Sheshi magjik për 4 nga 20. Si funksionon katrori magjik

Kjo gjëegjëzë u përhap shpejt në të gjithë internetin. Mijëra njerëz filluan të pyesin veten se si funksionon sheshi magjik. Sot më në fund do të gjeni përgjigjen!

Misteri i sheshit magjik

Në fakt, kjo gjëegjëzë është mjaft e thjeshtë dhe e bërë me pavëmendjen njerëzore. Le të shohim se si funksionon katrori i zi magjik duke përdorur një shembull real:

Le të marrim me mend çdo numër nga 10 në 19. Tani le t'i zbresim shifrat përbërëse të tij nga ky numër. Për shembull, le të marrim 11. Zbrisni një nga 11 dhe pastaj një tjetër. Rezultati është 9. Nuk ka shumë rëndësi se cilin numër nga 10 në 19 merrni. Rezultati i llogaritjeve do të jetë gjithmonë 9. Numri 9 në "Sheshin Magjik" korrespondon me numrin e parë me foto. Nëse shikoni nga afër, mund të shihni se një numri shumë të madh numrash i janë caktuar të njëjtat fotografi.
Çfarë ndodh nëse merrni një numër në rangun nga 20 në 29? Ndoshta e keni marrë me mend tashmë vetë? E drejtë! Rezultati i llogaritjes do të jetë gjithmonë 18. Numri 18 korrespondon me pozicionin e dytë në diagonale me foto.
Nëse merrni një numër nga 30 në 39, atëherë, siç tashmë mund ta merrni me mend, do të dalë numri 27. Numri 27 gjithashtu korrespondon me numrin në diagonalen e "Sheshit Magjik" kaq të pashpjegueshëm.
Një algoritëm i ngjashëm mbetet i vërtetë për çdo numër nga 40 në 49, nga 50 në 59, e kështu me radhë.

Kjo do të thotë, rezulton se nuk ka rëndësi se çfarë numri keni hamendësuar - "Sheshi Magjik" do të hamendësojë rezultatin, sepse në qelizat e numëruara 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 dhe 81 ka në fakt i njëjti simbol.

Në fakt, ky mister mund të shpjegohet lehtësisht duke përdorur një ekuacion të thjeshtë:

Imagjinoni ndonjë numër dyshifror. Pavarësisht nga numri, ai mund të përfaqësohet si x*10+y. Dhjetrat veprojnë si "x", dhe njësitë veprojnë si "y".
Zbrisni numrat që e përbëjnë atë nga numri i fshehur. Shtoni ekuacionin: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
Numri që del si rezultat i llogaritjeve duhet të tregojë një simbol specifik në tabelë.

Nuk ka rëndësi se cili numër është në rolin e "x", në një mënyrë ose në një tjetër do të merrni një simbol, numri i të cilit do të jetë një shumëfish i nëntës. Për t'u siguruar që ka një simbol nën numra të ndryshëm, mjafton të shikoni tabelën dhe numrat 0,9,18,27,45,54,63,72,81 dhe numrat pasues.

SHESHI MAGJIK

Kina konsiderohet vendlindja e shesheve magjike. Në Kinë, ekziston mësimi i Feng Shui, i cili thotë se ngjyra, forma dhe vendosja fizike e çdo elementi në një hapësirë ndikon në rrjedhën e Qi, ose duke e ngadalësuar atë, duke e ridrejtuar ose duke e përshpejtuar, gjë që ndikon drejtpërdrejt në energji. nivelet e banorëve. Për të mësuar sekretet e botës, perënditë i dërguan perandorit Yu simbolin më të lashtë, sheshin Lo Shu (Lo - lumi).

SHESHI MAGJIK LO SHU

Legjenda thotë se rreth katër mijë vjet më parë, një breshkë e madhe, Shu, doli nga ujërat e stuhishme të lumit Luo. Njerëzit që bënin sakrifica në lumë panë breshkën dhe e njohën menjëherë si një hyjni. Konsideratat e të urtëve të lashtë iu dukën aq të arsyeshme perandorit Yu saqë ai urdhëroi që imazhi i një breshke të përjetësohej në letër dhe ta vuloste me vulën e tij perandorake. Përndryshe, si do të kishim ditur për këtë ngjarje?

Kjo breshkë ishte në fakt e veçantë sepse kishte një model të çuditshëm pikash në guaskën e saj. Pikat u shënuan në mënyrë të rregullt, gjë që i çoi filozofët e lashtë në idenë se katrori me numra në guaskën e breshkës shërben si model i hapësirës - një hartë e botës e përpiluar nga themeluesi mitik i qytetërimit kinez, Huang Di. Në fakt, shuma e numrave në kolonat, rreshtat dhe të dy diagonalet e katrorit është e njëjtë M = 15 dhe është e barabartë me numrin e ditëve në secilin prej 24 cikleve të vitit diellor kinez.

Numrat çift dhe tek alternojnë: 4 numra çift (të shkruar nga poshtë lart në rend zbritës) janë në katër qoshet, dhe 5 numra tek (të shkruar nga poshtë lart në rend rritës) formojnë një kryq në qendër të katrorit. Pesë elementët e kryqit pasqyrojnë tokën, zjarrin, metalin, ujin dhe pyllin. Shuma e çdo dy numrash të ndarë nga një qendër është e barabartë me numrin Ho Ti, d.m.th. dhjetë.

Numrat çift (simbolet e Tokës) të Lo Shu ishin shënuar në trupin e breshkës në formën e pikave të zeza, ose simboleve Yin, dhe numrave tek (simbolet e Parajsës) - në formën e pikave të bardha, ose simboleve Yang. Toka 1 (ose uji) është poshtë, zjarri 9 (ose qielli) është sipër. Është e mundur që imazhi modern i numrit 5, i vendosur në qendër të përbërjes, të jetë për shkak të simbolit kinez të dualitetit të Yang dhe Yin.

SHESHI MAGJIK NGA KHAJURAHO

Dhoma lindore

Magjia e Joseph Rudyard Kipling, i cili krijoi imazhet e Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan dhe, natyrisht, Tabaka, filloi në prag të shekullit të njëzetë. Gjysmë shekulli më parë, në shkurt 1838, një oficer i ri britanik i Inxhinierëve të Bengalit, T.S. Berti, i interesuar për bisedën e shërbëtorëve që mbanin palankinin e tij, devijoi nga rruga dhe u përplas me tempuj të lashtë në xhunglat e Indisë.

Në shkallët e tempullit Vishvanatha, oficeri gjeti një mbishkrim që dëshmon për lashtësinë e strukturave. Pas një kohe të shkurtër, gjeneralmajori energjik A. Cunningham hartoi plane të hollësishme për Khajuraho. Filluan gërmimet, që kulmuan me zbulimin e bujshëm të 22 tempujve. Tempujt u ngritën nga Maharajat e dinastisë së tyre Chandel. Pas rënies së mbretërisë së tyre, xhungla gëlltiti ndërtesat për një mijë vjet. Sheshi i rendit të katërt, i gjetur midis imazheve të perëndive dhe perëndeshave të zhveshura, ishte i mahnitshëm.

Jo vetëm që shumat e këtij katrori përgjatë rreshtave, kolonave dhe diagonaleve përputheshin dhe ishin të barabartë me 34. Ato gjithashtu përkonin përgjatë diagonaleve të thyera të formuara kur katrori paloset në një torus, dhe në të dy drejtimet. Për një magji të tillë numrash, katrorë të tillë quhen "djallëzor" (ose "pandiagonal", ose "nasik").

Sigurisht, kjo dëshmonte për aftësitë e pazakonta matematikore të krijuesve të tyre, të cilët ishin superiorë ndaj kolonialistëve. Atë që njerëzit në helmetat e bardha e ndjenë në mënyrë të pashmangshme.

SHESHI MAGJIK I DURERIT

Artisti i famshëm gjerman i fillimit të shekullit të 16-të, Albrecht Durer, krijoi sheshin e parë magjik 4x4 në artin evropian. Shuma e numrave në çdo rresht, kolonë, diagonale dhe gjithashtu, çuditërisht, në çdo tremujor (madje edhe në sheshin qendror) dhe madje shuma e numrave të qosheve është 34. Dy numrat e mesëm në rreshtin e poshtëm tregojnë datën e krijimit të pikturës (1514). Janë bërë korrigjime në kuadratet e mesme të kolonës së parë - numrat janë deformuar.

Në foton me miun okult me krahë Saturnin, katrori magjik është i përbërë nga inteligjenca me krahë Jupiteri, të cilët kundërshtojnë njëri-tjetrin. Katrori është simetrik, pasi shuma e çdo dy numrash të përfshirë në të, të vendosura në mënyrë simetrike në raport me qendrën e tij, është e barabartë me 17. Nëse mblidhni katër numrat e fituar nga lëvizja e kalorësit të shahut, do të merrni 34. Vërtet , ky shesh, me rregullin e tij të patëmetë, pasqyron melankolinë që ka kapur artistin.

Ëndrra e mëngjesit.

Evropianët u njohën me katrorët e mahnitshëm të numrave nga shkrimtari dhe gjuhëtari bizantin Moschopoulos. Vepra e tij ishte një ese e veçantë për këtë temë dhe përmbante shembuj të katrorëve magjikë të autorit.

SISTEMATIZIMI I SHAFREVE MAGJIKE

Në mesin e shekullit të 16-të. Në Evropë u shfaqën vepra në të cilat sheshet magjike u shfaqën si objekte të kërkimit matematikor. Kjo u pasua nga shumë vepra të tjera, veçanërisht nga matematikanë të tillë të famshëm, themeluesit e shkencës moderne, si Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessey, Euler, Gauss.

Magjike, ose një katror magjik, është një tabelë katrore e mbushur me n 2 numra në mënyrë të tillë që shuma e numrave në çdo rresht, çdo kolonë dhe në të dy diagonalet të jetë e njëjtë. Përkufizimi është i kushtëzuar, pasi të lashtët gjithashtu i lidhnin kuptimin, për shembull, ngjyrës.

Normale quhet një katror magjik i mbushur me numra të plotë nga 1 në n 2. Sheshet normale magjike ekzistojnë për të gjitha rendet përveç n = 2, megjithëse rasti n = 1 është i parëndësishëm - katrori përbëhet nga një numër i vetëm.

Shuma e numrave në çdo rresht, kolonë dhe diagonale quhet konstante magjike M. Konstanta magjike e një katrori magjik normal varet vetëm nga n dhe jepet me formulën

M = n (n 2 + 1) /2

Vlerat e para të konstantave magjike janë dhënë në tabelë

Nëse shuma e numrave në një katror është e barabartë vetëm në rreshta dhe kolona, atëherë quhet gjysmë magjike. Sheshi magjik quhet asociative ose simetrike, nëse shuma e çdo dy numrash të vendosur në mënyrë simetrike rreth qendrës së katrorit është e barabartë me n 2 + 1.

Ekziston vetëm një katror normal i rendit të tretë. Shumë njerëz e njihnin atë. Rregullimi i numrave në sheshin Lo Shu është i ngjashëm me emërtimet simbolike të shpirtrave në Kabala dhe shenjat e astrologjisë indiane.

Gjithashtu i njohur si sheshi i Saturnit. Disa shoqëri sekrete në mesjetë e shihnin atë si "Kabala e nëntë dhomave". Pa dyshim, hija e magjisë së ndaluar do të thoshte shumë për ruajtjen e imazheve të tij.

Ishte e rëndësishme në numerologjinë mesjetare, e përdorur shpesh si një amulet ose ndihmë për hamendje. Çdo qelizë korrespondon me një shkronjë mistike ose një simbol tjetër. Lexoni së bashku përgjatë një linje specifike, këto shenja përcillnin mesazhe okulte. Numrat që përbëjnë datën e lindjes vendoseshin në qelizat e katrorit dhe më pas deshifroheshin në varësi të kuptimit dhe vendndodhjes së numrave.

Ndër pandiagonalët, siç quhen edhe ata, dallohen sheshet magjike djallëzore, ato simetrike - ideale. Sheshi djallëzor mbetet djallëzor nëse e rrotulloni, reflektoni, rirregulloni rreshtin nga lart poshtë dhe anasjelltas, kaloni një kolonë djathtas ose majtas dhe caktoni atë në anën e kundërt. Janë pesë transformime gjithsej, diagrami i këtij të fundit është paraqitur në figurë

Ka 48 sheshe djallëzore 4x4 me saktësi rrotullimi dhe reflektimi. Nëse marrim parasysh edhe simetrinë në lidhje me përkthimet paralele torike, atëherë mbeten vetëm tre sheshe djallëzore 4x4 thelbësisht të ndryshme:

Claude F. Bragdon, një arkitekt i famshëm amerikan, zbuloi se duke lidhur një nga një qelizat vetëm me numra çift ose vetëm tek katrorët magjik në një vijë të thyer, në shumicën e rasteve marrim një model elegant. Modeli që ai shpiku për grilën e ventilimit në tavanin e Dhomës së Tregtisë në Rochester, Nju Jork, ku ai jetonte, u ndërtua nga linja e thyer magjike e hajmalisë Lo-Shu. Bragdoni përdori "linja magjike" si dizajne për pëlhura, kopertina librash, dekorime arkitekturore dhe kapele dekorative.

Nëse shtroni një mozaik me sheshe identike djallëzore (çdo katror duhet të jetë afër fqinjëve të tij), do të merrni diçka si një parket, në të cilin numrat në çdo grup qelizash 4x4 do të formojnë një katror djallëzor. Numrat në katër qeliza, që ndjekin njëri pas tjetrit, pavarësisht se si janë vendosur - vertikalisht, horizontalisht ose diagonalisht - gjithmonë mblidhen me konstantën e katrorit. Matematikanët modernë i quajnë katrorë të tillë "të përsosur".

KATROR LATINE

Një katror latin është një lloj katrori matematik i parregullt i mbushur me n simbole të ndryshme në mënyrë të tillë që të gjitha n simbolet të shfaqen në çdo rresht dhe çdo kolonë (secila një herë).

Katrore latine ekzistojnë për çdo n. Çdo katror latin është një tabelë shumëzimi (tabela Cayley) e një kuazigrupi. Emri "katror latin" vjen nga Leonhard Euler, i cili përdorte shkronja latine në vend të numrave në një tabelë.

Quhen dy katrorë latinë ortogonale, nëse të gjitha çiftet e renditura të simboleve (a, b) janë të ndryshme, ku a është një simbol në ndonjë qelizë të katrorit të parë latin, dhe b është një simbol në të njëjtën qelizë të katrorit të dytë latin.

Katrore latine ortogonale ekzistojnë për çdo rend, përveç 2 dhe 6. Për shkak se n është një fuqi e një numri të thjeshtë, ekziston një grup katrorësh latinë ortogonalë n–1 çift. Nëse në çdo diagonale të një katrori latin të gjithë elementët janë të ndryshëm, quhet katror i tillë latin diagonale. Çiftet e katrorëve latine diagonale ortogonale ekzistojnë për të gjitha rendet përveç 2, 3 dhe 6. Sheshi latin haset shpesh në problemet e planifikimit sepse numrat nuk përsëriten në rreshta dhe kolona.

Një katror i përbërë nga çifte elementësh të dy katrorëve latinë ortogonalë quhet Sheshi greko-latin. Sheshe të tillë shpesh përdoren për të ndërtuar katrorë magjikë dhe në probleme komplekse të planifikimit.

Gjatë studimit të katrorëve greko-latin, Euler vërtetoi se katrorët e rendit të dytë nuk ekzistojnë, por u gjetën katrorë me rend 3, 4 dhe 5. Ai nuk gjeti asnjë katror të rendit 6. Ai hodhi hipotezën se nuk ka katrorë të rendit çift që nuk janë të pjesëtueshëm me 4 (d.m.th., 6, 10, 14, etj.). Në vitin 1901, Gaston Terry konfirmoi hipotezën për rendin e 6-të me forcë brutale. Por në vitin 1959, hipoteza u hodh poshtë nga E. T. Parker, R. C. Bowes dhe S. S. Shrickherd, të cilët zbuluan një katror greko-latin të rendit 10.

POLYMINO ARTHUR CLARKE

Polyominoes - për nga kompleksiteti, ato sigurisht që i përkasin kategorisë së katrorëve më të vështirë matematikorë. Kështu shkruan për të shkrimtari i trillimeve shkencore A. Clark - më poshtë është një fragment nga libri "Earthly Empire". Është e qartë se Clark, duke jetuar në ishullin e tij, ai jetoi në Ceylon - dhe filozofia e tij e ndarjes nga shoqëria është interesante në vetvete, u interesua për argëtimin që mëson gjyshja e djalit dhe na e përcolli atë. Le ta parapëlqejmë këtë përshkrim të gjallë ndaj sistematizimeve ekzistuese, të cilat përcjellin, ndoshta, thelbin, por jo frymën e lojës.

"Ti je një djalë mjaft i madh tani, Duncan, dhe do të mund ta kuptosh këtë lojë... megjithatë, është shumë më tepër se një lojë." Ndryshe nga fjalët e gjyshes së tij, Duncan nuk i bëri përshtypje loja. Epo, çfarë mund të bëni nga pesë katrorë të bardhë plastike?

"Së pari," vazhdoi gjyshja, "duhet të kontrolloni se sa modele të ndryshme mund të bashkoni nga katrorët."

– A duhet të shtrihen në tavolinë? – pyeti Duncan.

– Po, ata duhet të gënjejnë duke prekur. Ju nuk mund të mbivendosni një katror me një tjetër.

Duncan filloi të shtronte sheshet.

"Epo, unë mund t'i vendos të gjitha në një vijë të drejtë," filloi ai. "Kështu... Dhe pastaj mund të riorganizoj dy pjesë dhe të marr shkronjën L... Dhe nëse kap skajin tjetër, marr shkronjën. Ju...”

Djali bëri shpejt një gjysmë duzinë kombinimesh, pastaj më shumë dhe papritmas zbuloi se ata po përsërisnin ato ekzistuese.

- Ndoshta jam budalla, por kaq.

Duncan humbi figurat më të thjeshta - një kryq, për të krijuar të cilin mjaftoi të vendoseshin katër sheshe në anët e të pestës, qendrore.

"Shumica e njerëzve fillojnë me kryqin," buzëqeshi gjyshja. "Sipas mendimit tim, ti ishe shumë i nxituar për ta deklaruar veten budalla." Mendoni më mirë: a mund të ketë ndonjë shifër tjetër?

Duke lëvizur në mënyrë të përqendruar katrorët, Duncan gjeti tre figura të tjera dhe më pas ndaloi së kërkuari.

"Padyshim që ka mbaruar tani," tha ai me besim.

– Çfarë mund të thuash për një figurë të tillë?

Pasi i kishte lëvizur pak katrorët, gjyshja i palosi në formën e shkronjës F me gunga.

- Dhe këtu është një tjetër.

Duncan u ndje si një idiot i plotë dhe fjalët e gjyshes së tij ishin si një balsam në shpirtin e tij të turpëruar:

– Ti je thjesht i mrekullueshëm. Vetëm mendoni, më humbën vetëm dy pjesë. Dhe numri i përgjithshëm i shifrave është dymbëdhjetë. As më shumë e as më pak. Tani ju i njihni të gjithë. Nëse kërkoni një përjetësi, nuk do të gjeni kurrë një tjetër.

Gjyshja fshiu pesë katrorë të bardhë në një cep dhe shtroi një duzinë copa plastike të ndritshme dhe shumëngjyrësh në tryezë. Këto ishin të njëjtat dymbëdhjetë figura, por në formë të përfunduar, dhe secila përbëhej nga pesë katrorë. Duncan ishte tashmë gati të pajtohej se asnjë shifër tjetër nuk ekzistonte në të vërtetë.

Por meqenëse gjyshja shtroi këto vija shumëngjyrësh, kjo do të thotë se loja vazhdon dhe një tjetër surprizë e priste Duncan-in.

– Tani, Duncan, dëgjo me kujdes. Këto shifra quhen "pentaminoes". Emri vjen nga fjala greke "penta", që do të thotë "pesë". Të gjitha figurat janë të barabarta në sipërfaqe, pasi secila përbëhet nga pesë katrorë identikë. Ka dymbëdhjetë shifra, pesë katrorë, prandaj, sipërfaqja e përgjithshme do të jetë e barabartë me gjashtëdhjetë katrorë. E drejtë?

- Hmm po.

- Dëgjo më tej. Gjashtëdhjetë është një numër i mrekullueshëm i rrumbullakët që mund të kompozohet në disa mënyra. Më e lehtë është të shumëzosh dhjetë me gjashtë. Kjo kuti ka një zonë të tillë: mund të mbajë dhjetë katrorë horizontalisht dhe gjashtë vertikalisht. Prandaj, të dymbëdhjetë figurat duhet të përshtaten në të. E thjeshtë, si një gjëegjëzë e përbërë.

Duncan priste një kapje. Gjyshja i pëlqente paradokset verbale dhe matematikore dhe jo të gjitha ishin të kuptueshme për viktimën e saj dhjetëvjeçare. Por këtë herë nuk kishte paradokse. Pjesa e poshtme e kutisë ishte e veshur me gjashtëdhjetë katrorë, që do të thotë... Ndal! Zona është një zonë, por figurat kanë forma të ndryshme. Mundohuni t'i futni në një kuti!

"Unë do t'jua lë këtë detyrë ta zgjidhni vetë," tha gjyshja, duke parë sesi me trishtim e lëvizi pentominon përgjatë fundit të kutisë. "Më besoni, ato mund të montohen."

Së shpejti Duncan filloi të dyshonte fort në fjalët e gjyshes së tij. Ai ia doli lehtësisht të vendoste dhjetë figura në kuti, dhe një herë arriti të shtrydhte një të njëmbëdhjetë. Por skicat e hapësirës së pambushur nuk përkonin me konturet e figurës së dymbëdhjetë, të cilën djali po e kthente në duar. Kishte një kryq dhe figura e mbetur i ngjante shkronjës Z...

Pas një gjysmë ore tjetër, Duncan ishte tashmë në prag të dëshpërimit. Gjyshja ishte e zhytur në një dialog me kompjuterin e saj, por herë pas here e shikonte me interes, sikur të thoshte: "Kjo nuk është aq e lehtë sa mendonit."

Në moshën dhjetë vjeç, Duncan ishte dukshëm kokëfortë. Shumica e bashkëmoshatarëve të tij do të kishin hequr dorë nga përpjekjet shumë kohë më parë. (Vetëm disa vite më vonë ai e kuptoi se gjyshja e tij i kishte kryer me hijeshi një test psikologjik.) Duncan zgjati pothuajse dyzet minuta pa ndihmë...

Pastaj gjyshja u ngrit nga kompjuteri dhe u përkul mbi enigmën. Gishtat e saj lëviznin format U, X dhe L...

Pjesa e poshtme e kutisë ishte e mbushur plotësisht! Të gjitha pjesët e enigmës ishin në vendet e duhura.

– Sigurisht që përgjigjen e dinit paraprakisht! – tërhoqi Duncan i ofenduar.

- Përgjigje? – pyeti gjyshja. “Sa mënyra mendon se mund të vendoset pentomino në këtë kuti?”

Këtu është një kurth. Duncan rrotullohej për gati një orë pa gjetur një zgjidhje, megjithëse gjatë kësaj kohe ai provoi të paktën njëqind opsione. Ai mendonte se kishte vetëm një rrugë. A mund të ketë... dymbëdhjetë prej tyre? Ose më shumë?

- Pra, sa mënyra mendoni se mund të ketë? – pyeti sërish gjyshja.

"Njëzet," tha Duncan, duke menduar se tani gjyshja nuk do ta kishte problem.

- Provo përsëri.

Duncan ndjeu rrezikun. Argëtimi doli të ishte shumë më dinak nga sa mendonte, dhe djali me mençuri vendosi të mos rrezikonte.

"Në fakt, nuk e di," tha ai duke tundur kokën.

"Dhe ti je një djalë i hapur," buzëqeshi përsëri gjyshja. "Intuita është një udhërrëfyes i rrezikshëm, por ndonjëherë nuk kemi asnjë tjetër." Unë mund t'ju kënaq: është e pamundur të merret me mend përgjigjen e saktë këtu. Ka mbi dy mijë mënyra të ndryshme për të vendosur pentomino në këtë kuti. Më saktësisht, dy mijë e treqind e tridhjetë e nëntë. Dhe çfarë i thoni ju për këtë?

Nuk ka gjasa që gjyshja ta ketë mashtruar. Por Duncan ishte aq i frustruar nga paaftësia e tij për të gjetur një zgjidhje, saqë ai nuk mund të mos e turpëronte:

- Nuk e besoj!

Helen rrallë shfaqi irritim. Kur Duncan e ofendoi në një farë mënyre, ajo thjesht u bë e ftohtë dhe e largët. Megjithatë, tani gjyshja vetëm buzëqeshi dhe preku diçka në tastierën e kompjuterit.

"Shiko këtu," sugjeroi ajo.

Një grup prej dymbëdhjetë pentomino me shumë ngjyra u shfaqën në ekran, duke mbushur një drejtkëndësh dhjetë me gjashtë. Disa sekonda më vonë ai u zëvendësua nga një imazh tjetër, ku figurat me shumë mundësi ishin të vendosura ndryshe (Duncan nuk mund ta thoshte me siguri, pasi nuk e mbante mend kombinimin e parë). Shumë shpejt imazhi ndryshoi përsëri, pastaj përsëri dhe përsëri... Kjo vazhdoi derisa gjyshja e ndërpreu programin.

"Edhe me shpejtësi të madhe, kompjuterit do t'i duhen pesë orë për të kaluar nëpër të gjitha metodat," shpjegoi gjyshja. "Mund ta pranoni fjalën time: të gjithë janë të ndryshëm." Nëse nuk do të ishin kompjuterët, dyshoj se njerëzit do t'i kishin gjetur të gjitha mënyrat përmes numërimit të zakonshëm të opsioneve.

Duncan i nguli sytë dymbëdhjetë figurave të thjeshta mashtruese për një kohë të gjatë. Ai i treti ngadalë fjalët e gjyshes. Ky ishte zbulimi i parë matematikor në jetën e tij. Ajo që ai e konsideronte me aq nxitim një lojë të zakonshme fëmijësh, papritur filloi të shpaloste para tij shtigje dhe horizonte të pafundme, megjithëse edhe fëmija dhjetëvjeçar më i talentuar vështirë se do të ishte në gjendje ta ndjente pakufinë e këtij universi.

Por atëherë kënaqësia dhe frika e Duncan-it ishin pasive. Shpërthimi i vërtetë i kënaqësisë intelektuale ndodhi më vonë, kur ai gjeti në mënyrë të pavarur metodën e tij të parë të vendosjes së pentominove. Për disa javë, Duncan mbante një kuti plastike me vete kudo. Ai e kaloi gjithë kohën e tij të lirë vetëm në pentomino. Shifrat do të kthehen në miqtë personalë të Duncan. Ai i quajti me shkronjat që ngjanin, megjithëse në disa raste ngjashmëria ishte më se e largët. Pesë shifra - F, I, L, P, N - ishin të paqëndrueshme, por shtatë të tjerat përsëritën sekuencën e alfabetit latin: T, U, V, W, X, Y, Z.

Një ditë, në një gjendje ekstaze gjeometrike ose ekstaze gjeometrike, e cila nuk u përsërit kurrë, Duncan gjeti pesë opsione stilimi në më pak se një orë. Ndoshta as Njutoni, Ajnshtajni apo Chen Tzu, në momentet e tyre të së vërtetës, nuk ndiheshin më të lidhur me perënditë e matematikës sesa Duncan Mackenzie.

Ai shpejt e kuptoi, vetë, pa nxitjen e gjyshes së tij, se një pentomino mund të vendosej në një drejtkëndësh me madhësi të ndryshme anësore. Shumë lehtë, Duncan gjeti disa opsione për drejtkëndëshat 5 me 12 dhe 4 me 15. Më pas ai vuajti për një javë të tërë duke u përpjekur të vendoste dymbëdhjetë figura në një drejtkëndësh më të gjatë dhe më të ngushtë 3 me 20. Vazhdimisht ai filloi të mbushte hapësirën e pabesë dhe ... merrni vrima në drejtkëndësh dhe figura "shtesë".

I shkatërruar, Duncan vizitoi gjyshen e tij, ku e priste një surprizë e re.

"Më vjen mirë për eksperimentet tuaja," tha Helen. "Ju keni eksploruar të gjitha mundësitë, duke u përpjekur të nxirrni një model të përgjithshëm." Kjo është ajo që matematikanët bëjnë gjithmonë. Por e keni gabim: zgjidhjet për një drejtkëndësh tre me njëzet ekzistojnë. Janë vetëm dy prej tyre, dhe nëse gjeni një, do të mund të gjeni të dytën.

I frymëzuar nga lavdërimi i gjyshes së tij, Duncan vazhdoi "gjuetinë e tij për pentomino" me energji të përtërirë. Pas një jave, ai filloi të kuptonte se çfarë barre të padurueshme kishte vënë mbi supet e tij. Numri i mënyrave në të cilat mund të rregulloheshin dymbëdhjetë figura ishte thjesht befasuese për Duncan. Për më tepër, çdo figurë kishte katër pozicione!

Dhe përsëri ai erdhi te gjyshja e tij, duke i treguar asaj të gjitha vështirësitë e tij. Nëse do të kishte vetëm dy opsione për një drejtkëndësh 3 me 20, sa kohë do të duhej për t'i gjetur ato?

"Nëse të lutem, do të të përgjigjem," tha gjyshja. "Nëse do të sillesh si një kompjuter pa tru, duke bërë një kërkim të thjeshtë kombinimesh dhe duke kaluar një sekondë për secilin, do të të duhej..." Këtu ajo ndaloi qëllimisht. “Do t'ju duheshin më shumë se gjashtë milionë... po, më shumë se gjashtë milionë vjet.

Tokësore apo titanike? Kjo pyetje u shfaq menjëherë në mendjen e Duncan-it. Por cili është ndryshimi?

"Por ju jeni ndryshe nga një kompjuter pa tru," vazhdoi gjyshja. "Ju shihni menjëherë kombinime dukshëm të papërshtatshme, dhe për këtë arsye nuk keni pse të humbni kohë duke i kontrolluar ato." Provo përsëri.

Duncan iu bind, tashmë pa entuziazëm dhe besim te suksesi. Dhe pastaj një ide e shkëlqyer i erdhi në mendje.

Karl u interesua menjëherë për pentomino dhe e pranoi sfidën. Ai mori kutinë me figurat nga Duncan dhe u zhduk për disa orë.

Kur Karl e thirri, shoku i tij dukej disi i mërzitur.

– Jeni i sigurt që ky problem ka vërtet një zgjidhje? - ai pyeti.

- Absolutisht i sigurt. Janë dy prej tyre. Vërtet nuk keni gjetur të paktën një? Mendova se ishe i shkëlqyer në matematikë.

"Imagjinoni, unë mund ta kuptoj, prandaj e di se sa punë kërkon detyra juaj." Duhet të kontrollojmë... një milion miliardë kombinime të mundshme.

– Nga e dinit që ka kaq shumë? – pyeti Duncan, i kënaqur që të paktën arriti ta bënte shokun e tij të kruante kokën i hutuar.

Karli hodhi një vështrim anash një copë letre të mbushur me disa diagrame dhe numra.

– Nëse përjashtoni kombinimet e papranueshme dhe merrni parasysh simetrinë dhe mundësinë e rrotullimit... ju merrni një faktorial... numrin total të permutacioneve... prapë nuk do ta kuptoni. Më mirë t'ju tregoj vetë numrin.

Ai solli një fletë tjetër letre në kamerë, në të cilën një varg mbresëlënës numrash përshkruhej me detaje të mëdha:

1 004 539 160 000 000.

Duncan nuk dinte asgjë për faktorët, por ai nuk kishte asnjë dyshim për saktësinë e llogaritjeve të Karlit. I pëlqente shumë numri i gjatë.

"Pra, a do të hiqni dorë nga kjo detyrë?" – pyeti me kujdes Duncan.

- Cfare tjeter! Unë thjesht doja t'ju tregoja se sa e vështirë është.

Fytyra e Karlit shprehte një vendosmëri të zymtë. Pasi tha këto fjalë, ai humbi mendjen.

Të nesërmen, Duncan përjetoi një nga tronditjet më të mëdha të jetës së tij të djalërisë. Fytyra e mërzitur e Karlit, me sy të përgjakur, e shikoi nga ekrani. Ndihej se kishte kaluar një natë pa gjumë.

"Epo, kjo është e gjitha," njoftoi ai me një zë të lodhur, por triumfues.

Duncan mezi u besonte syve. I dukej se shanset për sukses ishin të papërfillshme. Ai madje e bindi veten për këtë. Dhe befas... Përpara tij shtrihej një drejtkëndësh tre me njëzet, i mbushur me të dymbëdhjetë figurat pentomino.

Më pas Karl ndërroi dhe ktheu pjesët në skajet, duke e lënë pjesën qendrore të paprekur. Gishtat i dridheshin pak nga lodhja.

"Kjo është zgjidhja e dytë," shpjegoi ai. "Dhe tani po shkoj në shtrat." Pra, natën e mirë ose mirëmëngjes - çfarëdo që ju pëlqen.

Duncan i poshtëruar shikoi ekranin e errësuar për një kohë të gjatë. Ai nuk e dinte se në cilën drejtim lëvizi Karli, duke kërkuar një zgjidhje për enigmën. Por ai e dinte se shoku i tij kishte dalë fitimtar. Kundër të gjitha gjasave.

Ai nuk e kishte zili fitoren e shokut të tij. Duncan e donte shumë Karlin dhe gëzohej gjithmonë për sukseset e tij, megjithëse ai vetë shpesh e gjente veten në anën e humbur. Por kishte diçka ndryshe në triumfin e mikut tim sot, diçka pothuajse magjike.

Duncan pa për herë të parë fuqinë e intuitës. Ai u ndesh me aftësinë misterioze të mendjes për të thyer përtej fakteve dhe për të hedhur mënjanë logjikën ndërhyrëse. Në pak orë, Karl përfundoi një punë kolosale, duke tejkaluar kompjuterin më të shpejtë.

Më pas, Duncan mësoi se të gjithë njerëzit kanë aftësi të tilla, por ata i përdorin ato jashtëzakonisht rrallë - ndoshta një herë në jetën e tyre. Në Karl, kjo dhuratë mori një zhvillim të jashtëzakonshëm... Që nga ai moment, Duncan filloi ta merrte seriozisht arsyetimin e mikut të tij, madje edhe më qesharak dhe më të egër nga pikëpamja e sensit të përbashkët.

Kjo ishte njëzet vjet më parë. Duncan-it nuk i kujtohej se ku kishin shkuar copat plastike të pentominës. Ndoshta ata mbetën me Karlin.

Dhurata e gjyshes u bë mishërimi i tyre i ri, tashmë në formën e copave prej guri shumëngjyrësh. Graniti mahnitës dhe i butë rozë ishte nga kodrat e Galileos, obsidiani ishte nga Rrafshnalta e Huygens dhe pseudo-mermeri ishte nga kreshta Herschel. Dhe mes tyre... në fillim Duncan mendoi se kishte gabuar. Jo, kështu është: ishte minerali më i rrallë dhe më misterioz i Titanit. Gjyshja ime e bëri kryqin prej guri pentomino nga titaniti. Ky mineral blu-zi me përfshirje të artë nuk mund të ngatërrohet me asgjë. Duncan nuk kishte parë kurrë më parë pjesë kaq të mëdha dhe mund të merrte vetëm me mend se sa ishte kostoja e tyre.

"Nuk di çfarë të them," mërmëriti ai. "Çfarë bukurie." Kjo është hera e parë që e shoh këtë.

Ai përqafoi shpatullat e holla të gjyshes së tij dhe befas ndjeu se ato po dridheshin dhe ajo nuk mund ta ndalonte dridhjen. Duncan e mbajti butësisht në krahët e tij derisa supet e saj pushuan së dridhuri. Në momente të tilla, fjalët nuk nevojiten. Më qartë se më parë, Duncan e kuptoi: ai ishte dashuria e fundit në jetën e shkatërruar të Helen Mackenzie. Dhe tani ai fluturon duke e lënë atë vetëm me kujtimet e saj.

SHESHI I MADH MAGJIK

Matematikani kinez i shekullit të 13-të Yang Hui ishte i njohur me trekëndëshin e Paskalit (trekëndëshin aritmetik). Ai la një përshkrim të metodave për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve 4 dhe më të larta; ka rregulla për zgjidhjen e një ekuacioni të plotë kuadratik, përmbledhjen e progresioneve dhe metodat për ndërtimin e shesheve magjike. Ai arriti të ndërtojë një katror magjik të rendit të gjashtë, dhe ky i fundit doli të ishte pothuajse asociativ (në të vetëm dy palë numrash qendror të kundërt nuk japin shumën 37).

Benjamin Franklin ndërtoi një katror 16x16, i cili përveçse kishte një shumë konstante prej 2056 në të gjitha rreshtat, kolonat dhe diagonalet, kishte edhe një pronë shtesë. Nëse presim një katror 4x4 nga një fletë letre dhe e vendosim këtë fletë në një katror të madh në mënyrë që 16 qeliza të katrorit më të madh të bien në këtë çarje, atëherë shuma e numrave që shfaqen në këtë çarje, pavarësisht se ku e vendosim. , do të jetë i njëjtë - 2056.

Gjëja më e vlefshme për këtë shesh është se është mjaft e lehtë për ta transformuar atë në një katror magjik të përsosur, ndërsa ndërtimi i katrorëve të përsosur magjik nuk është një detyrë e lehtë. Franklin e quajti këtë shesh "magjia më simpatike nga të gjitha sheshet magjike të krijuara ndonjëherë nga magjistarët".

SHESHI MAGJIK, një tabelë katrore me numra të plotë në të cilën shumat e numrave përgjatë çdo rreshti, çdo kolone dhe ndonjë prej dy diagonaleve kryesore janë të barabarta me të njëjtin numër.

Sheshi magjik është me origjinë të lashtë kineze. Sipas legjendës, gjatë sundimit të perandorit Yu (rreth 2200 pes), një breshkë e shenjtë doli nga ujërat e lumit të verdhë (Lumi i Verdhë), me hieroglife misterioze të gdhendura në guaskën e saj (Fig. 1, A), dhe këto shenja njihen si lo-shu dhe janë ekuivalente me katrorin magjik të paraqitur në Fig. 1, b. Në shekullin e 11-të Ata mësuan për sheshet magjike në Indi, dhe më pas në Japoni, ku në shekullin e 16-të. Literaturë e gjerë i është kushtuar shesheve magjike. Evropianët u njohën me sheshet magjike në shekullin e 15-të. Shkrimtari bizantin E. Moschopoulos. Sheshi i parë i shpikur nga një evropian konsiderohet të jetë sheshi i A. Durer (Fig. 2), i paraqitur në gdhendjen e tij të famshme Melankolia 1. Data e krijimit të gdhendjes (1514) tregohet nga numrat në dy qelizat qendrore të vijës fundore. Veti të ndryshme mistike iu atribuoheshin katrorëve magjikë. Në shekullin e 16-të Cornelius Heinrich Agrippa ndërtoi katrorë të rendit të 3-të, 4-të, 5-të, 6-të, 7-të, 8-të dhe 9-të, të cilët shoqëroheshin me astrologjinë e 7 planetëve. Besohej se një katror magjik i gdhendur në argjend mbronte nga murtaja. Edhe sot, në mesin e atributeve të falltarëve evropianë mund të shihni kuadrate magjike.

Në shekujt 19 dhe 20. interesi për sheshet magjike u ndez me energji të përtërirë. Ato filluan të studiohen duke përdorur metodat e algjebrës më të lartë dhe llogaritjes operacionale.

Çdo element i një katrori magjik quhet qelizë. Një katror, brinja e të cilit përbëhet nga n qeliza, përmban n 2 qeliza dhe quhet katror n- urdhri. Shumica e katrorëve magjikë përdorin të parën n numrat natyrorë të njëpasnjëshëm. Shuma S numrat në çdo rresht, çdo kolonë dhe në çdo diagonale quhet konstante katrore dhe është e barabartë me S = n(n 2 + 1)/2. Është vërtetuar se nі 3. Për një katror të rendit të tretë S= 15, rendi i 4-të - S= 34, rendi i 5-të - S = 65.

Dy diagonalet që kalojnë nga qendra e katrorit quhen diagonalet kryesore. Një vijë e thyer është një diagonale që, pasi ka arritur buzën e katrorit, vazhdon paralelisht me segmentin e parë nga buza e kundërt (një diagonale e tillë formohet nga qelizat e hijezuara në Fig. 3). Qelizat që janë simetrike rreth qendrës së katrorit quhen anore-simetrike. Këto janë, për shembull, qelizat a Dhe b në Fig. 3.

Sheshet magjike të rendit tek mund të ndërtohen duke përdorur metodën e një gjeometri francez të shekullit të 17-të. A. de la Lubera. Le ta shqyrtojmë këtë metodë duke përdorur shembullin e një katrori të rendit të 5-të (Fig. 4). Numri 1 vendoset në qelizën qendrore të rreshtit të sipërm. Të gjithë numrat natyrorë janë të renditur në një rend natyror në mënyrë ciklike nga poshtë lart në qeliza diagonale nga e djathta në të majtë. Pasi të kemi arritur skajin e sipërm të katrorit (si në rastin e numrit 1), vazhdojmë të mbushim diagonalen duke filluar nga qeliza e poshtme e kolonës tjetër. Pasi të kemi arritur skajin e djathtë të sheshit (numri 3), vazhdojmë të mbushim diagonalen që vjen nga qeliza e majtë në rreshtin e mësipërm. Pasi të keni arritur një qelizë të mbushur (numri 5) ose një qoshe (numri 15), trajektorja zbret një qelizë, pas së cilës procesi i mbushjes vazhdon.

Metoda e F. de la Hire (1640–1718) bazohet në dy katrorë origjinalë. Në Fig. Figura 5 tregon se si përdoret kjo metodë për të ndërtuar një katror të rendit të 5-të. Numrat nga 1 në 5 futen në qelizën e katrorit të parë në mënyrë që numri 3 të përsëritet në qelizat e diagonales kryesore duke shkuar lart në të djathtë, dhe asnjë numër i vetëm nuk shfaqet dy herë në të njëjtën rresht ose në të njëjtën kolonë. Ne bëjmë të njëjtën gjë me numrat 0, 5, 10, 15, 20 me ndryshimin e vetëm që numri 10 përsëritet tani në qelizat e diagonales kryesore, duke shkuar nga lart poshtë (Fig. 5, b). Shuma qelizë për qelizë e këtyre dy katrorëve (Fig. 5, V) formon një katror magjik. Kjo metodë përdoret gjithashtu për të ndërtuar katrorë të rendit të barabartë.

Nëse dini një mënyrë për të ndërtuar katrorë të rendit m dhe rendit n, atëherë mund të ndërtojmë një katror të rendit mґ n. Thelbi i kësaj metode është paraqitur në Fig. 6. Këtu m= 3 dhe n= 3. Një katror më i madh i rendit të tretë (me numra të shënuar me numra të thjeshtë) është ndërtuar duke përdorur metodën de la Loubert. Në qelizën me numrin 1ў (qeliza qendrore e rreshtit të sipërm) përshtatet një katror i rendit të tretë nga numrat nga 1 në 9, i ndërtuar gjithashtu me metodën de la Lubert. Në qelizën me numrin 2ў (djathtas në vijën fundore) përshtatet një katror i rendit të tretë me numra nga 10 në 18; në qelizën me numrin 3ў - një katror numrash nga 19 në 27, etj. Si rezultat, marrim një katror të rendit të 9-të. Sheshe të tillë quhen të përbërë.

SHESHI MAGJIK
një tabelë katrore me numra të plotë në të cilën shumat e numrave përgjatë çdo rreshti, çdo kolone dhe ndonjë prej dy diagonaleve kryesore janë të barabarta me të njëjtin numër. Sheshi magjik është me origjinë të lashtë kineze. Sipas legjendës, gjatë sundimit të perandorit Yu (rreth 2200 p.e.s.), një breshkë e shenjtë doli nga ujërat e lumit të verdhë (Lumi i verdhë), në guaskën e së cilës ishin gdhendur hieroglife misterioze (Fig. 1a), dhe këto shenja janë të njohura si lo-shu dhe janë ekuivalente me katrorin magjik të paraqitur në Fig. 1, b. Në shekullin e 11-të Ata mësuan për sheshet magjike në Indi, dhe më pas në Japoni, ku në shekullin e 16-të. Literaturë e gjerë i është kushtuar shesheve magjike. Evropianët u njohën me sheshet magjike në shekullin e 15-të. Shkrimtari bizantin E. Moschopoulos. Sheshi i parë i shpikur nga një evropian konsiderohet të jetë sheshi i A. Durer (Fig. 2), i paraqitur në gdhendjen e tij të famshme Melankolia 1. Data e krijimit të gdhendjes (1514) tregohet nga numrat në dy qendrat qelizat e vijës fundore. Veti të ndryshme mistike iu atribuoheshin katrorëve magjikë. Në shekullin e 16-të Cornelius Heinrich Agrippa ndërtoi katrorë të rendit të 3-të, 4-të, 5-të, 6-të, 7-të, 8-të dhe 9-të, të cilët shoqëroheshin me astrologjinë e 7 planetëve. Besohej se një katror magjik i gdhendur në argjend mbronte nga murtaja. Edhe sot, në mesin e atributeve të falltarëve evropianë mund të shihni kuadrate magjike.

Në shekujt 19 dhe 20. interesi për sheshet magjike u ndez me energji të përtërirë. Ato filluan të studiohen duke përdorur metodat e algjebrës më të lartë dhe llogaritjes operacionale. Çdo element i një katrori magjik quhet qelizë. Një katror, brinja e të cilit përbëhet nga n qeliza përmban n2 qeliza dhe quhet katror i rendit të n-të. Shumica e katrorëve magjikë përdorin n numrat e parë natyrorë të njëpasnjëshëm. Shuma e numrave S në çdo rresht, çdo kolonë dhe në çdo diagonale quhet konstante katrore dhe është e barabartë me S = n(n2 + 1)/2. Është vërtetuar se n = 3. Për një katror të rendit të tretë S = 15, renditja e 4-të - S = 34, renditja e 5-të - S = 65. Dy diagonalet që kalojnë nga qendra e katrorit quhen diagonale kryesore. Një vijë e thyer është një diagonale që, pasi ka arritur buzën e katrorit, vazhdon paralelisht me segmentin e parë nga buza e kundërt (një diagonale e tillë formohet nga qelizat e hijezuara në Fig. 3). Qelizat që janë simetrike rreth qendrës së katrorit quhen anore-simetrike. Këto janë, për shembull, qelizat a dhe b në Fig. 3.

Rregullat për ndërtimin e katrorëve magjikë ndahen në tre kategori në varësi të faktit nëse rendi i katrorit është tek, i barabartë me dyfishin e një numri tek ose i barabartë me katërfishin e një numri tek. Një metodë e përgjithshme për ndërtimin e të gjithë katrorëve është e panjohur, megjithëse skema të ndryshme përdoren gjerësisht, disa prej të cilave do t'i shqyrtojmë më poshtë. Sheshet magjike të rendit tek mund të ndërtohen duke përdorur metodën e një gjeometri francez të shekullit të 17-të. A. de la Lubera. Le ta shqyrtojmë këtë metodë duke përdorur shembullin e një katrori të rendit të 5-të (Fig. 4). Numri 1 vendoset në qelizën qendrore të rreshtit të sipërm. Të gjithë numrat natyrorë janë të renditur në një rend natyror në mënyrë ciklike nga poshtë lart në qeliza diagonale nga e djathta në të majtë. Pasi të kemi arritur skajin e sipërm të katrorit (si në rastin e numrit 1), vazhdojmë të mbushim diagonalen duke filluar nga qeliza e poshtme e kolonës tjetër. Pasi të kemi arritur skajin e djathtë të sheshit (numri 3), vazhdojmë të mbushim diagonalen që vjen nga qeliza e majtë në rreshtin e mësipërm. Pasi të keni arritur një qelizë të mbushur (numri 5) ose një qoshe (numri 15), trajektorja zbret një qelizë, pas së cilës procesi i mbushjes vazhdon.

Metoda e F. de la Hire (1640-1718) bazohet në dy katrorë origjinalë. Në Fig. Figura 5 tregon se si përdoret kjo metodë për të ndërtuar një katror të rendit të 5-të. Numrat nga 1 në 5 futen në qelizën e katrorit të parë në mënyrë që numri 3 të përsëritet në qelizat e diagonales kryesore duke shkuar lart në të djathtë, dhe asnjë numër i vetëm nuk shfaqet dy herë në të njëjtën rresht ose në të njëjtën kolonë. Ne bëjmë të njëjtën gjë me numrat 0, 5, 10, 15, 20 me të vetmin ndryshim që numri 10 përsëritet tani në qelizat e diagonales kryesore, duke shkuar nga lart poshtë (Fig. 5, b). Shuma qelizë për qelizë e këtyre dy katrorëve (Fig. 5c) formon një katror magjik. Kjo metodë përdoret gjithashtu për të ndërtuar katrorë të rendit të barabartë.

Nëse dini të ndërtoni katrorë të rendit m dhe rendit n, atëherë mund të ndërtoni një katror të rendit mґn. Thelbi i kësaj metode është paraqitur në Fig. 6. Këtu m = 3 dhe n = 3. Një katror më i madh i rendit të tretë (me numra të shënuar me numra të thjeshtë) është ndërtuar duke përdorur metodën de la Loubert. Në qelizën me numrin 1ў (qeliza qendrore e rreshtit të sipërm) përshtatet një katror i rendit të tretë nga numrat nga 1 në 9, i ndërtuar gjithashtu me metodën de la Lubert. Në qelizën me numrin 2ў (djathtas në vijën fundore) përshtatet një katror i rendit të tretë me numra nga 10 në 18; në qelizën me numrin 3ў - një katror numrash nga 19 në 27, etj. Si rezultat, marrim një katror të rendit të 9-të. Sheshe të tillë quhen të përbërë.

Enciklopedia e Collier. - Shoqëria e Hapur. 2000 .

Shihni se çfarë është "SHESHI MAGJIK" në fjalorë të tjerë:

Një katror i ndarë në një numër të barabartë n kolonash dhe rreshtash, me n2 numrat e parë natyrorë të gdhendur në qelizat që rezultojnë, të cilët mbledhin të njëjtin numër për secilën kolonë, çdo rresht dhe dy diagonale të mëdha... Fjalori i madh enciklopedik

KATROR MAGJIK, MATRIKË katrore, e ndarë në qeliza dhe e mbushur me numra ose shkronja në një mënyrë të caktuar, duke rregulluar një situatë të veçantë magjike. Sheshi më i zakonshëm i shkronjave është SATOR, i përbërë nga fjalët SATOR, AREPO,... ... Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

Një katror i ndarë në një numër të barabartë n kolonash dhe rreshtash, me numra natyrorë nga 1 në n2 të gdhendur në qelizat që rezultojnë, të cilët shtojnë të njëjtin numër për secilën kolonë, çdo rresht dhe dy diagonale të mëdha. Në Fig. shembull i M. k. s...... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

Një katror magjik ose magjik është një tabelë katrore e mbushur me numra në mënyrë të tillë që shuma e numrave në çdo rresht, çdo kolonë dhe në të dy diagonalet të jetë e njëjtë. Nëse shumat e numrave në një katror janë të barabarta vetëm në rreshta dhe kolona, atëherë ... Wikipedia

Një katror i ndarë në një numër të barabartë n kolonash dhe rreshtash, me n2 numrat e parë natyrorë të gdhendur në qelizat që rezultojnë, të cilët shtojnë të njëjtin numër për secilën kolonë, çdo rresht dhe dy diagonale të mëdha. Fotografia tregon një shembull ... ... fjalor enciklopedik

Një katror i ndarë në një numër të barabartë n kolonash dhe rreshtash, me n2 numrat e parë natyrorë të gdhendur në qelizat që rezultojnë, të cilët mbledhin çdo kolonë, çdo rresht dhe dy diagonale të mëdha të njëjtin numër [e barabartë me... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Një tabelë katrore me numra të plotë nga 1 në n2, që plotëson kushtet e mëposhtme: ku s=n(n2+1)/2. Janë konsideruar gjithashtu ekuacione matematikore më të përgjithshme, në të cilat nuk kërkohet që ndonjë numër a të karakterizohet në mënyrë unike nga një palë mbetjesh (a, b) modul n (shifra ... Enciklopedia Matematikore

Libër Një katror i ndarë në pjesë, secila prej të cilave përmban një numër që mblidhet në të njëjtin numër së bashku me të tjerët horizontalisht, vertikalisht ose diagonalisht. BTS, 512… Fjalor i madh i thënieve ruse

- (greqisht magicos, nga magjistari magos). Magjike, e lidhur me magjinë. Fjalori i fjalëve të huaja të përfshira në gjuhën ruse. Chudinov A.N., 1910. Magjike MAGJIKE. Fjalori i fjalëve të huaja të përfshira në gjuhën ruse. Pavlenkov F., 1907 ... Fjalori i fjalëve të huaja të gjuhës ruse

Është një version tredimensional i sheshit magjik. Një kub magjik tradicional (klasik) i rendit n është një kub me përmasa n×n×n, i mbushur me numra të ndryshëm natyrorë nga 1 në n3 në mënyrë që shumat e numrave në cilindo nga rreshtat 3n2, ... ... Wikipedia

libra

Sheshi Magjik, Irina Bjorno, “Sheshi Magjik” është një koleksion tregimesh dhe tregimesh të shkruara në stilin e realizmit magjik, ku realiteti ndërthuret ngushtë me magjinë dhe fantazinë, duke formuar një stil të ri, magjik -... Kategoria: Horror dhe Mister Botuesi: Publishing Solutions, ebook(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Prezantimi

Shkencëtarët e mëdhenj të antikitetit i konsideronin marrëdhëniet sasiore si bazën e thelbit të botës. Prandaj, numrat dhe marrëdhëniet e tyre pushtuan mendjet më të mëdha të njerëzimit. “Në ditët e rinisë sime, argëtohesha në kohën time të lirë duke bërë... katrorë magjikë”, shkroi Benjamin Franklin. Një katror magjik është një katror, shuma e numrave të të cilit në çdo rresht horizontal, në çdo rresht vertikal dhe përgjatë çdo diagonale është e njëjtë.

Disa matematikanë të shquar ia kushtuan punën e tyre katrorëve magjikë dhe rezultatet që ata morën ndikuan në zhvillimin e grupeve, strukturave, katrorëve latinë, përcaktuesve, ndarjeve, matricave, krahasimeve dhe fushave të tjera jo të parëndësishme të matematikës.

Qëllimi i kësaj eseje është të njiheni me katrorë të ndryshëm magjikë, katrorë latinë dhe të studioni fushat e zbatimit të tyre.

Sheshe magjike

Një përshkrim i plotë i të gjitha shesheve të mundshme magjike nuk është marrë deri më sot. Nuk ka katrore magjike 2x2. Ekziston vetëm një katror magjik 3x3, pasi katrorët e tjerë magjikë 3x3 merren prej tij ose me rrotullim rreth qendrës ose me reflektim rreth njërit prej boshteve të simetrisë së tij.

Ka 8 mënyra të ndryshme për të renditur numrat natyrorë nga 1 në 9 në një katror magjik 3x3:

9+5+1
9+4+2
8+6+2
8+5+2
8+4+3
7+6+2
7+5+3
6+5+4

Në një katror magjik 3x3, konstanta magjike 15 duhet të jetë e barabartë me shumën e tre numrave në 8 drejtime: 3 rreshta, 3 kolona dhe 2 diagonale. Meqenëse numri në qendër i përket 1 rreshtit, 1 kolonës dhe 2 diagonaleve, ai përfshihet në 4 nga 8 treshe që shtojnë konstantën magjike. Ekziston vetëm një numër i tillë: është 5. Prandaj, numri në qendër të katrorit magjik 3x3 dihet tashmë: është 5.

Konsideroni numrin 9. Ai përfshihet vetëm në 2 treshe numrash. Nuk mund ta vendosim në një cep, pasi çdo qelizë qoshe i përket 3 treshe: rreshti, kolona dhe diagonale. Prandaj, numri 9 duhet të jetë në një qelizë ngjitur me anën e katrorit në mes të tij. Për shkak të simetrisë së katrorit, nuk ka rëndësi se cilën anë zgjedhim, kështu që shkruajmë 9 mbi numrin 5 në qelizën qendrore. Në të dyja anët e nëntë në rreshtin e sipërm, ne mund të shkruajmë vetëm numrat 2 dhe 4. Cili nga këta dy numra do të jetë në këndin e sipërm djathtas dhe cili në të majtë përsëri nuk ka rëndësi, pasi një renditje e numrave shkon në një tjetër kur pasqyrohet. Qelizat e mbetura plotësohen automatikisht. Ndërtimi ynë i thjeshtë i një katrori magjik 3x3 dëshmon veçantinë e tij.

Një shesh i tillë magjik ishte një simbol me rëndësi të madhe në mesin e kinezëve të lashtë. Numri 5 në mes nënkuptonte tokë, dhe rreth tij në ekuilibër të rreptë ishin zjarri (2 dhe 7), uji (1 dhe 6),

dru (3 dhe 8), metal (4 dhe 9).

Ndërsa madhësia e katrorit (numri i qelizave) rritet, numri i katrorëve të mundshëm magjik të asaj madhësie rritet me shpejtësi. Ka 880 katrorë magjikë të rendit 4 dhe 275,305,224 katrorë magjikë të rendit 5. Për më tepër, katrorët 5x5 njiheshin që në mesjetë. Muslimanët, për shembull, ishin shumë të nderuar për një katror të tillë me numrin 1 në mes, duke e konsideruar atë një simbol të unitetit të Allahut.

Sheshi magjik i Pitagorës

Shkencëtari i madh Pitagora, i cili themeloi doktrinën fetare dhe filozofike që shpalli marrëdhëniet sasiore si bazën e thelbit të gjërave, besonte se thelbi i njeriut qëndron edhe në numrin - datën e lindjes. Prandaj, me ndihmën e sheshit magjik të Pitagorës, ju mund të njihni karakterin e një personi, shkallën e shëndetit dhe potencialin e tij, të zbuloni avantazhet dhe disavantazhet dhe në këtë mënyrë të identifikoni se çfarë duhet bërë për ta përmirësuar atë.

Për të kuptuar se çfarë është katrori magjik i Pitagorës dhe si llogariten treguesit e tij, unë do ta llogaris atë duke përdorur shembullin tim. Dhe për t'u siguruar që rezultatet e llogaritjes korrespondojnë vërtet me karakterin e vërtetë të një personi të caktuar, së pari do ta kontrolloj vetë. Për ta bërë këtë, unë do të bëj llogaritjen bazuar në datën time të lindjes. Pra, data ime e lindjes është 20.08.1986. Le të mbledhim numrat e ditës, muajit dhe vitit të lindjes (pa zero): 2+8+1+9+8+6=34. Më pas mbledhim numrat e rezultatit: 3+4=7. Më pas nga shuma e parë zbresim dyfishin e shifrës së parë të ditëlindjes: 34-4=30. Dhe përsëri shtojmë shifrat e numrit të fundit:

3+0=3. Mbetet për të bërë shtesat e fundit - shumat 1 dhe 3 dhe 2 dhe 4: 34+30=64, 7+3=10. Morëm numrat 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

dhe bëni një katror magjik në mënyrë që të gjithë këta numra të hyjnë në qelizën 1, të dy në qelizën 2, etj. Zerat nuk merren parasysh. Si rezultat, sheshi im do të duket kështu:

Qelizat katrore nënkuptojnë sa vijon:

Qeliza 1 - vendosmëri, vullnet, këmbëngulje, egoizëm.

1 - egoistë të plotë, përpiqen të nxjerrin përfitimin maksimal nga çdo situatë.
11 - një personazh afër egoistit.
111 - "mesatarja e artë". Karakteri është i qetë, fleksibël dhe i shoqërueshëm.
1111 - njerëz me karakter të fortë, me vullnet të fortë. Burrat me një karakter të tillë janë të përshtatshëm për rolin e profesionistëve ushtarakë, dhe gratë e mbajnë familjen në grusht.
11111 - diktator, tiran.
111111 - një person mizor, i aftë për të bërë të pamundurën; shpesh bie nën ndikimin e ndonjë ideje.

Qeliza 2 - bioenergji, emocionalitet, sinqeritet, sensualitet. Numri i dyfishtë përcakton nivelin e bioenergjisë.

Nuk ka dy - kanali është i hapur për një koleksion intensiv të bioenergjisë. Këta njerëz janë të edukuar dhe fisnikë nga natyra.

2 - njerëz të zakonshëm në aspektin bioenergjetik. Njerëz të tillë janë shumë të ndjeshëm ndaj ndryshimeve në atmosferë.
22 - një rezervë relativisht e madhe e bioenergjisë. Njerëz të tillë janë mjekë, infermierë dhe kujdestarë të mirë. Në familjen e njerëzve të tillë, rrallë ka njeri që përjeton stres nervor.
222 është shenja e një psikike.

Qeliza 3 - saktësia, specifika, organizimi, rregullsia, përpikëria, pastërtia, koprracia, prirja për "rivendosje të drejtësisë".

Rritja e tresheve rrit të gjitha këto cilësi. Me to, ka kuptim që njeriu të kërkojë veten në shkenca, veçanërisht ato të sakta. Mbizotërimi i tresheve lind pedantët, njerëzit në një rast.

Qeliza 4 - shëndeti. Kjo lidhet me ekgregorin, domethënë hapësirën energjetike të zhvilluar nga paraardhësit dhe mbrojtjen e një personi. Mungesa e katërsheve tregon se një person është i sëmurë.

4 - shëndeti mesatar, është e nevojshme të ngurtësoni trupin. Noti dhe vrapimi janë sporte të rekomanduara.
44 - shëndet i mirë.
444 e më shumë - njerëz me shëndet shumë të mirë.

Qeliza 5 - intuitë, mprehtësi, e cila fillon të shfaqet tek njerëz të tillë tashmë në nivelin e tre pesësheve.

Nuk ka pesë - kanali i komunikimit me hapësirën është i mbyllur. Këta njerëz shpesh

janë gabim.

5 - kanali i komunikimit është i hapur. Këta njerëz mund të llogarisin saktë situatën dhe të përfitojnë sa më shumë prej saj.
55 - intuitë shumë e zhvilluar. Kur shohin "ëndrra profetike", ata mund të parashikojnë rrjedhën e ngjarjeve. Profesionet e përshtatshme për ta janë avokati, hetuesi.
555 - pothuajse i qartë.
5555 - klerikët.

Qeliza 6 - baza, materialiteti, llogaritja, një prirje për eksplorim sasior të botës dhe mosbesim ndaj kërcimeve cilësore, dhe aq më tepër ndaj mrekullive shpirtërore.

Nuk ka gjashtë - këta njerëz kanë nevojë për punë fizike, megjithëse, si rregull, ata nuk e pëlqejnë atë. Ata janë të pajisur me imagjinatë, fantazi dhe shije të jashtëzakonshme artistike. Natyra delikate, megjithatë ato janë të afta për të vepruar.

6 - mund të angazhohet në krijimtari ose shkenca ekzakte, por puna fizike është një parakusht për ekzistencë.
66 - njerëzit janë shumë të bazuar, të tërhequr nga puna fizike, megjithëse nuk është e detyrueshme për ta; Aktiviteti mendor ose ndjekjet artistike janë të dëshirueshme.
666 është shenja e shejtanit, një shenjë e veçantë dhe ogurzi. Këta njerëz kanë një temperament të lartë, janë simpatikë dhe bëhen pa ndryshim në qendër të vëmendjes në shoqëri.
6666 - këta njerëz në mishërimet e tyre të mëparshme fituan shumë terren, ata punuan shumë dhe nuk mund ta imagjinojnë jetën e tyre pa punë. Nëse katrori i tyre përmban

Nëntë, ata patjetër duhet të angazhohen në aktivitet mendor, të zhvillojnë intelektin e tyre dhe të paktën të marrin një arsim të lartë.

Qeliza 7 - numri i shtatë përcakton masën e talentit.

7 - sa më shumë që punojnë, aq më shumë marrin më vonë.
77 - njerëz shumë të talentuar, muzikantë, kanë një shije delikate artistike dhe mund të kenë një prirje për artet e bukura.
777 - këta njerëz, si rregull, vijnë në Tokë për një kohë të shkurtër. Ata janë të sjellshëm, të qetë dhe të ndjeshëm ndaj çdo padrejtësie. Ata janë të ndjeshëm, pëlqejnë të ëndërrojnë dhe jo gjithmonë e ndiejnë realitetin.
7777 është shenja e një engjëlli. Njerëzit me këtë shenjë vdesin në foshnjëri dhe nëse jetojnë, jeta e tyre është vazhdimisht në rrezik.

Qeliza 8 - karma, detyrë, detyrim, përgjegjësi. Numri i tetëve përcakton shkallën e ndjenjës së detyrës.

Nuk ka tetë - këta njerëz kanë një mungesë pothuajse të plotë të ndjenjës së detyrës.

8 - natyra të përgjegjshme, të ndërgjegjshme, të sakta.
88 - Këta njerëz kanë një ndjenjë të zhvilluar të detyrës, ata gjithmonë dallohen nga dëshira për të ndihmuar të tjerët, veçanërisht të dobëtit, të sëmurët dhe të vetmuarit.
888 është një shenjë e detyrës së madhe, një shenjë shërbimi ndaj njerëzve. Një vizore me tre tetë arrin rezultate të jashtëzakonshme.
8888 - këta njerëz kanë aftësi parapsikologjike dhe ndjeshmëri të jashtëzakonshme ndaj shkencave ekzakte. Shtigjet e mbinatyrshme janë të hapura për ta.

Qeliza 9 - inteligjencë, mençuri. Mungesa e nëntë është dëshmi se aftësitë mendore janë jashtëzakonisht të kufizuara.

9 - Këta njerëz duhet të punojnë shumë gjatë gjithë jetës së tyre për të kompensuar mungesën e inteligjencës.
99 - këta njerëz janë të zgjuar që nga lindja. Ata ngurrojnë gjithmonë të mësojnë, sepse dija u vjen lehtësisht. Ata janë të pajisur me një sens humori me një nuancë ironike dhe janë të pavarur.
999 - shumë i zgjuar. Nuk bëhet fare përpjekje për të mësuar. Bashkëbisedues të shkëlqyer.
9999 - e vërteta u zbulohet këtyre njerëzve. Nëse ata gjithashtu kanë intuitë të zhvilluar, atëherë ata janë të garantuar kundër dështimit në çdo përpjekje të tyre. Me gjithë këtë, ata zakonisht janë mjaft të këndshëm, pasi mendja e tyre e mprehtë i bën ata të pasjellshëm, të pamëshirshëm dhe mizorë.

Pra, pasi të keni hartuar sheshin magjik të Pitagorës dhe duke ditur kuptimin e të gjitha kombinimeve të numrave të përfshirë në qelizat e tij, do të jeni në gjendje të vlerësoni mjaftueshëm cilësitë e natyrës suaj që Nënë Natyra i ka pajisur.

Sheshe latine

Përkundër faktit se matematikanët ishin të interesuar kryesisht për kuadratet magjike, katrorët latinë gjetën aplikimin më të madh në shkencë dhe teknologji.

Një katror latin është një katror me qeliza nxn në të cilat janë shkruar numrat 1, 2,..., n dhe në atë mënyrë që të gjithë këta numra të shfaqen një herë në çdo rresht dhe çdo kolonë. Figura 3 tregon dy katrorë të tillë 4x4. Ata kanë një veçori interesante: nëse një katror mbivendoset mbi një tjetër, atëherë të gjitha çiftet e numrave që rezultojnë rezultojnë të jenë të ndryshëm. Çifte të tilla katrorësh latinë quhen ortogonale.

Problemi i gjetjes së katrorëve latinë ortogonalë u parashtrua për herë të parë nga L. Euler, dhe në një formulim kaq argëtues: “Midis 36 oficerëve ka një numër të barabartë lancerësh, dragonësh, hussarësh, kurasierësh, rojesh kalorësie dhe granadierësh, dhe përveç kësaj një numër i barabartë i gjeneralëve, kolonelëve, majorëve, kapitenëve, togerëve dhe nëntogerëve, dhe secila degë e ushtrisë përfaqësohet nga oficerë të të gjashtë gradave. A është e mundur të rreshtohen të gjithë oficerët në një katror 6 x 6 në mënyrë që në çdo kolonë dhe çdo gradë të ketë oficerë të të gjitha gradave?”

Euler nuk ishte në gjendje të gjente një zgjidhje për këtë problem. Në vitin 1901 u vërtetua se një zgjidhje e tillë nuk ekzistonte. Në të njëjtën kohë, Euler vërtetoi se çiftet ortogonale të katrorëve latinë ekzistojnë për të gjitha vlerat tek të n dhe për ato vlera çift të n që pjesëtohen me 4. Euler hipotezoi se për vlerat e mbetura të n-së, është, nëse numri n kur pjesëtohet me 4 jep mbetjen 2, nuk ka katrorë ortogonalë. Në vitin 1901 u vërtetua se nuk ka katrorë ortogonalë 6 6, dhe kjo rriti besimin në vlefshmërinë e hipotezës së Euler-it. Megjithatë, në vitin 1959, me ndihmën e një kompjuteri, u gjetën për herë të parë katrorë ortogonalë 10x10, pastaj 14x14, 18x18, 22x22. Dhe më pas u tregua se për çdo n përveç 6, ka nxn katrorë ortogonalë.

Sheshet magjike dhe latine janë të afërm. Le të kemi dy katrorë ortogonalë. Le të mbushim qelizat e një katrori të ri me të njëjtat dimensione si më poshtë. Le të vendosim atje numrin n(a - 1)+b, ku a është numri në një qelizë të tillë të katrorit të parë dhe b është numri në të njëjtën qelizë të katrorit të dytë. Është e lehtë të kuptohet se në katrorin që rezulton, shumat e numrave në rreshta dhe kolona (por jo domosdoshmërisht në diagonale) do të jenë të njëjta.

Teoria e katrorëve latinë ka gjetur zbatime të shumta si në vetë matematikën ashtu edhe në aplikimet e saj. Le të japim një shembull. Supozoni se duam të testojmë 4 lloje gruri për rendiment në një zonë të caktuar dhe duam të marrim parasysh ndikimin e shkallës së rrallësisë së të korrave dhe ndikimin e dy llojeve të plehrave. Për ta bërë këtë, ne do të ndajmë një truall katror në 16 parcela (Fig. 4). Varietetin e parë të grurit do ta mbjellim në parcela që korrespondojnë me shiritin e poshtëm horizontal, varietetin tjetër në katër parcela që korrespondojnë me shiritin tjetër etj. (në figurë varieteti tregohet me ngjyrë). Në këtë rast, le të jetë dendësia maksimale e të korrave në ato parcela që korrespondojnë me kolonën e majtë vertikale të figurës, dhe të ulet kur lëvizni në të djathtë (në figurë kjo korrespondon me një ulje të intensitetit të ngjyrës). Le të nënkuptojnë numrat në qelizat e figurës:

e para është numri i kilogramëve të plehut të llojit të parë të aplikuar në këtë zonë dhe e dyta është sasia e plehut të llojit të dytë të aplikuar. Kuptohet lehtë se në këtë rast realizohen të gjitha çiftet e mundshme të kombinimeve si të varietetit ashtu edhe të dendësisë së mbjelljes dhe përbërësve të tjerë: varieteti dhe plehrat e llojit të parë, plehrat e tipit të parë dhe të dytë, dendësia dhe plehrat e tipit të dytë.

Përdorimi i katrorëve latinë ortogonalë ndihmon për të marrë parasysh të gjitha opsionet e mundshme në eksperimentet në bujqësi, fizikë, kimi dhe teknologji.

Pitagora magjike katrore latine

konkluzioni

Kjo ese shqyrton çështje që lidhen me historinë e zhvillimit të një prej pyetjeve në matematikë që ka pushtuar mendjet e shumë njerëzve të mëdhenj - sheshet magjike. Përkundër faktit se vetë kuadratet magjike nuk kanë gjetur aplikim të gjerë në shkencë dhe teknologji, ata frymëzuan shumë njerëz të jashtëzakonshëm për të studiuar matematikën dhe kontribuan në zhvillimin e degëve të tjera të matematikës (teoria e grupeve, përcaktuesit, matricat, etj.).

Të afërmit më të afërt të katrorëve magjikë, katrorët latinë, kanë gjetur aplikime të shumta si në matematikë ashtu edhe në aplikimet e saj në vendosjen dhe përpunimin e rezultateve të eksperimenteve. Abstrakti ofron një shembull të krijimit të një eksperimenti të tillë.

Abstrakti diskuton gjithashtu çështjen e sheshit të Pitagorës, i cili është me interes historik dhe ndoshta i dobishëm për hartimin e një portreti psikologjik të një personi.

Bibliografi

1. Fjalor enciklopedik i një matematikani të ri. M., "Pedagogji", 1989.
2. M. Gardner “Udhëtimi në kohë”, M., “Mir”, 1990.
3. Edukim fizik dhe sport nr.10, 1998