1장. 평면과 공간의 벡터
§ 13. 하나의 직사각형 데카르트 좌표계에서 다른 좌표계로의 전환
이 주제를 두 가지 버전으로 고려할 것을 제안합니다.
1) I.I. Privalov "Analytical Geometry"(고등 기술 교육 기관용 교과서, 1966)의 교과서를 기반으로 함
II Privalov "해석 기하학"
§ 1. 좌표 변환 문제.
평면에서 점의 위치는 일부 좌표계에 상대적인 두 좌표에 의해 결정됩니다. 다른 좌표계를 선택하면 점의 좌표가 변경됩니다.
좌표 변환 작업은 한 좌표계에서 점의 좌표를 알면 다른 좌표계에서 좌표를 찾을 수 있습니다..
이 문제는 두 시스템에서 임의의 점의 좌표와 관련된 공식을 설정하고 이러한 공식의 계수에는 시스템의 상호 위치를 결정하는 상수 값이 포함되면 해결됩니다.
두 직교 좌표계가 주어진다고 하자 외치는 소리그리고 XO 1년(그림 68).
새로운 시스템의 위치 XO 1년기존 시스템에 비해 외치는 소리좌표가 알려지면 결정됩니다. ㅏ 그리고 비 새로운 시작 오 1기존 시스템과 각도에 따라 α 차축 사이 오그리고 약 1X. 로 표시 엑스그리고 ~에새 시스템에 상대적인 동일한 지점의 X 및 Y 좌표를 통해 이전 시스템에 상대적인 임의 지점 M의 좌표. 우리의 임무는 이전 좌표를 만드는 것입니다 엑스그리고 ~에새로운 X와 Y로 표현됩니다. 결과 변환 수식에는 분명히 다음 상수가 포함되어야 합니다. 가, 나 그리고 α .
우리는 두 가지 특수한 경우를 고려하여 이 일반적인 문제의 해결책을 얻을 것입니다.
1. 좌표의 원점은 변경되지만 축의 방향은 변경되지 않습니다( α = 0).
2. 좌표축의 방향은 변경되지만 좌표의 원점은 변경되지 않습니다( a = b = 0).
§ 2. 원산지 이전.
서로 다른 원점을 가진 두 개의 데카르트 좌표계가 주어진다고 하자. 영형그리고 오 1축의 동일한 방향(그림 69).
로 표시 ㅏ 그리고 비 새로운 시작의 좌표 약 1기존 시스템을 통해 엑스, 와이그리고 엑스, 와이-이전 시스템과 새 시스템에서 각각 임의의 점 M의 좌표. 축에 투영점 M 약 1X그리고 오, 뿐만 아니라 포인트 약 1축당 오, 우리는 축에 도착 오세 개의 점 오,그리고 아르 자형. 세그먼트 값 OA, 아칸소그리고 또는다음 관계로 관련됩니다.
| OA| + | AR | = | 또는 |. (1)
알아채기 | | OA| = ㅏ , | 또는 | = 엑스 , | AR | = | O1R1 | = 엑스, 우리는 평등 (1)을 다음 형식으로 다시 씁니다.
ㅏ + 엑스 = 엑스 또는 엑스 = 엑스 + ㅏ . (2)
유사하게, M을 투영하고 약 1 y축에서 다음을 얻습니다.
와이 = 와이 + 비 (3)
그래서, 이전 좌표는 새 좌표에 이전 시스템에 따른 새 원점 좌표를 더한 것과 같습니다.
공식 (2)와 (3)에서 새 좌표는 이전 좌표로 표현할 수 있습니다.
엑스 = 엑스 - 에이 , (2")
와이 = yb . (3")
§ 3. 좌표축의 회전.
동일한 원점을 가진 두 개의 데카르트 좌표계가 주어진다고 하자. 에 대한축의 방향이 다릅니다(그림 70).
허락하다 α 축 사이의 각도 오그리고 오. 로 표시 엑스, 와이 그리고 엑스, 와이이전 시스템과 새 시스템에서 각각 임의의 점 M의 좌표:
엑스 = | 또는 | , ~에 = | 오후 | ,
엑스= | 또는 1 |, 와이= | R 1M |.
끊어진 선을 고려하십시오. 또는 1MP축에 투영을 가져옵니다. 오. 점선의 투영이 닫는 부분의 투영과 같다는 것을 알면(I장, § 8) 다음과 같습니다.
또는 1MP = | 또는 |. (4)
반면에 파선의 투영은 링크의 투영의 합과 같습니다(Chapter I, § 8). 따라서 평등 (4)는 다음과 같이 작성됩니다.
등 또는 1+ PR R 1M+ PR 의원= | 또는 | (4")
방향이 지정된 세그먼트의 투영은 투영 축과 세그먼트가 있는 축 사이의 각도의 코사인을 곱한 값과 같기 때문에(I 장, § 8),
등 또는 1 = 엑스코사인 α
등 R 1M = 와이 cos(90° + α ) = - 와이죄 α ,
홍보 의원= 0.
따라서 평등(4")은 다음을 제공합니다.
엑스 = 엑스코사인 α - 와이죄 α . (5)
마찬가지로 동일한 파선을 축에 투영합니다. OU, 우리는에 대한 표현을 얻습니다 ~에. 실제로 다음이 있습니다.
등 또는 1+ PR R 1M+ PR 의원= 홍보 또는 = 0.
알아채기
등 또는 1 = 엑스코사인 ( α - 90°) = 엑스죄 α ,
등 R 1M = 와이코사인 α ,
홍보 의원 = - 와이 ,
가질 것이다:
엑스죄 α + 와이코사인 α - 와이 = 0,
와이 = 엑스죄 α + 와이코사인 α . (6)
공식 (5)와 (6)에서 새로운 좌표를 얻습니다. 엑스그리고 와이옛말로 표현 엑스 그리고 ~에 , 식 (5)와 (6)을 에 대해 풀면 엑스그리고 와이.
논평.공식 (5)와 (6)은 다르게 얻을 수 있습니다.
무화과에서. 71 우리는:
엑스 = OP = OM 코사인( α + φ ) = OM cos α 코사인 φ - 옴 죄 α 죄 φ ,
~에 = 오후 = OM 죄 ( α + φ ) = 옴 죄 α 코사인 φ + 옴 코스 α 죄 φ .
이후 (Ch. I, § 11) OM cos φ = 엑스, 옴 죄 φ =와이, 저것
엑스 = 엑스코사인 α - 와이죄 α , (5)
와이 = 엑스죄 α + 와이코사인 α . (6)
§ 4. 일반적인 경우.
원점과 축의 방향이 다른 두 직교 좌표계를 지정합니다(그림 72).
로 표시 ㅏ 그리고 비 새로운 시작의 좌표 에 대한, 이전 시스템에 따르면 α - 좌표축의 회전 각도 및 마지막으로 엑스, 와이 그리고 엑스, 와이- 이전 시스템과 새로운 시스템에 따라 각각 임의의 점 M의 좌표.
표현 엑스 그리고 ~에 ~을 통해 엑스그리고 와이, 우리는 보조 좌표계를 소개합니다 엑스 1 영형 1 와이 1 , 우리가 새로운 시작에 배치하는 시작 에 대한 1 , 이전 축의 방향과 일치하도록 축의 방향을 잡습니다. 허락하다 엑스 1과 와이 1은 이 보조 시스템에 대한 점 M의 좌표를 나타냅니다. 이전 좌표계에서 보조 좌표계로 전달하면 (§ 2):
엑스 = 엑스 1 + 에이 , y = y 1 +비 .
엑스 1 = 엑스코사인 α - 와이죄 α , 와이 1 = 엑스죄 α + 와이코사인 α .
교체 엑스 1과 와이 마지막 공식의 표현으로 이전 공식에서 1, 마침내 다음을 찾습니다.
엑스 = 엑스코사인 α - 와이죄 α + ㅏ
와이 = 엑스죄 α + 와이코사인 α + 비 (나)
공식 (I)은 특수한 경우로 §§ 2 및 3의 공식을 포함합니다. α = 0 공식 (I)로 변환
엑스 = 엑스 + ㅏ , 와이 = 와이 + 비 ,
그리고 에서 a = b = 0 우리는:
엑스 = 엑스코사인 α - 와이죄 α , 와이 = 엑스죄 α + 와이코사인 α .
공식 (I)에서 우리는 새로운 좌표를 얻습니다. 엑스그리고 와이옛말로 표현 엑스 그리고 ~에 방정식 (I)이 다음과 관련하여 풀 수 있는 경우 엑스그리고 와이.
우리는 공식 (I)의 매우 중요한 속성에 주목합니다. 엑스그리고 와이, 즉 형식:
엑스 = AX+BY+C, 와이 = ㅏ 1 엑스+비 1 Y+C 1 .
새로운 좌표를 쉽게 확인할 수 있습니다. 엑스그리고 와이옛말로 표현 엑스 그리고 ~에 또한 에 관한 1차 공식 엑스 그리고 와이.
GN Yakovlev "기하학"
§ 13. 하나의 직사각형 데카르트 좌표계에서 다른 좌표계로의 전환
직사각형 데카르트 좌표계를 선택하면 평면의 점과 순서가 있는 실수 쌍 사이에 일대일 대응이 설정됩니다. 이것은 평면의 각 점이 한 쌍의 숫자에 해당하고 각 실수 쌍이 단일 점에 해당함을 의미합니다.
하나 또는 다른 좌표계의 선택은 어떤 것에 의해 제한되지 않으며 각각의 경우에만 편의를 고려하여 결정됩니다. 종종 동일한 세트가 다른 좌표계에서 고려되어야 합니다. 다른 시스템에서 하나의 동일한 지점은 분명히 다른 좌표를 갖습니다. 서로 다른 좌표계의 점 집합(특히 원, 포물선, 직선)은 서로 다른 방정식으로 제공됩니다.
한 좌표계에서 다른 좌표계로 전환할 때 평면 점의 좌표가 어떻게 변환되는지 알아봅시다.
평면에 두 개의 직교 좌표계가 있다고 하자: O, 나는, j 그리고", 나는",j" (그림 41).
점 O와 기저 벡터에서 원점이 있는 첫 번째 시스템 나 그리고 제이 우리는 이전 것을 호출하는 데 동의하고 두 번째는 점 O "에서 시작하여 기본 벡터입니다. 나" 그리고 제이" - 새로운.
알려진 기존 시스템에 대한 새 시스템의 위치를 고려할 것입니다. 기존 시스템의 점 O"에 좌표( a;b ), 벡터 나" 벡터가 있는 양식 나 모서리 α . 모서리 α 시계 방향 이동의 반대 방향으로 계산합니다.
임의의 점 M을 고려하십시오. 이전 시스템에서 좌표를 ( x;y ), 새로운 것에서 - ( 엑스"; 와이" ). 우리의 임무는 점 M의 이전 좌표와 새 좌표 사이의 관계를 설정하는 것입니다.
점 O와 O", O"와 M, O, M을 쌍으로 연결합니다. 삼각형 규칙에 따라 다음을 얻습니다.
옴 > = OO" > + 옴 > . (1)
벡터를 분해하자 옴> 그리고 OO"> 기준 벡터 나 그리고 제이 , 그리고 벡터 옴> 기준 벡터 나" 그리고 제이" :
옴 > = 엑스 나+y 제이 , OO" > = ㅏ 나+비 제이 , 옴 > = 엑스" 나"+y" 제이 "
이제 평등 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
엑스 나+y 제이 = (ㅏ 나+비 제이 ) + (엑스" 나"+y" 제이 "). (2)
새로운 기저 벡터 나" 그리고 제이" 이전 기저 벡터 위로 확장 나 그리고 제이 다음과 같은 방법으로:
나" = 코사인 α 나 + 죄 α 제이 ,
제이" = 코사인 ( π / 2 + α ) 나 + 죄 ( π / 2 + α ) 제이 = - 죄 α 나 + 코사인 α 제이 .
찾은 표현으로 대체 나" 그리고 제이" 공식 (2)로 벡터 평등을 얻습니다.
엑스 나+y 제이 = ㅏ 나+비 제이 + 엑스"(코사인 α 나 + 죄 α 제이 ) + 에"(-죄 α 나 + 코사인 α 제이 )
두 개의 수치 평등에 해당:
|
엑스 = 에이 + 엑스"코사인 α
- 에"죄 α
, |
공식 (3)은 이전 좌표에 대해 원하는 표현을 제공합니다. 엑스그리고 ~에새로운 좌표를 통해 포인트 엑스"그리고 에". 이전 좌표의 관점에서 새 좌표에 대한 표현을 찾으려면 미지수와 관련하여 방정식(3)의 시스템을 푸는 것으로 충분합니다. 엑스"그리고 에".
따라서 원점을 점으로 이동할 때 점의 좌표( ㅏ; 비 ) 축을 각도만큼 회전 α 공식 (3)으로 변환됩니다.
좌표의 원점만 변경되고 축의 방향은 동일하게 유지되는 경우 공식 (3)에서 가정하면 α = 0, 우리는
공식 (5)는 회전 수식.
작업 1.이전 시스템에서 새로운 시작의 좌표를 (2; 3), 이전 시스템에서 점 A의 좌표를 (4; -1)로 설정합니다. 축의 방향이 동일하게 유지되는 경우 새 시스템에서 점 A의 좌표를 찾으십시오.
공식 (4)에 의해 우리는
답변. A(2;-4)
작업 2.이전 시스템 (-2; 1)에서 점 P의 좌표를 지정하고 축 방향이 동일한 새 시스템에서이 점의 좌표 (5; 3)를 지정하십시오. 기존 시스템에서 새로운 시작의 좌표를 찾으십시오.
그리고 공식 (4)에 따르면,
|
-
2= + 5 |
어디 ㅏ = - 7, 비 = - 2.
답변. (-7; -2).
작업 3.포인트 A는 새 시스템에서 좌표를 지정합니다(4; 2). 원점이 그대로 유지되고 구 시스템의 좌표축이 각도만큼 회전한 경우 구 시스템에서 이 점의 좌표를 찾습니다. α = 45°.
공식 (5)에 의해 우리는
작업 4.이전 시스템에서 점 A의 좌표(2 √3 ; - √3 ). 기존 시스템의 원점을 포인트(-1;-2)로 이동하고 축이 각도만큼 회전한 경우 새 시스템에서 이 포인트의 좌표를 찾습니다. α = 30°.
공식 (3)에 의해 우리는
이 연립방정식 풀기 엑스"그리고 에", 우리는 찾는다: 엑스" = 4, 에" = -2.
답변. A(4;-2).
작업 5.직선의 방정식이 주어지면 ~에 = 2엑스 - 6. 구좌표계에서 축을 1각도 회전시켜 얻은 새로운 좌표계에서 동일선의 방정식을 구한다. α = 45°.
이 경우 회전 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
방정식에서 직선 바꾸기 ~에 = 2엑스 - 6개의 이전 변수 엑스 그리고 ~에 새로운, 우리는 방정식을 얻습니다
√ 2 / 2 (엑스" + 와이") = 2 √ 2 / 2 (x"-y") - 6 ,
단순화 후 형식을 취합니다. 와이" = 엑스" / 3 - 2√2
좌표
- 이들은 허용된 좌표계에서 표면 또는 공간의 모든 지점의 위치를 결정하는 수량입니다. 좌표계는 좌표의 원점 및 계산 단위와 같이 필요한 수량을 읽기 위한 초기(원래) 점, 선 또는 평면을 설정합니다. 지형 및 측지학에서 지리적, 직사각형, 극좌표 및 양극 좌표계가 가장 많이 사용되었습니다.
지리적 좌표(그림 2.8)는 타원체(공)에서 지구 표면의 점 위치를 결정하는 데 사용됩니다. 이 좌표계에서 초기 자오선 평면과 적도 평면은 초기 좌표계입니다. 자오선은 주어진 점과 지구의 회전축을 통과하는 평면에 의한 타원체 단면의 선입니다.
평행선은 주어진 점을 통과하고 지구 축에 수직인 평면에 의한 타원체 단면의 선입니다. 평면이 타원체의 중심을 통과하는 평행선을 적도라고 합니다. 지구 표면에 있는 각 점을 통해 하나의 자오선과 하나의 평행선만 그릴 수 있습니다.
지리적 좌표
각도량: 경도 l 및 위도 j.
지리적 경도 l은 주어진 자오선의 평면(지점 B를 통과)과 초기 자오선의 평면 사이에 둘러싸인 이면각입니다. 초기(영) 자오선은 런던 시내 그리니치 천문대 본관 중앙을 통과하는 자오선을 취하였다. 점 B의 경우 경도는 각도 l = WCD로 결정됩니다. 경도는 동쪽과 서쪽의 양방향으로 본초 자오선에서 계산됩니다. 이와 관련하여 우리는 0°에서 180°까지 다양한 서경과 동경을 구별합니다.
지리적 위도
j는 적도면과 주어진 점을 지나는 추선이 이루는 각이다. 지구를 공으로 간주하면 점 B(그림 2.8)의 경우 위도 j는 각도 DCB에 의해 결정됩니다. 적도에서 북쪽으로 측정한 위도를 북쪽이라고 하고 남쪽에서 남쪽으로 측정하면 적도에서 0°에서 극에서 90°까지 다양합니다.
지리적 좌표는 천문 관측 또는 측지 측정에서 파생될 수 있습니다. 첫 번째 경우에는 천문학적이라고하고 두 번째 경우에는 측지학 (L-경도, B-위도)이라고합니다. 천문 관측에서 기준면에 점을 투영하는 것은 수직선, 측지 측정에서 법선에 의해 수행됩니다. 따라서 추선의 편차량에 따라 천문좌표와 측지좌표의 값이 달라진다.
서로 다른 상태에서 서로 다른 참조 타원체를 사용하면 서로 다른 초기 표면에 대해 계산된 동일한 점의 좌표가 달라집니다. 실제로 이것은 중대형 지도의 자오선과 평행선에 대한 지도 제작 이미지의 일반적인 변위로 표현됩니다.
직사각형 좌표
선형 수량이라고합니다-원래 방향에 대한 평면상의 점 위치를 결정하는 가로 좌표 및 세로 좌표.
(그림 2.9)
측지학 및 지형학에서는 직교 좌표계의 오른손 시스템이 채택됩니다. 이것은 수학에서 사용되는 왼쪽 좌표계와 구별됩니다. 초기 방향은 서로 교차하는 점 O를 원점으로 하는 서로 수직인 두 선입니다.
XX 직선(가로축)은 원점을 통과하는 자오선의 방향 또는 일부 자오선과 평행한 방향으로 정렬됩니다. 직선 YY(y축)는 x축에 수직인 점 O를 통과합니다. 이러한 시스템에서 평면의 한 점 위치는 좌표축에서 해당 점까지의 최단 거리에 의해 결정됩니다. 점 A의 위치는 수직선 Xa와 Ya의 길이에 의해 결정됩니다. 선분 Xa는 점 A의 가로 좌표라고 하고 Yа는 이 점의 세로 좌표입니다. 직사각형 좌표는 일반적으로 미터로 표시됩니다. 가로축과 세로축은 점 O에서 지형을 4등분으로 나눕니다(그림 2.9). 분기의 이름은 세계 국가의 허용된 지정에 따라 결정됩니다. 분기는 시계 방향으로 번호가 매겨집니다: I - SV; II-SE; III-SW; IV-NW.
테이블에서. 2.3은 서로 다른 분기에 위치한 점에 대한 가로 좌표 X와 세로 좌표 Y의 부호를 보여주고 그 이름이 주어집니다.
표 2.3
원점에서 위쪽에 위치한 점의 가로 좌표는 양수로 간주되고 그 아래에서 음수, 오른쪽에 위치한 점의 세로 좌표는 양수, 왼쪽은 음수입니다. 평평한 직사각형 좌표계는 평평한 것으로 간주할 수 있는 지구 표면의 제한된 영역에서 사용됩니다.
원점이 지형의 임의 지점인 좌표를 극좌표라고 합니다. 이 좌표계에서 방향 각도가 측정됩니다. 수평면 (그림 2.10)에서 극이라고하는 임의로 선택된 점 O를 통해 직선 OX가 그려집니다-극축.
그런 다음 임의의 점, 예를 들어 M의 위치는 반경 - 벡터 r1 및 방향 각도 a1 및 점 N - 각각 r2 및 a2에 의해 결정됩니다. 각도 a1 및 a2는 극축에서 시계 방향으로 반지름 벡터까지 측정됩니다. 극축은 임의로 위치하거나 극 O를 통과하는 자오선의 방향과 결합될 수 있습니다.
양극 좌표계(그림 2.11)는 직선으로 연결된 두 개의 선택된 고정 극점 O1과 O2입니다. 이 좌표계를 사용하면 두 개의 각도 b1과 b2, 두 개의 반경 벡터 r1과 r2 또는 이들의 조합을 사용하여 평면의 극축을 기준으로 점 M의 위치를 결정할 수 있습니다. 점 O1과 O2의 직교 좌표를 알면 점 M의 위치를 분석적으로 계산할 수 있습니다. 
쌀. 2.11
쌀. 2.12
지구 표면에 있는 지점의 높이입니다. 지구의 물리적 표면 지점의 위치를 결정하려면 계획된 좌표 X, Y 또는 l, j 만 아는 것만으로는 충분하지 않으며 세 번째 좌표 인 점 H의 높이가 필요합니다. 높이 점 H(그림 2.12)는 주어진 점(A´; B´´)에서 허용되는 주 레벨 표면 MN까지의 수직 방향을 따른 거리입니다. 점 높이의 수치를 표고라고 합니다. 주평면(MN)에서 측정한 높이를 절대높이(AA´; BB´´)라고 하고 임의로 선택한 수평면을 기준으로 결정한 높이를 조건부 높이(В´В´´)라고 합니다. 두 지점 사이의 높이 차이 또는 지구상의 두 지점을 통과하는 평평한 표면 사이의 수직 방향을 따른 거리를 상대 높이(В´В´´) 또는 이러한 지점 초과 h라고 합니다.
벨로루시 공화국에서는 1977년의 발트 해 높이 시스템이 채택되었으며 높이는 크론슈타트 발판의 0에서 핀란드만의 평균 수위와 일치하는 평평한 표면에서 계산됩니다.
여기 또 다른
결정을 위해측지학의 점 위치는 공간 직사각형, 측지 및 평면 직사각형 좌표를 사용합니다.
공간 직각좌표. 좌표계의 원점은 중앙에 위치 영형 지구 타원체(그림 2.2).
중심선 지감독타원체의 회전축을 따라 북쪽으로. 중심선 엑스초기 그리니치 자오선과 적도면의 교차점에 있습니다. 중심선 와이축에 수직으로 향함 지그리고 엑스동쪽으로.
측지 좌표. 점의 측지 좌표는 위도, 경도 및 높이입니다(그림 2.2).
측지 위도 포인트들 중각도라고 안에, 주어진 점을 통과하는 타원체 표면의 법선과 적도면에 의해 형성됩니다.
위도는 적도의 북쪽과 남쪽에서 0°에서 90°까지 측정되며 북쪽 또는 남쪽이라고 합니다. 북위는 양수로 간주되고 남위는 음수로 간주됩니다.
축을 통과하는 타원체의 단면 평면 온스, 호출 측지 자오선.
측지 경도 포인트들 중이면각이라고 함 엘, 초기(그리니치) 측지선 자오선과 주어진 지점의 측지선 자오선의 평면에 의해 형성됩니다.
경도는 동경 0° ~ 360° 또는 동경 0° ~ 180°(양수) 및 서경 0° ~ 180°(음수) 범위 내에서 본초 자오선에서 측정됩니다.
측지 높이포인트들 중그녀의 키입니다 시간지구의 타원체 표면 위.
공간 직사각형 좌표가 있는 측지 좌표는 다음 공식과 관련됩니다.
X=(N+H)코사인 비코사인 엘,
Y=(N+H)코사인 비죄 엘,
지=[(1-e 2)N+H] 죄 비,
어디 이자형는 자오선 타원의 첫 번째 이심률이고 N- 첫 번째 수직선의 곡률 반경. 해당없음/(1 - 이자형 2 죄 2 비) 1/2 .
측지 및 공간점의 직사각형 좌표는 위성 측정을 사용하고 알려진 좌표를 가진 점에 대한 측지 측정과 연결하여 결정됩니다.
와 함께 참고측지학에는 천문학적 위도와 경도도 있습니다. 천문 위도 j는 적도면과 주어진 점에서 수직선이 이루는 각도입니다. 천문 경도 l은 그리니치 자오선의 평면과 주어진 지점에서 수직선을 통과하는 천문 자오선 사이의 각도입니다. 천문 좌표는 천문 관측을 통해 지상에서 결정됩니다.
천문 좌표수직선의 방향이 타원체 표면에 대한 법선의 방향과 일치하지 않기 때문에 측지선과 다릅니다. 타원체 표면에 대한 법선 방향과 지구 표면의 주어진 지점에서 수직선 사이의 각도를 호출합니다. 추선.
측지 및 천문 좌표의 일반화는 다음과 같은 용어입니다. 지리적 좌표.
평면 직사각형 좌표. 공간 및 측지 좌표에서 엔지니어링 측지학 문제를 해결하기 위해 더 단순한 평면 좌표로 전환하여 평면에서 지형을 묘사하고 두 좌표로 점의 위치를 결정할 수 있습니다. 엑스그리고 ~에.
지구 표면이 볼록하기 때문에왜곡 없이 평면에 묘사하는 것은 불가능하며 평면 좌표의 도입은 왜곡이 너무 작아 무시할 수 있는 제한된 영역에서만 가능합니다. 러시아에서는 직사각형 좌표계가 채택되었으며 그 기초는 등각 가로 원통형입니다. 가우시안 투영. 타원체의 표면은 영역이라고 하는 부분으로 평면에 표시됩니다. 구역은 자오선으로 경계가 지정되고 북극에서 남쪽으로 확장되는 구형 이각형입니다(그림 2.3). 경도 영역의 크기는 6°입니다. 각 구역의 중심 자오선을 축 자오선이라고 합니다. 구역은 그리니치에서 동쪽으로 번호가 매겨져 있습니다.
숫자가 N인 영역의 축 자오선 경도는 다음과 같습니다.
l 0 \u003d 6 ° × N-3 °.
영역과 적도의 축 자오선평면에 직선으로 표시됩니다(그림 2.4). 축 자오선은 가로축으로 간주됩니다. 엑스, 적도 - y축 와이.그들의 교차점(점 영형)는 주어진 영역의 원점 역할을 합니다.
피하려면음의 좌표 값, 교차 좌표는 다음과 같습니다. 엑스 0 = 0, 와이 0 = 500km, 축 이동에 해당 엑스서쪽으로 500km.
점의 직교 좌표로 그것이 어느 영역에 있는지 판단할 수 있도록 와이왼쪽에는 좌표 영역의 번호가 지정됩니다.
예를 들어 점의 좌표를 보자 ㅏ다음과 같이 보입니다.
×A= 6,276,427m
y A= 12,428,566m
이 좌표는 다음을 나타냅니다.어느 시점에서 ㅏ서쪽 부분의 적도에서 6276427m 거리에 위치 ( 와이 < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
공간 직사각형의 경우, 러시아의 측지 및 평면 직사각형 좌표인 통합 좌표계 SK-95가 채택되어 국가 측지 네트워크의 지점에 의해 지상에 고정되고 1995년 당시 위성 및 지상 기반 측정에 구축되었습니다.
직각 좌표의 로컬 시스템.다양한 객체를 구성하는 동안 객체의 구성 및 후속 작업 중 사용 편의성을 기반으로 축의 방향과 좌표의 원점이 할당되는 로컬 (조건부) 좌표계가 자주 사용됩니다.
그래서, 촬영할 때기차역 축 ~에피켓이 증가하는 방향으로 주요 철도 트랙의 축을 따라 향하고 축 엑스- 여객역 건물의 축을 따라.
공사중교량 교차 축 엑스일반적으로 다리의 축과 축과 결합 와이직각 방향으로 갑니다.
공사중대규모 산업 및 민간 시설 축 엑스그리고 와이건설중인 건물의 축과 평행하게 향합니다.
응용 과학에서 대부분의 문제를 해결하려면 허용되는 좌표계 중 하나를 사용하여 결정되는 물체 또는 점의 위치를 알아야 합니다. 또한 한 지점의 고도 위치를 결정하는 고도 시스템도 있습니다.
좌표란?
좌표는 지형에서 점의 위치를 결정하는 데 사용할 수 있는 숫자 또는 리터럴 값입니다. 결과적으로 좌표계는 점이나 물체를 찾는 동일한 원칙을 가진 동일한 유형의 값 집합입니다.
점의 위치를 찾는 것은 많은 실제 문제를 해결하는 데 필요합니다. 측지학과 같은 과학에서는 주어진 공간에서 한 지점의 위치를 결정하는 것이 주요 목표이며 모든 후속 작업의 기반이됩니다.
일반적으로 대부분의 좌표계는 두 축으로만 제한되는 평면에서 점의 위치를 정의합니다. 3차원 공간에서 점의 위치를 결정하기 위해 높이 시스템도 사용됩니다. 그것의 도움으로 당신은 알아낼 수 있습니다 정확한 위치원하는 개체.
측지학에서 사용되는 좌표계에 대해 간단히
좌표계는 세 가지 값을 부여하여 영토의 한 지점 위치를 결정합니다. 계산 원리는 좌표계마다 다릅니다.
측지학에서 사용되는 주요 공간 좌표계:
- 측지학.
- 지리적.
- 극선.
- 직사각형.
- 구역 Gauss-Kruger 좌표.
모든 시스템에는 개체 및 범위의 위치에 대한 자체 시작점, 값이 있습니다.
측지 좌표
측지 좌표를 읽는 데 사용되는 주요 수치는 지구의 타원체입니다.
타원체는 지구본을 가장 잘 나타내는 3차원 압축 도형입니다. 지구본이 수학적으로 잘못된 도형이라는 사실 때문에 측지 좌표를 결정하는 데 대신 사용되는 것은 타원체입니다. 이는 표면에서 신체의 위치를 결정하기 위한 많은 계산의 구현을 용이하게 합니다.
측지 좌표는 측지 위도, 경도 및 고도의 세 가지 값으로 정의됩니다.
- 측지 위도는 시작이 적도면에 있고 끝이 원하는 지점에 그려진 수직선에 있는 각도입니다.
- 측지 경도는 제로 자오선에서 원하는 지점이 위치한 자오선까지 측정된 각도입니다.
- 측지 높이 - 주어진 점에서 지구 자전의 타원체 표면에 그려진 법선 값.
지리적 좌표
더 높은 측지학의 고정밀 문제를 해결하려면 측지 좌표와 지리적 좌표를 구분해야 합니다. 엔지니어링 측지학에 사용되는 시스템에서는 일반적으로 작업 공간이 작기 때문에 이러한 차이가 발생하지 않습니다.
타원체는 측지 좌표를 결정하는 기준면으로 사용되며 지오이드는 지리적 좌표를 결정하는 데 사용됩니다. 지오이드는 수학적으로 잘못된 수치로 실제 지구의 모습에 더 가깝습니다. 평평한 표면을 위해 그들은 평온한 상태에서 해수면 아래에서 계속되는 것을 취합니다.
측지학에서 사용되는 지리적 좌표계는 세 가지 값으로 공간에서 점의 위치를 설명합니다. 기준점을 그리니치라고도 부르기 때문에 경도는 측지선과 일치합니다. 그것은 런던 시내에 있는 같은 이름의 천문대를 통과합니다. 지오이드 표면에 그려진 적도에서 결정됩니다.
측지학에서 사용되는 지역 좌표계의 높이는 고요한 상태의 해수면에서 측정됩니다. 러시아 영토와 이전 연합 국가에서 높이가 결정되는 표시는 Kronstadt 발판입니다. 그것은 발트해의 수준에 위치하고 있습니다.
극좌표
측지학에 사용되는 극좌표계는 측정 결과의 다른 뉘앙스를 가지고 있습니다. 지형의 작은 영역에서 점의 상대적 위치를 결정하는 데 사용됩니다. 기준점은 소스로 표시된 모든 객체가 될 수 있습니다. 따라서 극좌표를 사용하면 지구의 영토에서 한 지점의 명확한 위치를 결정하는 것이 불가능합니다.
극좌표는 각도와 거리의 두 가지 수량으로 정의됩니다. 각도는 자오선의 북쪽 방향에서 주어진 지점까지 측정되어 공간에서의 위치를 결정합니다. 그러나 하나의 각도로는 충분하지 않으므로 반경 벡터가 도입됩니다. 즉, 서 있는 지점에서 원하는 물체까지의 거리입니다. 이 두 가지 옵션을 사용하여 로컬 시스템에서 지점의 위치를 결정할 수 있습니다.
일반적으로 이 좌표계는 작은 영역에서 수행되는 엔지니어링 작업에 사용됩니다.
직사각형 좌표
측지학에서 사용되는 직각 좌표계는 지형의 작은 영역에서도 사용됩니다. 시스템의 주요 요소는 기준이 되는 좌표축입니다. 점의 좌표는 가로축과 세로축에서 원하는 점까지 그은 수선의 길이로 구합니다.
x축의 북쪽 방향과 y축의 동쪽은 양수로, 남쪽과 서쪽은 음수로 간주됩니다. 표지판과 분기에 따라 공간에서 한 지점의 위치가 결정됩니다.
가우스 크루거 좌표
Gauss-Kruger 좌표 구역 시스템은 직사각형 시스템과 유사합니다. 차이점은 작은 지역뿐만 아니라 지구의 전체 영토에 적용될 수 있다는 것입니다.
실제로 Gauss-Kruger 영역의 직각 좌표는 지구본을 평면에 투영한 것입니다. 종이에 지구의 넓은 지역을 묘사하는 것은 실용적인 목적으로 발생했습니다. 전송 왜곡은 중요하지 않은 것으로 간주됩니다.
이 시스템에 따르면 지구는 경도에 따라 축 자오선을 중심으로 6도 구역으로 나뉩니다. 적도는 수평선을 따라 중앙에 있습니다. 결과적으로 60개의 이러한 영역이 있습니다.
60개 구역 각각에는 X의 세로축과 지구의 적도 Y 영역에서 가로좌표를 따라 측정된 자체 직교 좌표계가 있습니다. 전 세계 영토의 위치를 명확하게 결정하기 위해, 구역 번호는 X 및 Y 값 앞에 배치됩니다.
러시아의 x축 값은 일반적으로 양수이고 y 값은 음수일 수 있습니다. 가로축 값의 빼기 기호를 피하기 위해 각 구역의 축 자오선은 조건부로 서쪽으로 500m 이동합니다. 그러면 모든 좌표가 양수가 됩니다.
좌표계는 가능한 한 가우스에 의해 제안되었고 20세기 중반 크루거에 의해 수학적으로 계산되었습니다. 그 이후로 측지학에서 주요한 것 중 하나로 사용되었습니다.
높이 시스템
측지학에서 사용되는 좌표계와 높이 체계는 지구상의 한 지점의 위치를 정확하게 결정하는 데 사용됩니다. 절대 높이는 해수면 또는 원래의 다른 표면에서 측정됩니다. 또한 상대적인 높이가 있습니다. 후자는 원하는 지점에서 다른 지점까지의 초과분으로 계산됩니다. 결과의 후속 처리를 단순화하기 위해 로컬 좌표계에서 작업하는 데 사용하는 것이 편리합니다.
측지학에서 좌표계의 적용
위의 것 외에도 측지학에서 사용되는 다른 좌표계가 있습니다. 그들 각각은 장점과 단점이 있습니다. 이 위치를 결정하는 방법이 관련된 자체 작업 영역도 있습니다.
측지학에서 사용되는 좌표계가 가장 잘 사용되는 것을 결정하는 것이 작업의 목적입니다. 작은 지역에서 작업하려면 직각 좌표계와 극좌표계를 사용하는 것이 편리하고 대규모 문제를 해결하려면 지표면 전체를 덮을 수있는 시스템이 필요합니다.
기원
기원(기준점) 유클리드 공간에서 - 일반적으로 문자로 표시되는 특이점 에 대한, 다른 모든 점의 기준점으로 사용됩니다. 유클리드 기하학에서 좌표의 원점은 임의의 편리한 지점에서 선택할 수 있습니다.
원점에서 다른 점까지 그린 벡터를 반지름 벡터라고 합니다.
직교 좌표계
좌표의 원점은 각 축을 양의 반축과 음의 반축의 두 빔으로 나눕니다.
특히 숫자 축에 원점을 입력할 수 있습니다. 이런 의미에서 다양한 광범위한 양(시간, 온도 등)에 대한 좌표의 원점에 대해 이야기할 수 있습니다.
극좌표계
위키미디어 재단. 2010.
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서적
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