Capitolul I. Vectorii în plan și în spațiu
§ 13. Trecerea de la un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare la altul
Vă oferim să luați în considerare acest subiect în două versiuni.
1) Pe baza manualului de I.I.Privalov „Geometria analitică” (manual pentru instituțiile de învățământ tehnic superior, 1966)
I.I. Privalov „Geometrie analitică”
§ 1. Problema transformării coordonatelor.
Poziția unui punct pe plan este determinată de două coordonate relativ la un sistem de coordonate. Coordonatele punctului se vor schimba dacă alegem un alt sistem de coordonate.
Sarcina de a transforma coordonatele este de a pentru a, cunoscând coordonatele unui punct dintr-un sistem de coordonate, să-i găsească coordonatele într-un alt sistem.
Această problemă va fi rezolvată dacă stabilim formule care relaționează coordonatele unui punct arbitrar din două sisteme, iar coeficienții acestor formule vor include valori constante care determină poziția reciprocă a sistemelor.
Să fie date două sisteme de coordonate carteziene hoyȘi XO 1Y(Fig. 68).
Poziția noului sistem XO 1Y raportat la vechiul sistem hoy se va determina dacă coordonatele sunt cunoscute A Și b nou inceput O 1 conform vechiului sistem si unghiului α între axe OhȘi Aproximativ 1 X. Notează prin XȘi la coordonatele unui punct arbitrar M față de vechiul sistem, prin coordonatele X și Y ale aceluiași punct față de noul sistem. Sarcina noastră este să facem coordonatele vechi XȘi la exprimată în termenii noilor X și Y. Formulele de transformare rezultate trebuie să includă în mod evident constantele a, b Și α .
Vom obține soluția acestei probleme generale luând în considerare două cazuri particulare.
1. Originea coordonatelor se modifică, în timp ce direcțiile axelor rămân neschimbate ( α = 0).
2. Direcțiile axelor se modifică, în timp ce originea coordonatelor rămâne neschimbată ( a = b = 0).
§ 2. Transferul originii.
Să fie date două sisteme de coordonate carteziene cu origini diferite OȘi O 1şi aceleaşi direcţii ale axelor (Fig. 69).
Notează prin A Și b coordonatele unui nou început Aproximativ 1în vechiul sistem și prin X yȘi X, Y-coordonatele unui punct arbitrar M, respectiv, în sistemele vechi și noi. Punctul de proiectare M pe axă Aproximativ 1 XȘi Oh, precum și punctul Aproximativ 1 pe axă Oh, ajungem pe ax Oh trei puncte Oh, aȘi R. Segmentează valori OA, ARȘi SAU sunt legate prin următoarea relație:
| OA| + | AR | = | SAU |. (1)
Observând că | | OA| = A , | SAU | = X , | AR | = | O1R1 | = X, rescriem egalitatea (1) sub forma:
A + X = X sau X = X + A . (2)
În mod similar, proiectând M și Aproximativ 1 pe axa y, obținem:
y = Y + b (3)
Asa de, coordonata veche este egală cu cea nouă plus coordonata noii origini conform vechiului sistem.
Din formulele (2) și (3), noile coordonate pot fi exprimate în termenii celor vechi:
X = x - a , (2")
Y = y-b . (3")
§ 3. Rotirea axelor de coordonate.
Să fie date două sisteme de coordonate carteziene cu aceeași origine DESPREşi direcţii diferite ale axelor (Fig. 70).
Lăsa α este unghiul dintre axe OhȘi OH. Notează prin X y Și X Y coordonatele unui punct arbitrar M, respectiv, în sistemul vechi și cel nou:
X = | SAU | , la = | P.M | ,
X= | SAU 1 |, Y= | R 1 M |.
Luați în considerare o linie întreruptă SAU 1 MPși ia proiecția acesteia pe axă Oh. Observând că proiecția liniei întrerupte este egală cu proiecția segmentului de închidere (Capitolul I, § 8), avem:
SAU 1 MP = | SAU |. (4)
Pe de altă parte, proiecția unei linii întrerupte este egală cu suma proiecțiilor legăturilor sale (Capitolul I, § 8); prin urmare, egalitatea (4) se va scrie după cum urmează:
etc SAU 1+ pr R 1 M+ pr MP= | SAU | (4")
Deoarece proiecția unui segment direcționat este egală cu valoarea lui înmulțită cu cosinusul unghiului dintre axa de proiecție și axa pe care se află segmentul (Capitolul I, § 8), atunci
etc SAU 1 = X cos α
etc R 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y păcat α ,
relatii cu publicul MP= 0.
Prin urmare, egalitatea (4") ne dă:
X = X cos α - Y păcat α . (5)
În mod similar, proiectând aceeași linie întreruptă pe axă OU, obținem o expresie pentru la. Într-adevăr, avem:
etc SAU 1+ pr R 1 M+ pr MP= pr SAU = 0.
Observând că
etc SAU 1 = X cos( α - 90°) = X păcat α ,
etc R 1 M = Y cos α ,
relatii cu publicul MP = - y ,
vom avea:
X păcat α + Y cos α - y = 0,
y = X păcat α + Y cos α . (6)
Din formulele (5) și (6) obținem coordonate noi XȘi Y exprimată prin vechi X Și la , dacă rezolvăm ecuațiile (5) și (6) în raport cu XȘi Y.
Cometariu. Formulele (5) și (6) pot fi obținute diferit.
Din fig. 71 avem:
X = OP = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM sin α păcat φ ,
la = PM = OM sin ( α + φ ) = OM sin α cos φ + OM cos α păcat φ .
Întrucât (Ch. I, § 11) OM cos φ = X, OM sin φ =Y, Acea
X = X cos α - Y păcat α , (5)
y = X păcat α + Y cos α . (6)
§ 4. Caz general.
Să fie date două sisteme de coordonate carteziene cu origini diferite și direcții diferite ale axelor (Fig. 72).
Notează prin A Și b coordonatele unui nou început DESPRE, conform vechiului sistem, prin α - unghiul de rotaţie al axelor de coordonate şi, în final, prin X y Și X Y- coordonatele unui punct arbitrar M, respectiv, conform vechiului și noului sistem.
A exprima X Și la prin XȘi Y, introducem un sistem de coordonate auxiliar X 1 O 1 y 1, al cărui început îl plasăm la noul început DESPRE 1 și luați direcțiile axelor pentru a coincide cu direcțiile axelor vechi. Lăsa X 1 și y 1 notăm coordonatele punctului M relativ la acest sistem auxiliar. Trecând de la vechiul sistem de coordonate la cel auxiliar avem (§ 2):
X = X 1 + a , y = y 1 +b .
X 1 = X cos α - Y păcat α , y 1 = X păcat α + Y cos α .
Înlocuirea X 1 și y 1 în formulele anterioare prin expresiile lor din ultimele formule, găsim în cele din urmă:
X = X cos α - Y păcat α + A
y = X păcat α + Y cos α + b (eu)
Formulele (I) contin, ca caz special, formulele §§ 2 si 3. Astfel, pentru α = 0 formule (I) se transformă în
X = X + A , y = Y + b ,
iar la a = b = 0 avem:
X = X cos α - Y păcat α , y = X păcat α + Y cos α .
Din formulele (I) obținem coordonate noi XȘi Y exprimată prin vechi X Și la dacă ecuaţiile (I) sunt rezolvabile în raport cu XȘi Y.
Observăm o proprietate foarte importantă a formulelor (I): sunt liniare în raport cu XȘi Y, adică de forma:
X = AX+BY+C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Este ușor de verificat dacă noile coordonate XȘi Y exprimată prin vechiul X Și la de asemenea formule de gradul I cu privire la X Și y.
G.N. Yakovlev „Geometrie”
§ 13. Trecerea de la un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare la altul
Prin alegerea unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, se stabilește o corespondență unu-la-unu între punctele planului și perechile ordonate de numere reale. Aceasta înseamnă că fiecărui punct al planului îi corespunde o singură pereche de numere, iar fiecare pereche ordonată de numere reale corespunde unui singur punct.
Alegerea unuia sau altui sistem de coordonate nu este limitată de nimic și este determinată în fiecare caz particular doar de considerente de comoditate. Adesea, aceeași mulțime trebuie luată în considerare în sisteme de coordonate diferite. Unul și același punct în sisteme diferite are, evident, coordonate diferite. Un set de puncte (în special, un cerc, o parabolă, o linie dreaptă) în diferite sisteme de coordonate este dat de ecuații diferite.
Să aflăm cum se transformă coordonatele punctelor planului în trecerea de la un sistem de coordonate la altul.
Să fie date două sisteme de coordonate dreptunghiulare pe plan: O, eu, j și despre", i",j" (Fig. 41).
Primul sistem cu originea în punctul O și vectori de bază i Și j suntem de acord să-l numim pe cel vechi, pe al doilea - cu începutul în punctul O" și vectorii de bază eu" Și j" - nou.
Vom considera ca fiind cunoscuta pozitia noului sistem fata de cel vechi: sa fie punctul O" din vechiul sistem sa aiba coordonate ( a;b ), un vector eu" forme cu vector i colţ α . Colţ α numărând în sensul opus mișcării în sensul acelor de ceasornic.
Se consideră un punct arbitrar M. Se notează coordonatele sale în vechiul sistem prin ( X y ), în cel nou - prin ( X y" ). Sarcina noastră este să stabilim relația dintre coordonatele vechi și noi ale punctului M.
Conectați în perechi punctele O și O", O" și M, O și M. Conform regulii triunghiului, obținem
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Să descompunăm vectorii OM> și OO"> prin vectori de bază i Și j , și vectorul O"M> prin vectori de bază eu" Și j" :
OM > = X i+y j , OO" > = A i+b j , O"M > = X" i"+y" j "
Acum egalitatea (1) poate fi scrisă după cum urmează:
X i+y j = (A i+b j ) + (X" i"+y" j "). (2)
Noi vectori de bază eu" Și j" extins peste vechii vectori de bază i Și j in felul urmator:
eu" = cos α i + păcat α j ,
j" = cos ( π / 2 + α ) i + păcat ( π / 2 + α ) j = - păcat α i + cos α j .
Înlocuind expresiile găsite pentru eu" Și j" în formula (2), obținem egalitatea vectorială
X i+y j = A i+b j + X"(cos α i + păcat α j ) + la"(-păcat α i + cos α j )
echivalent cu două egalități numerice:
|
x = a + X" cos α
- la" păcat α
, |
Formulele (3) dau expresiile dorite pentru coordonatele vechi XȘi la puncte prin noile sale coordonate X"Și la". Pentru a găsi expresii pentru noile coordonate în funcție de cele vechi, este suficient să rezolvăm sistemul de ecuații (3) în raport cu necunoscutele. X"Și la".
Deci, coordonatele punctelor la mutarea originii la punctul ( A; b ) și rotiți axele cu un unghi α sunt transformate prin formulele (3).
Dacă se schimbă doar originea coordonatelor, iar direcțiile axelor rămân aceleași, atunci, presupunând în formulele (3) α = 0, obținem
Formulele (5) se numesc formule de rotație.
Sarcina 1. Fie coordonatele noului început în vechiul sistem (2; 3), iar coordonatele punctului A în vechiul sistem (4; -1). Găsiți coordonatele punctului A în noul sistem, dacă direcțiile axelor rămân aceleași.
Prin formulele (4) avem
Răspuns. A(2;-4)
Sarcina 2. Fie coordonatele punctului P în vechiul sistem (-2; 1), iar în noul sistem, ale căror direcții ale axelor sunt aceleași, coordonatele acestui punct (5; 3). Găsiți coordonatele noului început în vechiul sistem.
Și Conform formulelor (4), obținem
|
-
2= a + 5 |
Unde A = - 7, b = - 2.
Răspuns. (-7; -2).
Sarcina 3. Coordonatele punctului A în noul sistem (4; 2). Găsiți coordonatele acestui punct în vechiul sistem, dacă originea rămâne aceeași, iar axele de coordonate ale vechiului sistem sunt rotite cu un unghi α = 45°.
Prin formulele (5) găsim
Sarcina 4. Coordonatele punctului A din vechiul sistem (2 √3 ; - √3 ). Găsiți coordonatele acestui punct în noul sistem, dacă originea vechiului sistem este mutată în punctul (-1;-2), iar axele sunt rotite cu un unghi α = 30°.
Prin formulele (3) avem
Rezolvarea acestui sistem de ecuații pentru X"Și la", găsim: X" = 4, la" = -2.
Răspuns. A(4;-2).
Sarcina 5. Având în vedere ecuația unei drepte la = 2X - 6. Aflați ecuația aceleiași drepte în noul sistem de coordonate, care se obține din vechiul sistem prin rotirea axelor cu un unghi α = 45°.
Formulele de rotație în acest caz au forma
Înlocuirea dreptei în ecuație la = 2X - 6 variabile vechi X Și la nou, obținem ecuația
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (X y") - 6 ,
care după simplificări ia forma y" = X" / 3 - 2√2
Coordonatele
- sunt marimi care determina pozitia oricarui punct de pe suprafata sau in spatiu in sistemul de coordonate acceptat. Sistemul de coordonate stabilește punctele, liniile sau planurile inițiale (originale) pentru citirea cantităților necesare - originea coordonatelor și unitățile de calcul ale acestora. În topografie și geodezie, sistemele de coordonate geografice, dreptunghiulare, polare și bipolare au primit cea mai mare aplicație.
Coordonatele geografice (Fig. 2.8) sunt folosite pentru a determina poziția punctelor de pe suprafața Pământului pe un elipsoid (bilă). În acest sistem de coordonate, planul meridian inițial și planul ecuatorial sunt cele inițiale. Un meridian este o linie de secțiune a unui elipsoid printr-un plan care trece printr-un punct dat și axa de rotație a Pământului.
O paralelă este o linie de secțiune a unui elipsoid printr-un plan care trece printr-un punct dat și perpendicular pe axa pământului. Paralela al cărei plan trece prin centrul elipsoidului se numește ecuator. Prin fiecare punct situat pe suprafața globului se poate trasa un singur meridian și o singură paralelă.
Coordonatele geografice
sunt marimi unghiulare: longitudine l si latitudine j.
Longitudinea geografică l este unghiul diedric cuprins între planul meridianului dat (care trece prin punctul B) și planul meridianului inițial. Pentru meridianul inițial (zero), a fost luat meridianul care trece prin centrul sălii principale a Observatorului Greenwich din orașul Londra. Pentru punctul B, longitudinea este determinată de unghiul l = WCD. Longitudinile sunt numărate de la meridianul prim în ambele direcții - est și vest. În acest sens, distingem între longitudine vestică și estică, care variază de la 0° la 180°.
Latitudine geografică
j este unghiul format de planul ecuatorului și plumbul care trece prin punctul dat. Dacă Pământul este luat ca o minge, atunci pentru punctul B (Fig. 2.8) latitudinea j este determinată de unghiul DCB. Latitudinile măsurate de la ecuator la nord sunt numite nordice, iar la sud - sud, acestea variază de la 0 ° la ecuator la 90 ° la poli.
Coordonatele geografice pot fi derivate din observații astronomice sau măsurători geodezice. În primul caz, ele sunt numite astronomice, iar în al doilea - geodezice (L - longitudine, B - latitudine). În observațiile astronomice, proiecția punctelor pe suprafața de referință se realizează prin linii de plumb, în măsurători geodezice - prin normale. Prin urmare, valorile coordonatelor astronomice și geodezice diferă în funcție de cantitatea de abatere a liniei de plumb.
Utilizarea diferitelor elipsoide de referință în diferite stări duce la diferențe în coordonatele acelorași puncte calculate în raport cu diferite suprafețe inițiale. În practică, aceasta se exprimă în deplasarea generală a imaginii cartografice în raport cu meridianele și paralelele de pe hărți de scară mare și medie.
Coordonate dreptunghiulare
marimile liniare se numesc - abscisa si ordonata, care determina pozitia unui punct pe plan fata de directiile initiale.
(Fig. 2.9)
În geodezie și topografie se adoptă sistemul de coordonate dreptunghiulare. Acest lucru îl diferențiază de sistemul de coordonate din stânga folosit în matematică. Direcțiile inițiale sunt două drepte reciproc perpendiculare cu originea în punctul lor de intersecție O.
Linia dreaptă XX (axa absciselor) este aliniată cu direcția meridianului care trece prin origine, sau cu direcția paralelă cu un meridian. Linia dreaptă YY (axa y) trece prin punctul O perpendicular pe axa x. Într-un astfel de sistem, poziția unui punct pe un plan este determinată de cea mai scurtă distanță până la acesta față de axele de coordonate. Poziția punctului A este determinată de lungimea perpendicularelor Xa și Ya. Segmentul Xa este numit abscisa punctului A, iar Yа este ordonata acestui punct. Coordonatele dreptunghiulare sunt de obicei exprimate în metri. Abscisa și axele ordonatelor împart terenul în punctul O în patru sferturi (Fig. 2.9). Numele cartierelor este determinat de denumirile acceptate ale țărilor lumii. Sferturile sunt numerotate în sensul acelor de ceasornic: I - SV; II - SE; III - SW; IV - NV.
În tabel. 2.3 prezintă semnele absciselor X și ordonatele Y pentru punctele situate în diferite sferturi și sunt date denumirea acestora.
Tabelul 2.3
Abscisele punctelor situate în sus de la origine sunt considerate pozitive, iar în jos de la aceasta - negative, ordonatele punctelor situate la dreapta - pozitive, la stânga - negative. Sistemul de coordonate dreptunghiulare plate este utilizat în zone limitate ale suprafeței pământului, care pot fi luate drept plate.
Coordonatele, a căror origine este orice punct al terenului, sunt numite polare. În acest sistem de coordonate se măsoară unghiurile de orientare. Pe un plan orizontal (Fig. 2.10), printr-un punct O ales arbitrar, numit pol, se trasează o linie dreaptă OX - axa polară.
Atunci poziția oricărui punct, de exemplu, M, va fi determinată de rază - vectorul r1 și unghiul de direcție a1 și punctul N - respectiv r2 și a2. Unghiurile a1 și a2 sunt măsurate de la axa polară în sensul acelor de ceasornic până la vectorul rază. Axa polară poate fi localizată în mod arbitrar sau combinată cu direcția oricărui meridian care trece prin polul O.
Sistemul de coordonate bipolar (Fig. 2.11) este format din doi poli fixați selectați O1 și O2, legați printr-o linie dreaptă - axa polară. Acest sistem de coordonate vă permite să determinați poziția punctului M în raport cu axa polară pe plan folosind două unghiuri b1 și b2, doi vectori de rază r1 și r2 sau combinații ale acestora. Dacă sunt cunoscute coordonatele dreptunghiulare ale punctelor O1 și O2, atunci poziția punctului M poate fi calculată analitic. 
Orez. 2.11
Orez. 2.12
Înălțimile punctelor de pe suprafața pământului. Pentru a determina poziția punctelor suprafeței fizice a Pământului, nu este suficient să cunoașteți doar coordonatele planificate X, Y sau l, j, este necesară o a treia coordonată - înălțimea punctului H. Înălțimea punctul H (Fig. 2.12) este distanța de-a lungul direcției verticale de la un punct dat (A’; B’ ´) până la suprafața de nivel principal acceptată MN. Valoarea numerică a înălțimii unui punct se numește cotă. Înălțimile măsurate de la suprafața de nivel principal MN se numesc înălțimi absolute (AA´; BB´´), iar cele determinate în raport cu o suprafață de nivel aleasă arbitrar se numesc înălțimi condiționate (В´В´´). Diferența de înălțime dintre două puncte sau distanța de-a lungul direcției verticale dintre suprafețele plane care trec prin oricare două puncte de pe Pământ se numește înălțime relativă (В´В´´) sau excesul acestor puncte h.
În Republica Belarus a fost adoptat sistemul baltic de înălțimi din 1977. Înălțimile se numără de la suprafața plană, care coincide cu nivelul mediu al apei din Golful Finlandei, de la zero al piciorului Kronstadt.
Iată altul
Pentru determinare pozițiile punctului în geodezie folosesc coordonate dreptunghiulare spațiale, geodezice și dreptunghiulare plane.
Coordonate spațiale dreptunghiulare. Originea sistemului de coordonate este situată în centru O elipsoid de pământ(Fig. 2.2).
Axă Z regizat de-a lungul axei de rotaţie a elipsoidului spre nord. Axă X se află la intersecția planului ecuatorial cu meridianul inițial - Greenwich. Axă Yîndreptate perpendicular pe axele ZȘi X spre est.
Coordonatele geodezice. Coordonatele geodezice ale unui punct sunt latitudinea, longitudinea și înălțimea acestuia (Fig. 2.2).
Latitudine geodezică puncte M numit unghi ÎN, format din normala la suprafața elipsoidului care trece prin punctul dat, și planul ecuatorului.
Latitudinea este măsurată de la ecuator nord și sud de la 0° la 90° și se numește nord sau sud. Latitudinea nordică este considerată pozitivă, iar latitudinea sudică este negativă.
Planuri de secțiune ale unui elipsoid care trece printr-o axă oz, sunt numite meridianele geodezice.
Longitudine geodezică puncte M numit unghi diedru L, format din planele meridianului geodezic inițial (Greenwich) și meridianul geodezic al punctului dat.
Longitudinile sunt măsurate de la meridianul principal în intervalul de la 0° la 360° est, sau de la 0° la 180° est (pozitiv) și de la 0° la 180° vest (negativ).
Înălțimea geodezică puncte M este înălțimea ei H deasupra suprafeței elipsoidului pământului.
Coordonatele geodezice cu coordonatele spațiale dreptunghiulare sunt legate prin formule
X=(N+H)cos B cos L,
Y=(N+H)cos B păcat L,
Z=[(1- e 2)N+H] păcat B,
Unde e este prima excentricitate a elipsei meridianului şi N-raza de curbură a primei verticale. N=a/(1 - e 2 păcatul 2 B) 1/2 .
Geodezică și spațială Coordonatele dreptunghiulare ale punctelor sunt determinate folosind măsurătorile prin satelit, precum și prin legarea acestora cu măsurători geodezice la puncte cu coordonate cunoscute.
Rețineți că împreună cu cu geodezici există și latitudine și longitudine astronomice. Latitudinea astronomică j este unghiul format de plumbul în punctul dat cu planul ecuatorial. Longitudine astronomică l este unghiul dintre planele meridianului Greenwich și meridianul astronomic care trece prin plumb într-un punct dat. Coordonatele astronomice sunt determinate pe teren din observații astronomice.
Coordonatele astronomice diferă de geodezice deoarece direcțiile liniilor de plumb nu coincid cu direcțiile normalelor către suprafața elipsoidului. Unghiul dintre direcția normalei la suprafața elipsoidului și linia plumbă într-un punct dat de pe suprafața pământului se numește plumb.
O generalizare a coordonatelor geodezice și astronomice este termenul - coordonate geografice.
Coordonate dreptunghiulare plane. Pentru a rezolva problemele geodeziei de inginerie din coordonatele spațiale și geodezice, acestea trec la coordonate mai simple - plate, care fac posibilă reprezentarea terenului într-un plan și determinarea poziției punctelor cu două coordonate. XȘi la.
Deoarece suprafaţa convexă a Pământului este imposibil să descrii într-un plan fără distorsiuni, introducerea coordonatelor plate este posibilă doar în zone limitate unde distorsiunile sunt atât de mici încât pot fi neglijate. În Rusia, se adoptă un sistem de coordonate dreptunghiulare, a cărui bază este un echiunghiular transversal-cilindric. proiecție gaussiană. Suprafața unui elipsoid este reprezentată pe un plan în părți numite zone. Zonele sunt bicagoane sferice delimitate de meridiane și care se extind de la polul nord la sud (Fig. 2.3). Mărimea zonei în longitudine este de 6°. Meridianul central al fiecărei zone se numește meridianul axial. Zonele sunt numerotate de la Greenwich la est.
Longitudinea meridianului axial al zonei cu numărul N este egală cu:
l 0 \u003d 6 ° × N - 3 °.
Meridianul axial al zonei și al ecuatorului sunt reprezentate în plan prin linii drepte (Fig. 2.4). Meridianul axial este luat ca axa absciselor X, iar ecuatorul - pentru axa y y. Intersecția lor (punctul O) servește drept origine a zonei date.
A evita valori ordonate negative, coordonatele intersecției sunt luate egale cu X 0 = 0, y 0 = 500 km, ceea ce este echivalent cu o deplasare a axei X vest pe 500 km.
Astfel încât după coordonatele dreptunghiulare ale unui punct să se poată judeca în ce zonă se află, la ordonată yîn stânga este atribuit numărul zonei de coordonate.
Să fie, de exemplu, coordonatele punctului A arată ca:
x A= 6 276 427 m
y A= 12 428 566 m
Aceste coordonate indicăîn ce punct A situat la o distanta de 6276427 m de ecuator, in partea de vest ( y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
Pentru dreptunghiular spațial, coordonate geodezice și dreptunghiulare plate în Rusia, a fost adoptat un sistem de coordonate unificat SK-95, fixat la sol prin puncte ale rețelei geodezice de stat și construit pe măsurători satelitare și terestre începând din epoca anului 1995.
Sisteme locale de coordonate dreptunghiulare.În timpul construcției diferitelor obiecte, sunt adesea utilizate sisteme de coordonate locale (condiționale), în care direcțiile axelor și originea coordonatelor sunt atribuite în funcție de comoditatea utilizării lor în timpul construcției și exploatării ulterioare a obiectului.
Asa de, la tragere axa gării la sunt direcționate de-a lungul axei căii ferate principale în direcția de creștere a pichetului, iar axa X- de-a lungul axei clădirii stației de călători.
În timpul construcției Axa de trecere a podului X de obicei combinate cu axa podului și axa y merge într-o direcție perpendiculară.
În timpul construcției axa mari instalatii industriale si civile XȘi yîndreptate paralel cu axele clădirilor în construcţie.
Pentru a rezolva majoritatea problemelor din științele aplicate, este necesar să se cunoască locația unui obiect sau punct, care este determinat folosind unul dintre sistemele de coordonate acceptate. În plus, există sisteme de elevație care determină și locația la altitudine a unui punct pe
Ce sunt coordonatele
Coordonatele sunt valori numerice sau literale care pot fi folosite pentru a determina locația unui punct pe teren. În consecință, un sistem de coordonate este un set de valori de același tip care au același principiu pentru găsirea unui punct sau obiect.
Găsirea locației unui punct este necesară pentru a rezolva multe probleme practice. Într-o știință precum geodezia, determinarea locației unui punct într-un spațiu dat este scopul principal, pe a cărui realizare se bazează toate lucrările ulterioare.
Majoritatea sistemelor de coordonate, de regulă, definesc locația unui punct pe un plan limitat de doar două axe. Pentru a determina poziția unui punct în spațiul tridimensional se folosește și un sistem de înălțimi. Cu ajutorul lui, poți afla locatie exacta obiectul dorit.
Pe scurt despre sistemele de coordonate utilizate în geodezie
Sistemele de coordonate determină locația unui punct pe un teritoriu dându-i trei valori. Principiile calculului lor sunt diferite pentru fiecare sistem de coordonate.
Principalele sisteme de coordonate spațiale utilizate în geodezie:
- Geodezic.
- Geografic.
- Polar.
- Dreptunghiular.
- Coordonatele zonale Gauss-Kruger.
Toate sistemele au propriul punct de plecare, valori pentru locația obiectului și domeniul de aplicare.
Coordonatele geodezice
Figura principală folosită pentru a citi coordonatele geodezice este elipsoidul pământului.
Un elipsoid este o figură comprimată tridimensională care reprezintă cel mai bine figura globului. Datorită faptului că globul este o figură incorectă din punct de vedere matematic, elipsoidul este folosit în schimb pentru a determina coordonatele geodezice. Acest lucru facilitează implementarea multor calcule pentru a determina poziția corpului pe suprafață.
Coordonatele geodezice sunt definite de trei valori: latitudine geodezică, longitudine și altitudine.
- Latitudinea geodezică este un unghi al cărui început se află pe planul ecuatorului, iar sfârșitul se află pe perpendiculara trasă la punctul dorit.
- Longitudinea geodezică este unghiul care se măsoară de la meridianul zero la meridianul pe care se află punctul dorit.
- Înălțimea geodezică - valoarea normalului trasat pe suprafața elipsoidului de rotație a Pământului dintr-un punct dat.
Coordonatele geografice
Pentru a rezolva problemele de înaltă precizie ale geodeziei superioare, este necesar să se facă distincția între coordonatele geodezice și cele geografice. În sistemul utilizat în geodezia de inginerie, astfel de diferențe, din cauza spațiului mic acoperit de lucrare, de regulă, nu.
Un elipsoid este folosit ca plan de referință pentru a determina coordonatele geodezice, iar un geoid este folosit pentru a determina coordonatele geografice. Geoidul este o figură incorectă din punct de vedere matematic, mai aproape de figura reală a Pământului. Pentru suprafața sa nivelată, ei iau ceea ce este continuat sub nivelul mării în starea sa calmă.
Sistemul de coordonate geografice folosit în geodezie descrie poziția unui punct în spațiu cu trei valori. longitudinea coincide cu geodezică, deoarece punctul de referință va fi numit și Greenwich. Trece prin observatorul cu același nume din orașul Londra. determinată din ecuatorul desenat pe suprafaţa geoidului.
Înălțimea în sistemul de coordonate local utilizat în geodezie este măsurată de la nivelul mării în starea sa calmă. Pe teritoriul Rusiei și al țărilor din fosta Uniune, marca de la care se determină înălțimile este piciorul Kronstadt. Este situat la nivelul Marii Baltice.
Coordonate polare
Sistemul de coordonate polare folosit în geodezie are alte nuanțe ale produsului măsurătorilor. Este folosit în zone mici de teren pentru a determina locația relativă a unui punct. Punctul de referință poate fi orice obiect marcat ca sursă. Astfel, folosind coordonatele polare, este imposibil să se determine locația fără ambiguitate a unui punct de pe teritoriul globului.
Coordonatele polare sunt definite de două mărimi: unghi și distanță. Unghiul este măsurat din direcția nordică a meridianului până la un punct dat, determinând poziția acestuia în spațiu. Dar un unghi nu va fi suficient, așa că este introdus un vector rază - distanța de la punctul în picioare până la obiectul dorit. Cu aceste două opțiuni, puteți determina locația punctului în sistemul local.
De regulă, acest sistem de coordonate este utilizat pentru lucrări de inginerie efectuate pe o zonă mică de zonă.
Coordonate dreptunghiulare
Sistemul de coordonate dreptunghiulare folosit în geodezie este folosit și în zone mici ale terenului. Elementul principal al sistemului este axa de coordonate din care se face referința. Coordonatele unui punct se găsesc ca lungimea perpendicularelor trase din abscisă și axele ordonatelor către punctul dorit.
Direcția nordică a axei x și estul axei y sunt considerate pozitive, iar sudul și vestul sunt negative. În funcție de semne și sferturi, se determină locația unui punct în spațiu.
Coordonatele Gauss-Kruger
Sistemul zonal de coordonate Gauss-Kruger este similar cu cel dreptunghiular. Diferența este că poate fi aplicată pe întregul teritoriu al globului, și nu doar pe zone mici.
Coordonatele dreptunghiulare ale zonelor Gauss-Kruger, de fapt, sunt proiecția globului pe un plan. A apărut în scopuri practice pentru a reprezenta pe hârtie zone mari ale Pământului. Distorsiunile de transfer sunt considerate nesemnificative.
Conform acestui sistem, globul este împărțit după longitudine în zone de șase grade cu meridianul axial în mijloc. Ecuatorul este în centru de-a lungul unei linii orizontale. Ca rezultat, există 60 de astfel de zone.
Fiecare dintre cele șaizeci de zone are propriul sistem de coordonate dreptunghiulare, măsurate de-a lungul axei ordonatelor de la X și de-a lungul abscisei - din zona ecuatorului Pământului Y. Pentru a determina fără ambiguitate locația pe teritoriul întregului glob, numărul zonei este pus în fața valorilor X și Y.
Valorile axei x în Rusia sunt de obicei pozitive, în timp ce valorile lui y pot fi negative. Pentru a evita semnul minus în valorile axei absciselor, meridianul axial al fiecărei zone este mutat condiționat cu 500 de metri spre vest. Apoi toate coordonatele devin pozitive.
Sistemul de coordonate a fost propus de Gauss ca posibil și calculat matematic de Krüger la mijlocul secolului al XX-lea. De atunci, a fost folosit în geodezie ca unul dintre principalele.
Sistem de inaltime
Sistemele de coordonate și înălțimi folosite în geodezie sunt folosite pentru a determina cu precizie poziția unui punct pe Pământ. Înălțimile absolute sunt măsurate de la nivelul mării sau de la o altă suprafață luată ca originală. În plus, există înălțimi relative. Acestea din urmă sunt considerate ca un exces de la punctul dorit la oricare altul. Este convenabil să le folosiți pentru lucrul în sistemul local de coordonate pentru a simplifica procesarea ulterioară a rezultatelor.
Aplicarea sistemelor de coordonate în geodezie
Pe lângă cele de mai sus, există și alte sisteme de coordonate utilizate în geodezie. Fiecare dintre ele are propriile sale avantaje și dezavantaje. Există, de asemenea, propriile domenii de lucru pentru care este relevantă una sau alta metodă de determinare a locației.
Scopul lucrării este cel care determină care sisteme de coordonate utilizate în geodezie sunt cel mai bine utilizate. Pentru lucrul în zone mici, este convenabil să se utilizeze sisteme de coordonate dreptunghiulare și polare, iar pentru rezolvarea problemelor la scară largă sunt necesare sisteme care să permită acoperirea întregului teritoriu al suprafeței pământului.
Origine
Origine(punct de referință) în spațiul euclidian - un punct singular, de obicei notat cu literă DESPRE, care este folosit ca punct de referință pentru toate celelalte puncte. În geometria euclidiană, originea coordonatelor poate fi aleasă în mod arbitrar în orice punct convenabil.
Un vector tras de la origine la alt punct se numește vector rază.
Sistemul de coordonate carteziene
Originea coordonatelor împarte fiecare dintre axe în două fascicule - o semiaxă pozitivă și o semiaxă negativă.
În special, originea poate fi introdusă pe axa numerelor. În acest sens, putem vorbi despre originea coordonatelor pentru diferite cantități extinse (timp, temperatură etc.)
Sisteme de coordonate polare
Fundația Wikimedia. 2010 .
Vedeți care este „Originea coordonatelor” în alte dicționare:
origine- Punct zero (punctul de intersecție al axelor) într-un sistem de coordonate plat utilizat în sistemele grafice care lucrează cu imagini bidimensionale. Coordonata punctului este stabilită de distanța de la originea (centrul) coordonatelor de-a lungul axei X orizontale (abscisa) ... ...
origine- koordinačių pradžia statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. originea coordonatelor vok. Koordinatenanfangspunkt, m; Koordinatenursprung, m rus. origine, npranc. origine de cordonnées, f … Automatikos terminų žodynas
origine (plotter)- - [E.S. Alekseev, A.A. Myachev. Dicționar explicativ englez rus al ingineriei sistemelor informatice. Moscova 1993] Subiecte tehnologia de informațieîn general, originea parcelei EN... Manualul Traducătorului Tehnic
- (origine) Punctul de pe grafic care reprezintă zero pentru orice măsurătoare. O diagramă poate avea mai mult de un punct de referință. O diagramă pătrată cu doi factori (diagrama casetei), de exemplu, este construită astfel încât volumele totale disponibile ale oricăror factori ... Dicționar economic
releu de rezistență direcțională cu caracteristică care nu trece prin origine- - [V.A. Semenov. Dicționar engleză rusă de protecție a releului] Subiecte protecția releului EN offset mho distanță releu ... Manualul Traducătorului Tehnic
caracteristică unui releu de rezistență direcțională sub formă de cerc care trece prin origine- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Dicționar englez rus de inginerie electrică și industria energetică, Moscova, 1999] Subiecte de inginerie electrică, concepte de bază EN mho caracteristică ... Manualul Traducătorului Tehnic
punct de referinta- Poziția de pe ecranul de afișare de la care pornesc toate sistemele de coordonate. De obicei, se află în colțul din stânga sus al ecranului. Subiecte tehnologia informației în general origine EN… Manualul Traducătorului Tehnic
Sistemul de coordonate dreptunghiular este un sistem de coordonate rectiliniu cu axe reciproc perpendiculare pe un plan sau în spațiu. Cel mai simplu și, prin urmare, cel mai des folosit sistem de coordonate. Se generalizează foarte ușor și direct pentru ...... Wikipedia
Un punct are trei coordonate carteziene și trei coordonate sferice Este convenabil să definiți un sistem de coordonate sferice prin referire la q ... Wikipedia
Un set de definiții care implementează metoda coordonatelor, adică o modalitate de a determina poziția unui punct sau a unui corp folosind numere sau alte simboluri. Setul de numere care determină poziția unui anumit punct se numește coordonatele acestui punct. În ...... Wikipedia
Cărți
- Primavara, Stefania Danilova, Poeta Stefania Danilova s-a nascut pe 16 august 1994 la Sankt Petersburg, si este indragostita neconditionat de acest oras. Ambidextru, copil minune, poliglot, care a creat prima poezie pentru adulți la vârsta de trei ani... Categorie: Poezie rusă modernă Seria: Runet Star Editura: AST,
- Providence, Rogatko Sergey Alexandrovich, Noul roman „Promysl” al scriitorului Serghei Rogatko, care profesează un început realist în literatura rusă și a confirmat acest lucru în celebrul său roman „Layman”, este scris în genul unei pilde, „... Categorie: