I fəsil. Müstəvidə və fəzada vektorlar
§ 13. Bir düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindən digərinə keçid
Bu mövzunu iki versiyada nəzərdən keçirməyi təklif edirik.
1) İ.İ.Privalovun “Analitik həndəsə” dərsliyi əsasında (ali texniki təhsil müəssisələri üçün dərslik, 1966)
I.I. Privalov "Analitik həndəsə"
§ 1. Koordinatın çevrilməsi məsələsi.
Nöqtənin müstəvidəki mövqeyi bəzi koordinat sisteminə nisbətən iki koordinatla müəyyən edilir. Fərqli bir koordinat sistemi seçsək, nöqtənin koordinatları dəyişəcək.
Koordinatları çevirmək vəzifəsidir belə ki, bir koordinat sistemindəki nöqtənin koordinatlarını bilməklə, başqa sistemdə onun koordinatlarını tapın.
İki sistemdə ixtiyari bir nöqtənin koordinatlarını birləşdirən düsturlar qursaq, bu problem həll ediləcək və bu düsturların əmsallarına sistemlərin nisbi mövqeyini təyin edən sabit kəmiyyətlər daxil olacaqdır.
İki Kartezyen koordinat sistemi verilsin xOy Və XO 1 Y(Şəkil 68).
Yeni sistemin mövqeyi XO 1 Y köhnə sistemə nisbətən xOy koordinatları məlum olduqda müəyyən ediləcək A Və b yeni bir başlanğıc O 1 köhnə sistemə və bucağa görə α baltalar arasında Oh Və O 1 X. ilə işarə edək X Və saat köhnə sistemə nisbətən ixtiyari M nöqtəsinin koordinatları, eyni nöqtənin yeni sistemə nisbətən X və Y koordinatları vasitəsilə. Bizim vəzifəmiz köhnə koordinatları təmin etməkdir X Və saat yeni X və Y baxımından ifadə edilir. Nəticədə çevrilmə düsturları açıq şəkildə sabitləri ehtiva etməlidir a, b Və α .
Bu ümumi problemin həllini iki xüsusi halı nəzərdən keçirərək əldə edəcəyik.
1. Koordinatların mənşəyi dəyişir, lakin oxların istiqamətləri dəyişməz qalır ( α = 0).
2. Oxların istiqamətləri dəyişir, lakin koordinatların mənşəyi dəyişməz qalır ( a = b = 0).
§ 2. Koordinatların mənşəyinin köçürülməsi.
Müxtəlif mənşəli iki Dekart koordinat sistemi verilsin O Və O 1 və oxların eyni istiqamətləri (şək. 69).
ilə işarə edək A Və b yeni başlanğıcın koordinatları O 1 köhnə sistemdə və vasitəsilə x, y Və X, Y-köhnə və yeni sistemlərdə müvafiq olaraq ixtiyari M nöqtəsinin koordinatları. M nöqtəsinin ox üzərində proyeksiyası O 1 X Və Oh, həmçinin bir nöqtə O 1 ox başına Oh, biz oxuna giririk Ohüç nöqtə Oh, Ah Və R. Seqment ölçüləri OA, AR Və YA aşağıdakı əlaqə ilə bağlıdır:
| OA| + | AR | = | YA |. (1)
Diqqət yetirərək | OA| = A , | YA | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, bərabərliyi (1) şəklində yenidən yazırıq:
A + X = x və ya x = X + A . (2)
Eynilə, dizayn M və O 1 ordinat oxunda alırıq:
y = Y + b (3)
Belə ki, köhnə koordinat yeni üstəgəl köhnə sistemə görə yeni mənşəyin koordinatına bərabərdir.
(2) və (3) düsturlarından yeni koordinatlar köhnələri ilə ifadə edilə bilər:
X = x - a , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Koordinat oxlarının fırlanması.
Eyni mənşəli iki Kartezyen koordinat sistemi verilsin HAQQINDA və oxların müxtəlif istiqamətləri (şək. 70).
Qoy α oxlar arasında bucaq var Oh Və OH. ilə işarə edək x, y Və X, Y köhnə və yeni sistemlərdə müvafiq olaraq ixtiyari M nöqtəsinin koordinatları:
X = | YA | , saat = | PM | ,
X= | YA 1 |, Y= | P 1 M |.
Qırılmış bir xətt düşünün YA 1 MP və onun proyeksiyasını oxun üzərinə götürün Oh. Qırılmış xəttin proyeksiyasının bağlanan seqmentin proyeksiyasına bərabər olduğunu qeyd edərək (I fəsil, § 8) biz:
YA 1 MP = | YA |. (4)
Digər tərəfdən, qırıq xəttin proyeksiyası onun əlaqələrinin proyeksiyalarının cəminə bərabərdir (I fəsil, § 8); buna görə də bərabərlik (4) aşağıdakı kimi yazılacaq:
və s YA 1+ pr P 1 M+ pr millət vəkili= | YA | (4")
İstiqamətləndirilmiş seqmentin proyeksiyası onun böyüklüyünə proyeksiyalar oxu ilə seqmentin yerləşdiyi ox arasındakı bucağın kosinusuna vurulduğuna bərabər olduğundan (Fəsil I, § 8), onda
və s YA 1 = X cos α
və s P 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y günah α ,
pr millət vəkili= 0.
Beləliklə, bərabərlik (4") bizə verir:
x = X cos α - Y günah α . (5)
Eynilə, eyni polixəttin oxa proyeksiyası OU, üçün ifadə alırıq saat. Əslində, bizdə:
və s YA 1+ pr P 1 M+ pr millət vəkili= səh YA = 0.
Bunu nəzərə alaraq
və s YA 1 = Xçünki( α - 90°) = X günah α ,
və s P 1 M = Y cos α ,
pr millət vəkili = - y ,
olacaq:
X günah α + Y cos α - y = 0,
y = X günah α + Y cos α . (6)
(5) və (6) düsturlarından yeni koordinatlar əldə edirik X Və Y köhnə vasitəsilə ifadə edilir X Və saat , (5) və (6) tənlikləri ilə bağlı həll etsək X Və Y.
Şərh. Düsturlar (5) və (6) fərqli şəkildə əldə edilə bilər.
Şəkildən. 71 bizdə:
X = OR = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - Ey günah α günah φ ,
saat = RM = OM günah ( α + φ ) = AM günah α cos φ + OM cos α günah φ .
Çünki (I fəsil, § 11) OM cos φ = X, ey günah φ =Y, Bu
x = X cos α - Y günah α , (5)
y = X günah α + Y cos α . (6)
§ 4. Ümumi hal.
Müxtəlif mənşəli və oxların müxtəlif istiqamətləri olan iki Dekart koordinat sistemi verilsin (şək. 72).
ilə işarə edək A Və b yeni başlanğıcın koordinatları HAQQINDA, köhnə sistemə görə, vasitəsilə α - koordinat oxlarının fırlanma bucağı və nəhayət, vasitəsilə x, y Və X, Y- köhnə və yeni sistemlərə uyğun olaraq ixtiyari M nöqtəsinin koordinatları.
İfadə etmək X Və saat vasitəsilə X Və Y, yardımçı koordinat sistemini təqdim edək x 1 O 1 y 1, başlanğıcı yeni bir başlanğıcda yerləşdiriləcək HAQQINDA 1 və köhnə oxların istiqamətləri ilə üst-üstə düşmək üçün baltaların istiqamətlərini götürün. Qoy x 1 və y 1 bu köməkçi sistemə nisbətən M nöqtəsinin koordinatlarını göstərir. Köhnə koordinat sistemindən köməkçi sistemə keçərək bizdə (§ 2):
X = X 1 + a , y = y 1 +b .
X 1 = X cos α - Y günah α , y 1 = X günah α + Y cos α .
Əvəz olunur X 1 və y Əvvəlki düsturlarda 1-i sonuncu düsturlardan ifadələri ilə birlikdə nəhayət tapırıq:
x = X cos α - Y günah α + a
y = X günah α + Y cos α + b (I)
(I) düsturları xüsusi hal kimi §§ 2 və 3-ün düsturlarını ehtiva edir. Beləliklə, nə zaman α = 0 düsturlar (I) çevrilir
x = X + A , y = Y + b ,
və nə zaman a = b = 0 bizdə:
x = X cos α - Y günah α , y = X günah α + Y cos α .
Düsturlardan (I) yeni koordinatlar alırıq X Və Y köhnə vasitəsilə ifadə edilir X Və saat , (I) tənlikləri ilə bağlı həll oluna bilərsə X Və Y.
Düsturların (I) çox vacib bir xüsusiyyətini qeyd edək: onlar xəttidir X Və Y, yəni formada:
x = AX + BY + C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Yeni koordinatların olub olmadığını yoxlamaq asandır X Və Y köhnə vasitəsilə ifadə olunacaq X Və saat ilə bağlı birinci dərəcəli düsturlarla da X Və u.
G.N.Yakovlev "Həndəsə"
§ 13. Bir düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindən digərinə keçid
Düzbucaqlı Dekart koordinat sistemini seçməklə müstəvidəki nöqtələr və sıralı həqiqi ədədlər cütləri arasında bir-bir uyğunluq qurulur. Bu o deməkdir ki, müstəvidə hər bir nöqtə tək bir cüt ədədə, hər bir sıralanmış həqiqi ədəd cütü isə bir nöqtəyə uyğun gəlir.
Bu və ya digər koordinat sisteminin seçimi heç bir şəkildə məhdudlaşdırılmır və hər bir konkret halda yalnız rahatlıq mülahizələri ilə müəyyən edilir. Çox vaxt eyni çoxluq müxtəlif koordinat sistemlərində nəzərə alınmalıdır. Fərqli sistemlərdə eyni nöqtənin fərqli koordinatları var. Müxtəlif koordinat sistemlərindəki nöqtələr toplusu (xüsusən də dairə, parabola, düz xətt) müxtəlif tənliklərlə verilir.
Bir koordinat sistemindən digərinə keçərkən müstəvidəki nöqtələrin koordinatlarının necə çevrildiyini öyrənək.
Müstəvidə iki düzbucaqlı koordinat sistemi verilsin: O, i, j və haqqında", i", j" (Şəkil 41).
O nöqtəsində başlanğıcı və əsas vektorları olan birinci sistem i Və j gəlin onu köhnə adlandırmağa razılaşaq, ikincisi - başlanğıcı O nöqtəsində və əsas vektorlarla mən" Və j" - yeni.
Yeni sistemin mövqeyini məlum olan köhnəyə nisbətən nəzərdən keçirəcəyik: köhnə sistemdəki O nöqtəsinin koordinatları olsun ( a;b ), vektor mən" vektorlu formalar i künc α . Künc α Saat əqrəbinin əksinə olan istiqamətdə sayırıq.
İxtiyari M nöqtəsini nəzərdən keçirək. Onun köhnə sistemdə koordinatlarını ( ilə işarə edək. x;y ), yenisində - vasitəsilə ( x";y" ). Bizim vəzifəmiz M nöqtəsinin köhnə və yeni koordinatları arasında əlaqə yaratmaqdır.
O və O", O" və M, O və M nöqtələrini cüt-cüt birləşdirək. Aldığımız üçbucaq qaydasından istifadə edərək
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Vektorları genişləndirək OM> və OO"> bazis vektorları ilə i Və j , və vektor O"M> bazis vektorları ilə mən" Və j" :
OM > = x i+ y j , OO" > = a i+b j , O"M > = x" i"+ y" j "
İndi bərabərlik (1) aşağıdakı kimi yazıla bilər:
x i+ y j = (a i+b j ) + (x" i"+ y" j "). (2)
Yeni əsas vektorlar mən" Və j" köhnə bazis vektorlarına görə genişləndirilir i Və j aşağıdakı şəkildə:
mən" = cos α i + günah α j ,
j" =cos( π / 2 + α ) i +günah( π / 2 + α ) j = - günah α i +cos α j .
Tapılan ifadələrin yerinə qoyulması mən" Və j" (2) düsturu ilə vektor bərabərliyini əldə edirik
x i+ y j = a i+b j + X"(cos α i + günah α j ) + y"(-günah α i +cos α j )
iki ədədi bərabərliyə bərabərdir:
|
x = a + X" cos α
- y" günah α
, |
Düsturlar (3) köhnə koordinatlar üçün tələb olunan ifadələri verir X Və saat yeni koordinatları vasitəsilə göstərir X" Və y". Köhnələr baxımından yeni koordinatların ifadələrini tapmaq üçün naməlumlara münasibətdə (3) tənlik sistemini həll etmək kifayətdir. X" Və y".
Beləliklə, koordinatların başlanğıcı nöqtəyə köçürüldükdə nöqtələrin koordinatları ( A; b ) və oxları bucaqla çevirmək α düsturlara (3) uyğun olaraq çevrilir.
Yalnız koordinatların mənşəyi dəyişirsə və oxların istiqamətləri eyni qalırsa, düsturlarda (3) α = 0, alırıq
Formulalar (5) adlanır fırlanma düsturları.
Tapşırıq 1. Köhnə sistemdə yeni başlanğıcın koordinatları (2; 3), köhnə sistemdə A nöqtəsinin koordinatları (4; -1) olsun. Əgər oxların istiqamətləri eyni qalırsa, yeni sistemdə A nöqtəsinin koordinatlarını tapın.
Düsturlara (4) uyğun olaraq bizdə var
Cavab verin. A(2;-4)
Tapşırıq 2. Köhnə sistemdə P nöqtəsinin koordinatları (-2; 1), oxlarının istiqamətləri eyni olan yeni sistemdə isə bu nöqtənin koordinatları (5; 3) olsun. Köhnə sistemdə yeni başlanğıcın koordinatlarını tapın.
A (4) düsturlarından alırıq
|
-
2= a + 5 |
harada A = - 7, b = - 2.
Cavab verin. (-7; -2).
Tapşırıq 3. Yeni sistemdə A nöqtəsinin koordinatları (4; 2). Köhnə sistemdə mənşəyi eyni qalırsa və köhnə sistemin koordinat oxları bucaqla fırlanırsa, bu nöqtənin koordinatlarını tapın. α = 45°.
Düsturlardan (5) istifadə edərək tapırıq
Tapşırıq 4. Köhnə sistemdə A nöqtəsinin koordinatları (2 √3 ; - √3 ). Köhnə sistemin başlanğıcı (-1;-2) nöqtəsinə köçürülürsə və oxlar bucaqla fırlanırsa, yeni sistemdə bu nöqtənin koordinatlarını tapın. α = 30°.
(3) düsturlarına görə bizdə var
Bu tənliklər sistemini həll etdikdən sonra X" Və y", Biz tapdıq: X" = 4, y" = -2.
Cavab verin. A (4; -2).
Tapşırıq 5. Xəttin tənliyi verilmişdir saat = 2X - 6. Oxları bucaqla çevirməklə köhnə sistemdən alınan eyni xəttin yeni koordinat sistemində tənliyini tapın. α = 45°.
Bu halda fırlanma düsturları formaya malikdir
Tənlikdə düz xəttin dəyişdirilməsi saat = 2X - 6 köhnə dəyişən X Və saat yeni, tənliyi alırıq
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
sadələşdirmələrdən sonra formasını alır y" = x" / 3 - 2√2
Koordinatlar
- bunlar qəbul edilmiş koordinat sistemində hər hansı bir nöqtənin səthdə və ya fəzada mövqeyini təyin edən kəmiyyətlərdir. Koordinat sistemi lazımi kəmiyyətləri - koordinatların mənşəyini və onların vahidlərini hesablamaq üçün ilkin (mənşə) nöqtələri, xətləri və ya təyyarələri təyin edir. Topoqrafiya və geodeziyada coğrafi, düzbucaqlı, qütblü və bipolyar koordinat sistemləri ən çox istifadə olunur.
Coğrafi koordinatlardan (şək. 2.8) Yer səthindəki nöqtələrin ellipsoiddə (kürə) mövqeyini təyin etmək üçün istifadə olunur. Bu koordinat sistemində başlanğıc müstəvi əsas meridian və ekvator müstəvisidir. Meridian, verilmiş nöqtədən və Yerin fırlanma oxundan keçən bir müstəvi ilə ellipsoidin kəsişmə xəttidir.
Paralel, verilmiş nöqtədən keçən və yerin oxuna perpendikulyar olan müstəvi ilə ellipsoidin kəsişmə xəttidir. Müstəvisi ellipsoidin mərkəzindən keçən paralelə ekvator deyilir. Yer kürəsinin səthində yerləşən hər bir nöqtə vasitəsilə yalnız bir meridian və yalnız bir paralel çəkilə bilər.
Coğrafi koordinatlar
bucaq kəmiyyətləridir: uzunluq l və j eni.
Coğrafi uzunluq l - verilmiş meridianın müstəvisi (B nöqtəsindən keçən) ilə əsas meridianın müstəvisi arasındakı dihedral bucaqdır. Baş meridian London şəhəri daxilində Qrinviç Rəsədxanasının əsas zalının mərkəzindən keçən meridian kimi qəbul edilir. B nöqtəsi üçün uzunluq l = WCD bucağı ilə müəyyən edilir. Uzunluqlar əsas meridiandan hər iki istiqamətdə - şərq və qərbdə sayılır. Bu baxımdan 0°-dən 180°-ə qədər dəyişən qərb və şərq uzunluqları fərqləndirilir.
Coğrafi enlik
j ekvator müstəvisi və verilmiş nöqtədən keçən plumb xəttinin yaratdığı bucaqdır. Əgər Yer kürə şəklində götürülərsə, onda B nöqtəsi üçün (şək. 2.8) j eni DCB bucağı ilə müəyyən edilir. Ekvatordan şimala qədər ölçülən enliklər şimal, cənubda isə cənub adlanır, onlar ekvatorda 0°-dən qütblərdə 90°-ə qədər dəyişir.
Coğrafi koordinatları astronomik müşahidələrdən və ya geodeziya ölçmələrindən əldə etmək olar. Birinci halda onlar astronomik, ikincidə isə geodeziya adlanır (L - uzunluq, B - enlem). Astronomik müşahidələr zamanı nöqtələrin istinad səthinə proyeksiyası plumb xətləri ilə, geodeziya ölçmələri zamanı isə normallarla həyata keçirilir. Buna görə də, astronomik və geodeziya koordinatlarının dəyərləri plumb xəttinin sapma miqdarı ilə fərqlənir.
Fərqli dövlətlər tərəfindən müxtəlif istinad ellipsoidlərinin istifadəsi müxtəlif istinad səthlərinə nisbətən hesablanmış eyni nöqtələrin koordinatlarında fərqliliklərə səbəb olur. Praktikada bu, iri və orta miqyaslı xəritələrdə meridianlara və paralellərə nisbətən kartoqrafik təsvirin ümumi yerdəyişməsində ifadə olunur.
Düzbucaqlı koordinatlar
müstəvidə nöqtənin ilkin istiqamətlərə nisbətən mövqeyini təyin edən xətti kəmiyyətlər - absis və ordinat adlanır.
(Şəkil 2.9)
Geodeziya və topoqrafiyada düzbucaqlı koordinatların sağ əlli sistemi qəbul edilir. Bu, onu riyaziyyatda istifadə olunan solaxay koordinat sistemindən fərqləndirir. İlkin istiqamətlər başlanğıc nöqtəsi onların kəsişmə nöqtəsində O olan iki qarşılıqlı perpendikulyar xəttdir.
XX düz xətti (absis oxu) koordinatların başlanğıcından keçən meridianın istiqaməti ilə və ya müəyyən meridiana paralel istiqamətlə düzülür. YY düz xətti (ordinat oxu) absis oxuna perpendikulyar O nöqtəsindən keçir. Belə bir sistemdə nöqtənin müstəvidəki mövqeyi ona koordinat oxlarından ən qısa məsafə ilə müəyyən edilir. A nöqtəsinin mövqeyi Xa və Ya perpendikulyarlarının uzunluğu ilə müəyyən edilir. Xa seqmenti A nöqtəsinin absisi adlanır və Ya bu nöqtənin ordinatıdır. Düzbucaqlı koordinatlar adətən metrlə ifadə edilir. O nöqtəsindəki relyef sahəsi absis və ordinat oxları ilə dörddə dördə bölünür (Şəkil 2.9). Kvartalların adı kardinal nöqtələrin qəbul edilmiş təyinatları ilə müəyyən edilir. Rüblər saat əqrəbi istiqamətində nömrələnir: I - NE; II - SE; III - SW; IV - NW.
Cədvəldə 2.3 müxtəlif kvartallarda yerləşən nöqtələr üçün X absissa və Y ordinat işarələrini göstərir və onların adlarını verir.
Cədvəl 2.3
Koordinatların başlanğıcından yuxarıya doğru yerləşən nöqtələrin absisləri müsbət, ondan aşağıya doğru - mənfi, sağda yerləşən nöqtələrin ordinatları - müsbət, sola - mənfi hesab olunur. Düz düzbucaqlı koordinatlar sistemi yer səthinin düz ilə səhv salına bilən məhdud sahələrində istifadə olunur.
Mənşəyi yerin hansısa nöqtəsi olan koordinatlara qütb deyilir. Bu koordinat sistemində oriyentasiya bucaqları ölçülür. Üfüqi müstəvidə (şəkil 2.10), qütb adlanan ixtiyari seçilmiş O nöqtəsi vasitəsilə OX düz xəttini - qütb oxunu çəkin.
Sonra hər hansı bir nöqtənin mövqeyi, məsələn, M, müvafiq olaraq radius - vektor r1 və istiqamət bucağı a1 və N nöqtəsi - r2 və a2 ilə müəyyən ediləcəkdir. a1 və a2 bucaqları qütb oxundan saat əqrəbi istiqamətində radius vektoruna qədər ölçülür. Qütb oxu ixtiyari şəkildə yerləşdirilə və ya O qütbündən keçən hər hansı meridianın istiqamətinə uyğunlaşdırıla bilər.
Bipolyar koordinat sistemi (Şəkil 2.11) düz xətt - qütb oxu ilə birləşdirilmiş iki seçilmiş sabit qütb O1 və O2 təmsil edir. Bu koordinat sistemi iki b1 və b2 bucağı, iki radius vektoru r1 və r2 və ya onların birləşmələrindən istifadə edərək müstəvidə M nöqtəsinin qütb oxuna nisbətən mövqeyini təyin etməyə imkan verir. O1 və O2 nöqtələrinin düzbucaqlı koordinatları məlumdursa, M nöqtəsinin mövqeyini analitik şəkildə hesablamaq olar. 
düyü. 2.11
düyü. 2.12
Yer səthindəki nöqtələrin hündürlükləri. Yerin fiziki səthindəki nöqtələrin mövqeyini müəyyən etmək üçün yalnız X, Y və ya l, j üfüqi koordinatlarını bilmək kifayət deyil, üçüncü bir koordinat lazımdır - H nöqtəsinin hündürlüyü. H nöqtəsinin hündürlüyü ( Şəkil 2.12) verilmiş nöqtədən (A´; B´ ´) qəbul edilmiş əsas səviyyə səthinə MN qədər şaquli istiqamətdə məsafədir. Bir nöqtənin hündürlüyünün ədədi dəyəri yüksəklik adlanır. MN əsas səviyyə səthindən ölçülən hündürlüklər mütləq hündürlüklər (AA´; BB´´), ixtiyari seçilmiş səviyyə səthinə nisbətən müəyyən edilənlər isə şərti hündürlüklər (В´В´´) adlanır. İki nöqtənin hündürlük fərqi və ya Yerin hər hansı iki nöqtəsindən keçən səviyyəli səthlər arasında şaquli istiqamətdə məsafə nisbi hündürlük (В´В´´) və ya bu nöqtələrin hündürlüyü h adlanır.
1977-ci il Baltik hündürlüyü sistemi Belarus Respublikasında qəbul edilmişdir.Hündürlüklər Finlandiya körfəzindəki orta suyun səviyyəsi ilə üst-üstə düşən səviyyəli səthdən, Kronstadt suölçəninin sıfırından hesablanır.
Budur başqa
Müəyyən etmək üçün Geodeziyada nöqtələrin mövqeləri məkan düzbucaqlı, geodeziya və müstəvi düzbucaqlı koordinatlardan istifadə edir.
Məkan düzbucaqlı koordinatları. Koordinat sisteminin mənşəyi mərkəzdə yerləşir O yerin ellipsoidi(Şəkil 2.2).
ox Z yönəldib ellipsoidin fırlanma oxu boyunca şimala doğru. ox X ilkin Qrinviç meridianı ilə ekvator müstəvisinin kəsişməsində yerləşir. ox Y oxlara perpendikulyar yönəldilmişdir Z Və XŞərqə.
Geodeziya koordinatları. Nöqtənin geodeziya koordinatları onun eni, uzunluğu və hündürlüyüdür (şək. 2.2).
Geodeziya eni xal M bucaq deyilir IN, verilmiş nöqtədən və ekvator müstəvisindən keçən ellipsoidin səthinin normalı ilə əmələ gəlir.
Enlem ekvatordan şimal və cənubdan 0°-dən 90°-ə qədər ölçülür və şimal və ya cənub adlanır. Şimal eni müsbət, cənub eni isə mənfi hesab olunur.
Oxdan keçən ellipsoidin kəsik müstəviləri OZ, adlandırılır geodeziya meridianları.
Geodeziya uzunluğu xal M dihedral bucaq adlanır L, ilkin (Qrinviç) geodezik meridianının və verilmiş nöqtənin geodezik meridianının müstəviləri ilə əmələ gəlir.
Uzunluqlar əsas meridiandan 0°-dən 360°-dək şərq və ya 0°-dən 180°-dək şərq (müsbət) və 0°-dən 180° qərb (mənfi) diapazonunda ölçülür.
Geodeziya hündürlüyü xal M onun hündürlüyüdür N yerin ellipsoidinin səthindən yuxarıda.
Geodeziya koordinatları və fəza düzbucaqlı koordinatları düsturlarla əlaqələndirilir
X =(N+H)cos B cos L,
Y=(N+H)cos B günah L,
Z=[(1- e 2)N+H] günah B,
Harada e- meridian ellipsinin birinci ekssentrikliyi və N-birinci şaquli əyrilik radiusu.Bu halda N=a/(1 - e 2 günah 2 B) 1/2 .
Geodeziya və məkan nöqtələrin düzbucaqlı koordinatları peyk ölçmələrindən istifadə etməklə, habelə onları geodeziya ölçmələri ilə koordinatları məlum olan nöqtələrlə əlaqələndirməklə müəyyən edilir.
ilə birlikdə qeyd edin Geodeziya ilə yanaşı, astronomik enlik və uzunluq da var. Astronomik enlik j ekvator müstəvisi ilə verilmiş nöqtədə plumb xəttinin yaratdığı bucaqdır. Astronomik uzunluq l - Qrinviç meridianının müstəviləri ilə verilmiş nöqtədə plumb xəttindən keçən astronomik meridian arasındakı bucaq. Astronomik koordinatlar yerdə astronomik müşahidələr əsasında müəyyən edilir.
Astronomik koordinatlar geodeziyadan ona görə fərqlənir ki, plumb xətlərinin istiqamətləri normalların ellipsoidin səthinə istiqamətləri ilə üst-üstə düşmür. Yer səthinin müəyyən nöqtəsində normalın ellipsoidin səthinə istiqaməti ilə plumb xətti arasındakı bucaq deyilir. plumb xəttinin sapması.
Geodeziya və astronomik koordinatların ümumiləşdirilməsi termindir - coğrafi koordinatlar.
Müstəvi düzbucaqlı koordinatları. Mühəndislik geodeziyasının problemlərini həll etmək üçün onlar məkan və geodeziya koordinatlarından daha sadə olanlara - düz koordinatlara keçirlər ki, bu da müstəvidə ərazini təsvir etməyə və iki koordinatdan istifadə edərək nöqtələrin mövqeyini təyin etməyə imkan verir. X Və saat.
Yerin qabarıq səthindən bəri təhrif olmadan bir müstəvidə təsvir edilə bilməz; müstəvi koordinatlarının tətbiqi yalnız təhriflərin o qədər kiçik olduğu məhdud ərazilərdə mümkündür ki, onlara laqeyd yanaşmaq olar. Rusiyada düzbucaqlı koordinatlar sistemi qəbul edilmişdir, bunun əsasını bərabərbucaqlı eninə silindrik təşkil edir. Qauss proyeksiyası. Ellipsoidin səthi zona adlanan hissələrdə müstəvidə təsvir edilmişdir. Zonalar meridianlarla hüdudlanmış və şimal qütbündən cənuba doğru uzanan sferik üçbucaqlardır (şək. 2.3). Uzunluqda zonanın ölçüsü 6°-dir. Hər bir zonanın mərkəzi meridianına eksenel meridian deyilir. Zonalar Qrinviçdən şərqə doğru nömrələnir.
N nömrəli zonanın eksenel meridianının uzunluğu bərabərdir:
l 0 = 6°× N - 3°.
Zona və ekvatorun eksenel meridianı müstəvidə düz xətlərlə təsvir edilmişdir (şək. 2.4). Eksenel meridian absis oxu kimi qəbul edilir x, və ekvator ordinat oxunun arxasındadır y. Onların kəsişməsi (nöqtə O) bu zona üçün koordinatların mənşəyi kimi xidmət edir.
Qarşısını almaq üçün mənfi ordinat qiymətləri, kəsişmə koordinatları bərabər qəbul edilir x 0 = 0, y 0 = 500 km, bu da oxun yerdəyişməsinə bərabərdir X 500 km qərbdə.
Beləliklə, bir nöqtənin düzbucaqlı koordinatlarına görə onun hansı zonada yerləşdiyinə ordinata qədər hökm etmək olar. y koordinat zonasının nömrəsi sola təyin edilir.
Məsələn, bir nöqtənin koordinatlarını götürək A formaya malikdir:
x A= 6,276,427 m
y A= 12.428.566 m
Bu koordinatlar göstərir Məsələ bundadır A ekvatordan 6276427 m məsafədə, qərb hissəsində yerləşir ( y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
Məkan düzbucaqlı üçün, Rusiyada geodeziya və düz düzbucaqlı koordinatlar, SK-95 vahid koordinat sistemi qəbul edildi, dövlət geodeziya şəbəkəsinin nöqtələri tərəfindən yerə sabitləndi və 1995-ci ildən etibarən peyk və yerüstü ölçmələrə əsasən quruldu.
Yerli düzbucaqlı koordinat sistemləri. Müxtəlif obyektlərin tikintisi zamanı tez-tez lokal (şərti) koordinat sistemlərindən istifadə olunur ki, burada oxların istiqamətləri və koordinatların mənşəyi obyektin tikintisi və sonrakı istismarı zamanı onlardan istifadənin rahatlığı əsasında təyin edilir.
Belə ki, çəkiliş zamanı dəmir yolu stansiyasının oxu saat artan piket istiqamətində əsas dəmir yolunun oxu boyunca və ox istiqamətləndirilir X- sərnişin stansiyası binasının oxu boyunca.
Tikinti zamanı körpü keçidləri oxu X adətən körpünün oxu ilə birləşir və oxu y perpendikulyar istiqamətdə gedir.
Tikinti zamanı böyük sənaye və mülki Axis obyektləri x Və y tikilməkdə olan binaların oxlarına paralel yönəldilmişdir.
Tətbiqi elmlərdə əksər problemləri həll etmək üçün qəbul edilmiş koordinat sistemlərindən biri ilə təyin olunan obyektin və ya nöqtənin yerini bilmək lazımdır. Bundan əlavə, bir nöqtənin hündürlüyünü də təyin edən yüksəklik sistemləri var
Koordinatlar nədir
Koordinatlar, yerdəki bir nöqtənin yerini təyin etmək üçün istifadə edilə bilən ədədi və ya əlifba dəyərləridir. Nəticədə, bir koordinat sistemi bir nöqtə və ya obyekt tapmaq üçün eyni prinsipə malik olan eyni tipli dəyərlər toplusudur.
Bir çox praktiki məsələləri həll etmək üçün bir nöqtənin yerini tapmaq tələb olunur. Geodeziya kimi bir elmdə müəyyən bir məkanda bir nöqtənin yerini təyin etmək əsas məqsəddir və bütün sonrakı işlərin əldə edilməsinə əsaslanır.
Əksər koordinat sistemləri adətən yalnız iki oxla məhdudlaşan müstəvidə nöqtənin yerini təyin edir. Üçölçülü fəzada bir nöqtənin mövqeyini təyin etmək üçün hündürlük sistemindən də istifadə olunur. Onun köməyi ilə siz tapa bilərsiniz dəqiq yer istədiyiniz obyekt.
Geodeziyada istifadə olunan koordinat sistemləri haqqında qısa məlumat
Koordinat sistemləri bir nöqtənin ərazidə üç qiymət verməklə onun yerini müəyyənləşdirir. Onların hesablanması prinsipləri hər bir koordinat sistemi üçün fərqlidir.
Geodeziyada istifadə olunan əsas məkan koordinat sistemləri:
- Geodeziya.
- Coğrafi.
- Qütb.
- Düzbucaqlı.
- Zonal Gauss-Kruger koordinatları.
Bütün sistemlərin öz başlanğıc nöqtəsi, obyektin yeri və tətbiq sahəsi üçün dəyərləri var.
Geodeziya koordinatları
Geodeziya koordinatlarını ölçmək üçün istifadə olunan əsas fiqur yerin ellipsoididir.
Ellipsoid, dünyanın formasını ən yaxşı şəkildə təmsil edən üçölçülü sıxılmış fiqurdur. Qlobus riyazi olaraq qeyri-müntəzəm fiqur olduğundan geodeziya koordinatlarını təyin etmək üçün onun yerinə ellipsoiddən istifadə olunur. Bu, bir cismin səthdəki mövqeyini təyin etmək üçün bir çox hesablamalar aparmağı asanlaşdırır.
Geodeziya koordinatları üç qiymətlə müəyyən edilir: geodezik enlik, uzunluq və hündürlük.
- Geodeziya eni başlanğıcı ekvator müstəvisində, sonu isə istənilən nöqtəyə çəkilmiş perpendikulyar olan bucaqdır.
- Geodezik uzunluq əsas meridiandan istənilən nöqtənin yerləşdiyi meridiana qədər ölçülən bucaqdır.
- Geodeziya hündürlüyü verilmiş nöqtədən Yerin fırlanma ellipsoidinin səthinə çəkilmiş normalın qiymətidir.
Coğrafi koordinatlar
Ali geodeziyanın yüksək dəqiqlikli məsələlərini həll etmək üçün geodeziya və coğrafi koordinatları fərqləndirmək lazımdır. Mühəndislik geodeziyasında istifadə olunan sistemdə, işin əhatə etdiyi kiçik yer səbəbindən belə fərqlər adətən edilmir.
Geodeziya koordinatlarını təyin etmək üçün istinad müstəvisi kimi ellipsoid, coğrafi koordinatları təyin etmək üçün isə geoid istifadə olunur. Geoid Yerin həqiqi formasına daha yaxın olan riyazi qeyri-müntəzəm fiqurdur. Onun hamarlanmış səthi dəniz səviyyəsindən sakit vəziyyətdə davam edən səth kimi qəbul edilir.
Geodeziyada istifadə olunan coğrafi koordinat sistemi kosmosda nöqtənin mövqeyini üç qiymətlə təsvir edir. uzunluq geodeziya ilə üst-üstə düşür, çünki istinad nöqtəsi də Qrinviç adlanacaq. Londondakı eyniadlı rəsədxanadan keçir. geoidin səthinə çəkilmiş ekvatordan müəyyən edilir.
Geodeziyada istifadə olunan yerli koordinat sistemində hündürlük onun sakit vəziyyətdə dəniz səviyyəsindən ölçülür. Rusiya ərazisində və keçmiş İttifaqın ölkələrində hündürlüklərin təyin olunduğu işarə Kronstadt ayaq dirəyidir. Baltik dənizi səviyyəsində yerləşir.
Qütb koordinatları
Geodeziyada istifadə olunan qütb koordinat sistemi ölçmələrin aparılmasının başqa nüanslarına malikdir. Bir nöqtənin nisbi yerini təyin etmək üçün kiçik ərazilərdə istifadə olunur. Mənbə ilkin kimi qeyd olunan hər hansı obyekt ola bilər. Beləliklə, qütb koordinatlarından istifadə edərək, yer kürəsinin ərazisində bir nöqtənin birmənalı yerini müəyyən etmək mümkün deyil.
Qütb koordinatları iki kəmiyyətlə müəyyən edilir: bucaq və məsafə. Bucaq meridianın şimal istiqamətindən müəyyən bir nöqtəyə qədər ölçülür, kosmosdakı mövqeyini təyin edir. Ancaq bir bucaq kifayət etməyəcək, buna görə bir radius vektoru təqdim olunur - dayanan nöqtədən istədiyiniz obyektə qədər olan məsafə. Bu iki parametrdən istifadə edərək, yerli sistemdə nöqtənin yerini təyin edə bilərsiniz.
Bir qayda olaraq, bu koordinat sistemi kiçik bir ərazidə aparılan mühəndislik işlərini yerinə yetirmək üçün istifadə olunur.
Düzbucaqlı koordinatlar
Geodeziyada istifadə olunan düzbucaqlı koordinat sistemi kiçik relyef sahələrində də istifadə olunur. Sistemin əsas elementi hesablamanın baş verdiyi koordinat oxudur. Nöqtənin koordinatları absis və ordinat oxlarından istənilən nöqtəyə çəkilmiş perpendikulyarların uzunluğu kimi tapılır.
X oxunun şimal istiqaməti və Y oxunun şərq istiqaməti müsbət, cənub və qərb istiqamətləri isə mənfi hesab olunur. İşarələrdən və dörddəbirlərdən asılı olaraq kosmosda nöqtənin yeri müəyyən edilir.
Gauss-Kruger koordinatları
Gauss-Kruger koordinat zona sistemi düzbucaqlı sistemə bənzəyir. Fərq ondadır ki, o, yalnız kiçik sahələrə deyil, bütün dünyaya tətbiq oluna bilər.
Gauss-Kruger zonalarının düzbucaqlı koordinatları mahiyyət etibarı ilə Yer kürəsinin müstəviyə proyeksiyasıdır. Yerin böyük sahələrini kağız üzərində təsvir etmək üçün praktiki məqsədlər üçün yaranmışdır. Köçürmə zamanı yaranan təhriflər əhəmiyyətsiz hesab olunur.
Bu sistemə görə, yer kürəsi uzunluğa görə ortada eksenel meridian olan altı dərəcə zonalara bölünür. Ekvator üfüqi bir xətt boyunca mərkəzdə yerləşir. Nəticədə 60 belə zona var.
Altmış zonanın hər birinin X-dən ordinat oxu boyunca və yerin ekvatorunun Y hissəsindən absis oxu boyunca ölçülən özünəməxsus düzbucaqlı koordinatlar sistemi var. Bütün yer kürəsinin ərazisində yerini birmənalı şəkildə müəyyən etmək üçün zona ədəd X və Y qiymətlərinin qarşısına qoyulur.
Rusiya ərazisində X oxu dəyərləri, bir qayda olaraq, müsbətdir, Y dəyərləri isə mənfi ola bilər. X oxu qiymətlərində mənfi işarənin qarşısını almaq üçün hər bir zonanın ox meridianı şərti olaraq qərbə 500 m sürüşdürülür. Sonra bütün koordinatlar müsbət olur.
Koordinat sistemi Gauss tərəfindən bir ehtimal olaraq təklif edilmiş və XX əsrin ortalarında Kruger tərəfindən riyazi olaraq hesablanmışdır. O vaxtdan geodeziyada əsaslardan biri kimi istifadə olunur.
Hündürlük sistemi
Geodeziyada istifadə olunan koordinat və yüksəklik sistemləri Yerdəki nöqtənin mövqeyini dəqiq müəyyən etmək üçün istifadə olunur. Mütləq yüksəkliklər dəniz səviyyəsindən və ya mənbə kimi götürülmüş digər səthdən ölçülür. Bundan əlavə, nisbi yüksəkliklər var. Sonuncular istənilən nöqtədən hər hansı digərinə artıqlıq kimi sayılır. Nəticələrin sonrakı işlənməsini asanlaşdırmaq üçün yerli koordinat sistemində işləmək üçün istifadə etmək rahatdır.
Geodeziyada koordinat sistemlərinin tətbiqi
Yuxarıda göstərilənlərdən əlavə, geodeziyada istifadə olunan başqa koordinat sistemləri də mövcuddur. Onların hər birinin öz üstünlükləri və mənfi cəhətləri var. Yerin müəyyən edilməsinin bu və ya digər üsulunun aktual olduğu iş sahələri də var.
Geodeziyada istifadə olunan hansı koordinat sistemlərinin daha yaxşı istifadə olunduğunu müəyyən edən işin məqsədidir. Kiçik ərazilərdə işləmək üçün düzbucaqlı və qütb koordinat sistemlərindən istifadə etmək rahatdır, lakin geniş miqyaslı problemləri həll etmək üçün yer səthinin bütün ərazisini əhatə etməyə imkan verən sistemlər lazımdır.
Mənşə
Mənşə(mənşə) Evklid məkanında - adətən hərflə işarələnən tək nöqtə HAQQINDA, bütün digər nöqtələr üçün istinad nöqtəsi kimi istifadə olunur. Evklid həndəsəsində koordinatların mənşəyi istənilən əlverişli nöqtədə özbaşına seçilə bilər.
Başlanğıcdan başqa bir nöqtəyə çəkilmiş vektora radius vektoru deyilir.
Kartezyen koordinat sistemi
Başlanğıc oxların hər birini iki şüaya bölür - müsbət yarımox və mənfi yarımox.
Xüsusilə, mənşəyi nömrə oxuna daxil etmək olar. Bu mənada müxtəlif geniş kəmiyyətlər (vaxt, temperatur və s.) üçün koordinatların mənşəyi haqqında danışmaq olar.
Qütb koordinat sistemləri
Wikimedia Fondu. 2010.
Digər lüğətlərdə "Koordinatların mənşəyi" nin nə olduğuna baxın:
mənşəyi- İki ölçülü təsvirlərlə işləyən qrafik sistemlərdə istifadə olunan düz koordinat sistemində sıfır nöqtəsi (oxların kəsişmə nöqtəsi). Nöqtənin koordinatı üfüqi X oxu (absis) boyunca koordinatların başlanğıcından (mərkəzindən) olan məsafə ilə müəyyən edilir.
mənşəyi- koordinačių pradžia statusas T sritis automatika attikmenys: engl. koordinatların mənşəyi vok. Koordinatenanfangspunkt, m; Koordinatenursprung, m rus. mənşə, n pranc. mənşəli kordonnées, f … Automatikos terminų žodynas
mənşə (plotter)- - [E.S.Alekseev, A.A.Myaçev. Kompüter sistemləri mühəndisliyi üzrə ingiliscə-rusca izahlı lüğət. Москва 1993] Mövzular informasiya texnologiyalarıümumiyyətlə EN süjet mənşəyi... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi
- (mənşə) Qrafikdə istənilən ölçmə üçün sıfırı təmsil edən nöqtə. Diaqramda birdən çox istinad nöqtəsi ola bilər. Məsələn, iki faktorlu qutu diaqramı elə qurulmuşdur ki, hər hansı bir faktorun ümumi mövcud həcmi ... İqtisadi lüğət
koordinatların başlanğıcından keçməyən bir xarakteristikaya malik istiqamətli müqavimət relesi- - [V.A. Semenov. Rele mühafizəsi üzrə İngilis-Rus lüğəti] Mövzular rele qorunması EN ofset mho məsafə relay ... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi
koordinatların başlanğıcından keçən dairə şəklində istiqamətli müqavimət relesinin xarakterik xüsusiyyətləri- - [Ya.N.Luqinski, M.S.Fezi Jilinskaya, Yu.S.Kəbirov. Elektrik mühəndisliyi və energetikanın ingiliscə-rusca lüğəti, Moskva, 1999] Elektrik mühəndisliyi mövzuları, əsas anlayışlar EN mho xarakterik ... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi
saymağa başlayır- Bütün koordinat sistemlərinin başladığı ekran ekranındakı mövqe. Adətən ekranın yuxarı sol küncündə yerləşir. Mövzular informasiya texnologiyaları ümumi EN mənşəli ... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi
Düzbucaqlı koordinat sistemi, müstəvidə və ya fəzada qarşılıqlı perpendikulyar oxları olan düzxətli koordinat sistemidir. Ən sadə və buna görə də ən çox istifadə olunan koordinat sistemi. Çox asan və birbaşa ümumiləşdirilmişdir... ... Vikipediya
Nöqtənin üç dekart və üç sferik koordinatı var.D ... Vikipediyaya münasibətdə sferik koordinat sistemini təyin etmək rahatdır.
Koordinat metodunu həyata keçirən təriflər toplusu, yəni rəqəmlərdən və ya digər simvollardan istifadə edərək nöqtə və ya cismin mövqeyini təyin etmək üsulu. Müəyyən bir nöqtənin mövqeyini təyin edən ədədlər çoxluğuna bu nöqtənin koordinatları deyilir. Vikipediyada... ...
Kitablar
- On səkkiz, Stefaniya Danilova, Şair Stefaniya Danilova 16 avqust 1994-cü ildə Sankt-Peterburqda anadan olub və bu şəhəri qeyd-şərtsiz sevir. Üç yaşında ilk böyüklər üçün şeirini yaradan ambidextrous, vunderkind, poliqlot... Kateqoriya: Müasir rus poeziyası Serial: Runet Star Nəşriyyat: AST,
- Providens, Roqatko Sergey Aleksandroviç, Rus ədəbiyyatında realist prinsipi qəbul edən və bunu məşhur “Layman” romanında təsdiqləyən yazıçı Sergey Roqatkonun yeni “Od” romanı məsəl janrında yazılıb. Kateqoriya: