատկացվել կախարդական հրապարակներին։ Եվրոպացիներին կախարդական հրապարակները ծանոթացրել են 15-րդ դարում: Բյուզանդացի գրող Է.Մոսչոպուլոս. Եվրոպացու հորինած առաջին հրապարակը համարվում է Ա. Դյուրերի հրապարակը (նկ. 2), որը պատկերված է նրա հայտնի փորագրության մեջ։ Մելամաղձություն 1. Ներքեւի տողի երկու կենտրոնական վանդակների թվերով նշվում է փորագրության ստեղծման թվականը (1514 թ.): Կախարդական քառակուսիներին վերագրվում էին տարբեր առեղծվածային հատկություններ: 16-րդ դարում Կոռնելիուս Հենրիխ Ագրիպան կառուցեց 3-րդ, 4-րդ, 5-րդ, 6-րդ, 7-րդ, 8-րդ և 9-րդ կարգերի քառակուսիներ, որոնք կապված էին 7 մոլորակների աստղագիտության հետ: Ենթադրվում էր, որ արծաթի վրա փորագրված կախարդական քառակուսին պաշտպանում է ժանտախտից: Այսօր էլ եվրոպացի գուշակների ատրիբուտներից կարելի է տեսնել կախարդական քառակուսիներ։

19-րդ և 20-րդ դարերում։ Կախարդական հրապարակների նկատմամբ հետաքրքրությունը բռնկվեց նոր ուժով: Դրանք սկսեցին ուսումնասիրվել՝ օգտագործելով բարձրագույն հանրահաշվի և գործառնական հաշվարկի մեթոդները։

Կախարդական քառակուսու յուրաքանչյուր տարր կոչվում է բջիջ: Քառակուսի, որի կողմը բաղկացած է nբջիջներ, պարունակում է n 2 բջիջ և կոչվում է քառակուսի n-րդ կարգը. Կախարդական քառակուսիներից շատերն օգտագործում են առաջինը nհաջորդական բնական թվեր. Գումար ՍՅուրաքանչյուր տողում, յուրաքանչյուր սյունակում և ցանկացած անկյունագծով թվերը կոչվում են քառակուսի հաստատուն և հավասար են Ս = n(n 2 + 1)/2. Ապացուցված է, որ nі 3. 3-րդ կարգի քառակուսու համար Ս= 15, 4-րդ կարգ – Ս= 34, 5-րդ կարգ – Ս = 65.

Քառակուսու կենտրոնով անցնող երկու անկյունագծերը կոչվում են հիմնական անկյունագծեր։ Կտրված գիծը այն անկյունագիծն է, որը, հասնելով քառակուսու եզրին, շարունակվում է հակառակ եզրից առաջին հատվածին զուգահեռ (նկար 3-ի ստվերված վանդակներով նման անկյունագիծ է գոյանում): Այն բջիջները, որոնք սիմետրիկ են քառակուսու կենտրոնի նկատմամբ, կոչվում են թեք-սիմետրիկ: Դրանք, օրինակ, բջիջներն են աԵվ բՆկ. 3.

Կախարդական քառակուսիների կառուցման կանոնները բաժանվում են երեք կատեգորիայի՝ կախված նրանից, թե քառակուսու կարգը կենտ է, հավասար է կենտ թվի կրկնակի կամ կենտ թվի քառապատիկին: Բոլոր քառակուսիների կառուցման ընդհանուր մեթոդը անհայտ է, թեև լայնորեն օգտագործվում են տարբեր սխեմաներ, որոնցից մի քանիսը մենք կքննարկենք ստորև:

Կենտ կարգի կախարդական քառակուսիները կարելի է կառուցել 17-րդ դարի ֆրանսիական երկրաչափի մեթոդով: A. de la Lubera. Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով 5-րդ կարգի քառակուսու օրինակը (նկ. 4): Թիվ 1-ը տեղադրված է վերին շարքի կենտրոնական բջիջում: Բոլոր բնական թվերը դասավորված են բնական կարգով ներքևից վերև ցիկլային կարգով՝ աջից ձախ անկյունագծային բջիջներում: Հասնելով քառակուսու վերին եզրին (ինչպես թիվ 1-ի դեպքում) մենք շարունակում ենք շեղանկյունը լրացնել՝ սկսած հաջորդ սյունակի ներքևի բջիջից։ Հասնելով քառակուսու աջ եզրին (թիվ 3), մենք շարունակում ենք վերևի տողի ձախ բջիջից եկող անկյունագիծը լրացնել։ Հասնելով լցված բջիջ (թիվ 5) կամ անկյուն (թիվ 15), հետագիծն իջնում ​​է մեկ բջիջ, որից հետո լցման գործընթացը շարունակվում է:

F. de la Hire-ի (1640–1718) մեթոդը հիմնված է երկու բնօրինակ քառակուսիների վրա։ Նկ. Նկար 5-ը ցույց է տալիս, թե ինչպես է այս մեթոդը օգտագործվում 5-րդ կարգի քառակուսի կառուցելու համար: 1-ից 5 թվերը մուտքագրվում են առաջին քառակուսու բջիջում այնպես, որ 3 թիվը կրկնվում է դեպի աջ դեպի վեր բարձրացող հիմնական անկյունագծի բջիջներում, և ոչ մի թիվ երկու անգամ չի հայտնվում նույն տողում կամ նույնում: սյունակ։ Նույնն ենք անում 0, 5, 10, 15, 20 թվերի հետ միայն այն տարբերությամբ, որ 10 թիվը այժմ կրկնվում է հիմնական անկյունագծի բջիջներում՝ վերևից ներքև անցնելով (նկ. 5, բ) Այս երկու քառակուսիների բջիջ առ բջիջ գումարը (նկ. 5, Վ) կազմում է կախարդական քառակուսի: Այս մեթոդը օգտագործվում է նաև հավասար կարգի քառակուսիներ կառուցելու համար։

Եթե ​​գիտեք կարգի քառակուսիներ կառուցելու միջոց մև պատվիրել n, ապա մենք կարող ենք կառուցել կարգի քառակուսի մґ n. Այս մեթոդի էությունը ներկայացված է Նկ. 6. Այստեղ մ= 3 և n= 3. 3-րդ կարգի ավելի մեծ քառակուսի (պարզ թվերով նշված թվերով) կառուցվում է դե լա Լուբերտի մեթոդով։ 1ў թվով բջիջում (վերևի շարքի կենտրոնական բջիջ) տեղավորվում է 1-ից 9 թվերից 3-րդ կարգի քառակուսի, որը նույնպես կառուցված է դե լա Լյուբերտի մեթոդով։ 2ў թվով բջիջում (աջ՝ ներքևի տողում) տեղավորվում է 3-րդ կարգի քառակուսի 10-ից 18 թվերով. 3ў թվով բջիջում՝ 19-ից 27 թվերի քառակուսի և այլն: Արդյունքում ստանում ենք 9-րդ կարգի քառակուսի։ Նման քառակուսիները կոչվում են կոմպոզիտային:

ԿԱԽԱՐԴԱԿԱՆ ՀՐԱՊԱՐԱԿ
ամբողջ թվերի քառակուսի աղյուսակ, որտեղ ցանկացած տողի, ցանկացած սյունակի և երկու հիմնական անկյունագծերի երկայնքով թվերի գումարները հավասար են նույն թվին: Կախարդական հրապարակը հին չինական ծագում ունի։ Ըստ լեգենդի՝ Յու կայսրի օրոք (մ.թ.ա. մոտ 2200 թ.) Դեղին գետի (Դեղին գետ) ջրերից դուրս է եկել սուրբ կրիա, որի պատյանի վրա գրված են եղել խորհրդավոր հիերոգլիֆներ (նկ. 1ա), և այդ նշաններն են. հայտնի է որպես lo-shu և համարժեք են նկ. 1, բ. 11-րդ դարում Կախարդական հրապարակների մասին նրանք իմացան Հնդկաստանում, իսկ հետո Ճապոնիայում, որտեղ 16-րդ դ. Մեծ գրականություն է հատկացվել կախարդական հրապարակներին։ Եվրոպացիներին կախարդական հրապարակները ծանոթացրել են 15-րդ դարում: Բյուզանդացի գրող Է.Մոսչոպուլոս. Եվրոպացու հորինած առաջին հրապարակը համարվում է Ա. Դյուրերի քառակուսին (նկ. 2), որը պատկերված է նրա հայտնի «Մելամաղձություն 1» փորագրության մեջ: Փորագրության ստեղծման ամսաթիվը (1514 թ.) նշվում է երկու կենտրոնական թվերով: ստորին գծի բջիջները: Կախարդական քառակուսիներին վերագրվում էին տարբեր առեղծվածային հատկություններ: 16-րդ դարում Կոռնելիուս Հենրիխ Ագրիպան կառուցեց 3-րդ, 4-րդ, 5-րդ, 6-րդ, 7-րդ, 8-րդ և 9-րդ կարգերի քառակուսիներ, որոնք կապված էին 7 մոլորակների աստղագիտության հետ: Ենթադրվում էր, որ արծաթի վրա փորագրված կախարդական քառակուսին պաշտպանում է ժանտախտից: Այսօր էլ եվրոպացի գուշակների ատրիբուտներից կարելի է տեսնել կախարդական քառակուսիներ։

19-րդ և 20-րդ դարերում։ Կախարդական հրապարակների նկատմամբ հետաքրքրությունը բռնկվեց նոր ուժով: Դրանք սկսեցին ուսումնասիրվել՝ օգտագործելով բարձրագույն հանրահաշվի և գործառնական հաշվարկի մեթոդները։ Կախարդական քառակուսու յուրաքանչյուր տարր կոչվում է բջիջ: Այն քառակուսին, որի կողմը բաղկացած է n բջիջներից, պարունակում է n2 բջիջ և կոչվում է n-րդ կարգի քառակուսի։ Կախարդական քառակուսիներից շատերն օգտագործում են առաջին n հաջորդական բնական թվերը: S թվերի գումարը յուրաքանչյուր տողում, յուրաքանչյուր սյունակում և ցանկացած անկյունագծում կոչվում է քառակուսի հաստատուն և հավասար է S = n(n2 + 1)/2: Ապացուցված է, որ n = 3. 3-րդ կարգի քառակուսու համար S = 15, 4-րդ կարգ՝ S = 34, 5-րդ կարգ՝ S = 65։ Քառակուսու կենտրոնով անցնող երկու անկյունագծերը կոչվում են հիմնական անկյունագծեր։ Կտրված գիծը այն անկյունագիծն է, որը, հասնելով քառակուսու եզրին, շարունակվում է հակառակ եզրից առաջին հատվածին զուգահեռ (նկար 3-ի ստվերված վանդակներով նման անկյունագիծ է գոյանում): Այն բջիջները, որոնք սիմետրիկ են քառակուսու կենտրոնի նկատմամբ, կոչվում են թեք-սիմետրիկ: Սրանք, օրինակ, a և b բջիջներն են Նկ. 3.

Կախարդական քառակուսիների կառուցման կանոնները բաժանվում են երեք կատեգորիայի՝ կախված նրանից, թե քառակուսու կարգը կենտ է, հավասար է կենտ թվի կրկնակի կամ կենտ թվի քառապատիկին: Բոլոր քառակուսիների կառուցման ընդհանուր մեթոդը անհայտ է, թեև լայնորեն օգտագործվում են տարբեր սխեմաներ, որոնցից մի քանիսը մենք կքննարկենք ստորև: Կենտ կարգի կախարդական քառակուսիները կարելի է կառուցել 17-րդ դարի ֆրանսիական երկրաչափի մեթոդով: A. de la Lubera. Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով 5-րդ կարգի քառակուսու օրինակը (նկ. 4): Թիվ 1-ը տեղադրված է վերին շարքի կենտրոնական բջիջում: Բոլոր բնական թվերը դասավորված են բնական կարգով ներքևից վերև ցիկլային կարգով՝ աջից ձախ անկյունագծային բջիջներում: Հասնելով քառակուսու վերին եզրին (ինչպես թիվ 1-ի դեպքում) մենք շարունակում ենք շեղանկյունը լրացնել՝ սկսած հաջորդ սյունակի ներքևի բջիջից։ Հասնելով քառակուսու աջ եզրին (թիվ 3), մենք շարունակում ենք վերևի տողի ձախ բջիջից եկող անկյունագիծը լրացնել։ Հասնելով լցված բջիջ (թիվ 5) կամ անկյուն (թիվ 15), հետագիծն իջնում ​​է մեկ բջիջ, որից հետո լցման գործընթացը շարունակվում է:

F. de la Hire-ի (1640-1718) մեթոդը հիմնված է երկու բնօրինակ քառակուսիների վրա։ Նկ. Նկար 5-ը ցույց է տալիս, թե ինչպես է այս մեթոդը օգտագործվում 5-րդ կարգի քառակուսի կառուցելու համար: 1-ից 5 թվերը մուտքագրվում են առաջին քառակուսու բջիջում այնպես, որ 3 թիվը կրկնվում է դեպի աջ դեպի վեր բարձրացող հիմնական անկյունագծի բջիջներում, և ոչ մի թիվ երկու անգամ չի հայտնվում նույն տողում կամ նույնում: սյունակ. Նույնը անում ենք 0, 5, 10, 15, 20 թվերի հետ միայն այն տարբերությամբ, որ 10 թիվը այժմ կրկնվում է գլխավոր անկյունագծի բջիջներում՝ վերևից ներքև անցնելով (նկ. 5, բ)։ Այս երկու քառակուսիների բջիջ առ բջիջ գումարը (նկ. 5c) կազմում է կախարդական քառակուսի: Այս մեթոդը օգտագործվում է նաև հավասար կարգի քառակուսիներ կառուցելու համար։

Եթե ​​գիտեք, թե ինչպես կառուցել m և n կարգի քառակուսիներ, ապա կարող եք կառուցել mґn կարգի քառակուսի: Այս մեթոդի էությունը ներկայացված է Նկ. 6. Այստեղ m = 3 և n = 3. 3-րդ կարգի ավելի մեծ քառակուսի (պարզ թվերով նշված թվերով) կառուցված է դե լա Լուբերտի մեթոդով: 1ў թվով բջիջում (վերևի շարքի կենտրոնական բջիջ) տեղավորվում է 1-ից 9 թվերից 3-րդ կարգի քառակուսի, որը նույնպես կառուցված է դե լա Լյուբերտի մեթոդով։ 2ў թվով բջիջում (աջ՝ ներքևի տողում) տեղավորվում է 3-րդ կարգի քառակուսի 10-ից 18 թվերով. 3ў թվով բջիջում՝ 19-ից 27 թվերի քառակուսի և այլն: Արդյունքում ստանում ենք 9-րդ կարգի քառակուսի։ Նման քառակուսիները կոչվում են կոմպոզիտային:

Collier's Encyclopedia. - Բաց հասարակություն. 2000 .

Տեսեք, թե ինչ է «MAGIC SQUARE»-ը այլ բառարաններում.

Հավասար թվով n սյունակների և տողերի բաժանված քառակուսի, որի արդյունքում ստացված բջիջներում գրված են առաջին n2 բնական թվերը, որոնք գումարում են նույն թիվը յուրաքանչյուր սյունակի, յուրաքանչյուր տողի և երկու մեծ անկյունագծերի համար... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

Կախարդական քառակուսի, քառակուսի ՄԱՏՐԻՑԱ, որը բաժանված է բջիջների և որոշակի ձևով լցված թվերով կամ տառերով՝ ֆիքսելով հատուկ կախարդական իրավիճակ։ Ամենատարածված տառային քառակուսին SATOR է, որը կազմված է SATOR, AREPO,... ... բառերից: Գիտատեխնիկական հանրագիտարանային բառարան

Քառակուսի, որը բաժանված է հավասար թվով n սյունակների և տողերի, որի արդյունքում ստացված բջիջներում գրված են 1-ից մինչև n2 բնական թվեր, որոնք գումարում են նույն թիվը յուրաքանչյուր սյունակի, յուրաքանչյուր տողի և երկու մեծ անկյունագծերի համար: Նկ. M. k. s-ի օրինակը... ... Բնական գիտություն. Հանրագիտարանային բառարան

Կախարդական կամ կախարդական քառակուսին քառակուսի աղյուսակ է, որը լցված է թվերով այնպես, որ յուրաքանչյուր տողի, յուրաքանչյուր սյունակի և երկու անկյունագծերի թվերի գումարը նույնն է: Եթե ​​քառակուսու թվերի գումարները հավասար են միայն տողերում և սյունակներում, ապա ... Վիքիպեդիա

Քառակուսի, որը բաժանված է հավասար թվով n սյունակների և տողերի, որոնց արդյունքում ստացված բջիջներում գրված են առաջին n2 բնական թվերը, որոնք գումարում են նույն թիվը յուրաքանչյուր սյունակի, յուրաքանչյուր տողի և երկու մեծ անկյունագծերի համար: Նկարը ցույց է տալիս օրինակ. ... Հանրագիտարանային բառարան

Քառակուսի, որը բաժանված է հավասար թվով n սյունակների և տողերի, որի արդյունքում ստացված բջիջներում գրված են առաջին n2 բնական թվերը, որոնք գումարում են յուրաքանչյուր սյունակին, յուրաքանչյուր տողին և նույն թվով երկու մեծ անկյունագծերին [հավասար է... ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

1-ից մինչև n2 ամբողջ թվերի քառակուսի աղյուսակ, որը բավարարում է հետևյալ պայմանները. որտեղ s=n(n2+1)/2: Դիտարկվում են նաև ավելի ընդհանուր մաթեմատիկական հավասարումներ, որոնցում չի պահանջվում, որ որևէ a թիվ եզակիորեն բնութագրվի մնացորդների զույգով (a, b) մոդուլ n (նիշեր... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Գիրք Քառակուսի, որը բաժանված է մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է մի թիվ, որը մյուսների հետ հորիզոնական, ուղղահայաց կամ անկյունագծով ավելանում է նույն թվին: BTS, 512… Ռուսական ասացվածքների մեծ բառարան

- (հունարեն magicos, մագո մոգից): Կախարդական՝ կապված մոգության հետ։ Ռուսերենում ներառված օտար բառերի բառարան. Chudinov A.N., 1910. ԿԱԽԱՐԴԱԿԱՆ մոգություն. Ռուսերենում ներառված օտար բառերի բառարան. Պավլենկով Ֆ., 1907 ... Ռուսաց լեզվի օտար բառերի բառարան

Այն կախարդական քառակուսու եռաչափ տարբերակն է։ Ավանդական (դասական) կախարդական խորանարդը n կարգի n×n×n չափերի խորանարդ է, որը լցված է 1-ից մինչև n3 տարբեր բնական թվերով, որպեսզի 3n2 տողերից որևէ մեկի թվերի գումարները, ... ... Վիքիպեդիա:

Գրքեր

• Magic Square, Իրինա Բյորնո, «Magic Square»-ը մոգական ռեալիզմի ոճով գրված պատմվածքների և պատմվածքների հավաքածու է, որտեղ իրականությունը սերտորեն միահյուսվում է մոգության և ֆանտազիայի հետ՝ ձևավորելով նոր, կախարդական ոճ՝... Կատեգորիա՝ Սարսափ և առեղծված Հրատարակիչ՝ Publishing Solutions, էլեկտրոնային գիրք(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Ներածություն

Անտիկ դարաշրջանի մեծ գիտնականները քանակական հարաբերությունները համարում էին աշխարհի էության հիմքը։ Հետևաբար, թվերն ու դրանց փոխհարաբերությունները զբաղեցրել են մարդկության մեծագույն միտքը: «Իմ երիտասարդության օրերին ես զվարճանում էի իմ ազատ ժամանակ՝ պատրաստելով... կախարդական քառակուսիներ»,- գրել է Բենջամին Ֆրանկլինը: Կախարդական քառակուսին այն քառակուսին է, որի թվերի գումարը յուրաքանչյուր հորիզոնական շարքում, յուրաքանչյուր ուղղահայաց տողում և յուրաքանչյուր շեղանկյունի երկայնքով նույնն է:

Որոշ նշանավոր մաթեմատիկոսներ իրենց աշխատանքը նվիրեցին կախարդական քառակուսիներին, և ստացված արդյունքները ազդեցին խմբերի, կառուցվածքների, լատինական քառակուսիների, որոշիչների, բաժանումների, մատրիցների, համեմատությունների և մաթեմատիկայի այլ ոչ տրիվիալ ոլորտների զարգացման վրա:

Այս շարադրության նպատակն է ծանոթանալ տարբեր կախարդական քառակուսիների, լատինական քառակուսիների հետ և ուսումնասիրել դրանց կիրառման ոլորտները։

Կախարդական հրապարակներ

Բոլոր հնարավոր կախարդական քառակուսիների ամբողջական նկարագրությունը մինչ օրս չի ստացվել: Չկան կախարդական 2x2 քառակուսիներ: Կա միայն մեկ 3x3 կախարդական քառակուսի, քանի որ այլ 3x3 կախարդական քառակուսիներ ստացվում են դրանից կամ կենտրոնի շուրջը պտտվելով կամ նրա համաչափության առանցքներից մեկի շուրջ արտացոլմամբ։

1-ից 9-ը 3x3 կախարդական քառակուսու վրա բնական թվերը դասավորելու 8 տարբեր եղանակ կա.

• 9+5+1
• 9+4+2
• 8+6+2
• 8+5+2
• 8+4+3
• 7+6+2
• 7+5+3
• 6+5+4

3x3 կախարդական քառակուսու մեջ կախարդական հաստատուն 15-ը պետք է հավասար լինի երեք թվերի գումարին 8 ուղղություններով՝ 3 տող, 3 սյունակ և 2 անկյունագիծ։ Քանի որ կենտրոնում գտնվող թիվը պատկանում է 1 տողին, 1 սյունակին և 2 անկյունագծին, այն ներառված է 8 եռյակից 4-ում, որոնք գումարում են կախարդական հաստատունը: Այդպիսի մի թիվ կա՝ դա 5 է։ Հետևաբար, 3x3 կախարդական քառակուսու կենտրոնում թիվն արդեն հայտնի է՝ այն 5 է։

Դիտարկենք 9 թիվը։ Այն ներառված է թվերի ընդամենը 2 եռյակի մեջ։ Մենք չենք կարող այն տեղադրել անկյունում, քանի որ յուրաքանչյուր անկյունային բջիջը պատկանում է 3 եռյակի՝ տող, սյունակ և անկյունագիծ: Հետևաբար, 9 թիվը պետք է լինի իր մեջտեղի քառակուսու կողմին հարող մի խցում: Քառակուսու համաչափության պատճառով կարևոր չէ, թե որ կողմն ենք ընտրում, ուստի կենտրոնական վանդակում 5 թվից վեր գրում ենք 9: Վերևի տողի ինը երկու կողմերում մենք կարող ենք գրել միայն 2 և 4 թվերը: Այս երկու թվերից ո՞րը կլինի վերևի աջ անկյունում, իսկ որը ձախում՝ կրկին կարևոր չէ, քանի որ թվերի մեկ դասավորությունը մտնում է. մյուսը, երբ հայելային է: Մնացած բջիջները լրացվում են ավտոմատ կերպով: 3x3 կախարդական քառակուսու մեր պարզ կառուցումն ապացուցում է իր յուրահատկությունը:

Նման կախարդական քառակուսին հին չինացիների շրջանում մեծ նշանակության խորհրդանիշ էր: Մեջտեղում գտնվող 5 թիվը նշանակում էր երկիր, իսկ շուրջը խիստ հավասարակշռված էին կրակը (2 և 7), ջուրը (1 և 6),

փայտ (3 և 8), մետաղ (4 և 9):

Քանի որ քառակուսու չափը (բջիջների թիվը) մեծանում է, այդ չափի հնարավոր կախարդական քառակուսիների թիվը արագորեն մեծանում է: Կան 4-րդ կարգի 880 և 5-րդ կարգի 275,305,224 կախարդական քառակուսիներ: Ավելին, 5x5 քառակուսիները հայտնի էին դեռևս միջնադարում: Մուսուլմանները, օրինակ, շատ ակնածանքով էին վերաբերվում նման քառակուսին, որի մեջտեղում 1 թիվն էր՝ այն համարելով Ալլահի միասնության խորհրդանիշ:

Պյութագորասի կախարդական հրապարակ

Մեծ գիտնական Պյութագորասը, ով հիմնել է կրոնական և փիլիսոփայական ուսմունքը, որը քանակական հարաբերությունները հռչակում էր իրերի էության հիմքում, կարծում էր, որ մարդու էությունը կայանում է նաև թվի մեջ՝ ծննդյան ամսաթվի մեջ: Հետևաբար, Պյութագորասի կախարդական հրապարակի օգնությամբ դուք կարող եք իմանալ մարդու բնավորությունը, առողջության աստիճանը և նրա ներուժը, բացահայտել առավելություններն ու թերությունները և դրանով իսկ պարզել, թե ինչ պետք է արվի նրան բարելավելու համար:

Որպեսզի հասկանանք, թե որն է Պյութագորասի կախարդական քառակուսին և ինչպես են հաշվարկվում դրա ցուցիչները, ես կհաշվեմ այն ​​իմ օրինակով։ Եվ որպեսզի համոզվեմ, որ հաշվարկի արդյունքներն իսկապես համապատասխանում են կոնկրետ մարդու իրական բնավորությանը, նախ ինքս կստուգեմ դա։ Դա անելու համար ես հաշվարկը կանեմ իմ ծննդյան ամսաթվի հիման վրա: Այսպիսով, իմ ծննդյան ամսաթիվը 20.08.1986թ. Գումարենք ծննդյան օրվա, ամսվա և տարվա թվերը (առանց զրոների)՝ 2+8+1+9+8+6=34։ Հաջորդիվ գումարում ենք արդյունքի թվերը՝ 3+4=7։ Այնուհետև առաջին գումարից կրկնապատկում ենք ծննդյան օրվա առաջին թվանշանը՝ 34-4=30։ Եվ կրկին ավելացնում ենք վերջին թվի թվանշանները.

3+0=3. Մնում է կատարել վերջին լրացումները՝ 1-ին և 3-րդ և 2-րդ և 4-րդ գումարումները՝ 34+30=64, 7+3=10։ Ստացանք 08/20/1986,34,7,30, 64,10 համարները։

և կախարդական քառակուսի կազմիր այնպես, որ այս թվերից բոլորը մտնեն 1-ին բջիջը, բոլոր երկուսը՝ 2-րդ բջիջը և այլն։ Զրոները հաշվի չեն առնվում։ Արդյունքում իմ հրապարակը կունենա հետևյալ տեսքը.

Քառակուսի բջիջները նշանակում են հետևյալը.

Բջջ 1 - վճռականություն, կամք, հաստատակամություն, եսասիրություն:

• 1 - ամբողջական էգոիստներ, ձգտում են առավելագույն օգուտ քաղել ցանկացած իրավիճակից:
• 11 - էգոիստականին մոտ կերպար:
• 111 - «ոսկե միջին»: Բնավորությունը հանգիստ է, ճկուն, շփվող:
• 1111 - ուժեղ բնավորության մարդիկ, ուժեղ կամքի տեր մարդիկ: Նման բնավորությամբ տղամարդիկ հարմար են ռազմական մասնագետի դերին, իսկ կանայք իրենց ընտանիքը պահում են բռունցքի մեջ։
• 11111 - բռնակալ, բռնակալ։
• 111111 - դաժան մարդ, որն ընդունակ է անել անհնարինը. հաճախ ընկնում է ինչ-որ գաղափարի ազդեցության տակ:

Բջջ 2 - բիոէներգիա, հուզականություն, անկեղծություն, զգայականություն: Երկուսի թիվը որոշում է բիոէներգիայի մակարդակը։

Երկուս չկա. ալիքը բաց է բիոէներգիայի ինտենսիվ հավաքածուի համար: Այս մարդիկ իրենց բնույթով բարեկիրթ են և ազնվական։

• 2 - մարդիկ, ովքեր սովորական են կենսաէներգետիկ առումով. Նման մարդիկ շատ զգայուն են մթնոլորտի փոփոխությունների նկատմամբ։
• 22 - կենսաէներգիայի համեմատաբար մեծ պաշար: Նման մարդիկ լավ բժիշկներ, բուժքույրեր և կարգապահներ են դառնում։ Նման մարդկանց ընտանիքում հազվադեպ է լինում մեկը, ով զգում է նյարդային սթրես։
• 222-ը էքստրասենսի նշանն է։

Բջիջ 3 - ճշգրտություն, կոնկրետություն, կազմակերպվածություն, կոկիկություն, ճշտապահություն, մաքրություն, ժլատություն, մշտական ​​«արդարության վերականգնման» հակում:

Եռյակի ավելացումը բարձրացնում է այս բոլոր որակները։ Դրանցով իմաստ ունի մարդ ինքն իրեն փնտրել գիտությունների մեջ, հատկապես՝ ճշգրիտ։ Եռյակի գերակշռությունը ծնում է պեդանտներ, գործի մարդիկ։

Բջջ 4 - առողջություն. Սա կապված է էկգրեգորի, այսինքն՝ նախնիների կողմից մշակված և մարդուն պաշտպանող էներգետիկ տարածության հետ։ Չորսի բացակայությունը խոսում է այն մասին, որ մարդը հիվանդ է։

• 4 - միջին առողջություն, անհրաժեշտ է կարծրացնել մարմինը: Լողը և վազքը խորհուրդ են տրվում սպորտաձևեր:
• 44 - լավ առողջություն:
• 444 և ավելի՝ շատ լավ առողջություն ունեցող մարդիկ։

Բջջ 5 - ինտուիցիա, պայծառատեսություն, որը նման մարդկանց մոտ սկսում է դրսևորվել արդեն երեք հինգի մակարդակում:

Հինգեր չկան՝ տարածության հետ կապի ալիքը փակ է։ Այս մարդիկ հաճախ

սխալ են.

• 5 - կապի ալիքը բաց է. Այս մարդիկ կարող են ճիշտ հաշվարկել իրավիճակը և առավելագույնս օգտվել դրանից։
• 55 - բարձր զարգացած ինտուիցիա: Երբ նրանք տեսնում են «մարգարեական երազներ», նրանք կարող են կանխատեսել իրադարձությունների ընթացքը։ Նրանց համար հարմար մասնագիտություններ են փաստաբանը, քննիչը։
• 555 - գրեթե պայծառատես:
• 5555 - պայծառատեսներ.

Բջջ 6 - հիմնավորվածություն, նյութականություն, հաշվարկ, հակում աշխարհի քանակական հետազոտության և անվստահություն որակական թռիչքների և առավել ևս հոգևոր հրաշքների նկատմամբ:

Վեցեր չկան՝ այս մարդիկ ֆիզիկական աշխատանքի կարիք ունեն, թեև, որպես կանոն, դա նրանց դուր չի գալիս։ Նրանք օժտված են արտասովոր երևակայությամբ, ֆանտազիայով, գեղարվեստական ​​ճաշակով։ Նուրբ բնություններ, նրանք, այնուամենայնիվ, ընդունակ են գործել:

• 6 - կարող է զբաղվել ստեղծագործությամբ կամ ճշգրիտ գիտություններով, բայց ֆիզիկական աշխատանքը գոյության նախապայման է:
• 66 - մարդիկ շատ հիմնավոր են, տարված են ֆիզիկական աշխատանքի, թեև դա նրանց համար պարտադիր չէ. Ցանկալի է մտավոր գործունեություն կամ գեղարվեստական ​​զբաղմունք:
• 666-ը Սատանայի նշանն է, հատուկ և չարագուշակ նշան: Այս մարդիկ ունեն բարձր խառնվածք, հմայիչ են և մշտապես դառնում են հասարակության ուշադրության կենտրոնում։
• 6666 - այս մարդիկ իրենց նախորդ մարմնավորումներում չափազանց մեծ հիմքեր ձեռք բերեցին, նրանք շատ քրտնաջան աշխատեցին և չեն կարող պատկերացնել իրենց կյանքը առանց աշխատանքի: Եթե ​​դրանց քառակուսին պարունակում է

Իններ, անպայման պետք է մտավոր գործունեությամբ զբաղվեն, ինտելեկտը զարգացնեն, գոնե բարձրագույն կրթություն ստանան։

Բջջ 7 - յոթների թիվը որոշում է տաղանդի չափը:

• 7 - որքան շատ են նրանք աշխատում, այնքան ավելի ուշ են ստանում:
• 77 - շատ շնորհալի, երաժշտական ​​մարդիկ, ունեն նուրբ գեղարվեստական ​​ճաշակ և կարող են հակվածություն ունենալ կերպարվեստի նկատմամբ:
• 777 - այս մարդիկ, որպես կանոն, Երկիր են գալիս կարճ ժամանակով: Նրանք բարի են, հանգիստ և զգայուն ցանկացած անարդարության նկատմամբ։ Նրանք զգայուն են, սիրում են երազել և միշտ չէ, որ իրականությունն են զգում։
• 7777-ը հրեշտակի նշան է։ Այս նշանի տեր մարդիկ մահանում են մանկության տարիներին, իսկ եթե նրանք ապրում են, նրանց կյանքը մշտապես վտանգի տակ է։

Բջջ 8 - կարմա, պարտականություն, պարտավորություն, պատասխանատվություն: Ութների թիվը որոշում է պարտքի զգացման աստիճանը։

Ութներ չկան. այս մարդիկ պարտքի զգացողության գրեթե իսպառ բացակայություն ունեն:

• 8 - պատասխանատու, բարեխիղճ, ճշգրիտ բնույթ:
• 88 - այս մարդիկ ունեն պարտականության զարգացած զգացում, նրանք միշտ առանձնանում են ուրիշներին օգնելու ցանկությամբ, հատկապես թույլերին, հիվանդներին և միայնակներին:
• 888-ը մեծ պարտքի նշան է, ժողովրդին ծառայելու նշան։ Երեք ությակ ունեցող քանոնը հասնում է ակնառու արդյունքների:
• 8888 - այս մարդիկ ունեն պարահոգեբանական ունակություններ և բացառիկ զգայունություն ճշգրիտ գիտությունների նկատմամբ: Նրանց առջեւ բաց են գերբնական ճանապարհները:

Բջջ 9 - բանականություն, իմաստություն: Ինըների բացակայությունը վկայում է այն մասին, որ մտավոր կարողությունները չափազանց սահմանափակ են:

• 9 - այս մարդիկ պետք է ամբողջ կյանքում քրտնաջան աշխատեն, որպեսզի լրացնեն իրենց խելքի պակասը:
• 99 - այս մարդիկ ի ծնե խելացի են: Նրանք միշտ դժկամությամբ են սովորում, քանի որ գիտելիքը նրանց մոտ հեշտությամբ է գալիս։ Նրանք օժտված են հեգնական երանգով հումորի զգացումով և անկախ են։
• 999 - շատ խելացի: Սովորելու համար ընդհանրապես ջանք չի գործադրվում: Գերազանց զրուցակիցներ.
• 9999 - ճշմարտությունը բացահայտված է այս մարդկանց. Եթե ​​նրանք նաև ունեն զարգացած ինտուիցիա, ապա երաշխավորված են ձախողման իրենց ցանկացած ձեռնարկում: Այս ամենի հետ մեկտեղ նրանք սովորաբար բավականին հաճելի են, քանի որ նրանց սուր միտքը նրանց դարձնում է կոպիտ, անողորմ և դաժան։

Այսպիսով, կազմելով Պյութագորասի կախարդական քառակուսին և իմանալով նրա բջիջներում ներառված թվերի բոլոր համակցությունների նշանակությունը, դուք կկարողանաք բավարար չափով գնահատել ձեր բնության այն հատկությունները, որոնք օժտել ​​է Մայր Բնությունը:

Լատինական հրապարակներ

Չնայած այն հանգամանքին, որ մաթեմատիկոսները հիմնականում հետաքրքրված էին կախարդական քառակուսիներով, լատիներեն քառակուսիները ամենամեծ կիրառությունը գտան գիտության և տեխնիկայի մեջ:

Լատինական քառակուսին nxn բջիջների քառակուսի է, որում գրված են 1, 2,..., n թվերը և այնպես, որ այս բոլոր թվերը յուրաքանչյուր տողում և սյունակում հայտնվում են մեկ անգամ։ Նկար 3-ում ներկայացված են երկու նման 4x4 քառակուսիներ: Նրանք ունեն մի հետաքրքիր առանձնահատկություն. եթե մի քառակուսին դրվում է մյուսի վրա, ապա ստացված թվերի բոլոր զույգերը տարբեր են լինում: Լատինական քառակուսիների նման զույգերը կոչվում են ուղղանկյուն։

Ուղղանկյուն լատինատառ քառակուսիներ գտնելու խնդիրն առաջին անգամ դրել է Լ. Էյլերը, և այսպիսի զվարճալի ձևակերպմամբ. հավասար թվով գեներալներ, գնդապետներ, մայորներ, կապիտաններ, լեյտենանտներ և երկրորդ լեյտենանտներ, և զինվորականների յուրաքանչյուր ճյուղ ներկայացված է բոլոր վեց աստիճանի սպաներով: Հնարավո՞ր է բոլոր սպաներին շարել 6 x 6 քառակուսու մեջ, որ ցանկացած սյունակում և ցանկացած կոչումում լինեն բոլոր կոչումների սպաներ»։

Էյլերը չկարողացավ լուծում գտնել այս խնդրին։ 1901 թվականին ապացուցվեց, որ նման լուծում գոյություն չունի։ Միևնույն ժամանակ, Էյլերն ապացուցեց, որ n-ի բոլոր կենտ արժեքների և n-ի զույգ արժեքների համար գոյություն ունեն լատիներեն քառակուսիների ուղղանկյուն զույգեր, որոնք բաժանվում են 4-ի: Էյլերը ենթադրեց, որ n-ի մնացած արժեքների համար, եթե n թիվը 4-ի բաժանելիս տալիս է 2-ի մնացորդը, ապա ուղղանկյուն քառակուսիներ չկան: 1901 թվականին ապացուցվեց, որ չկան ուղղանկյուն քառակուսիներ 6 6, և դա մեծացրեց վստահությունը Էյլերի վարկածի վավերականության նկատմամբ։ Սակայն 1959 թվականին համակարգչի օգնությամբ առաջին անգամ գտնվեցին 10x10, ապա 14x14, 18x18, 22x22 ուղղանկյուն քառակուսիներ։ Եվ հետո ցույց տրվեց, որ ցանկացած n-ի համար, բացի 6-ից, կան nxn ուղղանկյուն քառակուսիներ:

Կախարդական և լատինական քառակուսիները մերձավոր ազգականներ են: Եկեք ունենանք երկու ուղղանկյուն քառակուսի: Նույն չափերի նոր քառակուսի բջիջները լրացնենք հետևյալ կերպ. Դնենք այնտեղ n(a - 1)+b թիվը, որտեղ a-ն առաջին քառակուսու նման վանդակի թիվն է, իսկ b-ն երկրորդ քառակուսու նույն վանդակի թիվն է։ Հեշտ է հասկանալ, որ ստացված քառակուսու դեպքում տողերի և սյունակների (բայց պարտադիր չէ, որ անկյունագծերի վրա) թվերի գումարները նույնն են:

Լատինական քառակուսիների տեսությունը բազմաթիվ կիրառություններ է գտել ինչպես բուն մաթեմատիկայի, այնպես էլ դրա կիրառման մեջ: Օրինակ բերենք. Ենթադրենք, որ մենք ցանկանում ենք ստուգել ցորենի 4 սորտերի բերքատվությունը տվյալ տարածքում, և ցանկանում ենք հաշվի առնել մշակաբույսերի նոսրության աստիճանի և երկու տեսակի պարարտանյութերի ազդեցությունը։ Դա անելու համար քառակուսի հողամասը կբաժանենք 16 հողամասերի (նկ. 4): Ցորենի առաջին սորտը կտնկենք ստորին հորիզոնական շերտին համապատասխան հողամասերում, հաջորդ սորտը հաջորդ շերտին համապատասխան չորս հողամասերում և այլն (նկարում սորտը նշված է գույնով): Այս դեպքում, թող բերքի առավելագույն խտությունը լինի այն հողամասերում, որոնք համապատասխանում են նկարի ձախ ուղղահայաց սյունակին, և նվազի աջ շարժվելիս (նկարում դա համապատասխանում է գույնի ինտենսիվության նվազմանը): Թող նկարի բջիջներում թվերը նշանակեն.

առաջինը այս տարածքում կիրառվող առաջին տեսակի պարարտանյութի կիլոգրամների քանակն է, իսկ երկրորդը՝ երկրորդ տեսակի պարարտանյութի քանակությունը: Հեշտ է հասկանալ, որ այս դեպքում իրականանում են և՛ սորտի, և՛ ցանքի խտության և այլ բաղադրիչների բոլոր հնարավոր զույգերը՝ սորտը և առաջին տեսակի պարարտանյութերը, առաջին և երկրորդ տեսակի պարարտանյութերը, խտությունը և երկրորդ տեսակի պարարտանյութերը։

Ուղղանկյուն լատինական քառակուսիների օգտագործումը օգնում է հաշվի առնել բոլոր հնարավոր տարբերակները գյուղատնտեսության, ֆիզիկայի, քիմիայի և տեխնիկայի փորձերում:

քառակուսի կախարդական pythagoras լատիներեն

Եզրակացություն

Այս շարադրությունը քննում է բազմաթիվ մեծ մարդկանց մտքերը զբաղեցրած մաթեմատիկայի հարցերից մեկի զարգացման պատմության հետ կապված հարցեր՝ կախարդական հրապարակներ: Չնայած այն հանգամանքին, որ կախարդական քառակուսիներն իրենք լայն կիրառություն չեն գտել գիտության և տեխնիկայի մեջ, նրանք ոգեշնչեցին շատ արտասովոր մարդկանց մաթեմատիկա ուսումնասիրելու և նպաստեցին մաթեմատիկայի այլ ճյուղերի զարգացմանը (խմբերի տեսություն, որոշիչներ, մատրիցներ և այլն):

Կախարդական քառակուսիների ամենամոտ ազգականները՝ լատիներեն քառակուսիները, բազմաթիվ կիրառություններ են գտել ինչպես մաթեմատիկայի, այնպես էլ փորձերի արդյունքների ստեղծման և մշակման մեջ դրա կիրառման մեջ: Աբստրակտը տալիս է նման փորձի ստեղծման օրինակ:

Ռեֆերատը քննարկում է նաև Պյութագորասի հրապարակի հարցը, որը պատմական հետաքրքրություն է ներկայացնում և, հնարավոր է, օգտակար է մարդու հոգեբանական դիմանկարը կազմելու համար։

Մատենագիտություն

• 1. Երիտասարդ մաթեմատիկոսի հանրագիտարանային բառարան. Մ., «Մանկավարժություն», 1989:
• 2. M. Gardner “Time Travel”, M., “Mir”, 1990 թ.
• 3. Ֆիզկուլտուրա եւ սպորտ թիվ 10, 1998 թ