Bölüm I. Uçakta ve uzayda vektörler
§ 13. Bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminden diğerine geçiş
Bu konuyu iki versiyonda değerlendirmenizi öneririz.
1) I.I. Privalov'un “Analitik Geometri” ders kitabına dayanmaktadır (yüksek teknik eğitim kurumları için ders kitabı, 1966)
II Privalov "Analitik geometri"
§ 1. Koordinat dönüşüm problemi.
Bir noktanın düzlem üzerindeki konumu, bir koordinat sistemine göre iki koordinat tarafından belirlenir. Farklı bir koordinat sistemi seçersek noktanın koordinatları değişecektir.
Koordinatları dönüştürme görevi böylece bir koordinat sistemindeki bir noktanın koordinatlarını bilerek başka bir sistemdeki koordinatlarını bulabiliriz.
İki sistemde rastgele bir noktanın koordinatlarını birbirine bağlayan formüller oluşturursak bu sorun çözülecektir ve bu formüllerin katsayıları, sistemlerin göreceli konumunu belirleyen sabit miktarları içerecektir.
İki Kartezyen koordinat sistemi verilsin xOy Ve XO 1Y(Şekil 68).
Yeni sistemin konumu XO 1Y eski sisteme göre xOy Koordinatlar biliniyorsa belirlenecek A Ve B yeni başlangıç Ç 1 eski sisteme ve açıya göre α eksenler arasında Ah Ve O 1 X. ile belirtelim X Ve en yeni sisteme göre aynı noktanın X ve Y koordinatları aracılığıyla eski sisteme göre rastgele bir M noktasının koordinatları. Görevimiz eski koordinatların sağlanmasıdır. X Ve en yeni X ve Y cinsinden ifade edilir. Ortaya çıkan dönüşüm formülleri açıkça sabitleri içermelidir a, b Ve α .
Bu genel soruna iki özel durumu ele alarak çözüm bulacağız.
1. Koordinatların orijini değişir ancak eksenlerin yönleri değişmez ( α = 0).
2. Eksenlerin yönleri değişir ancak koordinatların kökeni değişmeden kalır ( a = b = 0).
§ 2. Koordinatların kökeninin aktarılması.
Farklı kökenlere sahip iki Kartezyen koordinat sistemi verilsin Ö Ve Ç 1 ve eksenlerin aynı yönleri (Şekil 69).
ile belirtelim A Ve B yeni başlangıcın koordinatları Ç 1 eski sistemde ve aracılığıyla x, y Ve X, e-sırasıyla eski ve yeni sistemlerde rastgele bir M noktasının koordinatları. M noktasının eksene yansıtılması O 1 X Ve Ah ve ayrıca bir nokta Ç 1 eksen başına Ah, eksene geçiyoruz Ahüç nokta Ah, Ah Ve R. Segment boyutları OA, AR Ve VEYA aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:
| OA| + | AR | = | VEYA |. (1)
Bunu fark ediyorum | OA| = A , | VEYA | = X , | AR | = | Ç 1 R 1 | = X eşitliği (1) şu şekilde yeniden yazıyoruz:
A + X = X veya X = X + A . (2)
Benzer şekilde M'yi tasarlamak ve Ç 1 ordinat ekseninde şunu elde ederiz:
sen = e + B (3)
Bu yüzden, eski koordinat, yeni koordinat artı eski sisteme göre yeni orijinin koordinatına eşittir.
Formül (2) ve (3)'ten yeni koordinatlar eskileri aracılığıyla ifade edilebilir:
X = x - a , (2")
e = y - b . (3")
§ 3. Koordinat eksenlerinin dönüşü.
Aynı kökene sahip iki Kartezyen koordinat sistemi verilsin HAKKINDA ve eksenlerin farklı yönleri (Şekil 70).
İzin vermek α eksenler arasında bir açı var Ah Ve AH. ile belirtelim x, y Ve X, Y eski ve yeni sistemlerde sırasıyla rastgele bir M noktasının koordinatları:
X = | VEYA | , en = | ÖĞLEDEN SONRA | ,
X= | VEYA 1 |, e= | P 1 M |.
Kırık bir çizgi düşünün VEYA 1 MP ve projeksiyonunu eksene alın Ah. Kesikli çizginin izdüşümünün kapanış bölümünün izdüşümüne eşit olduğuna dikkat çekerek (Bölüm I, § 8):
VEYA 1 MP = | VEYA |. (4)
Öte yandan, kesikli bir çizginin izdüşümü, bağlantılarının izdüşümlerinin toplamına eşittir (Bölüm I, § 8); dolayısıyla eşitlik (4) şu şekilde yazılacaktır:
vesaire VEYA 1+ pr P 1 M+ pr Milletvekili= | VEYA | (4")
Yönlendirilmiş bir parçanın izdüşümü, büyüklüğünün çıkıntıların ekseni ile parçanın üzerinde bulunduğu eksen arasındaki açının kosinüsü ile çarpımına eşit olduğundan (Bölüm I, § 8), o zaman
vesaire VEYA 1 = Xçünkü α
vesaire P 1 M = eçünkü (90° + α ) = - e günah α ,
halkla ilişkiler Milletvekili= 0.
Dolayısıyla eşitlik (4") bize şunu verir:
X = Xçünkü α - e günah α . (5)
Benzer şekilde, aynı sürekli çizgiyi eksene yansıtmak kuruluş birimi için bir ifade elde ederiz en. Aslında elimizde:
vesaire VEYA 1+ pr P 1 M+ pr Milletvekili= pp VEYA = 0.
