I nodaļa. Vektori plaknē un telpā
§ 13. Pāreja no vienas taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas uz citu
Mēs iesakām izskatīt šo tēmu divās versijās.
1) Pamatojoties uz I. I. Privalova mācību grāmatu “Analītiskā ģeometrija” (mācību grāmata augstākās tehniskās izglītības iestādēm, 1966)
I.I. Privalovs "Analītiskā ģeometrija"
§ 1. Koordinātu transformācijas problēma.
Punkta pozīciju plaknē nosaka divas koordinātas attiecībā pret kādu koordinātu sistēmu. Punkta koordinātas mainīsies, ja izvēlēsimies citu koordinātu sistēmu.
Koordinātu pārveidošanas uzdevums ir lai, zinot punkta koordinātas vienā koordinātu sistēmā, atrastu tā koordinātes citā sistēmā.
Šī problēma tiks atrisināta, ja izveidosim formulas, kas savieno patvaļīga punkta koordinātas divās sistēmās, un šo formulu koeficienti ietvers nemainīgus lielumus, kas nosaka sistēmu relatīvo stāvokli.
Dotas divas Dekarta koordinātu sistēmas xOy Un XO 1 Y(68. att.).
Jaunās sistēmas pozīcija XO 1 Y salīdzinājumā ar veco sistēmu xOy tiks noteikts, ja ir zināmas koordinātas A Un b jauns sākums O 1 pēc vecās sistēmas un leņķa α starp asīm Ak Un O 1 X. Apzīmēsim ar X Un plkst patvaļīga punkta M koordinātas attiecībā pret veco sistēmu, izmantojot tā paša punkta X un Y koordinātas attiecībā pret jauno sistēmu. Mūsu uzdevums ir nodrošināt, lai vecās koordinātas X Un plkst izteikts ar jauniem X un Y. Iegūtajās transformācijas formulās acīmredzot jāietver konstantes a, b Un α .
Šīs vispārīgās problēmas risinājumu mēs iegūsim, apsverot divus īpašus gadījumus.
1. Koordinātu izcelsme mainās, bet asu virzieni paliek nemainīgi ( α = 0).
2. Asu virzieni mainās, bet koordinātu sākumpunkts paliek nemainīgs ( a = b = 0).
§ 2. Koordinātu izcelsmes nodošana.
Dotas divas Dekarta koordinātu sistēmas ar dažādu izcelsmi O Un O 1 un tie paši asu virzieni (69. att.).
Apzīmēsim ar A Un b jaunā sākuma koordinātas O 1 vecajā sistēmā un cauri x, y Un X, Y-patvaļīga punkta M koordinātas attiecīgi vecajā un jaunajā sistēmā. Punkta M projicēšana uz ass O 1 X Un Ak, kā arī punkts O 1 uz asi Ak, mēs nokļūstam uz ass Ak trīs punkti Ak, ak Un R. Segmentu izmēri OA, AR Un VAI ir saistīti ar šādām attiecībām:
| OA| + | AR | = | VAI |. (1)
Pamanot, ka | OA| = A , | VAI | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, mēs pārrakstām vienādību (1) šādā formā:
A + X = x vai x = X + A . (2)
Līdzīgi, projektējot M un O 1 uz ordinātu ass mēs iegūstam:
y = Y + b (3)
Tātad, vecā koordināte ir vienāda ar jauno plus jaunā sākuma koordināte saskaņā ar veco sistēmu.
No (2) un (3) formulām jaunās koordinātas var izteikt, izmantojot vecās:
X = x - a , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Koordinātu asu rotācija.
Dotas divas Dekarta koordinātu sistēmas ar vienādu izcelsmi PAR un dažādie asu virzieni (70. att.).
Ļaujiet α starp asīm ir leņķis Ak Un Ak!. Apzīmēsim ar x, y Un X, Y patvaļīga punkta M koordinātas attiecīgi vecajā un jaunajā sistēmā:
X = | VAI | , plkst = | PM | ,
X= | VAI 1 |, Y= | P 1 M |.
Apsveriet lauztu līniju VAI 1 MP un paņemiet tā projekciju uz asi Ak. Ņemot vērā, ka lauztās līnijas projekcija ir vienāda ar noslēguma segmenta projekciju (I nodaļa, 8. punkts), mēs iegūstam:
VAI 1 MP = | VAI |. (4)
Savukārt lauztas līnijas projekcija ir vienāda ar tās saišu projekciju summu (I nodaļa, 8.§); tāpēc vienlīdzība (4) tiks rakstīta šādi:
utt VAI 1+ pr P 1 M+ pr MP= | VAI | (4")
Tā kā virzīta segmenta projekcija ir vienāda ar tā lielumu, kas reizināts ar leņķa kosinusu starp projekciju asi un asi, uz kuras atrodas segments (I nodaļa, 8. punkts), tad
utt VAI 1 = X cos α
utt P 1 M = Y cos (90°+ α ) = - Y grēks α ,
pr MP= 0.
Tādējādi vienlīdzība (4") dod mums:
x = X cos α - Y grēks α . (5)
Līdzīgi, projicējot to pašu polilīniju uz asi OU, mēs iegūstam izteiksmi plkst. Patiesībā mums ir:
utt VAI 1+ pr P 1 M+ pr MP= lpp VAI = 0.
To pamanot
utt VAI 1 = X cos( α -90°) = X grēks α ,
utt P 1 M = Y cos α ,
pr MP = - y ,
būs:
X grēks α + Y cos α - y = 0,
y = X grēks α + Y cos α . (6)
No formulām (5) un (6) iegūstam jaunas koordinātas X Un Y izteikts caur veco X Un plkst , ja atrisinām vienādojumus (5) un (6) attiecībā uz X Un Y.
komentēt. Formulas (5) un (6) var iegūt dažādi.
No att. 71 mums ir:
X = VAI = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM grēks α grēks φ ,
plkst = RM = OM sin ( α + φ ) = OM grēks α cos φ + OM cos α grēks φ .
Tā kā (I nodaļa, 11. §) OM cos φ = X, OM grēks φ =Y, Tas
x = X cos α - Y grēks α , (5)
y = X grēks α + Y cos α . (6)
§ 4. Vispārīgs gadījums.
Dotas divas Dekarta koordinātu sistēmas ar dažādu izcelsmi un dažādiem asu virzieniem (72. att.).
Apzīmēsim ar A Un b jaunā sākuma koordinātas PAR, saskaņā ar veco sistēmu, caur α - koordinātu asu griešanās leņķis un, visbeidzot, cauri x, y Un X, Y- patvaļīga punkta M koordinātas atbilstoši vecajai un jaunajai sistēmai.
Izteikt X Un plkst cauri X Un Y, ieviesīsim palīgkoordinātu sistēmu x 1 O 1 y 1, kura sākums tiks ievietots jaunā sākumā PAR 1, un ņemiet asu virzienus, lai tie sakristu ar veco asu virzieniem. Ļaujiet x 1 un y 1 norāda punkta M koordinātas attiecībā pret šo palīgsistēmu. Pārejot no vecās koordinātu sistēmas uz palīgsistēmu, mums ir (§ 2):
X = X 1 + a , y = y 1 +b .
X 1 = X cos α - Y grēks α , y 1 = X grēks α + Y cos α .
Nomaiņa X 1 un y 1 iepriekšējās formulās ar to izteiksmēm no pēdējām formulām, mēs beidzot atrodam:
x = X cos α - Y grēks α + a
y = X grēks α + Y cos α + b (es)
Formulas (I) kā īpašu gadījumu satur 2. un 3. §§ formulas. Tātad, kad α = 0 formulas (I) pārvēršas par
x = X + A , y = Y + b ,
un tad, kad a = b = 0 mums ir:
x = X cos α - Y grēks α , y = X grēks α + Y cos α .
No formulām (I) iegūstam jaunas koordinātas X Un Y izteikts caur veco X Un plkst , ja vienādojumi (I) ir atrisināmi attiecībā uz X Un Y.
Atzīmēsim ļoti svarīgu formulu (I) īpašību: tās ir lineāras attiecībā pret X Un Y, t.i., pēc formas:
x = AX + BY + C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Ir viegli pārbaudīt, vai jaunās koordinātas ir X Un Y tiks izteikts caur veco X Un plkst arī pēc pirmās pakāpes formulām attiecībā uz X Un u.
G.N.Jakovļevs "Ģeometrija"
§ 13. Pāreja no vienas taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas uz citu
Izvēloties taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmu, starp plaknes punktiem un sakārtotiem reālo skaitļu pāriem tiek noteikta atbilstība viens pret vienu. Tas nozīmē, ka katrs punkts plaknē atbilst vienam skaitļu pārim, un katrs sakārtotais reālo skaitļu pāris atbilst vienam punktam.
Vienas vai otras koordinātu sistēmas izvēle nav nekādi ierobežota un katrā konkrētajā gadījumā tiek noteikta tikai pēc ērtības apsvērumiem. Bieži vien viena un tā pati kopa ir jāaplūko dažādās koordinātu sistēmās. Vienam un tam pašam punktam dažādās sistēmās acīmredzami ir dažādas koordinātas. Punktu kopa (jo īpaši aplis, parabola, taisne) dažādās koordinātu sistēmās tiek dota ar dažādiem vienādojumiem.
Noskaidrosim, kā tiek pārveidotas punktu koordinātas plaknē, pārejot no vienas koordinātu sistēmas uz otru.
Ļaujiet uz plaknes norādīt divas taisnstūra koordinātu sistēmas: O, es, j un par", es", j" (41. att.).
Pirmā sistēma ar sākumu punktā O un bāzes vektoriem i Un j vienosimies saukt to par veco, otro - ar sākumu punktā O" un bāzes vektoriem es" Un j" - jauns.
Mēs uzskatīsim jaunās sistēmas pozīciju attiecībā pret veco zināmo: ļaujiet punktam O" vecajā sistēmā ir koordinātas ( a;b ), vektors es" formas ar vektoru i stūrī α . Stūris α Mēs skaitām virzienā, kas ir pretējs kustībai pulksteņrādītāja virzienā.
Aplūkosim patvaļīgu punktu M. Apzīmēsim tā koordinātas vecajā sistēmā ar ( x;y ), jaunajā - caur ( x";y" ). Mūsu uzdevums ir noteikt attiecības starp punkta M vecajām un jaunajām koordinātām.
Savienosim pa pāriem punktus O un O", O" un M, O un M. Izmantojot trijstūra likumu, iegūstam
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Izvērsīsim vektorus OM> un OO"> pēc bāzes vektoriem i Un j , un vektoru O"M> pēc bāzes vektoriem es" Un j" :
OM > = x i+ y j , OO" > = a i+b j , O"M > = x" i"+ y" j "
Tagad vienādību (1) var uzrakstīt šādi:
x i+ y j = (a i+b j ) + (x" i"+ y" j "). (2)
Jauni bāzes vektori es" Un j" tiek paplašināti saskaņā ar vecajiem bāzes vektoriem i Un j šādā veidā:
es" = cos α i + grēks α j ,
j" =cos( π / 2 + α ) i +sin( π / 2 + α ) j = - grēks α i +cos α j .
Atrasto izteicienu aizstāšana ar es" Un j" formulā (2) iegūstam vektoru vienādību
x i+ y j = a i+b j + X"(cos α i + grēks α j ) + y"(- grēk α i +cos α j )
ekvivalents diviem skaitliskām vienādībām:
|
x = a + X" cos α
- y" grēks α
, |
Formulas (3) dod vajadzīgās izteiksmes vecajām koordinātām X Un plkst punktus, izmantojot tās jaunās koordinātas X" Un y". Lai atrastu izteiksmes jaunām koordinātām veco koordinātu izteiksmē, pietiek atrisināt vienādojuma sistēmu (3) attiecībā pret nezināmajām. X" Un y".
Tātad punktu koordinātas, kad koordinātu sākumpunkts tiek pārsūtīts uz punktu ( A; b ) un pagriežot asis leņķī α tiek pārveidoti pēc formulām (3).
Ja mainās tikai koordinātu izcelsme un asu virzieni paliek nemainīgi, tad, pieņemot formulās (3) α = 0, mēs iegūstam
Formulas (5) sauc rotācijas formulas.
1. uzdevums. Lai jaunā sākuma koordinātas vecajā sistēmā ir (2; 3), bet punkta A koordinātas vecajā sistēmā (4; -1). Atrodiet punkta A koordinātas jaunajā sistēmā, ja asu virzieni paliek nemainīgi.
Saskaņā ar formulām (4) mums ir
Atbilde. A(2;-4)
2. uzdevums. Lai vecajā sistēmā punkta P koordinātas ir (-2; 1), bet jaunajā sistēmā, kuras asu virzieni ir vienādi, šī punkta koordinātas (5; 3). Atrodiet jaunā sākuma koordinātas vecajā sistēmā.
A No formulām (4) iegūstam
|
-
2= a + 5 |
kur A = - 7, b = - 2.
Atbilde. (-7; -2).
3. uzdevums. Punkta A koordinātas jaunajā sistēmā (4; 2). Atrodiet šī punkta koordinātas vecajā sistēmā, ja sākumpunkts paliek nemainīgs un vecās sistēmas koordinātu asis ir pagrieztas par leņķi α = 45°.
Izmantojot formulas (5), mēs atrodam
4. uzdevums. Punkta A koordinātas vecajā sistēmā (2 √3 ; - √3 ). Atrodiet šī punkta koordinātas jaunajā sistēmā, ja vecās sistēmas sākumpunkts ir pārvietots uz punktu (-1;-2) un asis ir pagrieztas par leņķi α = 30°.
Saskaņā ar formulām (3) mums ir
Atrisinot šo vienādojumu sistēmu priekš X" Un y", mēs atradām: X" = 4, y" = -2.
Atbilde. A (4; -2).
5. uzdevums. Ir dots līnijas vienādojums plkst = 2X - 6. Atrodiet tās pašas taisnes vienādojumu jaunajā koordinātu sistēmā, ko iegūst no vecās sistēmas, pagriežot asis par leņķi α = 45°.
Rotācijas formulām šajā gadījumā ir forma
Taisnes līnijas aizstāšana vienādojumā plkst = 2X - 6 veci mainīgie X Un plkst jauns, mēs iegūstam vienādojumu
√ 2 / 2 (x"+y") = 2 √ 2 / 2 (x"-y") - 6 ,
kas pēc vienkāršojumiem iegūst formu y" = x" / 3 - 2√2
Koordinātas
- tie ir lielumi, kas nosaka jebkura punkta atrašanās vietu uz virsmas vai telpā pieņemtajā koordinātu sistēmā. Koordinātu sistēma nosaka sākotnējos (sākuma) punktus, līnijas vai plaknes nepieciešamo daudzumu skaitīšanai - koordinātu un to mērvienību sākumpunktu. Topogrāfijā un ģeodēzijā visplašāk tiek izmantotas ģeogrāfisko, taisnstūra, polāro un bipolāro koordinātu sistēmas.
Ģeogrāfiskās koordinātas (2.8. att.) izmanto, lai noteiktu punktu novietojumu uz Zemes virsmas uz elipsoīda (sfēras). Šajā koordinātu sistēmā sākotnējā plakne ir primārais meridiāns un ekvatoriālā plakne. Meridiāns ir elipsoīda šķērsgriezuma līnija plaknē, kas iet caur noteiktu punktu un Zemes rotācijas asi.
Paralēle ir elipsoīda griezuma līnija ar plakni, kas iet caur noteiktu punktu un ir perpendikulāra zemes asij. Paralēli, kuras plakne iet caur elipsoīda centru, sauc par ekvatoru. Caur katru punktu, kas atrodas uz zemeslodes virsmas, var novilkt tikai vienu meridiānu un tikai vienu paralēli.
Ģeogrāfiskās koordinātas
ir leņķiskie lielumi: garums l un platums j.
Ģeogrāfiskais garums l ir divskaldnis leņķis starp noteiktā meridiāna plakni (kas iet caur punktu B) un galvenā meridiāna plakni. Par galveno meridiānu uzskata meridiānu, kas iet cauri Grīničas observatorijas galvenās zāles centram Londonas pilsētā. Punktam B garumu nosaka leņķis l = WCD. Garuma grādus skaita no pirmmeridiāna abos virzienos – austrumu un rietumu. Šajā sakarā izšķir rietumu un austrumu garuma grādus, kas svārstās no 0° līdz 180°.
Ģeogrāfiskais platums
j ir leņķis, ko veido ekvatoriālā plakne un svērtā līnija, kas iet caur noteiktu punktu. Ja Zemi ņem par sfēru, tad punktam B (2.8. att.) platumu j nosaka leņķis DCB. Platuma grādus, kas mērīti no ekvatora uz ziemeļiem, sauc par ziemeļiem, bet uz dienvidiem - par dienvidiem, tie svārstās no 0° pie ekvatora līdz 90° pie poliem.
Ģeogrāfiskās koordinātas var iegūt no astronomiskiem novērojumiem vai ģeodēziskiem mērījumiem. Pirmajā gadījumā tos sauc par astronomiskiem, bet otrajā - par ģeodēziskajiem (L - garums, B - platums). Astronomisko novērojumu laikā punktu projekciju uz atskaites virsmu veic ar svērtām līnijām, bet ģeodēzisko mērījumu laikā - ar normāliem. Tāpēc astronomisko un ģeodēzisko koordinātu vērtības atšķiras pēc svērtenes novirzes lieluma.
Dažādu atskaites elipsoīdu izmantošana dažādos stāvokļos rada atšķirības to pašu punktu koordinātēs, kas aprēķinātas attiecībā pret dažādām atskaites virsmām. Praksē tas izpaužas kā vispārējā kartogrāfiskā attēla nobīde attiecībā pret meridiāniem un paralēlēm liela un vidēja mēroga kartēs.
Taisnstūra koordinātas
tiek saukti par lineāriem lielumiem - abscisu un ordinātu, kas nosaka punkta stāvokli plaknē attiecībā pret sākotnējiem virzieniem.
(2.9. att.)
Ģeodēzijā un topogrāfijā tiek pieņemta labās puses taisnstūra koordinātu sistēma. Tas to atšķir no matemātikā izmantotās kreisās puses koordinātu sistēmas. Sākotnējie virzieni ir divas savstarpēji perpendikulāras līnijas ar sākuma punktu to krustošanās punktā O.
Taisnā līnija XX (abscisu ass) ir saskaņota ar meridiāna virzienu, kas iet caur koordinātu sākumpunktu, vai ar virzienu, kas ir paralēls noteiktam meridiānam. Taisne YY (ordinātu ass) iet caur punktu O perpendikulāri abscisu asij. Šādā sistēmā punkta stāvokli plaknē nosaka īsākais attālums līdz tam no koordinātu asīm. Punkta A pozīciju nosaka perpendikulu Xa un Ya garums. Nogriezni Xa sauc par punkta A abscisi, un Ya ir šī punkta ordināta. Taisnstūra koordinātas parasti izsaka metros. Apvidus laukums punktā O ir sadalīts četrās ceturtdaļās ar abscisu un ordinātu asīm (2.9. att.). Kvartālu nosaukumu nosaka pieņemtie kardinālo punktu apzīmējumi. Ceturtdaļas ir numurētas pulksteņrādītāja virzienā: I - ZA; II - SE; III - DR; IV - ZR.
Tabulā 2.3 parāda X abscisu un Y ordinātu zīmes punktiem, kas atrodas dažādos kvartālos, un norāda to nosaukumus.
2.3. tabula
Punktu abscises, kas atrodas uz augšu no koordinātu sākuma, tiek uzskatītas par pozitīvām, un no tās uz leju - par negatīvām, to punktu ordinātas, kas atrodas pa labi, ir pozitīvas, pa kreisi - negatīvas. Plakano taisnstūrveida koordinātu sistēmu izmanto ierobežotās zemes virsmas vietās, kuras var sajaukt ar plakanām.
Koordinātas, kuru izcelsme ir kādā zemes punktā, sauc par polārajām. Šajā koordinātu sistēmā tiek mērīti orientācijas leņķi. Horizontālā plaknē (2.10. att.) caur patvaļīgi izvēlētu punktu O, ko sauc par polu, novelciet taisnu līniju OX - polāro asi.
Tad jebkura punkta, piemēram, M, pozīciju noteiks rādiuss - vektors r1 un virziena leņķis a1, un punkts N - attiecīgi r2 un a2. Leņķus a1 un a2 mēra no polārās ass pulksteņrādītāja virzienā līdz rādiusa vektoram. Polāro asi var novietot patvaļīgi vai saskaņot ar jebkura meridiāna virzienu, kas iet caur O polu.
Bipolārā koordinātu sistēma (2.11. att.) attēlo divus izvēlētus fiksētos polus O1 un O2, kas savienoti ar taisnu līniju – polāro asi. Šī koordinātu sistēma ļauj noteikt punkta M pozīciju attiecībā pret polāro asi plaknē, izmantojot divus leņķus b1 un b2, divus rādiusa vektorus r1 un r2 vai to kombinācijas. Ja ir zināmas punktu O1 un O2 taisnstūra koordinātas, tad punkta M atrašanās vietu var aprēķināt analītiski. 
Rīsi. 2.11
Rīsi. 2.12
Punktu augstumi uz zemes virsmas. Lai noteiktu punktu novietojumu uz Zemes fiziskās virsmas, nepietiek tikai zināt horizontālās koordinātas X, Y vai l, j, ir vajadzīga trešā koordināte - punkta H augstums. Punkta H augstums ( 2.12. att.) ir attālums vertikālā virzienā no dotā punkta (A´; B´ ´) līdz pieņemtajai galvenā līmeņa virsmai MN. Punkta augstuma skaitlisko vērtību sauc par pacēlumu. Augstumus, kas mērīti no galvenās līmeņa virsmas MN, sauc par absolūtajiem augstumiem (AA´; BB´´), un tos, kas noteikti attiecībā pret patvaļīgi izvēlētu līmeņa virsmu, sauc par nosacītajiem augstumiem (В´В´´). Divu punktu augstumu starpību vai attālumu vertikālā virzienā starp līdzenām virsmām, kas iet caur jebkuriem diviem Zemes punktiem, sauc par relatīvo augstumu (В´В´´) vai šo punktu augstumu h.
Baltkrievijas Republikā tika pieņemta 1977. gada Baltijas augstuma sistēma, kuras augstumi tiek aprēķināti no līdzenuma virsmas, kas sakrīt ar vidējo ūdens līmeni Somu līcī, no Kronštates ūdens mērītāja nulles.
Šeit ir vēl viens
Lai noteiktu Punktu pozīcijas ģeodēzijā izmanto telpiskās taisnstūra, ģeodēziskās un plaknes taisnstūra koordinātas.
Telpiskās taisnstūra koordinātas. Koordinātu sistēmas izcelsme atrodas centrā O zemes elipsoīds(2.2. att.).
Ass Z režisēts pa elipsoīda rotācijas asi uz ziemeļiem. Ass X atrodas ekvatoriālās plaknes krustpunktā ar sākotnējo Griničas meridiānu. Ass Y vērsta perpendikulāri asīm Z Un X uz austrumiem.
Ģeodēziskās koordinātas. Punkta ģeodēziskās koordinātas ir tā platums, garums un augstums (2.2. att.).
Ģeodēziskais platums punktus M sauc par leņķi IN, ko veido elipsoīda virsmas normāls, kas iet caur noteiktu punktu un ekvatoriālo plakni.
Platums tiek mērīts no ekvatora uz ziemeļiem un dienvidiem no 0° līdz 90° un tiek saukts par ziemeļiem vai dienvidiem. Ziemeļu platums tiek uzskatīts par pozitīvu, bet dienvidu platums ir negatīvs.
Elipsoīda šķērsplaknes, kas iet caur asi OZ, tiek saukti ģeodēziskie meridiāni.
Ģeodēziskais garums punktus M sauc par divšķautņu leņķi L, ko veido sākotnējā (Grinvičas) ģeodēziskā meridiāna plaknes un dotā punkta ģeodēziskais meridiāns.
Garuma grādus mēra no galvenā meridiāna diapazonā no 0° līdz 360° austrumiem vai no 0° līdz 180° austrumiem (pozitīvs) un no 0° līdz 180° rietumiem (negatīvs).
Ģeodēziskais augstums punktus M ir tā augstums N virs zemes elipsoīda virsmas.
Ģeodēziskās koordinātas un telpiskās taisnstūra koordinātas ir saistītas ar formulām
X =(N+H)cos B cos L,
Y=(N+H)cos B grēks L,
Z=[(1-e 2)N+H] grēks B,
Kur e- meridiāna elipses pirmā ekscentricitāte un N-pirmās vertikāles izliekuma rādiuss.Šajā gadījumā N=a/(1 - e 2 grēks 2 B) 1/2 .
Ģeodēziskais un telpiskais punktu taisnstūra koordinātas nosaka, izmantojot satelīta mērījumus, kā arī sasaistot tās ar ģeodēziskajiem mērījumiem ar punktiem ar zināmām koordinātām.
Ņemiet vērā, ka kopā ar Līdzās ģeodēzijai ir arī astronomiskie platuma un garuma grādi. Astronomiskais platums j ir leņķis, ko svērtā līnija noteiktā punktā veido ar ekvatora plakni. Astronomiskais garums l ir leņķis starp Griničas meridiāna plaknēm un astronomisko meridiānu, kas iet caur svērteni noteiktā punktā. Astronomiskās koordinātas tiek noteiktas uz zemes no astronomiskajiem novērojumiem.
Astronomiskās koordinātas atšķiras no ģeodēzijas, jo svērto līniju virzieni nesakrīt ar normālu virzieniem uz elipsoīda virsmu. Leņķi starp normāles virzienu uz elipsoīda virsmu un svērteni noteiktā zemes virsmas punktā sauc svērtenes novirze.
Ģeodēzisko un astronomisko koordinātu vispārinājums ir termins - ģeogrāfiskās koordinātas.
Plaknes taisnstūra koordinātas. Inženierģeodēzijas problēmu risināšanai tās pāriet no telpiskajām un ģeodēziskajām koordinātām uz vienkāršākām - plakanām koordinātām, kas ļauj attēlot reljefu plaknē un noteikt punktu atrašanās vietu, izmantojot divas koordinātas. X Un plkst.
Kopš Zemes izliektās virsmas nevar attēlot plaknē bez kropļojumiem; plaknes koordinātu ieviešana ir iespējama tikai ierobežotās vietās, kur izkropļojumi ir tik mazi, ka tos var atstāt novārtā. Krievijā ir pieņemta taisnstūra koordinātu sistēma, kuras pamatā ir vienādstūrveida šķērscilindrs Gausa projekcija. Elipsoīda virsma ir attēlota plaknē daļās, ko sauc par zonām. Zonas ir sfēriski trīsstūri, ko ierobežo meridiāni un kas stiepjas no ziemeļpola uz dienvidiem (2.3. att.). Zonas izmērs garuma grādos ir 6°. Katras zonas centrālo meridiānu sauc par aksiālo meridiānu. Zonas ir numurētas no Griničas uz austrumiem.
Zonas ar numuru N aksiālā meridiāna garums ir vienāds ar:
l 0 = 6° × N - 3°.
Zonas un ekvatora aksiālais meridiāns plaknē ir attēlotas ar taisnām līnijām (2.4. att.). Aksiālais meridiāns tiek ņemts par abscisu asi x, un ekvators atrodas aiz ordinātu ass y. Viņu krustojums (punkts O) kalpo par šīs zonas koordinātu sākumpunktu.
Izvairīties negatīvas ordinātu vērtības, krustojuma koordinātas tiek pieņemtas vienādas x 0 = 0, y 0 = 500 km, kas ir līdzvērtīgs ass pārvietojumam X 500 km uz rietumiem.
Lai pēc punkta taisnstūra koordinātām varētu spriest, kurā zonā tas atrodas, uz ordinātām y pa kreisi tiek piešķirts koordinātu zonas numurs.
Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātas A ir šāda forma:
x A= 6 276 427 m
y A= 12 428 566 m
Šīs koordinātas norāda tas ir punkts A atrodas 6276427 m attālumā no ekvatora, rietumu daļā ( y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
Telpiskajam taisnstūrim, ģeodēziskās un plakanās taisnstūra koordinātas Krievijā, ir pieņemta vienota koordinātu sistēma SK-95, kas fiksēta uz zemes pa valsts ģeodēziskā tīkla punktiem un uzbūvēta pēc satelīta un zemes mērījumiem no 1995. gada.
Vietējās taisnstūra koordinātu sistēmas. Dažādu objektu būvniecības laikā bieži tiek izmantotas lokālās (nosacījuma) koordinātu sistēmas, kurās asu virzieni un koordinātu izcelsme tiek piešķirti, pamatojoties uz to izmantošanas ērtībām objekta būvniecības un turpmākās ekspluatācijas laikā.
Tātad, šaujot dzelzceļa stacijas ass plkst ir vērsti pa galvenā dzelzceļa sliežu ceļa asi piketu palielināšanas virzienā, un ass X- pa pasažieru stacijas ēkas asi.
Būvniecības laikā tiltu šķērsojumu ass X parasti apvieno ar tilta asi un asi y iet perpendikulārā virzienā.
Būvniecības laikā lielas rūpnieciskās un civilās Axis iekārtas x Un y vērsta paralēli būvējamo ēku asīm.
Lai atrisinātu lielāko daļu problēmu lietišķajās zinātnēs, ir jāzina objekta vai punkta atrašanās vieta, kas tiek noteikta, izmantojot kādu no pieņemtajām koordinātu sistēmām. Turklāt ir augstuma sistēmas, kas arī nosaka punkta augstuma atrašanās vietu
Kas ir koordinātas
Koordinātas ir skaitliskas vai alfabētiskas vērtības, ko var izmantot, lai noteiktu punkta atrašanās vietu uz zemes. Tā rezultātā koordinātu sistēma ir tāda paša veida vērtību kopa, kurai ir vienāds princips punkta vai objekta atrašanai.
Punkta atrašanās vietas atrašana ir nepieciešama, lai atrisinātu daudzas praktiskas problēmas. Tādā zinātnē kā ģeodēzija punkta atrašanās vietas noteikšana noteiktā telpā ir galvenais mērķis, uz kura sasniegšanas balstās viss turpmākais darbs.
Lielākā daļa koordinātu sistēmu parasti nosaka punkta atrašanās vietu plaknē, ko ierobežo tikai divas asis. Lai noteiktu punkta pozīciju trīsdimensiju telpā, tiek izmantota arī augstuma sistēma. Ar tās palīdzību jūs varat uzzināt precīza atrašanās vieta vēlamo objektu.
Īsumā par ģeodēzijā izmantotajām koordinātu sistēmām
Koordinātu sistēmas nosaka punkta atrašanās vietu teritorijā, piešķirot tam trīs vērtības. To aprēķināšanas principi katrai koordinātu sistēmai ir atšķirīgi.
Galvenās ģeodēzijā izmantotās telpisko koordinātu sistēmas:
- Ģeodēziskais.
- Ģeogrāfisks.
- Polārais.
- Taisnstūrveida.
- Zonālās Gausa-Krūgera koordinātas.
Visām sistēmām ir savs sākumpunkts, vērtības objekta atrašanās vietai un pielietojuma zonai.
Ģeodēziskās koordinātas
Galvenais skaitlis, ko izmanto ģeodēzisko koordinātu mērīšanai, ir zemes elipsoīds.
Elipsoīds ir trīsdimensiju saspiesta figūra, kas vislabāk atspoguļo zemeslodes formu. Tā kā zemeslode ir matemātiski neregulāra figūra, ģeodēzisko koordinātu noteikšanai tā vietā izmanto elipsoīdu. Tas atvieglo daudzu aprēķinu veikšanu, lai noteiktu ķermeņa stāvokli uz virsmas.
Ģeodēziskās koordinātas nosaka trīs vērtības: ģeodēziskais platums, garums un augstums.
- Ģeodēziskais platums ir leņķis, kura sākums atrodas uz ekvatora plaknes, un tā beigas atrodas perpendikulā, kas novilkts vajadzīgajam punktam.
- Ģeodēziskais garums ir leņķis, ko mēra no galvenā meridiāna līdz meridiānam, uz kura atrodas vēlamais punkts.
- Ģeodēziskais augstums ir normas vērtība, kas uz Zemes rotācijas elipsoīda virsmu no noteikta punkta novilkta.
Ģeogrāfiskās koordinātas
Lai atrisinātu augstas precizitātes augstākās ģeodēzijas problēmas, ir jānošķir ģeodēziskās un ģeogrāfiskās koordinātas. Inženierģeodēzijā izmantotajā sistēmā šādas atšķirības parasti netiek veiktas mazās darba aptvertās telpas dēļ.
Ģeodēzisko koordinātu noteikšanai par atskaites plakni izmanto elipsoīdu, bet ģeogrāfisko koordinātu noteikšanai izmanto ģeoīdu. Ģeoīds ir matemātiski neregulāra figūra, kas ir tuvāk Zemes faktiskajai formai. Tā līdzenā virsma tiek uzskatīta par virsmu, kas mierīgā stāvoklī turpinās zem jūras līmeņa.
Ģeodēzijā izmantotā ģeogrāfiskā koordinātu sistēma apraksta punkta stāvokli telpā ar trim vērtībām. garums sakrīt ar ģeodēzisko, jo atskaites punkts tiks saukts arī par Griniču. Tas iet caur tāda paša nosaukuma observatoriju Londonā. nosaka pēc ekvatora, kas uzzīmēts uz ģeoīda virsmas.
Augstums ģeodēzijā izmantotajā lokālajā koordinātu sistēmā tiek mērīts no jūras līmeņa mierīgā stāvoklī. Krievijas un bijušās Savienības valstu teritorijā zīme, no kuras nosaka augstumus, ir Kronštates kāju stabs. Tas atrodas Baltijas jūras līmenī.
Polārās koordinātas
Ģeodēzijā izmantotajai polāro koordinātu sistēmai ir citas mērījumu veikšanas nianses. To izmanto nelielās reljefa zonās, lai noteiktu punkta relatīvo atrašanās vietu. Izcelsme var būt jebkurš objekts, kas atzīmēts kā sākotnējais. Tādējādi, izmantojot polārās koordinātas, nav iespējams viennozīmīgi noteikt punkta atrašanās vietu zemeslodes teritorijā.
Polārās koordinātas nosaka divi lielumi: leņķis un attālums. Leņķi mēra no meridiāna ziemeļu virziena līdz noteiktam punktam, nosakot tā atrašanās vietu telpā. Bet ar vienu leņķi nepietiks, tāpēc tiek ieviests rādiusa vektors - attālums no stāvēšanas punkta līdz vēlamajam objektam. Izmantojot šos divus parametrus, varat noteikt punkta atrašanās vietu vietējā sistēmā.
Parasti šo koordinātu sistēmu izmanto, lai veiktu inženiertehniskos darbus nelielā reljefa laukumā.
Taisnstūra koordinātas
Ģeodēzijā izmantotā taisnstūra koordinātu sistēma tiek izmantota arī nelielās reljefa teritorijās. Sistēmas galvenais elements ir koordinātu ass, no kuras notiek skaitīšana. Punkta koordinātas tiek atrastas kā perpendikulu garums, kas novilkts no abscisu un ordinātu asīm līdz vajadzīgajam punktam.
X ass ziemeļu virziens un Y ass austrumu virziens tiek uzskatīts par pozitīvu, bet dienvidu un rietumu virziens tiek uzskatīts par negatīvu. Atkarībā no zīmēm un ceturkšņiem tiek noteikta punkta atrašanās vieta telpā.
Gausa-Krūgera koordinātas
Gausa-Krūgera koordinātu zonālā sistēma ir līdzīga taisnstūrveida sistēmai. Atšķirība ir tāda, ka to var lietot uz visu zemeslodi, nevis tikai uz maziem laukumiem.
Gausa-Krūgera zonu taisnstūra koordinātas būtībā ir zemeslodes projekcija plaknē. Tas radās praktiskos nolūkos, lai uz papīra attēlotu lielas Zemes platības. Izkropļojumi, kas rodas pārsūtīšanas laikā, tiek uzskatīti par nenozīmīgiem.
Saskaņā ar šo sistēmu zemeslode pēc garuma ir sadalīta sešu grādu zonās ar aksiālu meridiānu vidū. Ekvators atrodas centrā pa horizontālu līniju. Rezultātā ir 60 šādas zonas.
Katrai no sešdesmit zonām ir sava taisnstūra koordinātu sistēma, ko mēra pa ordinātu asi no X un pa abscisu asi no zemes ekvatora Y posma. Lai nepārprotami noteiktu atrašanās vietu visas zemeslodes teritorijā, zona skaitlis tiek novietots pirms X un Y vērtībām.
X ass vērtības Krievijas teritorijā parasti ir pozitīvas, savukārt Y vērtības var būt negatīvas. Lai izvairītos no mīnusa zīmes x ass vērtībās, katras zonas aksiālais meridiāns nosacīti tiek pārvietots 500 metrus uz rietumiem. Tad visas koordinātas kļūst pozitīvas.
Koordinātu sistēmu kā iespēju ierosināja Gauss, un 20. gadsimta vidū to matemātiski aprēķināja Krūgers. Kopš tā laika tas ir izmantots ģeodēzijā kā viens no galvenajiem.
Augstuma sistēma
Ģeodēzijā izmantotās koordinātu un augstuma sistēmas tiek izmantotas, lai precīzi noteiktu punkta atrašanās vietu uz Zemes. Absolūtos augstumus mēra no jūras līmeņa vai citas virsmas, kas tiek ņemta par avotu. Turklāt ir relatīvi augstumi. Pēdējie tiek skaitīti kā pārpalikums no vēlamā punkta uz jebkuru citu. Tie ir ērti lietojami darbam vietējā koordinātu sistēmā, lai vienkāršotu turpmāko rezultātu apstrādi.
Koordinātu sistēmu pielietojums ģeodēzijā
Papildus iepriekšminētajam ģeodēzijā tiek izmantotas arī citas koordinātu sistēmas. Katram no tiem ir savas priekšrocības un trūkumi. Ir arī darba jomas, kurām ir aktuāla viena vai otra atrašanās vietas noteikšanas metode.
Tieši darba mērķis nosaka, kuras ģeodēzijā izmantotās koordinātu sistēmas vislabāk izmantot. Lai strādātu nelielās platībās, ērti izmantot taisnstūra un polāro koordinātu sistēmas, bet liela mēroga problēmu risināšanai nepieciešamas sistēmas, kas ļauj aptvert visu zemes virsmas teritoriju.
Izcelsme
Izcelsme(izcelsme) eiklīda telpā - vienskaitļa punkts, ko parasti apzīmē ar burtu PAR, kas tiek izmantots kā atskaites punkts visiem pārējiem punktiem. Eiklīda ģeometrijā koordinātu sākumpunktu var izvēlēties patvaļīgi jebkurā ērtā punktā.
Vektoru, kas novilkts no sākuma līdz citam punktam, sauc par rādiusa vektoru.
Dekarta koordinātu sistēma
Izcelsme sadala katru no asīm divos staros - pozitīvajā pusasī un negatīvajā pusasī.
Jo īpaši izcelsmi var ievadīt uz skaitļu ass. Šajā ziņā mēs varam runāt par koordinātu izcelsmi dažādiem plašiem daudzumiem (laiks, temperatūra utt.)
Polāro koordinātu sistēmas
Wikimedia fonds. 2010. gads.
Skatiet, kas ir “koordinātu izcelsme” citās vārdnīcās:
izcelsmi- Nulles punkts (asu krustošanās punkts) plakanā koordinātu sistēmā, ko izmanto grafiskajās sistēmās, kas strādā ar divdimensiju attēliem. Punkta koordinātu nosaka attālums no koordinātu sākuma (centra) pa horizontālo X asi (abscisu)…
izcelsmi- koordinačių pradžia statusas T joma automatika atitikmenys: engl. koordinātu izcelsme vok. Koordinatenanfangspunkt, m; Koordinatenursprung, m rus. izcelsme, n pranc. origine de cordonnées, f … Automatikos terminų žodynas
izcelsme (zīmētājs)- - [E.S. Aleksejevs, A.A. Mjačovs. Angļu-krievu skaidrojošā vārdnīca par datorsistēmu inženieriju. Maskava 1993] Tēmas informāciju tehnoloģijas vispār EN sižeta izcelsme... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata
- (izcelsme) Punkts diagrammā, kas jebkuram mērījumam apzīmē nulli. Diagrammā var būt vairāk nekā viens atskaites punkts. Piemēram, divu faktoru kastes diagramma ir veidota tā, lai jebkuru faktoru kopējie pieejamie apjomi ... Ekonomikas vārdnīca
virziena pretestības relejs ar raksturlielumu, kas neiet cauri koordinātu sākuma vietai- - [V.A.Semenovs. Angļu-krievu vārdnīca par releja aizsardzību] Tēmas relay protection EN ofset mho distance relay ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata
raksturīgs virziena pretestības relejam apļa formā, kas iet caur koordinātu sākumpunktu- - [Ja.N.Luginskis, M.S.Fezi Žilinskaja, Ju.S.Kabirovs. Angļu-krievu elektrotehnikas un enerģētikas vārdnīca, Maskava, 1999] Elektrotehnikas tēmas, pamatjēdzieni EN mho raksturojums ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata
skaitīšanas sākums- Pozīcija displeja ekrānā, no kuras sākas visas koordinātu sistēmas. Parasti atrodas ekrāna augšējā kreisajā stūrī. Tēmas informācijas tehnoloģijas vispārīgi EN izcelsme ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata
Taisnstūra koordinātu sistēma ir taisnstūrveida koordinātu sistēma ar savstarpēji perpendikulārām asīm plaknē vai telpā. Vienkāršākā un tāpēc visbiežāk lietotā koordinātu sistēma. Ļoti viegli un tieši apkopoti... ... Wikipedia
Punktam ir trīs Dekarta koordinātas un trīs sfēriskas koordinātas Ir ērti noteikt sfērisku koordinātu sistēmu attiecībā pret d ... Wikipedia
Definīciju kopa, kas ievieš koordinātu metodi, tas ir, veidu, kā noteikt punkta vai ķermeņa pozīciju, izmantojot skaitļus vai citus simbolus. Skaitļu kopu, kas nosaka konkrēta punkta atrašanās vietu, sauc par šī punkta koordinātām. In... ... Wikipedia
Grāmatas
- Astoņpadsmit, Stefānija Daņilova, dzejniece Stefānija Daņilova dzimusi 1994. gada 16. augustā Sanktpēterburgā un ir beznosacījumu iemīlējusies šajā pilsētā. Divcīņa, brīnumbērns, poliglots, kas savu pirmo pieaugušo dzejoli radīja trīs gadu vecumā... Kategorija: Mūsdienu krievu dzeja Sērija: Runet Star Izdevējs: AST,
- Providence, Rogatko Sergejs Aleksandrovičs, Rakstnieka Sergeja Rogatko jaunais romāns “Uguns”, kurš atzīst krievu literatūrā reālistisku principu un apstiprināja to savā slavenajā romānā “Lajs”, ir uzrakstīts līdzības žanrā. . Kategorija: