Magisk firkant for 4 av 20. Hvordan den magiske firkanten fungerer

Denne gåten spredte seg raskt over hele Internett. Tusenvis av mennesker begynte å lure på hvordan det magiske torget fungerer. I dag finner du endelig svaret!

Mysteriet med det magiske kvadratet

Faktisk er denne gåten ganske enkel og laget med menneskelig uoppmerksomhet i tankene. La oss se hvordan den magiske svarte firkanten fungerer ved å bruke et ekte eksempel:

La oss gjette et hvilket som helst tall fra 10 til 19. La oss nå trekke dets sifre fra dette tallet. La oss for eksempel ta 11. Trekk en fra 11 og deretter en annen. Resultatet er 9. Det spiller ingen rolle hvilket tall fra 10 til 19 du tar. Resultatet av beregningene vil alltid være 9. Tallet 9 i "Magic Square" tilsvarer det første tallet med bilder. Hvis du ser nøye etter, kan du se at et veldig stort antall tall er tildelt de samme bildene.
Hva skjer hvis du tar et tall i området fra 20 til 29? Kanskje du allerede har gjettet det selv? Ikke sant! Resultatet av beregningen vil alltid være 18. Tallet 18 tilsvarer den andre posisjonen på diagonalen med bilder.
Hvis du tar et tall fra 30 til 39, så kommer, som du allerede kan gjette, tallet 27. Tallet 27 tilsvarer også tallet på diagonalen til den så uforklarlige "Magic Square".
En lignende algoritme forblir sann for alle tall fra 40 til 49, fra 50 til 59, og så videre.

Det vil si, det viser seg at det ikke spiller noen rolle hvilket tall du gjettet - "Magic Square" vil gjette resultatet, for i cellene nummerert 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 og 81 er det faktisk det samme symbolet.

Faktisk kan dette mysteriet enkelt forklares ved hjelp av en enkel ligning:

Se for deg et hvilket som helst tosifret tall. Uavhengig av tallet kan det representeres som x*10+y. Tiere fungerer som "x", og enheter fungerer som "y".
Trekk tallene som utgjør det fra det skjulte tallet. Legg til ligningen: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
Tallet som kommer ut som følge av beregningene skal peke på et bestemt symbol i tabellen.

Det spiller ingen rolle hvilket tall som er i rollen som "x", på en eller annen måte vil du få et symbol hvis nummer vil være et multiplum av ni. For å være sikker på at det er ett symbol under forskjellige tall, se bare på tabellen og på tallene 0,9,18,27,45,54,63,72,81 og påfølgende.

MAGISK KVADRAT

Kina regnes som fødestedet til magiske firkanter. I Kina er det læren om Feng Shui, som sier at fargen, formen og den fysiske plasseringen av hvert element i rommet påvirker flyten av Qi, enten bremser den, omdirigerer den eller øker hastigheten, noe som direkte påvirker energinivåene av innbyggerne. For å lære verdens hemmeligheter sendte gudene keiser Yu det eldste symbolet, Lo Shu-plassen (Lo - elven).

MAGIC SQUARE LO SHU

Legenden sier at for rundt fire tusen år siden dukket en stor skilpadde, Shu, opp fra det stormfulle vannet i Luo-elven. Folk som ofret til elven så skilpadden og gjenkjente den umiddelbart som en guddom. Betraktningene til de gamle vismennene virket så rimelige for keiser Yu at han beordret bildet av en skilpadde å bli udødeliggjort på papir og forseglet det med sitt keiserlige segl. Ellers, hvordan ville vi ha visst om denne hendelsen?

Denne skilpadden var faktisk spesiell fordi den hadde et merkelig mønster av prikker på skallet. Prikkene ble merket på en ryddig måte, noe som førte gamle filosofer til ideen om at firkanten med tall på skilpaddens skall fungerer som en modell av verdensrommet - et kart over verden satt sammen av den mytiske grunnleggeren av den kinesiske sivilisasjonen, Huang Di. Faktisk er summen av tallene i kolonnene, radene og begge diagonalene i kvadratet den samme M = 15 og er lik antall dager i hver av de 24 syklusene i det kinesiske solåret.

Partall og oddetall veksler mellom: 4 partall (skrevet fra bunn til topp i synkende rekkefølge) er i de fire hjørnene, og 5 oddetall (skrevet fra bunn til topp i stigende rekkefølge) danner et kryss i midten av firkanten. De fem elementene i korset reflekterer jord, ild, metall, vann og skog. Summen av alle to tall atskilt med et senter er lik Ho Ti-tallet, dvs. ti.

Partall (jordsymboler) av Lo Shu ble markert på skilpaddens kropp i form av svarte prikker, eller Yin-symboler, og oddetall (himmelsymboler) - i form av hvite prikker, eller Yang-symboler. Jord 1 (eller vann) er under, ild 9 (eller himmel) er over. Det er mulig at det moderne bildet av tallet 5, plassert i midten av komposisjonen, skyldes det kinesiske symbolet på dualiteten til Yang og Yin.

MAGIC SQUARE FRA KHAJURAHO

Østrom

Magien til Joseph Rudyard Kipling, som skapte bildene av Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan og, selvfølgelig, Tabaka, begynte på tampen av det tjuende århundre. Et halvt århundre tidligere, i februar 1838, var en ung britisk offiser fra Bengal Engineers, T.S. Bert, interessert i samtalen til tjenerne som bar palankinen hans, avvek fra ruten og snublet over eldgamle templer i jungelen i India.

På trappene til Vishvanatha-tempelet fant offiseren en inskripsjon som vitner om strukturenes antikke. Etter kort tid tegnet den energiske generalmajoren A. Cunningham detaljerte planer for Khajuraho. Utgravninger begynte, og kulminerte med den oppsiktsvekkende oppdagelsen av 22 templer. Templer ble reist av maharajaene fra Chandel-dynastiet deres. Etter sammenbruddet av riket deres, slukte jungelen bygningene i tusen år. Firkanten av den fjerde orden, funnet blant bildene av nakne guder og gudinner, var fantastisk.

Ikke bare var dette kvadratets summer langs radene, kolonnene og diagonalene sammenfallende og lik 34. De falt også sammen langs de brutte diagonalene som dannes når kvadratet brettes til en torus, og i begge retninger. For slik trolldom av tall kalles slike firkanter "djevelske" (eller "pandiagonale" eller "nasik").

Selvfølgelig vitnet dette om de uvanlige matematiske evnene til skaperne deres, som var overlegne i forhold til kolonialistene. Hva menneskene i de hvite hjelmene uunngåelig følte.

DURERS MAGISKE SQUARE

Den berømte tyske kunstneren fra det tidlige 1500-tallet, Albrecht Durer, skapte den første 4x4 magiske firkanten i europeisk kunst. Summen av tallene i en hvilken som helst rad, kolonne, diagonal, og også, overraskende nok, i hvert kvartal (selv i den sentrale firkanten) og til og med summen av hjørnetallene er 34. De to midterste tallene i den nederste raden indikerer datoen av tilblivelsen av maleriet (1514). Det er gjort korrigeringer i de midterste rutene i den første kolonnen - tallene er deformert.

På bildet med den okkulte bevingede musen Saturn, er den magiske firkanten sammensatt av den bevingede intelligensen Jupiter, som motsetter seg hverandre. Firkanten er symmetrisk, siden summen av alle to tall som er inkludert i den, plassert symmetrisk i forhold til midten, er lik 17. Hvis du legger sammen de fire tallene oppnådd ved trekk av sjakkridderen, vil du få 34. Sannelig , dette torget, med sin upåklagelige orden, gjenspeiler melankolien som har grepet kunstneren.

Morgen drøm.

Europeere ble introdusert for fantastiske tallruter av den bysantinske forfatteren og lingvisten Moschopoulos. Arbeidet hans var et spesielt essay om dette emnet og inneholdt eksempler på forfatterens magiske firkanter.

SYSTEMATISERING AV MAGISKE FIRKANTER

På midten av 1500-tallet. I Europa dukket det opp verk der magiske firkanter dukket opp som gjenstander for matematisk forskning. Dette ble fulgt av mange andre verk, spesielt av så kjente matematikere, grunnleggerne av moderne vitenskap, som Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessey, Euler, Gauss.

Magisk, eller en magisk firkant, er en kvadratisk tabell fylt med n 2 tall på en slik måte at summen av tallene i hver rad, hver kolonne og på begge diagonalene er den samme. Definisjonen er betinget, siden de gamle også knyttet betydning, for eksempel til farge.

Normal kalt et magisk kvadrat fylt med heltall fra 1 til n 2. Normale magiske firkanter finnes for alle ordener bortsett fra n = 2, selv om tilfellet n = 1 er trivielt - kvadratet består av et enkelt tall.

Summen av tallene i hver rad, kolonne og diagonal kalles magisk konstant M. Den magiske konstanten til et normalt magisk kvadrat avhenger bare av n og er gitt av formelen

M = n (n 2 + 1) /2

De første verdiene av de magiske konstantene er gitt i tabellen

Hvis summen av tall i et kvadrat er lik bare i rader og kolonner, kalles det semi-magisk. Den magiske firkanten kalles assosiativ eller symmetrisk, hvis summen av to tall som er plassert symmetrisk rundt midten av kvadratet er lik n 2 + 1.

Det er bare ett normalt kvadrat av tredje orden. Mange kjente ham. Ordningen av tall i Lo Shu-plassen ligner de symbolske betegnelsene på ånder i Kabbalah og tegnene til indisk astrologi.

Også kjent som Saturn-plassen. Noen hemmelige samfunn i middelalderen så det som «Kabbalaen til de ni kamrene». Utvilsomt betydde skyggen av forbudt magi mye for bevaringen av bildene hans.

Det var viktig i middelalderens numerologi, ofte brukt som en amulett eller spådomshjelp. Hver celle tilsvarer en mystisk bokstav eller et annet symbol. Lest sammen langs en bestemt linje, formidlet disse tegnene okkulte meldinger. Tallene som utgjør fødselsdatoen ble plassert i cellene på kvadratet og deretter dechiffrert avhengig av betydningen og plasseringen av tallene.

Blant pandiagonal, som de også kalles, skilles det ut djevelske magiske firkanter, symmetriske - ideelle. Den djevelske firkanten forblir djevelsk hvis du roterer den, reflekterer den, omorganiserer raden fra topp til bunn og omvendt, krysser ut en kolonne til høyre eller venstre og tildeler den til motsatt side. Det er fem transformasjoner totalt, diagrammet over sistnevnte er vist i figuren

Det er 48 4x4 djevelske firkanter med rotasjons- og refleksjonspresisjon. Hvis vi også tar i betraktning symmetrien med hensyn til toriske parallelle oversettelser, så gjenstår bare tre vesentlig forskjellige 4x4 djevelske firkanter:

Claude F. Bragdon, en berømt amerikansk arkitekt, oppdaget at ved å koble en etter en cellene med bare partall eller bare oddetall magiske ruter på en brutt linje, får vi i de fleste tilfeller et elegant mønster. Mønsteret han oppfant for ventilasjonsgitteret i taket til Chamber of Commerce i Rochester, New York, hvor han bodde, ble bygget fra den magiske brutte linjen til Lo-Shu talisman. Bragdon brukte "magiske linjer" som design for tekstiler, bokomslag, arkitektoniske dekorasjoner og dekorative hodeplagg.

Hvis du legger ut en mosaikk av identiske djevelske firkanter (hver rute må være tett ved siden av naboene), vil du få noe som en parkett, der tallene i en hvilken som helst gruppe med 4x4 celler vil danne en djevelsk firkant. Tallene i fire celler, som følger etter hverandre, uansett hvordan de er plassert - vertikalt, horisontalt eller diagonalt - summeres alltid til kvadratets konstant. Moderne matematikere kaller slike firkanter "perfekte".

LATINISK KVADRAT

En latinsk firkant er en type uregelmessig matematisk firkant fylt med n forskjellige symboler på en slik måte at alle n symboler vises i hver rad og hver kolonne (hver gang).

Latinske firkanter finnes for enhver n. Ethvert latinsk kvadrat er en multiplikasjonstabell (Cayley-tabell) av en kvasigruppe. Navnet «latinsk firkant» kommer fra Leonhard Euler, som brukte latinske bokstaver i stedet for tall i en tabell.

To latinske firkanter kalles ortogonal, hvis alle ordnede symbolpar (a,b) er forskjellige, der a er et symbol i en celle i det første latinske kvadratet, og b er et symbol i samme celle i det andre latinske kvadratet.

Ortogonale latinske kvadrater finnes for alle rekkefølgen bortsett fra 2 og 6. For at n er en potens av et primtall, er det et sett med n–1 parvise ortogonale latinske kvadrater. Hvis i hver diagonal av en latinsk firkant alle elementene er forskjellige, kalles en slik latinsk firkant diagonal. Par med ortogonale diagonale latinske firkanter finnes for alle rekkefølger bortsett fra 2, 3 og 6. Den latinske firkanten finnes ofte i planleggingsproblemer fordi tall ikke gjentas i rader og kolonner.

En firkant som består av par av elementer av to ortogonale latinske firkanter kalles Gresk-latinsk torg. Slike firkanter brukes ofte til å konstruere magiske firkanter og i komplekse planleggingsproblemer.

Mens han studerte gresk-latinske kvadrater, beviste Euler at kvadrater av andre orden ikke eksisterer, men kvadrater med 3, 4 og 5 rekkefølger ble funnet. Han fant ikke et eneste kvadrat av orden 6. Han antok at det ikke er noen kvadrater med jevn orden som ikke er delbare med 4 (det vil si 6, 10, 14 osv.). I 1901 bekreftet Gaston Terry hypotesen for den 6. orden med brute force. Men i 1959 ble hypotesen tilbakevist av E. T. Parker, R. C. Bowes og S. S. Shrickherd, som oppdaget et gresk-latinsk kvadrat i størrelsesorden 10.

POLYMINO ARTHUR CLARKE

Polyominoer - når det gjelder kompleksitet, tilhører de absolutt kategorien av de vanskeligste matematiske firkantene. Dette er hvordan science fiction-forfatter A. Clark skriver om ham - nedenfor er et utdrag fra boken "Earthly Empire". Det er åpenbart at Clark, som bodde på øya hans, bodde på Ceylon - og hans filosofi om atskillelse fra samfunnet er interessant i seg selv, ble interessert i underholdningen som guttens bestemor lærer, og ga den videre til oss. La oss foretrekke denne levende beskrivelsen fremfor de eksisterende systematiseringene, som kanskje formidler essensen, men ikke ånden i spillet.

"Du er en stor nok gutt nå, Duncan, og du vil kunne forstå dette spillet ... men det er mye mer enn et spill." I motsetning til bestemorens ord, var ikke Duncan imponert over spillet. Vel, hva kan du lage av fem hvite plastfirkanter?

"Først av alt," fortsatte bestemoren, "må du sjekke hvor mange forskjellige mønstre du kan sette sammen fra firkanter."

– Skal de ligge på bordet? – spurte Duncan.

– Ja, de burde ligge rørende. Du kan ikke overlappe en firkant med en annen.

Duncan begynte å legge ut rutene.

"Vel, jeg kan sette dem alle på en rett linje," begynte han. "Sånn... Og så kan jeg omorganisere to stykker og få bokstaven L... Og hvis jeg tar tak i den andre kanten, får jeg bokstaven U...”

Gutten fant raskt opp et halvt dusin kombinasjoner, så flere og oppdaget plutselig at de gjentok eksisterende.

– Kanskje jeg er dum, men det er alt.

Duncan savnet den enkleste figuren - et kors, for å lage det var det nok å legge ut fire firkanter på sidene av den femte, sentrale.

"De fleste begynner med korset," smilte bestemoren. "Etter min mening var du for forhastet med å erklære deg dum." Tenk bedre: kan det være noen andre tall?

Duncan flyttet konsentrert på rutene og fant tre figurer til, og sluttet så å lete.

"Det er definitivt over nå," sa han selvsikkert.

– Hva kan du si om en slik figur?

Etter å ha flyttet rutene litt, brettet bestemoren dem i form av en pukkelrygg bokstav F.

- Og her er en til.

Duncan følte seg som en fullstendig idiot, og bestemorens ord var som balsam på hans flau sjel:

– Du er bare flott. Bare tenk, jeg savnet bare to stykker. Og det totale antallet figurer er tolv. Ikke mer og ikke mindre. Nå kjenner du dem alle. Hvis du søker etter en evighet, vil du aldri finne en annen.

Bestemor feide fem hvite firkanter inn i et hjørne og la ut et dusin lyse, flerfargede plastbiter på bordet. Dette var de samme tolv figurene, men i ferdig form, og hver besto av fem ruter. Duncan var allerede klar til å gå med på at ingen andre figurer egentlig eksisterte.

Men siden bestemor la ut disse flerfargede stripene, betyr det at spillet fortsetter, og en annen overraskelse ventet på Duncan.

– Nå, Duncan, hør nøye. Disse figurene kalles "pentaminoes". Navnet kommer fra det greske ordet "penta", som betyr "fem". Alle figurer er like i areal, siden hver består av fem identiske firkanter. Det er tolv figurer, fem kvadrater, derfor vil det totale arealet være lik seksti kvadrater. Ikke sant?

- Hmm ja.

- Hør videre. Seksti er et herlig rundt tall som kan komponeres på flere måter. Det enkleste er å gange ti med seks. Denne boksen har et slikt område: den kan holde ti firkanter horisontalt og seks vertikalt. Derfor skal alle de tolv figurene passe inn i den. Enkelt, som en sammensatt bildegåte.

Duncan forventet en fangst. Bestemor elsket verbale og matematiske paradokser, og ikke alle var forståelige for hennes ti år gamle offer. Men denne gangen var det ingen paradokser. Bunnen av boksen var foret med seksti ruter, som betyr... Stopp! Området er et område, men figurene har forskjellige former. Prøv å få dem inn i en boks!

"Jeg overlater denne oppgaven til deg å løse på egen hånd," kunngjorde bestemoren, da han så hvordan han trist flyttet pentominoen langs bunnen av esken. "Tro meg, de kan settes sammen."

Snart begynte Duncan å tvile sterkt på bestemorens ord. Han klarte enkelt å få plass ti sifre i boksen, og en gang klarte han å presse inn en ellevte. Men konturene av det ufylte rommet falt ikke sammen med konturene til den tolvte figuren, som gutten snudde i hendene. Det var et kors, og den gjenværende figuren lignet bokstaven Z ...

Etter ytterligere en halvtime var Duncan allerede på grensen til fortvilelse. Bestemor var fordypet i en dialog med datamaskinen sin, men fra tid til annen så hun på den med interesse, som for å si: "Dette er ikke så lett som du trodde."

Ti år gammel var Duncan merkbart sta. De fleste av hans jevnaldrende ville ha gitt opp å prøve for lenge siden. (Bare flere år senere skjønte han at bestemoren hans elegant hadde gitt ham en psykologisk test.) Duncan varte i nesten førti minutter uten hjelp...

Så reiste bestemoren seg fra datamaskinen og bøyde seg over puslespillet. Fingrene hennes beveget formene U, X og L...

Bunnen av boksen var helt fylt! Alle brikkene i puslespillet var på de rette stedene.

– Selvfølgelig visste du svaret på forhånd! – Duncan trakk fornærmet.

- Svar? – spurte bestemoren: "Hvor mange måter tror du pentominoen kan plasseres i denne boksen?"

Her er den, en felle. Duncan tuslet rundt i nesten en time uten å finne en løsning, selv om han i løpet av denne tiden prøvde minst hundre alternativer. Han trodde det bare var én vei. Kan det være... tolv av dem? Eller mer?

– Så hvor mange måter tror du det kan være? – spurte bestemor igjen.

«Tjue,» utbrøt Duncan og tenkte at nå ville ikke bestemor ha noe imot det.

- Prøv igjen.

Duncan ante fare. Moroa viste seg å være mye mer utspekulert enn han trodde, og gutten bestemte seg klokelig for ikke å risikere det.

"Jeg vet faktisk ikke," sa han og ristet på hodet.

"Og du er en mottakelig gutt," smilte bestemoren igjen. "Intuisjon er en farlig guide, men noen ganger har vi ingen andre." Jeg kan glede deg: det er umulig å gjette det riktige svaret her. Det er over to tusen forskjellige måter å passe pentominoer i denne boksen. Mer presist, to tusen tre hundre og trettini. Og hva sier du til dette?

Det er usannsynlig at bestemoren hans lurte ham. Men Duncan var så frustrert over hans manglende evne til å finne en løsning at han ikke kunne la være å si:

- Jeg tror ikke!

Helen viste sjelden irritasjon. Da Duncan fornærmet henne på en eller annen måte, ble hun rett og slett kald og fjern. Men nå bare gliste bestemoren og banket noe på datamaskinens tastatur.

"Se her," foreslo hun.

Et sett med tolv flerfargede pentominoer dukket opp på skjermen, og fylte et ti ganger seks rektangel. Noen sekunder senere ble det erstattet av et annet bilde, hvor figurene mest sannsynlig var plassert annerledes (Duncan kunne ikke si noe sikkert, siden han ikke husket den første kombinasjonen). Snart endret bildet seg igjen, så igjen og igjen... Dette fortsatte helt til bestemoren stoppet programmet.

"Selv ved høy hastighet vil datamaskinen trenge fem timer for å gå gjennom alle metodene," forklarte bestemoren. "Du kan ta mitt ord for det: de er alle forskjellige." Hvis det ikke var for datamaskiner, tviler jeg på at folk ville ha funnet alle veiene gjennom den vanlige oppregningen av alternativer.

Duncan stirret lenge på de tolv villedende enkle figurene. Han fordøyde sakte bestemorens ord. Dette var den første matematiske åpenbaringen i livet hans. Det han så overilet anså som en vanlig barnelek begynte plutselig å utspille seg foran ham uendelige stier og horisonter, selv om selv det mest begavede ti år gamle barnet neppe ville kunne ane grenseløsheten i dette universet.

Men så var Duncans glede og ærefrykt passive. Den virkelige eksplosjonen av intellektuell nytelse skjedde senere, da han uavhengig fant sin første metode for å legge pentominoer. I flere uker bar Duncan en plastboks med seg overalt. Han brukte all fritiden på pentominoer. Figurene vil bli til Duncans personlige venner. Han kalte dem med bokstavene de lignet, selv om likheten i noen tilfeller var mer enn fjern. Fem figurer - F, I, L, P, N - var inkonsekvente, men de resterende syv gjentok sekvensen til det latinske alfabetet: T, U, V, W, X, Y, Z.

En dag, i en tilstand av enten geometrisk transe eller geometrisk ekstase, som aldri ble gjentatt, fant Duncan fem stylingalternativer på mindre enn en time. Kanskje ikke engang Newton, Einstein eller Chen Tzu, i sannhetens øyeblikk, følte seg nærmere knyttet til matematikkens guder enn Duncan Mackenzie.

Han innså snart, på egen hånd, uten bestemorens oppfordring, at en pentomino kunne plasseres i et rektangel med forskjellige sidestørrelser. Ganske enkelt fant Duncan flere alternativer for rektangler 5 x 12 og 4 x 15. Så led han i en hel uke med å prøve å passe tolv figurer inn i et lengre og smalere rektangel 3 x 20. Igjen og igjen begynte han å fylle det forræderske rommet og ... få hull i rektangelet og "ekstra" figurer.

Ødelagt besøkte Duncan sin bestemor, hvor en ny overraskelse ventet ham.

"Jeg er glad for eksperimentene dine," sa Helen. "Du utforsket alle mulighetene, og prøvde å utlede et generelt mønster." Dette er det matematikere alltid gjør. Men du tar feil: løsninger for et tre-til-tjue rektangel finnes. Det er bare to av dem, og hvis du finner en, vil du kunne finne den andre.

Inspirert av bestemorens ros fortsatte Duncan sin "jakt på pentominoer" med fornyet kraft. Etter nok en uke begynte han å forstå hvilken uutholdelig byrde han hadde lagt på skuldrene hans. Antallet måter tolv figurer kunne ordnes på var rett og slett forbløffende for Duncan. Dessuten hadde hver figur fire posisjoner!

Og igjen kom han til bestemoren sin og fortalte henne alle vanskelighetene sine. Hvis det bare var to alternativer for et 3 x 20 rektangel, hvor lang tid ville det ta å finne dem?

"Hvis du er så snill, så skal jeg svare deg," sa bestemoren "Hvis du oppførte deg som en hjerneløs datamaskin, gjorde et enkelt søk av kombinasjoner og brukte ett sekund på hver, ville du trenge ..." Her stoppet hun bevisst. «Du ville trenge mer enn seks millioner ... ja, mer enn seks millioner år.

Jordisk eller titanisk? Dette spørsmålet dukket umiddelbart opp i Duncans sinn. Men hva er forskjellen?

"Men du er annerledes enn en hjerneløs datamaskin," fortsatte bestemoren. "Du ser umiddelbart åpenbart uegnede kombinasjoner, og derfor trenger du ikke kaste bort tid på å sjekke dem." Prøv igjen.

Duncan adlød, allerede uten entusiasme og tro på suksess. Og så dukket han opp en strålende idé.

Karl ble umiddelbart interessert i pentomino og tok utfordringen. Han tok boksen med figurene fra Duncan og forsvant i flere timer.

Da Karl ringte ham, så vennen hans noe opprørt ut.

– Er du sikker på at dette problemet virkelig har en løsning? – spurte han.

- Helt sikker. Det er to av dem. Har du virkelig ikke funnet minst en? Jeg trodde du var god i matte.

"Tenk deg, jeg kan finne ut av det, det er derfor jeg vet hvor mye arbeid oppgaven din krever." Vi må sjekke... en million milliarder mulige kombinasjoner.

– Hvordan visste du at det er så mange av dem? – spurte Duncan, fornøyd med at han i det minste klarte å få vennen til å klø seg i hodet i forvirring.

Karl så sidelengs på et stykke papir fylt med noen diagrammer og tall.

– Hvis du ekskluderer uakseptable kombinasjoner og tar hensyn til symmetri og muligheten for rotasjon ... får du en faktoriell ... det totale antallet permutasjoner ... vil du fortsatt ikke forstå. Jeg får vist deg selve nummeret.

Han tok med seg et annet ark til kameraet, hvor en imponerende rekke tall ble avbildet i stor detalj:

1 004 539 160 000 000.

Duncan visste ingenting om faktorialer, men han var ikke i tvil om nøyaktigheten til Karls beregninger. Han likte veldig godt det lange nummeret.

"Så kommer du til å gi opp denne oppgaven?" – spurte Duncan forsiktig.

- Hva mer! Jeg ville bare vise deg hvor vanskelig det er.

Karls ansikt uttrykte dyster besluttsomhet. Etter å ha sagt disse ordene, besvimte han.

Dagen etter opplevde Duncan et av de største sjokkene i guttelivet. Karls utslitte ansikt, med blodskutte øyne, så på ham fra skjermen. Man følte at han hadde tilbrakt en søvnløs natt.

"Vel, det er alt," kunngjorde han med en sliten, men triumferende stemme.

Duncan trodde nesten ikke sine egne øyne. Det virket for ham som om sjansene for suksess var ubetydelige. Han overbeviste til og med seg selv om dette. Og plutselig... Foran ham lå et tre ganger tjue rektangel, fylt med alle de tolv pentomino-figurene.

Så byttet og snudde Karl brikkene i endene, og lot den sentrale delen være urørt. Fingrene hans skalv lett av tretthet.

"Dette er den andre løsningen," forklarte han. "Og nå skal jeg legge meg." Så god natt eller god morgen - hva enn du vil.

Den ydmykede Duncan så lenge på den mørklagte skjermen. Han visste ikke hvilken vei Karl beveget seg og famlet etter en løsning på gåten. Men han visste at vennen hans hadde gått seirende ut. Mot alle odds.

Han misunnet ikke vennens seier. Duncan elsket Karl for mye og gledet seg alltid over suksessene hans, selv om han selv ofte befant seg på den tapende siden. Men det var noe annerledes med min venns triumf i dag, noe nesten magisk.

Duncan så for første gang kraften til intuisjon. Han møtte sinnets mystiske evne til å bryte utover fakta og kaste forstyrrende logikk til side. I løpet av få timer fullførte Karl en kolossal jobb, og overgikk den raskeste datamaskinen.

Deretter lærte Duncan at alle mennesker har slike evner, men de bruker dem ekstremt sjelden - kanskje en gang i livet. I Karl fikk denne gaven en eksepsjonell utvikling... Fra det øyeblikket begynte Duncan å ta vennens resonnement på alvor, selv de mest latterlige og opprørende fra sunn fornufts synspunkt.

Dette var for tjue år siden. Duncan husket ikke hvor plast-pentomino-bitene var blitt av. Kanskje ble de igjen hos Karl.

Bestemors gave ble deres nye inkarnasjon, nå i form av biter av flerfarget stein. Den fantastiske, myk rosa granitten var fra Galileo-åsene, obsidianen var fra Huygensplatået, og pseudo-marmoren var fra Herschel-ryggen. Og blant dem... først trodde Duncan at han tok feil. Nei, det er slik det er: det var det sjeldneste og mest mystiske mineralet til Titan. Min bestemor lagde steinen pentomino-korset av titanitt. Dette blå-svarte mineralet med gyldne inneslutninger kan ikke forveksles med noe. Duncan hadde aldri sett så store stykker før og kunne bare gjette hva det kostet.

"Jeg vet ikke hva jeg skal si," mumlet han. "For en skjønnhet." Dette er første gang jeg har sett dette.

Han klemte bestemorens tynne skuldre og kjente plutselig at de skalv og hun klarte ikke å stoppe skjelvingen. Duncan holdt henne forsiktig i armene til skuldrene hennes sluttet å riste. I slike øyeblikk trengs ikke ord. Duncan forsto tydeligere enn før: han var den siste kjærligheten i det ødelagte livet til Helen Mackenzie. Og nå flyr han bort og lar henne være alene med minnene hennes.

STORT MAGISK KVADRAT

Den kinesiske matematikeren Yang Hui fra 1200-tallet var kjent med Pascals trekant (aritmetisk trekant). Han etterlot en beskrivelse av metoder for å løse ligninger av 4. og høyere grader; det er regler for å løse en komplett kvadratisk ligning, summere progresjoner og metoder for å konstruere magiske kvadrater. Han klarte å konstruere et magisk kvadrat av sjette orden, og sistnevnte viste seg å være nesten assosiativ (i den gir bare to par sentralt motsatte tall ikke summen av 37).

Benjamin Franklin konstruerte et kvadrat på 16x16, som i tillegg til å ha en konstant sum på 2056 i alle rader, kolonner og diagonaler, hadde en ekstra egenskap. Hvis vi skjærer en 4x4 firkant fra et papirark og legger dette arket på en stor firkant slik at 16 celler av den større firkanten faller inn i denne spalten, vil summen av tallene som vises i denne spalten, uansett hvor vi legger den. , vil være den samme - 2056.

Det mest verdifulle med denne firkanten er at det er ganske enkelt å forvandle den til en perfekt magisk firkant, mens det ikke er en lett oppgave å konstruere perfekte magiske firkanter. Franklin kalte dette torget "den mest sjarmerende magien av alle de magiske firkantene som noen gang er skapt av trollmenn."

MAGIC SQUARE, en kvadratisk tabell med heltall der summene av tallene langs en hvilken som helst rad, hvilken som helst kolonne og hvilken som helst av de to hoveddiagonalene er lik det samme tallet.

Det magiske torget er av gammel kinesisk opprinnelse. Ifølge legenden, under keiser Yus regjeringstid (ca. 2200 f.Kr.), dukket en hellig skilpadde opp fra vannet i Yellow River (Yellow River), med mystiske hieroglyfer innskrevet på skallet (fig. 1, EN), og disse tegnene er kjent som lo-shu og tilsvarer det magiske kvadratet vist i fig. 1, b. På 1000-tallet De lærte om magiske firkanter i India, og deretter i Japan, hvor på 1500-tallet. Omfattende litteratur har blitt viet til magiske firkanter. Europeere ble introdusert for magiske firkanter på 1400-tallet. Den bysantinske forfatteren E. Moschopoulos. Den første firkanten oppfunnet av en europeer anses å være kvadratet til A. Durer (fig. 2), avbildet i hans berømte gravering Melankoli 1. Datoen for opprettelsen av graveringen (1514) er angitt med tallene i de to sentrale cellene på den nederste linjen. Ulike mystiske egenskaper ble tilskrevet magiske firkanter. På 1500-tallet Cornelius Heinrich Agrippa konstruerte firkanter av 3., 4., 5., 6., 7., 8. og 9. orden, som var assosiert med astrologien til de 7 planetene. Det ble antatt at en magisk firkant gravert på sølv beskyttet mot pesten. Selv i dag, blant attributtene til europeiske spåmenn, kan du se magiske firkanter.

På 1800- og 1900-tallet. interessen for magiske firkanter blusset opp med fornyet kraft. De begynte å bli studert ved å bruke metodene for høyere algebra og operasjonell kalkulus.

Hvert element i en magisk firkant kalles en celle. Et kvadrat hvis side består av n celler, inneholder n 2 celler og kalles et kvadrat n-te orden. De fleste magiske firkanter bruker den første n påfølgende naturlige tall. Sum S tall i hver rad, hver kolonne og på en hvilken som helst diagonal kalles kvadratkonstanten og er lik S = n(n 2 + 1)/2. Det er bevist det nі 3. For en firkant av 3. orden S= 15, 4. orden – S= 34, 5. orden – S = 65.

De to diagonalene som går gjennom midten av plassen kalles hoveddiagonalene. En stiplet linje er en diagonal som, etter å ha nådd kanten av kvadratet, fortsetter parallelt med det første segmentet fra motsatt kant (en slik diagonal dannes av de skraverte cellene i fig. 3). Celler som er symmetriske rundt midten av kvadratet kalles skjevsymmetriske. Dette er for eksempel celler en Og b i fig. 3.

Magiske firkanter av ulik rekkefølge kan konstrueres ved å bruke metoden til et fransk geometer fra 1600-tallet. A. de la Lubera. La oss vurdere denne metoden ved å bruke eksempelet på en 5. ordens firkant (fig. 4). Tallet 1 er plassert i den midtre cellen i den øverste raden. Alle naturlige tall er ordnet i naturlig rekkefølge syklisk fra bunn til topp i diagonale celler fra høyre til venstre. Etter å ha nådd den øverste kanten av firkanten (som i tilfellet med nummer 1), fortsetter vi å fylle diagonalen fra den nederste cellen i neste kolonne. Etter å ha nådd høyre kant av firkanten (nummer 3), fortsetter vi å fylle diagonalen som kommer fra venstre celle på linjen over. Etter å ha nådd en fylt celle (nummer 5) eller et hjørne (nummer 15), går banen ned en celle, hvoretter fyllingsprosessen fortsetter.

Metoden til F. de la Hire (1640–1718) er basert på to originale ruter. I fig. Figur 5 viser hvordan denne metoden brukes til å konstruere et 5. ordens kvadrat. Tallene fra 1 til 5 legges inn i cellen i den første ruten slik at tallet 3 gjentas i cellene i hoveddiagonalen som går oppover til høyre, og ikke et enkelt tall vises to ganger i samme rad eller i samme kolonne. Vi gjør det samme med tallene 0, 5, 10, 15, 20 med den eneste forskjellen at tallet 10 nå gjentas i cellene i hoveddiagonalen, fra topp til bunn (fig. 5, b). Celle-for-celle summen av disse to kvadratene (fig. 5, V) danner en magisk firkant. Denne metoden brukes også til å konstruere kvadrater av jevn rekkefølge.

Hvis du vet en måte å konstruere rekkefølgen på m og bestille n, så kan vi konstruere et kvadrat med orden mґ n. Essensen av denne metoden er vist i fig. 6. Her m= 3 og n= 3. Et større kvadrat av 3. orden (med tall markert med primtall) er konstruert ved hjelp av de la Loubert-metoden. I cellen med tallet 1ў (den sentrale cellen i den øverste raden) passer en firkant av 3. orden fra tallene fra 1 til 9, også konstruert etter de la Lubert-metoden. I cellen med tallet 2ў (til høyre i bunnlinjen) passer en firkant av 3. orden med tall fra 10 til 18; i cellen med tallet 3ў - et kvadrat med tall fra 19 til 27, etc. Som et resultat får vi en firkant av 9. orden. Slike firkanter kalles kompositt.

MAGISK KVADRAT
en kvadratisk tabell med heltall der summene av tallene langs en hvilken som helst rad, hvilken som helst kolonne og hvilken som helst av de to hoveddiagonalene er lik det samme tallet. Det magiske torget er av gammel kinesisk opprinnelse. I følge legenden, under keiser Yus regjeringstid (ca. 2200 f.Kr.), dukket en hellig skilpadde opp fra vannet i Yellow River (Yellow River), på hvis skall mystiske hieroglyfer var innskrevet (fig. 1a), og disse tegnene er kjent som lo-shu og tilsvarer det magiske kvadratet vist i fig. 1, b. På 1000-tallet De lærte om magiske firkanter i India, og deretter i Japan, hvor på 1500-tallet. Omfattende litteratur har blitt viet til magiske firkanter. Europeere ble introdusert for magiske firkanter på 1400-tallet. Den bysantinske forfatteren E. Moschopoulos. Den første firkanten oppfunnet av en europeer anses å være kvadratet til A. Durer (fig. 2), avbildet i hans berømte gravering Melancholy 1. Datoen for opprettelsen av graveringen (1514) er angitt med tallene i de to sentrale cellene på bunnlinjen. Ulike mystiske egenskaper ble tilskrevet magiske firkanter. På 1500-tallet Cornelius Heinrich Agrippa konstruerte firkanter av 3., 4., 5., 6., 7., 8. og 9. orden, som var assosiert med astrologien til de 7 planetene. Det ble antatt at en magisk firkant gravert på sølv beskyttet mot pesten. Selv i dag, blant attributtene til europeiske spåmenn, kan du se magiske firkanter.

På 1800- og 1900-tallet. interessen for magiske firkanter blusset opp med fornyet kraft. De begynte å bli studert ved å bruke metodene for høyere algebra og operasjonell kalkulus. Hvert element i en magisk firkant kalles en celle. Et kvadrat hvis side består av n celler inneholder n2 celler og kalles et kvadrat av n. orden. De fleste magiske firkanter bruker de første n påfølgende naturlige tallene. Summen av S-tall i hver rad, hver kolonne og på en hvilken som helst diagonal kalles kvadratkonstanten og er lik S = n(n2 + 1)/2. Det er bevist at n = 3. For et 3. ordens kvadrat S = 15, 4. orden - S = 34, 5. orden - S = 65. De to diagonalene som går gjennom midten av kvadratet kalles hoveddiagonalene. En stiplet linje er en diagonal som, etter å ha nådd kanten av kvadratet, fortsetter parallelt med det første segmentet fra motsatt kant (en slik diagonal dannes av de skraverte cellene i fig. 3). Celler som er symmetriske rundt midten av kvadratet kalles skjevsymmetriske. Dette er for eksempel cellene a og b i fig. 3.

Reglene for å konstruere magiske ruter er delt inn i tre kategorier avhengig av om rekkefølgen på ruten er oddetall, lik to ganger et oddetall eller lik fire ganger et oddetall. En generell metode for å konstruere alle kvadrater er ukjent, selv om forskjellige skjemaer er mye brukt, hvorav noen vil vi vurdere nedenfor. Magiske firkanter av ulik rekkefølge kan konstrueres ved å bruke metoden til et fransk geometer fra 1600-tallet. A. de la Lubera. La oss vurdere denne metoden ved å bruke eksempelet på en 5. ordens firkant (fig. 4). Tallet 1 er plassert i den midtre cellen i den øverste raden. Alle naturlige tall er ordnet i naturlig rekkefølge syklisk fra bunn til topp i diagonale celler fra høyre til venstre. Etter å ha nådd den øverste kanten av firkanten (som i tilfellet med nummer 1), fortsetter vi å fylle diagonalen fra den nederste cellen i neste kolonne. Etter å ha nådd høyre kant av firkanten (nummer 3), fortsetter vi å fylle diagonalen som kommer fra venstre celle på linjen over. Etter å ha nådd en fylt celle (nummer 5) eller et hjørne (nummer 15), går banen ned en celle, hvoretter fyllingsprosessen fortsetter.

Metoden til F. de la Hire (1640-1718) er basert på to originale ruter. I fig. Figur 5 viser hvordan denne metoden brukes til å konstruere et 5. ordens kvadrat. Tallene fra 1 til 5 legges inn i cellen i den første ruten slik at tallet 3 gjentas i cellene i hoveddiagonalen som går oppover til høyre, og ikke et enkelt tall vises to ganger i samme rad eller i samme kolonne. Vi gjør det samme med tallene 0, 5, 10, 15, 20 med den eneste forskjellen at tallet 10 nå gjentas i cellene i hoveddiagonalen, fra topp til bunn (fig. 5, b). Celle-for-celle summen av disse to rutene (fig. 5c) danner en magisk firkant. Denne metoden brukes også til å konstruere kvadrater av jevn rekkefølge.

Hvis du vet hvordan du konstruerer kvadrater av orden m og orden n, så kan du konstruere et kvadrat av orden mґn. Essensen av denne metoden er vist i fig. 6. Her er m = 3 og n = 3. Et større kvadrat av 3. orden (med tall markert med primtall) er konstruert ved hjelp av de la Loubert-metoden. I cellen med tallet 1ў (den sentrale cellen i den øverste raden) passer en firkant av 3. orden fra tallene fra 1 til 9, også konstruert etter de la Lubert-metoden. I cellen med tallet 2ў (til høyre i bunnlinjen) passer en firkant av 3. orden med tall fra 10 til 18; i cellen med tallet 3ў - et kvadrat med tall fra 19 til 27, etc. Som et resultat får vi en firkant av 9. orden. Slike firkanter kalles kompositt.

Colliers leksikon. – Åpent samfunn. 2000 .

Se hva "MAGIC SQUARE" er i andre ordbøker:

En firkant delt inn i et likt antall n av kolonner og rader, med de første n2 naturlige tallene innskrevet i de resulterende cellene, som summeres til det samme tallet for hver kolonne, hver rad og to store diagonaler... Stor encyklopedisk ordbok

MAGIC SQUARE, en firkantet MATRIX, delt inn i celler og fylt med tall eller bokstaver på en bestemt måte, og fikser en spesiell magisk situasjon. Den vanligste bokstavkvadraten er SATOR, som består av ordene SATOR, AREPO,... ... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok

Et kvadrat delt inn i et likt antall n av kolonner og rader, med naturlige tall fra 1 til n2 innskrevet i de resulterende cellene, som summerer seg til det samme antallet for hver kolonne, hver rad og to store diagonaler. I fig. eksempel på M. k. s... ... Naturvitenskap. encyklopedisk ordbok

En magisk eller magisk firkant er en kvadratisk tabell fylt med tall på en slik måte at summen av tallene i hver rad, hver kolonne og på begge diagonalene er den samme. Hvis summene av tall i et kvadrat er like bare i rader og kolonner, så ... Wikipedia

En firkant delt inn i et likt antall n av kolonner og rader, med de første n2 naturlige tallene innskrevet i de resulterende cellene, som summerer seg til samme tall for hver kolonne, hver rad og to store diagonaler. Bildet viser et eksempel... ... encyklopedisk ordbok

En firkant delt inn i et likt antall n av kolonner og rader, med de første n2 naturlige tallene innskrevet i de resulterende cellene, som legger opp til hver kolonne, hver rad og to store diagonaler det samme antallet [lik ... ... Stor sovjetisk leksikon

En kvadratisk tabell med heltall fra 1 til n2, som tilfredsstiller følgende betingelser: hvor s=n(n2+1)/2. Mer generelle matematiske ligninger vurderes også, der det ikke kreves at noe tall a skal være unikt karakterisert av et par rester (a, b) modulo n(siffer... Matematisk leksikon

Bok En firkant delt inn i deler, som hver inneholder et tall som summeres til samme tall sammen med andre horisontalt, vertikalt eller diagonalt. BTS, 512… Stor ordbok med russiske ordtak

- (gresk magikos, fra magos magiker). Magisk, relatert til magi. Ordbok med utenlandske ord inkludert i det russiske språket. Chudinov A.N., 1910. MAGISK magi. Ordbok med utenlandske ord inkludert i det russiske språket. Pavlenkov F., 1907 ... Ordbok for utenlandske ord i det russiske språket

Det er en tredimensjonal versjon av den magiske firkanten. En tradisjonell (klassisk) magisk kube av orden n er en kube med dimensjonene n×n×n, fylt med ulike naturlige tall fra 1 til n3 slik at summene av tall i en av 3n2-radene, ... ... Wikipedia

Bøker

Magic Square, Irina Bjorno, "Magic Square" er en samling av historier og noveller skrevet i stil med magisk realisme, der virkeligheten er tett sammenvevd med magi og fantasi, og danner en ny, magisk stil -... Kategori: Skrekk og mystikk Utgiver: Publishing Solutions, eBok(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Introduksjon

Antikkens store vitenskapsmenn anså kvantitative relasjoner for å være grunnlaget for verdens essens. Derfor opptok tall og deres forhold menneskehetens største sinn. "I ungdomsdagene moret jeg meg på fritiden med å lage... magiske firkanter," skrev Benjamin Franklin. En magisk firkant er en firkant hvis sum av tall i hver horisontale rad, i hver vertikale rad og langs hver diagonal er den samme.

Noen fremragende matematikere viet arbeidet sitt til magiske firkanter, og resultatene de oppnådde påvirket utviklingen av grupper, strukturer, latinske firkanter, determinanter, partisjoner, matriser, sammenligninger og andre ikke-trivielle områder av matematikken.

Formålet med dette essayet er å bli kjent med ulike magiske firkanter, latinske firkanter og studere bruksområdene deres.

Magiske firkanter

En fullstendig beskrivelse av alle mulige magiske firkanter har ikke blitt oppnådd den dag i dag. Det er ingen magiske 2x2 ruter. Det er bare én 3x3 magisk firkant, siden andre 3x3 magiske firkanter oppnås fra den enten ved rotasjon rundt midten eller ved refleksjon rundt en av dens symmetriakser.

Det er 8 forskjellige måter å ordne naturlige tall fra 1 til 9 i en 3x3 magisk firkant:

9+5+1
9+4+2
8+6+2
8+5+2
8+4+3
7+6+2
7+5+3
6+5+4

I en 3x3 magisk firkant må den magiske konstanten 15 være lik summen av tre tall i 8 retninger: 3 rader, 3 kolonner og 2 diagonaler. Siden tallet i midten tilhører 1 rad, 1 kolonne og 2 diagonaler, er det inkludert i 4 av de 8 trillingene som summerer seg til den magiske konstanten. Det er bare ett slikt tall: det er 5. Derfor er tallet i midten av den 3x3 magiske firkanten allerede kjent: det er 5.

Tenk på tallet 9. Det er inkludert i bare 2 trillinger av tall. Vi kan ikke plassere den i et hjørne, siden hver hjørnecelle tilhører 3 trillinger: rad, kolonne og diagonal. Derfor må tallet 9 være i en celle ved siden av kvadratet i midten. På grunn av symmetrien til kvadratet spiller det ingen rolle hvilken side vi velger, så vi skriver 9 over tallet 5 i den sentrale cellen. På hver side av de ni i den øverste linjen kan vi bare skrive tallene 2 og 4. Hvilket av disse to tallene som vil være i øvre høyre hjørne og hvilke i venstre igjen, spiller ingen rolle, siden ett arrangement av tall går inn i en annen når den er speilvendt. De resterende cellene fylles ut automatisk. Vår enkle konstruksjon av en 3x3 magisk firkant beviser sin egenart.

Et slikt magisk torg var et symbol av stor betydning blant de gamle kineserne. Tallet 5 i midten betydde jord, og rundt den i streng balanse var ild (2 og 7), vann (1 og 6),

tre (3 og 8), metall (4 og 9).

Når størrelsen på kvadratet (antall celler) øker, øker antallet mulige magiske kvadrater av den størrelsen raskt. Det er 880 magiske ruter av orden 4 og 275 305 224 magiske ruter av orden 5. Dessuten var 5x5 ruter kjent tilbake i middelalderen. Muslimer, for eksempel, var veldig ærbødige om en slik firkant med tallet 1 i midten, og betraktet det som et symbol på Allahs enhet.

Pythagoras magiske kvadrat

Den store vitenskapsmannen Pythagoras, som grunnla den religiøse og filosofiske doktrinen som forkynte at kvantitative relasjoner var grunnlaget for tingenes essens, mente at menneskets essens også ligger i tallet - fødselsdatoen. Derfor, ved hjelp av det magiske kvadratet til Pythagoras, kan du kjenne karakteren til en person, graden av helse og potensialet hans, avsløre fordeler og ulemper og dermed identifisere hva som bør gjøres for å forbedre ham.

For å forstå hva det magiske kvadratet til Pythagoras er og hvordan dets indikatorer beregnes, vil jeg beregne det ved å bruke mitt eget eksempel. Og for å sikre at resultatene av beregningen virkelig samsvarer med den virkelige karakteren til en bestemt person, vil jeg først sjekke det på meg selv. For å gjøre dette vil jeg gjøre beregningen basert på min fødselsdato. Så min fødselsdato er 20.08.1986. La oss legge til tallene for dagen, måneden og fødselsåret (unntatt nuller): 2+8+1+9+8+6=34. Deretter legger vi sammen tallene for resultatet: 3+4=7. Så fra det første beløpet trekker vi det dobbelte av det første sifferet i fødselsdagen: 34-4=30. Og igjen legger vi til sifrene til det siste tallet:

3+0=3. Det gjenstår å gjøre de siste tilleggene - 1. og 3. og 2. og 4. summer: 34+30=64, 7+3=10. Vi fikk tallene 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

og lag en magisk firkant slik at alle disse tallene går inn i celle 1, alle toere inn i celle 2 osv. Null er ikke tatt med. Som et resultat vil kvadratet mitt se slik ut:

Firkantcellene betyr følgende:

Celle 1 - besluttsomhet, vilje, utholdenhet, egoisme.

1 - komplette egoister, streber etter å trekke ut maksimalt utbytte av enhver situasjon.
11 - en karakter nær egoistisk.
111 - "gyllen middelvei". Karakteren er rolig, fleksibel og sosial.
1111 - mennesker med sterk karakter, viljesterk. Menn med en slik karakter er egnet for rollen som militære fagfolk, og kvinner holder familien i knyttneven.
11111 - diktator, tyrann.
111111 - en grusom person, i stand til å gjøre det umulige; faller ofte under påvirkning av en eller annen idé.

Celle 2 - bioenergi, emosjonalitet, oppriktighet, sensualitet. Antallet toer bestemmer nivået av bioenergi.

Det er ingen toer - kanalen er åpen for en intensiv innsamling av bioenergi. Disse menneskene er veloppdragne og edle av natur.

2 - mennesker som er vanlige i bioenergetiske termer. Slike mennesker er veldig følsomme for endringer i atmosfæren.
22 - en relativt stor reserve av bioenergi. Slike mennesker er gode leger, sykepleiere og ordførere. I familien til slike mennesker er det sjelden noen som opplever nervøst stress.
222 er tegnet på en synsk.

Celle 3 - nøyaktighet, spesifisitet, organisering, ryddighet, punktlighet, renslighet, gjerrighet, tilbøyelighet til konstant "gjenoppretting av rettferdighet."

Økningen av treere forsterker alle disse egenskapene. Med dem er det fornuftig for en person å lete etter seg selv i vitenskapene, spesielt de eksakte. Overvekten av treere gir opphav til pedanter, personer i en sak.

Celle 4 - helse. Dette er forbundet med ekgregoren, det vil si energirommet utviklet av forfedrene og beskytter en person. Fraværet av firere indikerer at en person er syk.

4 - gjennomsnittlig helse, det er nødvendig å herde kroppen. Svømming og løping er anbefalte idretter.
44 - god helse.
444 og flere - mennesker med veldig god helse.

Celle 5 - intuisjon, klarsyn, som begynner å manifestere seg i slike mennesker allerede på nivå med tre femmere.

Det er ingen femmere - kommunikasjonskanalen med plass er stengt. Disse menneskene ofte

er feil.

5 - kommunikasjonskanalen er åpen. Disse menneskene kan riktig beregne situasjonen og få mest mulig ut av den.
55 - høyt utviklet intuisjon. Når de ser «profetiske drømmer», kan de forutsi hendelsesforløpet. Egnede yrker for dem er advokat, etterforsker.
555 - nesten klarsynt.
5555 - klarsynte.

Celle 6 - jordethet, materialitet, beregning, en forkjærlighet for kvantitativ utforskning av verden og mistillit til kvalitative sprang, og enda mer til åndelige mirakler.

Det er ingen seksere - disse menneskene trenger fysisk arbeid, selv om de som regel ikke liker det. De er utstyrt med ekstraordinær fantasi, fantasi og kunstnerisk smak. Subtile naturer, de er likevel i stand til å handle.

6 - kan engasjere seg i kreativitet eller eksakte vitenskaper, men fysisk arbeid er en forutsetning for eksistens.
66 - mennesker er veldig jordet, tiltrukket av fysisk arbeid, selv om det ikke er obligatorisk for dem; Mental aktivitet eller kunstneriske sysler er ønskelig.
666 er Satans tegn, et spesielt og illevarslende tegn. Disse menneskene har et høyt temperament, er sjarmerende og blir alltid sentrum for oppmerksomheten i samfunnet.
6666 - disse menneskene i sine tidligere inkarnasjoner fikk for mye forankring, de jobbet veldig hardt og kan ikke forestille seg livet uten arbeid. Hvis kvadratet deres inneholder

Niere, de trenger definitivt å engasjere seg i mental aktivitet, utvikle intellektet og i det minste få høyere utdanning.

Celle 7 - antall syvere bestemmer målet på talent.

7 - jo mer de jobber, jo mer får de senere.
77 - svært begavede, musikalske mennesker, har en subtil kunstnerisk smak, og kan ha en forkjærlighet for kunst.
777 - disse menneskene kommer som regel til jorden for en kort tid. De er snille, rolige og følsomme for enhver urettferdighet. De er følsomme, liker å drømme, og føler ikke alltid virkeligheten.
7777 er tegnet på en engel. Mennesker med dette tegnet dør i spedbarnsalderen, og hvis de lever, er livene deres konstant i fare.

Celle 8 - karma, plikt, forpliktelse, ansvar. Antallet på åtte bestemmer graden av pliktfølelse.

Det er ingen åttere - disse menneskene har en nesten fullstendig mangel på pliktfølelse.

8 - ansvarlig, samvittighetsfull, nøyaktig natur.
88 - disse menneskene har en utviklet følelse av plikt, de er alltid preget av ønsket om å hjelpe andre, spesielt de svake, syke og ensomme.
888 er et tegn på stor plikt, et tegn på tjeneste for folket. En linjal med tre åttere oppnår fremragende resultater.
8888 - disse menneskene har parapsykologiske evner og eksepsjonell følsomhet for de eksakte vitenskapene. Overnaturlige veier er åpne for dem.

Celle 9 - intelligens, visdom. Fraværet av ni er bevis på at mentale evner er ekstremt begrensede.

9 - disse menneskene må jobbe hardt hele livet for å gjøre opp for mangelen på intelligens.
99 - disse menneskene er smarte fra fødselen. De er alltid motvillige til å lære, fordi kunnskap kommer lett til dem. De er utstyrt med en sans for humor med et ironisk skjær og er selvstendige.
999 - veldig smart. Det legges ikke ned krefter på å lære i det hele tatt. Utmerkede samtalepartnere.
9999 - sannheten blir åpenbart for disse menneskene. Hvis de også har utviklet intuisjon, er de garantert mot feil i noen av deres bestrebelser. Med alt dette er de vanligvis ganske hyggelige, siden deres skarpe sinn gjør dem frekke, ubarmhjertige og grusomme.

Så, etter å ha tegnet det magiske kvadratet til Pythagoras og kjennskap til betydningen av alle kombinasjoner av tall som er inkludert i cellene, vil du være i stand til å vurdere kvalitetene til naturen din som Moder Natur har gitt.

latinske firkanter

Til tross for at matematikere hovedsakelig var interessert i magiske firkanter, fant latinske firkanter den største anvendelsen innen vitenskap og teknologi.

Et latinsk kvadrat er et kvadrat med nxn celler der tallene 1, 2,..., n er skrevet, og på en slik måte at alle disse tallene vises én gang i hver rad og hver kolonne. Figur 3 viser to slike 4x4 ruter. De har en interessant funksjon: hvis en firkant er lagt over en annen, viser alle par med resulterende tall seg å være forskjellige. Slike par med latinske firkanter kalles ortogonale.

Problemet med å finne ortogonale latinske firkanter ble først stilt av L. Euler, og i en slik underholdende formulering: «Blant de 36 offiserene er det like mange lansere, dragoner, husarer, kyrasserer, kavalerivakter og grenaderer, og i tillegg en likt antall generaler, oberster, majorer, kapteiner, løytnanter og andre løytnanter, og hver gren av militæret er representert av offiserer i alle seks ranger. Er det mulig å stille opp alle offiserene i en 6 x 6 firkant slik at det i hvilken som helst kolonne og hvilken som helst rang er offiserer i alle ranger?»

Euler klarte ikke å finne en løsning på dette problemet. I 1901 ble det bevist at en slik løsning ikke fantes. Samtidig beviste Euler at ortogonale par av latinske firkanter eksisterer for alle oddeverdier av n og for de partallsverdier av n som er delbare med 4. Euler antok at for de gjenværende verdiene av n, at er, hvis tallet n deles på 4 gir resten 2, er det ingen ortogonale kvadrater. I 1901 ble det bevist at det ikke er ortogonale kvadrater 6 6, og dette økte tilliten til gyldigheten av Eulers hypotese. Men i 1959, ved hjelp av en datamaskin, ble det først funnet ortogonale firkanter 10x10, deretter 14x14, 18x18, 22x22. Og så ble det vist at for alle n unntatt 6, er det nxn ortogonale firkanter.

Magiske og latinske firkanter er nære slektninger. La oss ha to ortogonale firkanter. La oss fylle cellene i et nytt kvadrat med samme dimensjoner som følger. La oss sette tallet n(a - 1)+b der, hvor a er tallet i en slik celle i det første kvadratet, og b er tallet i samme celle i det andre kvadratet. Det er lett å forstå at i det resulterende kvadratet vil summene av tall i radene og kolonnene (men ikke nødvendigvis på diagonalene) være de samme.

Teorien om latinske firkanter har funnet mange anvendelser både i selve matematikken og i dens anvendelser. La oss gi et eksempel. Anta at vi ønsker å teste 4 hvetesorter for avling i et gitt område, og vi ønsker å ta hensyn til påvirkningen av graden av sparsomhet av avlinger og påvirkningen av to typer gjødsel. For å gjøre dette vil vi dele en kvadratisk tomt i 16 tomter (fig. 4). Vi vil plante den første hvetesorten i tomter som tilsvarer den nedre horisontale stripen, den neste sorten i fire parseller som tilsvarer neste stripe osv. (i figuren er sorten angitt med farge). I dette tilfellet, la den maksimale tettheten av avlinger være i de plottene som tilsvarer den venstre vertikale kolonnen i figuren, og redusere når du flytter til høyre (i figuren tilsvarer dette en reduksjon i fargeintensitet). La tallene i cellene i bildet bety:

den første er antall kilo gjødsel av den første typen brukt på dette området, og den andre er mengden gjødsel av den andre typen brukt. Det er lett å forstå at i dette tilfellet realiseres alle mulige par av kombinasjoner av både variasjon og såtetthet og andre komponenter: variasjon og gjødsel av den første typen, gjødsel av den første og andre typen, tetthet og gjødsel av den andre typen.

Bruken av ortogonale latinske firkanter bidrar til å ta hensyn til alle mulige alternativer i eksperimenter innen landbruk, fysikk, kjemi og teknologi.

firkantet magi pythagoras latin

Konklusjon

Dette essayet undersøker problemstillinger knyttet til historien om utviklingen av et av spørsmålene i matematikk som har opptatt hodet til mange flotte mennesker - magiske firkanter. Til tross for at magiske firkanter i seg selv ikke har funnet bred anvendelse innen vitenskap og teknologi, inspirerte de mange ekstraordinære mennesker til å studere matematikk og bidro til utviklingen av andre grener av matematikken (teorien om grupper, determinanter, matriser, etc.).

De nærmeste slektningene til magiske firkanter, latinske firkanter, har funnet mange anvendelser både i matematikk og i dens anvendelser for å sette opp og behandle resultatene av eksperimenter. Sammendraget gir et eksempel på å sette opp et slikt eksperiment.

Abstraktet diskuterer også spørsmålet om det pytagoreiske torget, som er av historisk interesse og muligens nyttig for å tegne et psykologisk portrett av en person.

Bibliografi

1. Encyklopedisk ordbok for en ung matematiker. M., "Pedagogy", 1989.
2. M. Gardner "Time Travel", M., "Mir", 1990.
3. Kroppsøving og idrett nr. 10, 1998