Bunu fark etmek
vesaire VEYA 1 = Xçünkü( α - 90°) = X günah α ,
vesaire P 1 M = eçünkü α ,
halkla ilişkiler Milletvekili = - sen ,
sahip olacak:
X günah α + eçünkü α - sen = 0,
sen = X günah α + eçünkü α . (6)
Formül (5) ve (6)'dan yeni koordinatlar elde ederiz X Ve e eski aracılığıyla ifade edilen X Ve en , eğer (5) ve (6) denklemlerini aşağıdakilere göre çözersek X Ve e.
Yorum. Formüller (5) ve (6) farklı şekilde elde edilebilir.
Şek. 71 elimizde:
X = VEYA = OM çünkü ( α + φ ) = OM çünkü α çünkü φ - AMA günah α günah φ ,
en = RM = OM günah ( α + φ ) = OM günah α çünkü φ + OM çünkü α günah φ .
(Bölüm I, § 11)'den beri OM çünkü φ = X AMA günah φ =e, O
X = Xçünkü α - e günah α , (5)
sen = X günah α + eçünkü α . (6)
§ 4. Genel durum.
Farklı kökenlere ve eksenlerin farklı yönlerine sahip iki Kartezyen koordinat sistemi verilsin (Şekil 72).
ile belirtelim A Ve B yeni başlangıcın koordinatları HAKKINDA eski sisteme göre, α - koordinat eksenlerinin dönme açısı ve son olarak x, y Ve X, Y- sırasıyla eski ve yeni sistemlere göre rastgele bir M noktasının koordinatları.
İfade etmek X Ve en başından sonuna kadar X Ve e yardımcı koordinat sistemini tanıtalım X 1 Ö 1 sen 1, başlangıcı yeni bir başlangıca yerleştirilecek HAKKINDA 1'i seçin ve eksenlerin yönlerini eski eksenlerin yönleriyle çakışacak şekilde alın. İzin vermek X 1 ve sen 1, bu yardımcı sisteme göre M noktasının koordinatlarını göstermektedir. Eski koordinat sisteminden yardımcı sisteme geçerken elimizde (§ 2):
X = X 1 + bir , y = y 1 +b .
X 1 = Xçünkü α - e günah α , sen 1 = X günah α + eçünkü α .
Değiştirme X 1 ve sen 1 önceki formüllerde son formüllerdeki ifadelerle nihayet şunu buluyoruz:
X = Xçünkü α - e günah α + A
sen = X günah α + eçünkü α + B (BEN)
Formüller (I), özel bir durum olarak §§ 2 ve 3'ün formüllerini içerir. α = 0 formül (I) şuna dönüşür:
X = X + A , sen = e + B ,
ve ne zaman a = b = 0 elimizde:
X = Xçünkü α - e günah α , sen = X günah α + eçünkü α .
Formül (I)'den yeni koordinatlar elde ediyoruz X Ve e eski aracılığıyla ifade edilen X Ve en , eğer denklemler (I) aşağıdakilere göre çözülebilirse X Ve e.
Formül (I)'in çok önemli bir özelliğine dikkat edelim: bunlar X Ve e, yani formun:
X = AX + BY + C, sen = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Yeni koordinatların doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaydır X Ve e eski aracılığıyla ifade edilecek X Ve en ayrıca birinci dereceden formüllerle X Ve sen.
G.N.Yakovlev "Geometri"
§ 13. Bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminden diğerine geçiş
Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi seçilerek düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı çiftleri arasında bire bir yazışma kurulur. Bu, düzlemdeki her noktanın tek bir sayı çiftine karşılık geldiği ve her sıralı reel sayı çiftinin de tek bir noktaya karşılık geldiği anlamına gelir.
Bir veya başka bir koordinat sisteminin seçimi hiçbir şekilde sınırlı değildir ve her özel durumda yalnızca kolaylık göz önünde bulundurularak belirlenir. Çoğunlukla aynı kümenin farklı koordinat sistemlerinde dikkate alınması gerekir. Farklı sistemlerde aynı noktanın farklı koordinatları olduğu açıktır. Farklı koordinat sistemlerinde bir dizi nokta (özellikle bir daire, bir parabol, bir düz çizgi) farklı denklemlerle verilir.
Bir koordinat sisteminden diğerine geçerken düzlemdeki noktaların koordinatlarının nasıl dönüştüğünü öğrenelim.
Düzlemde iki dikdörtgen koordinat sistemi verilsin: O, ben, j ve hakkında", ben", j" (Şek. 41).
O noktasında başlangıcı ve temel vektörleri olan ilk sistem Ben Ve J buna eski, ikinci demeye karar verelim - başlangıcı O" noktasında ve temel vektörlerle Ben" Ve J" - yeni.
Yeni sistemin bilinen eski sisteme göre konumunu ele alacağız: eski sistemdeki O" noktasının koordinatları olsun ( a;b ), bir vektör Ben" vektörlü formlar Ben köşe α . Köşe α Saat yönündeki hareketin tersi yönde sayıyoruz.
Rastgele bir M noktası düşünelim. Eski sistemdeki koordinatlarını () ile gösterelim. x;y ), yenisinde - aracılığıyla ( x";y" ). Görevimiz M noktasının eski ve yeni koordinatları arasındaki ilişkiyi kurmaktır.
O ve O", O" ve M, O ve M noktalarını çiftler halinde birleştirelim. Elde ettiğimiz üçgen kuralını kullanarak
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Vektörleri genişletelim OM> ve OO"> temel vektörlere göre Ben Ve J ve vektör O"M> temel vektörlere göre Ben" Ve J" :
OM > = X Ben+ e J , OO" > = A Ben+b J , O"M > = X" Ben"+ y" J "
Şimdi eşitlik (1) şu şekilde yazılabilir:
X Ben+ e J = (A Ben+b J ) + (X" Ben"+ y" J "). (2)
Yeni temel vektörler Ben" Ve J" eski temel vektörlere göre genişletilir Ben Ve J Aşağıdaki şekilde:
Ben" =çünkü α Ben + günah α J ,
J" =çünkü( π / 2 + α ) Ben +günah( π / 2 + α ) J = - günah α Ben +çünkü α J .
Bulunan ifadelerin değiştirilmesi Ben" Ve J" formül (2)'ye göre vektör eşitliğini elde ederiz
X Ben+ e J = A Ben+b J + X"(çünkü α Ben + günah α J ) + sen"(-günah α Ben +çünkü α J )
iki sayısal eşitliğe eşdeğer:
|
x = bir + X"çünkü α
- sen" günah α
, |
Formüller (3) eski koordinatlar için gerekli ifadeleri verir X Ve en yeni koordinatlarını işaret ediyor X" Ve sen". Yeni koordinatların eskilerine göre ifadelerini bulmak için denklem (3) sistemini bilinmeyenlere göre çözmek yeterlidir. X" Ve sen".
Yani koordinatların orijini noktaya aktarıldığında noktaların koordinatları ( A; B ) ve eksenleri bir açıyla döndürmek α formül (3)'e göre dönüştürülür.
Yalnızca koordinatların orijini değişirse ve eksenlerin yönleri aynı kalırsa, o zaman formül (3)'ü varsayarsak α = 0, şunu elde ederiz
Formüller (5) denir döndürme formülleri.
Görev 1. Eski sistemdeki yeni başlangıcın koordinatları (2; 3), eski sistemdeki A noktasının koordinatları (4; -1) olsun. Eksenlerin yönleri aynı kalırsa yeni sistemde A noktasının koordinatlarını bulun.
Formül (4)'e göre elimizde
Cevap. A(2;-4)
Görev 2. P noktasının koordinatları eski sistemde (-2;1), eksen yönleri aynı olan yeni sistemde bu noktanın koordinatları (5;3) olsun. Eski sistemdeki yeni başlangıcın koordinatlarını bulun.
A Formül (4)'ten elde ettiğimiz
|
-
2= bir + 5 |
Neresi A = - 7, B = - 2.
Cevap. (-7; -2).
Görev 3. Yeni sistemdeki A noktasının koordinatları (4; 2). Orjin aynı kalırsa ve eski sistemin koordinat eksenleri bir açı kadar döndürülmüşse, bu noktanın eski sistemdeki koordinatlarını bulun. α = 45°.
Formülleri (5) kullanarak buluyoruz
Görev 4. Eski sistemde A noktasının koordinatları (2 √3 ; - √3 ). Eski sistemin orijini (-1;-2) noktasına kaydırılır ve eksenler bir açıyla döndürülürse, yeni sistemde bu noktanın koordinatlarını bulun. α = 30°.
Formül (3)'e göre elimizdeki
Bu denklem sistemini çözdükten sonra X" Ve sen", bulduk: X" = 4, sen" = -2.
Cevap. A (4; -2).
Görev 5. Doğrunun denklemi verilmiştir en = 2X - 6. Eksenlerin bir açıyla döndürülmesiyle eski sistemden elde edilen yeni koordinat sisteminde aynı doğrunun denklemini bulun α = 45°.
Bu durumda rotasyon formülleri şu şekildedir:
Denklemdeki düz çizgiyi değiştirme en = 2X - 6 eski değişken X Ve en yeni, denklemi elde ettik
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
basitleştirmelerden sonra şu şekli alır sen" = X" / 3 - 2√2
Koordinatlar
- bunlar, benimsenen koordinat sisteminde yüzeydeki veya uzaydaki herhangi bir noktanın konumunu belirleyen niceliklerdir. Koordinat sistemi, gerekli miktarları (koordinatların kökeni ve birimleri) saymak için başlangıç (başlangıç) noktalarını, çizgilerini veya düzlemlerini oluşturur. Topografya ve jeodezide coğrafi, dikdörtgen, kutupsal ve iki kutuplu koordinat sistemleri en yaygın şekilde kullanılır.
Coğrafi koordinatlar (Şekil 2.8), Dünya yüzeyindeki noktaların bir elipsoid (küre) üzerindeki konumunu belirlemek için kullanılır. Bu koordinat sisteminde başlangıç düzlemi başlangıç meridyeni ve ekvator düzlemidir. Meridyen, bir elipsoidin belirli bir noktadan ve Dünya'nın dönme ekseninden geçen bir düzlemle kesit çizgisidir.
Paralel, bir elipsoidin belirli bir noktadan geçen ve dünyanın eksenine dik olan bir düzlemle kesit çizgisidir. Düzlemi elipsoidin merkezinden geçen paralele ekvator denir. Yerkürenin yüzeyinde yer alan her noktadan yalnızca bir meridyen ve yalnızca bir paralel çizilebilir.
Coğrafi koordinatlar
açısal büyüklüklerdir: l boylamı ve j enlemi.
Coğrafi boylam l, belirli bir meridyenin düzlemi (B noktasından geçen) ile başlangıç meridyeninin düzlemi arasındaki dihedral açıdır. Başlangıç meridyeni, Londra şehri içindeki Greenwich Gözlemevi'nin ana salonunun merkezinden geçen meridyen olarak kabul edilir. B noktası için boylam l = WCD açısıyla belirlenir. Boylamlar başlangıç meridyeninden itibaren her iki yönde (doğu ve batı) sayılır. Bu bağlamda, 0° ile 180° arasında değişen batı ve doğu boylamları ayırt edilmektedir.
Coğrafi enlem
j, ekvator düzlemi ile belirli bir noktadan geçen çekül çizgisinin oluşturduğu açıdır. Eğer Dünya bir küre olarak alınırsa, B noktası için (Şekil 2.8) j enlemi DCB açısı ile belirlenir. Ekvatordan kuzeye doğru ölçülen enlemlere kuzey denir ve güney-güneyde ölçülen enlemler ekvatorda 0° ile kutuplarda 90° arasında değişir.
Coğrafi koordinatlar astronomik gözlemlerden veya jeodezik ölçümlerden elde edilebilir. İlk durumda bunlara astronomik, ikincisinde ise jeodezik (L - boylam, B - enlem) denir. Astronomik gözlemler sırasında, noktaların referans yüzeyine yansıtılması çekül hatlarıyla ve jeodezik ölçümler sırasında normallerle gerçekleştirilir. Bu nedenle astronomik ve jeodezik koordinatların değerleri, çekül hattının sapma miktarına göre farklılık gösterir.
Farklı referans elipsoidlerinin farklı durumlar tarafından kullanılması, aynı noktaların farklı referans yüzeylerine göre hesaplanan koordinatlarında farklılıklara yol açar. Uygulamada bu, kartografik görüntünün büyük ve orta ölçekli haritalardaki meridyenlere ve paralellere göre genel yer değiştirmesinde ifade edilir.
Dikdörtgen koordinatlar
düzlemdeki bir noktanın orijinal yönlere göre konumunu belirleyen doğrusal büyüklükler - apsis ve ordinat olarak adlandırılır.
(Şekil 2.9)
Jeodezi ve topografyada, sağ taraftaki dikdörtgen koordinat sistemi benimsenmiştir. Bu onu matematikte kullanılan solak koordinat sisteminden ayırır. Başlangıç yönleri, başlangıç noktaları kesişme noktaları O olan karşılıklı iki dik çizgidir.
Düz çizgi XX (apsis ekseni), koordinatların orijininden geçen meridyenin yönü ile veya belirli bir meridyene paralel bir yön ile hizalanır. YY düz çizgisi (koordinat ekseni), apsis eksenine dik O noktasından geçer. Böyle bir sistemde bir noktanın düzlem üzerindeki konumu, koordinat eksenlerine olan en kısa mesafeye göre belirlenir. A noktasının konumu Xa ve Ya dik doğrularının uzunluğuyla belirlenir. Xa segmentine A noktasının apsisi denir ve Ya bu noktanın ordinatıdır. Dikdörtgen koordinatlar genellikle metre cinsinden ifade edilir. O noktasındaki arazi alanı apsis ve koordinat eksenleri ile dört çeyreğe bölünmüştür (Şekil 2.9). Mahallelerin adı, ana noktaların kabul edilen tanımlarına göre belirlenir. Çeyrekler saat yönünde numaralandırılmıştır: I - NE; II - SE; III - GB; IV - Kuzeybatı.
Masada 2.3 farklı çeyreklerde bulunan noktaların X apsis ve Y koordinat işaretlerini gösterir ve isimlerini verir.
Tablo 2.3
Koordinatların kökeninden yukarıya doğru konumlandırılan noktaların apsisleri pozitif, aşağıya doğru - negatif, sağa yerleştirilmiş noktaların koordinatları - pozitif, sola - negatif olarak kabul edilir. Düz dikdörtgen koordinat sistemi, dünya yüzeyinin düz sanılabilecek sınırlı alanlarında kullanılır.
Kökeni yerdeki bir nokta olan koordinatlara kutupsal denir. Bu koordinat sisteminde yönlendirme açıları ölçülür. Yatay bir düzlemde (Şekil 2.10), kutup adı verilen, keyfi olarak seçilmiş bir O noktasından, kutup ekseni olan düz bir OX çizgisi çizin.
Daha sonra herhangi bir noktanın, örneğin M'nin konumu, sırasıyla yarıçap - vektör r1 ve yön açısı a1 ve N - r2 ve a2 noktası tarafından belirlenecektir. a1 ve a2 açıları kutup ekseninden saat yönünde yarıçap vektörüne kadar ölçülür. Kutupsal eksen keyfi olarak yerleştirilebilir veya O kutbundan geçen herhangi bir meridyenin yönü ile hizalanabilir.
İki kutuplu koordinat sistemi (Şekil 2.11), düz bir çizgiyle (kutup ekseni) birbirine bağlanan seçilmiş iki sabit O1 ve O2 kutbunu temsil eder. Bu koordinat sistemi, iki açı b1 ve b2, iki yarıçap vektörü r1 ve r2 veya bunların kombinasyonlarını kullanarak M noktasının düzlemdeki kutupsal eksene göre konumunu belirlemenize olanak tanır. O1 ve O2 noktalarının dikdörtgen koordinatları biliniyorsa M noktasının konumu analitik olarak hesaplanabilir. 
Pirinç. 2.11
Pirinç. 2.12
Dünya yüzeyindeki noktaların yükseklikleri. Dünyanın fiziksel yüzeyindeki noktaların konumunu belirlemek için yalnızca X, Y veya l, j yatay koordinatlarını bilmek yeterli değildir; üçüncü bir koordinata ihtiyaç vardır - H noktasının yüksekliği. H noktasının yüksekliği ( Şekil 2.12), belirli bir noktadan (A'; B' ') kabul edilen ana seviye yüzeyi MN'ye kadar dikey yöndeki mesafedir. Bir noktanın yüksekliğinin sayısal değerine yükseklik denir. MN ana seviye yüzeyinden ölçülen yüksekliklere mutlak yükseklikler (AA'; BB'') adı verilir ve keyfi olarak seçilen bir düz yüzeye göre belirlenen yüksekliklere koşullu yükseklikler (В'В'') adı verilir. İki noktanın yükseklik farkına veya Dünya'nın herhangi iki noktasından geçen düz yüzeyler arasındaki düşey yöndeki mesafeye bağıl yükseklik (В'В'') veya bu noktaların yüksekliği h denir.
1977 Baltık yükseklik sistemi Belarus Cumhuriyeti'nde benimsenmiştir.Yükseklikler, Finlandiya Körfezi'ndeki ortalama su seviyesine denk gelen düz yüzeyden, Kronstadt su göstergesinin sıfırından hesaplanır.
İşte bir tane daha
Belirlemek için Jeodezideki noktaların konumları uzaysal dikdörtgen, jeodezik ve düzlemsel dikdörtgen koordinatları kullanır.
Uzaysal dikdörtgen koordinatlar. Koordinat sisteminin orijini merkezdedir Ö dünyanın elipsoidi(Şekil 2.2).
Eksen Z yönlendirilmiş elipsoidin kuzeye doğru dönme ekseni boyunca. Eksen X Ekvator düzleminin başlangıç Greenwich meridyeniyle kesiştiği noktada yer alır. Eksen e eksenlere dik olarak yönlendirilmiş Z Ve X doğuya.
Jeodezik koordinatlar. Bir noktanın jeodezik koordinatları onun enlemi, boylamı ve yüksekliğidir (Şekil 2.2).
Jeodezik enlem puan M açı denir İÇİNDE belirli bir noktadan ve ekvator düzleminden geçen elipsoidin yüzeyine normalin oluşturduğu.
Enlem, ekvatorun kuzey ve güneyinden 0° ila 90° arasında ölçülür ve kuzey veya güney olarak adlandırılır. Kuzey enlemi pozitif, güney enlemi ise negatif kabul edilir.
Eksenden geçen bir elipsoidin kesit düzlemleri OZ, arandı jeodezik meridyenler.
Jeodezik boylam puan M dihedral açı denir L, başlangıç (Greenwich) jeodezik meridyeninin ve belirli bir noktanın jeodezik meridyeninin düzlemlerinden oluşur.
Boylamlar başlangıç meridyeninden itibaren 0° ila 360° doğu veya 0° ila 180° doğu (pozitif) ve 0° ila 180° batı (negatif) aralığında ölçülür.
Jeodezik yükseklik puan M onun yüksekliği N Dünya elipsoidinin yüzeyinin üstünde.
Jeodezik koordinatlar ve uzaysal dikdörtgen koordinatlar formüllerle ilişkilendirilir
X =(N+H)çünkü Bçünkü L,
Y=(N+H)çünkü B günah L,
z=[(1- e 2)N+H] günah B,
Nerede e- meridyen elipsinin ilk dışmerkezliği ve N-ilk dikeyin eğrilik yarıçapı.Bu durumda Yok=a/(1 - e 2 günah 2 B) 1/2 .
Jeodezik ve mekansal Noktaların dikdörtgen koordinatları, uydu ölçümleri kullanılarak ve bunların jeodezik ölçümlerle koordinatları bilinen noktalara bağlanmasıyla belirlenir.
şunu unutmayın: Jeodeziklerin yanı sıra astronomik enlem ve boylam da vardır. Astronomik enlem j, belirli bir noktada çekül hattının ekvator düzlemiyle yaptığı açıdır. Astronomik boylam l, Greenwich meridyeninin düzlemleri ile belirli bir noktada çekül hattından geçen astronomik meridyen arasındaki açıdır. Astronomik koordinatlar yerde yapılan astronomik gözlemlere göre belirlenir.
Astronomik koordinatlar Jeodeziklerden farklıdır çünkü çekül çizgilerinin yönleri elipsoidin yüzeyine normallerin yönleriyle çakışmaz. Elipsoidin yüzeyine normalin yönü ile dünya yüzeyinde belirli bir noktada çekül çizgisi arasındaki açıya denir. çekül hattının sapması.
Jeodezik ve astronomik koordinatların bir genellemesi şu terimdir: coğrafi koordinatlar.
Düzlem dikdörtgen koordinatlar. Mühendislik jeodezisi problemlerini çözmek için, mekansal ve jeodezik koordinatlardan daha basit olanlara - düz koordinatlara doğru hareket ederler; bu, araziyi bir düzlemde tasvir etmeyi ve iki koordinat kullanarak noktaların konumunu belirlemeyi mümkün kılar. X Ve en.
Dünyanın dışbükey yüzeyinden beri distorsiyon olmadan bir düzlem üzerinde gösterilemez; düzlem koordinatlarının girilmesi yalnızca distorsiyonların ihmal edilebilecek kadar küçük olduğu sınırlı alanlarda mümkündür. Rusya'da, temeli eşit açılı enine silindirik olan bir dikdörtgen koordinat sistemi benimsenmiştir. Gauss projeksiyonu. Bir elipsoidin yüzeyi, bir düzlem üzerinde bölge adı verilen parçalar halinde gösterilir. Bölgeler, meridyenlerle sınırlanan ve kuzey kutbundan güneye doğru uzanan küresel üçgenlerdir (Şekil 2.3). Bölgenin boylam boyutu 6°'dir. Her bölgenin merkezi meridyenine eksenel meridyen denir. Bölgeler Greenwich'ten doğuya doğru numaralandırılmıştır.
N numaralı bölgenin eksenel meridyeninin boylamı şuna eşittir:
l 0 = 6°× N - 3°.
Bölgenin ve ekvatorun eksenel meridyeni düzlemde düz çizgilerle gösterilmiştir (Şekil 2.4). Eksenel meridyen apsis ekseni olarak alınır X ve ekvator ordinat ekseninin arkasındadır y. Bunların kesişimi (nokta Ö) bu bölge için koordinatların başlangıç noktası görevi görür.
Kaçınmak Negatif koordinat değerlerinde kesişim koordinatları eşit alınır X 0 = 0, sen 0 = 500 km, eksen yer değiştirmesine eşdeğerdir X 500 km batıda.
Böylece bir noktanın dikdörtgen koordinatlarına göre o noktanın hangi bölgede bulunduğuna ordinatına göre karar verilebilir. sen koordinat bölgesinin numarası sola atanır.
Örneğin bir noktanın koordinatları olsun Aşu forma sahip:
x bir= 6.276.427 m
ve bir= 12.428.566 m
Bu koordinatlar şunları gösterir: mesele bu A ekvatordan 6276427 m uzaklıkta batı kesiminde yer almaktadır ( sen < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
Uzaysal dikdörtgen için Rusya'da jeodezik ve düz dikdörtgen koordinatlar, birleşik bir koordinat sistemi SK-95 benimsenmiş, devlet jeodezik ağının noktaları ile yere sabitlenmiş ve 1995 yılı itibarıyla uydu ve yer tabanlı ölçümlere göre inşa edilmiştir.
Yerel dikdörtgen koordinat sistemleri.Çeşitli nesnelerin inşası sırasında, eksenlerin yönlerinin ve koordinatların kökeninin, nesnenin inşaatı ve sonraki çalışması sırasında kullanım kolaylığına göre atandığı yerel (koşullu) koordinat sistemleri sıklıkla kullanılır.
Bu yüzden, çekim yaparken tren istasyonu ekseni en ana demiryolu hattının ekseni boyunca artan kazıklama yönünde yönlendirilir ve eksen X- yolcu istasyonu binasının ekseni boyunca.
Inşaat sırasında köprü geçişleri aksı X genellikle köprünün ekseni ve eksen ile birleştirilir sen dik yönde gider.
Inşaat sırasında büyük endüstriyel ve sivil Eksen tesisleri X Ve sen inşaat halindeki binaların eksenlerine paralel yönlendirilmiştir.
Uygulamalı bilimlerdeki çoğu problemi çözmek için, bir nesnenin veya noktanın kabul edilen koordinat sistemlerinden biri kullanılarak belirlenen konumunun bilinmesi gerekir. Ayrıca bir noktanın rakım konumunu da belirleyen yükseklik sistemleri vardır.
Koordinatlar nelerdir
Koordinatlar, yerdeki bir noktanın konumunu belirlemek için kullanılabilecek sayısal veya alfabetik değerlerdir. Sonuç olarak, bir koordinat sistemi, bir noktayı veya nesneyi bulmak için aynı prensibe sahip olan aynı türdeki değerler kümesidir.
Bir noktanın konumunu bulmak birçok pratik problemi çözmek için gereklidir. Jeodezi gibi bir bilimde, belirli bir uzaydaki bir noktanın konumunu belirlemek, sonraki tüm çalışmaların başarısının dayandığı ana amaçtır.
Çoğu koordinat sistemi tipik olarak yalnızca iki eksenle sınırlanan bir düzlem üzerindeki bir noktanın konumunu tanımlar. Üç boyutlu uzayda bir noktanın konumunu belirlemek için yükseklik sistemi de kullanılır. Onun yardımıyla öğrenebilirsiniz tam konum istenen nesne.
Jeodezide kullanılan koordinat sistemleri hakkında kısaca
Koordinat sistemleri, bir bölge üzerindeki bir noktanın konumunu, ona üç değer vererek belirler. Hesaplama prensipleri her koordinat sistemi için farklıdır.
Jeodezide kullanılan ana mekansal koordinat sistemleri:
- Jeodezik.
- Coğrafi.
- Polar.
- Dikdörtgen.
- Bölgesel Gauss-Kruger koordinatları.
Tüm sistemlerin kendi başlangıç noktası, nesnenin konumu ve uygulama alanı için değerleri vardır.
Jeodezik koordinatlar
Jeodezik koordinatları ölçmek için kullanılan ana şekil dünyanın elipsoididir.
Elipsoid, dünyanın şeklini en iyi temsil eden üç boyutlu sıkıştırılmış bir şekildir. Dünyanın matematiksel olarak düzensiz bir şekil olması nedeniyle jeodezik koordinatları belirlemek için elipsoid kullanılır. Bu, bir cismin yüzeydeki konumunu belirlemek için birçok hesaplamanın yapılmasını kolaylaştırır.
Jeodezik koordinatlar üç değerle tanımlanır: jeodezik enlem, boylam ve yükseklik.
- Jeodezik enlem, başlangıcı ekvator düzleminde olan ve sonu istenen noktaya çizilen dikte bulunan bir açıdır.
- Jeodezik boylam, başlangıç meridyeninden, üzerinde istenilen noktanın bulunduğu meridyene kadar ölçülen açıdır.
- Jeodezik yükseklik, belirli bir noktadan Dünya'nın dönme elipsoidinin yüzeyine çizilen normalin değeridir.
Coğrafi koordinatlar
Yüksek jeodezideki yüksek hassasiyetli problemleri çözmek için jeodezik ve coğrafi koordinatlar arasında ayrım yapmak gerekir. Mühendislik jeodezisinde kullanılan sistemde, işin kapladığı alanın küçük olması nedeniyle genellikle bu tür farklılıklar yapılmamaktadır.
Jeodezik koordinatları belirlemek için referans düzlemi olarak bir elipsoid kullanılır ve coğrafi koordinatları belirlemek için bir jeoid kullanılır. Jeoid, Dünya'nın gerçek şekline daha yakın olan matematiksel olarak düzensiz bir şekildir. Düzleştirilmiş yüzeyi, deniz seviyesinin altında sakin durumda devam eden yüzey olarak kabul edilir.
Jeodezide kullanılan coğrafi koordinat sistemi, bir noktanın uzaydaki konumunu üç değerle tanımlar. Referans noktası aynı zamanda Greenwich olarak da adlandırılacağı için boylam jeodezik ile çakışmaktadır. Londra'da aynı adı taşıyan gözlemevinin içinden geçer. jeoidin yüzeyine çizilen ekvatordan belirlenir.
Jeodezide kullanılan yerel koordinat sisteminde yükseklik, sakin durumdaki deniz seviyesinden ölçülür. Rusya topraklarında ve eski Birlik ülkelerinde, yüksekliklerin belirlendiği işaret Kronstadt ayak direğidir. Baltık Denizi seviyesinde yer almaktadır.
Kutupsal koordinatlar
Jeodezide kullanılan kutupsal koordinat sisteminin ölçüm yapma konusunda başka nüansları vardır. Bir noktanın göreceli konumunu belirlemek için küçük arazi alanlarında kullanılır. Başlangıç noktası, başlangıç noktası olarak işaretlenen herhangi bir nesne olabilir. Bu nedenle, kutupsal koordinatları kullanarak, dünya üzerindeki bir noktanın kesin konumunu belirlemek imkansızdır.
Kutupsal koordinatlar iki büyüklükle belirlenir: açı ve mesafe. Açı, meridyenin kuzey yönünden belirli bir noktaya kadar ölçülür ve uzaydaki konumu belirlenir. Ancak bir açı yeterli olmayacaktır, bu nedenle bir yarıçap vektörü eklenir - durma noktasından istenen nesneye olan mesafe. Bu iki parametreyi kullanarak noktanın yerel sistemdeki konumunu belirleyebilirsiniz.
Kural olarak, bu koordinat sistemi küçük bir arazi alanında gerçekleştirilen mühendislik çalışmalarını gerçekleştirmek için kullanılır.
Dikdörtgen koordinatlar
Jeodezide kullanılan dikdörtgen koordinat sistemi küçük arazi alanlarında da kullanılır. Sistemin ana elemanı sayımın gerçekleştiği koordinat eksenidir. Bir noktanın koordinatları, apsis ve ordinat eksenlerinden istenilen noktaya çizilen dikmelerin uzunluğu olarak bulunur.
X ekseninin kuzey yönü ve Y ekseninin doğu yönü pozitif, güney ve batı yönleri ise negatif olarak değerlendirilmektedir. Burçlara ve çeyreklere bağlı olarak bir noktanın uzaydaki konumu belirlenir.
Gauss-Kruger koordinatları
Gauss-Kruger koordinat bölge sistemi dikdörtgen olana benzer. Aradaki fark, sadece küçük alanlara değil, dünyanın tamamına uygulanabilmesidir.
Gauss-Kruger bölgelerinin dikdörtgen koordinatları aslında yerkürenin bir düzlem üzerindeki izdüşümüdür. Dünyanın geniş alanlarını kağıt üzerinde tasvir etmek pratik amaçlar için ortaya çıktı. Aktarım sırasında ortaya çıkan bozulmaların önemsiz olduğu kabul edilir.
Bu sisteme göre dünya, boylamına göre ortasında eksenel bir meridyen bulunan altı derecelik bölgelere bölünmüştür. Ekvator yatay bir çizgi boyunca merkezdedir. Sonuç olarak, bu tür 60 bölge var.
Altmış bölgenin her birinin, X'ten gelen koordinat ekseni boyunca ve dünyanın ekvator Y bölümünden apsis ekseni boyunca ölçülen kendi dikdörtgen koordinat sistemi vardır. Tüm dünyanın topraklarındaki konumu açık bir şekilde belirlemek için, bölge numarası X ve Y değerlerinin önüne yerleştirilir.
Rusya topraklarındaki X ekseni değerleri kural olarak pozitif, Y değerleri ise negatif olabilir. X ekseni değerlerinde eksi işareti oluşmasını önlemek için her bölgenin eksenel meridyeni şartlı olarak 500 metre batıya kaydırılır. Daha sonra tüm koordinatlar pozitif olur.
Koordinat sistemi yirminci yüzyılın ortalarında Gauss tarafından bir olasılık olarak önerilmiş ve Kruger tarafından matematiksel olarak hesaplanmıştır. O zamandan beri jeodezide ana yöntemlerden biri olarak kullanıldı.
Yükseklik sistemi
Jeodezide kullanılan koordinat ve yükseklik sistemleri, Dünya üzerindeki bir noktanın konumunu doğru bir şekilde belirlemek için kullanılır. Mutlak yükseklikler deniz seviyesinden veya kaynak olarak alınan başka bir yüzeyden ölçülür. Ayrıca göreceli yükseklikler de vardır. İkincisi, istenen noktadan diğerine fazlalık olarak sayılır. Sonuçların daha sonraki işlenmesini kolaylaştırmak için yerel bir koordinat sisteminde çalışmak için kullanılmaya uygundurlar.
Koordinat sistemlerinin jeodezide uygulanması
Yukarıdakilere ek olarak jeodezide kullanılan başka koordinat sistemleri de vardır. Her birinin kendine özgü avantajları ve dezavantajları vardır. Ayrıca konumu belirlemeye yönelik şu veya bu yöntemin ilgili olduğu çalışma alanları da vardır.
Jeodezide kullanılan koordinat sistemlerinin hangilerinin en iyi şekilde kullanılacağını belirleyen çalışmanın amacıdır. Küçük alanlarda çalışmak için dikdörtgen ve kutupsal koordinat sistemlerinin kullanılması uygundur, ancak büyük ölçekli sorunları çözmek için dünya yüzeyinin tamamını kaplamaya izin veren sistemlere ihtiyaç vardır.
Menşei
Menşei(köken) Öklid uzayında - genellikle harfle gösterilen tekil bir nokta HAKKINDA diğer tüm noktalar için referans noktası olarak kullanılır. Öklid geometrisinde koordinatların kökeni herhangi bir uygun noktada keyfi olarak seçilebilir.
Orijinden başka bir noktaya çizilen vektöre yarıçap vektörü denir.
Kartezyen koordinat sistemi
Orijin, eksenlerin her birini iki ışına böler: pozitif yarı eksen ve negatif yarı eksen.
Özellikle sayı eksenine köken girilebilir. Bu anlamda farklı geniş büyüklükler (zaman, sıcaklık vb.) için koordinatların kökeninden bahsedebiliriz.
Kutupsal koordinat sistemleri
Wikimedia Vakfı. 2010.
Diğer sözlüklerde “Koordinatların kökeni”nin ne olduğuna bakın:
Menşei- İki boyutlu görüntülerle çalışan grafik sistemlerinde kullanılan düz koordinat sisteminde sıfır noktası (eksenlerin kesişme noktası). Bir noktanın koordinatı, yatay X ekseni (apsis) boyunca koordinatların orijininden (merkezinden) uzaklığıyla belirtilir… …
Menşei- Koordinačių pradžia statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. koordinatların kökeni vok. Koordinatnanfangspunkt, m; Koordinatnursprung, m rus. köken, n pranc. kordonların kökeni, f … Otomatik terminų žodynas
köken (çizici)- - [E.S. Alekseev, A.A. Myachev. Bilgisayar sistemleri mühendisliği üzerine İngilizce-Rusça açıklayıcı sözlük. Moskova 1993] Konular Bilişim teknolojisi genel olarak TR olay örgüsü kökeni... Teknik Çevirmen Kılavuzu
- (başlangıç) Grafik üzerinde herhangi bir ölçüm için sıfırı temsil eden bir nokta. Bir diyagramın birden fazla referans noktası olabilir. Örneğin, iki faktörlü bir kutu diyagramı, herhangi bir faktörün toplam kullanılabilir hacminin ... Ekonomik sözlük
Koordinatların orijininden geçmeyen karakteristiğe sahip yönlü direnç rölesi- - [V.A. Semenov. Röle korumasıyla ilgili İngilizce-Rusça sözlük] Konular röle koruması EN ofset mho mesafe rölesi ... Teknik Çevirmen Kılavuzu
Koordinatların kökeninden geçen daire şeklinde yönlü direnç rölesinin karakteristiği- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. İngilizce-Rusça elektrik mühendisliği ve enerji mühendisliği sözlüğü, Moskova, 1999] Elektrik mühendisliği konuları, temel kavramlar EN mho karakteristiği ... Teknik Çevirmen Kılavuzu
saymaya başlama- Görüntüleme ekranında tüm koordinat sistemlerinin başladığı konum. Genellikle ekranın sol üst köşesinde bulunur. Genel olarak EN kökenli konular bilgi teknolojisi ... Teknik Çevirmen Kılavuzu
Dikdörtgen koordinat sistemi, bir düzlemde veya uzayda karşılıklı dik eksenlere sahip doğrusal bir koordinat sistemidir. En basit ve dolayısıyla en yaygın kullanılan koordinat sistemi. Çok kolay ve doğrudan özetlenmiş... ... Vikipedi
Bir noktanın üç Kartezyen ve üç küresel koordinatı vardır.Küresel koordinat sistemini d'ye göre belirlemek uygundur ... Vikipedi
Koordinat yöntemini uygulayan bir dizi tanım, yani sayıları veya diğer sembolleri kullanarak bir noktanın veya cismin konumunu belirlemenin bir yolu. Belirli bir noktanın konumunu belirleyen sayılar kümesine bu noktanın koordinatları denir. ... ... Vikipedi'de
Kitabın
- Onsekiz, Stefania Danilova, Şair Stefania Danilova, 16 Ağustos 1994'te St. Petersburg'da doğdu ve bu şehre kayıtsız şartsız aşık. Her iki elini de kullanabilen, dahi çocuk, çok dilli, ilk yetişkin şiirini üç yaşındayken yazan... Kategori: Çağdaş Rus şiiri Seri: Runet Yıldızı Yayıncı: AST,
- Providence, Rogatko Sergei Aleksandrovich, Rus edebiyatında gerçekçi bir ilkeyi savunan ve bunu ünlü romanı "The Layman" ile doğrulayan yazar Sergei Rogatko'nun yeni romanı "Ateş", bir benzetme türünde yazılmıştır". Kategori: