Poglavlje I. Vektori u ravnini i prostoru
§ 13. Prijelaz iz jednog pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava u drugi
Predlažemo da ovu temu razmotrite u dvije verzije.
1) Na temelju udžbenika I.I. Privalova "Analitička geometrija" (udžbenik za više tehničke obrazovne ustanove, 1966.)
I.I. Privalov "Analitička geometrija"
§ 1. Problem transformacije koordinata.
Položaj točke na ravnini određen je dvjema koordinatama u odnosu na neki koordinatni sustav. Koordinate točke će se promijeniti ako odaberemo drugi koordinatni sustav.
Zadatak transformacije koordinata je tako da, znajući koordinate točke u jednom koordinatnom sustavu, pronađu njezine koordinate u drugom sustavu.
Taj problem ćemo riješiti ako uspostavimo formule koje povezuju koordinate proizvoljne točke u dva sustava, a koeficijenti tih formula će uključivati konstantne veličine koje određuju relativni položaj sustava.
Neka su dana dva kartezijanska koordinatna sustava xOy I XO 1 Y(Slika 68).
Položaj novog sustava XO 1 Y u odnosu na stari sustav xOy odredit će se ako su koordinate poznate A I b Novi početak O 1 po starom sistemu i kutu α između osi Oh I O 1 X. Označimo sa x I na koordinate proizvoljne točke M u odnosu na stari sustav, kroz X i Y koordinate iste točke u odnosu na novi sustav. Naš zadatak je osigurati stare koordinate x I na izraženo u terminima novih X i Y. Rezultirajuće transformacijske formule trebale bi očito uključivati konstante a, b I α .
Rješenje ovog općeg problema ćemo dobiti razmatranjem dva posebna slučaja.
1. Ishodište koordinata se mijenja, ali smjerovi osi ostaju nepromijenjeni ( α = 0).
2. Smjerovi osi se mijenjaju, ali ishodište koordinata ostaje nepromijenjeno ( a = b = 0).
§ 2. Prijenos ishodišta koordinata.
Neka su dana dva sustava kartezijevih koordinata s različitim ishodištima O I O 1 a isti smjerovi osi (slika 69).
Označimo sa A I b koordinate novog početka O 1 u starom sustavu i kroz x, y I x, Y-koordinate proizvoljne točke M u starom, odnosno novom sustavu. Projiciranje točke M na os O 1 X I Oh, kao i točka O 1 po osi Oh, dolazimo na os Oh tri točkice Oh, Ah I R. Veličine segmenata OA, AR I ILI povezani su sljedećim odnosom:
| OA| + | AR | = | ILI |. (1)
Primijetivši da | OA| = A , | ILI | = x , | AR | = | O 1 R 1 | = x, jednakost (1) prepisujemo u obliku:
A + x = x ili x = x + A . (2)
Slično, projektiranje M i O 1 na osi ordinata dobivamo:
g = Y + b (3)
Tako, stara koordinata je jednaka novoj plus koordinata novog ishodišta prema starom sustavu.
Iz formula (2) i (3) nove koordinate se mogu izraziti preko starih:
x = x - a , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Rotacija koordinatnih osi.
Neka su dana dva kartezijanska koordinatna sustava s istim ishodištem OKO a različiti smjerovi osi (slika 70).
Neka α postoji kut između osi Oh I OH. Označimo sa x, y I X, Y koordinate proizvoljne točke M, redom, u starom i novom sustavu:
x = | ILI | , na = | PM | ,
x= | ILI 1 |, Y= | P 1 M |.
Razmotrimo isprekidanu liniju ILI 1 MP i uzeti njegovu projekciju na os Oh. Uz napomenu da je projekcija izlomljene crte jednaka projekciji završnog segmenta (poglavlje I, § 8) imamo:
ILI 1 MP = | ILI |. (4)
S druge strane, projekcija izlomljene crte jednaka je zbroju projekcija njezinih karika (poglavlje I, § 8); stoga će jednakost (4) biti zapisana na sljedeći način:
itd ILI 1+ pr P 1 M+ pr MP= | ILI | (4")
Budući da je projekcija usmjerenog segmenta jednaka njegovoj veličini pomnoženoj s kosinusom kuta između osi projekcija i osi na kojoj segment leži (poglavlje I, § 8), tada
itd ILI 1 = x cos α
itd P 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y grijeh α ,
pr MP= 0.
Stoga nam jednakost (4") daje:
x = x cos α - Y grijeh α . (5)
Slično, projiciranje iste polilinije na os OU, dobivamo izraz za na. U stvari, imamo:
itd ILI 1+ pr P 1 M+ pr MP= str ILI = 0.
Primijetivši to
itd ILI 1 = x cos( α - 90°) = x grijeh α ,
itd P 1 M = Y cos α ,
pr MP = - g ,
imat će:
x grijeh α + Y cos α - g = 0,
g = x grijeh α + Y cos α . (6)
Iz formula (5) i (6) dobivamo nove koordinate x I Y izraženo kroz staro x I na , ako jednadžbe (5) i (6) riješimo s obzirom na x I Y.
Komentar. Formule (5) i (6) mogu se dobiti različito.
Od sl. 71 imamo:
x = ILI = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM grijeh α grijeh φ ,
na = RM = OM sin ( α + φ ) = OM grijeh α cos φ + OM cos α grijeh φ .
Budući da (poglavlje I, § 11) OM cos φ = x, OM grijeh φ =Y, To
x = x cos α - Y grijeh α , (5)
g = x grijeh α + Y cos α . (6)
§ 4. Opći slučaj.
Neka su dana dva kartezijanska koordinatna sustava s različitim ishodištima i različitim smjerovima osi (slika 72).
Označimo sa A I b koordinate novog početka OKO, po starom sistemu, kroz α - kut rotacije koordinatnih osi i, konačno, kroz x, y I X, Y- koordinate proizvoljne točke M prema starom, odnosno novom sustavu.
Izraziti x I na kroz x I Y, uvedimo pomoćni koordinatni sustav x 1 O 1 g 1, čiji će se početak smjestiti u novi početak OKO 1, i uzmite smjerove osi da se podudaraju sa smjerovima starih osi. Neka x 1 i g 1 označavaju koordinate točke M u odnosu na ovaj pomoćni sustav. Prelazeći sa starog koordinatnog sustava na pomoćni, imamo (§ 2):
x = x 1 + a , y = y 1 + b .
x 1 = x cos α - Y grijeh α , g 1 = x grijeh α + Y cos α .
Zamjena x 1 i g 1 u prethodnim formulama s njihovim izrazima iz zadnjih formula konačno nalazimo:
x = x cos α - Y grijeh α + a
g = x grijeh α + Y cos α + b (ja)
Formule (I) sadrže kao poseban slučaj formule §§ 2 i 3. Dakle, kada α = 0 formule (I) pretvaraju se u
x = x + A , g = Y + b ,
i kada a = b = 0 imamo:
x = x cos α - Y grijeh α , g = x grijeh α + Y cos α .
Iz formula (I) dobivamo nove koordinate x I Y izraženo kroz staro x I na , ako su jednadžbe (I) rješive u odnosu na x I Y.
Uočimo vrlo važno svojstvo formula (I): one su linearne u odnosu na x I Y, tj. oblika:
x = AX + BY + C, g = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Lako je provjeriti jesu li nove koordinate x I Y izrazit će se kroz staro x I na također formulama prvog stupnja glede x I u.
G.N.Yakovlev "Geometrija"
§ 13. Prijelaz iz jednog pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava u drugi
Odabirom pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava uspostavlja se korespondencija jedan na jedan između točaka na ravnini i uređenih parova realnih brojeva. To znači da svaka točka u ravnini odgovara jednom paru brojeva, a svaki uređeni par realnih brojeva odgovara jednoj točki.
Izbor jednog ili drugog koordinatnog sustava nije ni na koji način ograničen i određen je u svakom konkretnom slučaju samo razmatranjima pogodnosti. Često se isti skup mora razmatrati u različitim koordinatnim sustavima. Ista točka u različitim sustavima očito ima različite koordinate. Skup točaka (osobito kružnica, parabola, pravac) u različitim koordinatnim sustavima dan je različitim jednadžbama.
Otkrijmo kako se koordinate točaka na ravnini transformiraju pri prelasku iz jednog koordinatnog sustava u drugi.
Neka su na ravnini dana dva pravokutna koordinatna sustava: O, i J i o", i J" (Slika 41).
Prvi sustav s početkom u točki O i baznim vektorima ja I j dogovorimo se da ga nazovemo starim, drugim - s početkom u točki O" i baznim vektorima ja" I j" - novi.
Položaj novog sustava u odnosu na stari smatrat ćemo poznatim: neka točka O" u starom sustavu ima koordinate ( a;b ), vektor ja" oblici s vektorom ja kutak α . Kutak α Brojimo u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu.
Promotrimo proizvoljnu točku M. Označimo njezine koordinate u starom sustavu s ( x;y ), u novom - kroz ( x";y" ). Naš zadatak je utvrditi odnos između stare i nove koordinate točke M.
Spojimo u parove točke O i O", O" i M, O i M. Koristeći pravilo trokuta dobivamo
OM > = oo" > + O"M > . (1)
Proširimo vektore OM> i oo"> baznim vektorima ja I j , i vektor O"M> baznim vektorima ja" I j" :
OM > = x ja+ g j , oo" > = a ja+ b j , O"M > = x" ja"+ y" j "
Sada se jednakost (1) može napisati na sljedeći način:
x ja+ g j = (a ja+ b j ) + (x" ja"+ y" j "). (2)
Novi bazni vektori ja" I j" proširuju se prema starim baznim vektorima ja I j na sljedeći način:
ja" =cos α ja + grijeh α j ,
j" =cos( π / 2 + α ) ja +grijeh( π / 2 + α ) j = - grijeh α ja +cos α j .
Zamjena pronađenih izraza za ja" I j" u formulu (2), dobivamo vektorsku jednakost
x ja+ g j = a ja+ b j + X"(cos α ja + grijeh α j ) + y"(-grijeh α ja +cos α j )
ekvivalentno dvjema numeričkim jednakostima:
|
x = a + X" cos α
- y" grijeh α
, |
Formule (3) daju tražene izraze za stare koordinate x I na pokazuje kroz svoje nove koordinate X" I y". Da bi se pronašli izrazi za nove koordinate kroz stare, dovoljno je riješiti sustav jednadžbi (3) s obzirom na nepoznanice X" I y".
Dakle, koordinate točaka kada se ishodište koordinata prenese u točku ( A; b ) i zakretanje osi za kut α transformiraju se prema formulama (3).
Ako se mijenja samo ishodište koordinata, a smjerovi osi ostaju isti, tada, uz pretpostavku u formulama (3) α = 0, dobivamo
Formule (5) nazivaju se formule rotacije.
Zadatak 1. Neka su koordinate novog početka u starom sustavu (2; 3), a koordinate točke A u starom sustavu (4; -1). Nađite koordinate točke A u novom sustavu ako su smjerovi osi ostali isti.
Prema formulama (4) imamo
Odgovor. A(2;-4)
Zadatak 2. Neka koordinate točke P u starom sustavu budu (-2; 1), au novom sustavu, čiji su pravci osi isti, koordinate te točke (5; 3). Pronađite koordinate novog početka u starom sustavu.
A Iz formula (4) dobivamo
|
-
2= a + 5 |
gdje A = - 7, b = - 2.
Odgovor. (-7; -2).
Zadatak 3. Koordinate točke A u novom sustavu (4; 2). Nađite koordinate te točke u starom sustavu ako je ishodište ostalo isto, a koordinatne osi starog sustava su zakrenute za kut α = 45°.
Koristeći formule (5) nalazimo
Zadatak 4. Koordinate točke A u starom sustavu (2 √3 ; - √3 ). Pronađite koordinate te točke u novom sustavu ako je ishodište starog sustava pomaknuto u točku (-1;-2), a osi zakrenute za kut α = 30°.
Prema formulama (3) imamo
Nakon što smo riješili ovaj sustav jednadžbi za X" I y", pronašli smo: X" = 4, y" = -2.
Odgovor. A (4; -2).
Zadatak 5. Dana je jednadžba pravca na = 2x - 6. Nađite jednadžbu istog pravca u novom koordinatnom sustavu koji je dobiven iz starog sustava zakretanjem osi za kut. α = 45°.
Formule rotacije u ovom slučaju imaju oblik
Zamjena pravca u jednadžbi na = 2x - 6 starih varijabli x I na novo, dobivamo jednadžbu
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
koji nakon pojednostavljenja poprima oblik y" = x" / 3 - 2√2
Koordinate
- to su veličine koje određuju položaj bilo koje točke na površini ili prostoru u usvojenom koordinatnom sustavu. Koordinatni sustav utvrđuje početne (ishodišne) točke, pravce ili ravnine za računanje potrebnih veličina - ishodište koordinata i njihove jedinice. U topografiji i geodeziji najviše se koriste sustavi geografskih, pravokutnih, polarnih i bipolarnih koordinata.
Zemljopisne koordinate (sl. 2.8) služe za određivanje položaja točaka Zemljine površine na elipsoidu (sferi). U ovom koordinatnom sustavu početna ravnina je početni meridijan i ekvatorska ravnina. Meridijan je linija presjeka elipsoida ravninom koja prolazi kroz datu točku i os rotacije Zemlje.
Paralela je presjek elipsoida ravninom koja prolazi kroz danu točku i okomita je na Zemljinu os. Paralela čija ravnina prolazi središtem elipsoida naziva se ekvator. Kroz svaku točku koja leži na površini globusa može se povući samo jedan meridijan i samo jedna paralela.
Zemljopisne koordinate
su kutne veličine: dužina l i širina j.
Zemljopisna dužina l je diedralni kut između ravnine danog meridijana (koji prolazi točkom B) i ravnine početnog meridijana. Za početni meridijan smatra se meridijan koji prolazi kroz središte glavne dvorane Zvjezdarnice Greenwich u gradu Londonu. Za točku B, dužina je određena kutom l = WCD. Zemljopisne dužine se računaju od početnog meridijana u oba smjera – istočnom i zapadnom. U tom smislu razlikuju se zapadne i istočne zemljopisne dužine koje variraju od 0° do 180°.
Zemljopisna širina
j je kut koji čine ekvatorijalna ravnina i visak koji prolazi kroz danu točku. Ako se Zemlja uzme kao kugla, tada je za točku B (sl. 2.8) zemljopisna širina j određena kutom DCB. Geografske širine mjerene od ekvatora prema sjeveru nazivaju se sjevernim, a prema jugu - južnim, variraju od 0° na ekvatoru do 90° na polovima.
Geografske koordinate mogu se dobiti iz astronomskih promatranja ili geodetskih mjerenja. U prvom slučaju nazivaju se astronomskim, au drugom - geodetskim (L - zemljopisna dužina, B - širina). Tijekom astronomskih promatranja, projekcija točaka na referentnu plohu provodi se viskom, a tijekom geodetskih mjerenja - normalama. Stoga se vrijednosti astronomskih i geodetskih koordinata razlikuju za iznos odstupanja olovne linije.
Korištenje različitih referentnih elipsoida u različitim državama dovodi do razlika u koordinatama istih točaka izračunatih u odnosu na različite referentne površine. U praksi se to izražava u općem pomaku kartografske slike u odnosu na meridijane i paralele na kartama velikih i srednjih mjerila.
Pravokutne koordinate
nazivaju se linearne veličine – apscisa i ordinata, koje određuju položaj točke na ravnini u odnosu na izvorne pravce.
(Sl. 2.9)
U geodeziji i topografiji usvojen je desni sustav pravokutnih koordinata. To ga razlikuje od lijevog koordinatnog sustava koji se koristi u matematici. Početni pravci su dva međusobno okomita pravca s početnom točkom u sjecištu O.
Pravac XX (os apscisa) poravnat je sa smjerom meridijana koji prolazi kroz ishodište koordinata ili sa pravcem paralelnim s određenim meridijanom. Pravac YY (ordinatna os) prolazi kroz točku O okomito na os apscisa. U takvom sustavu položaj točke na ravnini određen je najkraćom udaljenosti do nje od koordinatnih osi. Položaj točke A određen je duljinom okomica Xa i Ya. Odsječak Xa naziva se apscisa točke A, a Ya je ordinata te točke. Pravokutne koordinate obično se izražavaju u metrima. Područje terena u točki O podijeljeno je na četiri četvrtine osi apscisa i ordinata (slika 2.9). Naziv četvrti određen je prihvaćenim oznakama kardinalnih točaka. Četvrtine su numerirane u smjeru kazaljke na satu: I - NE; II - JI; III - JZ; IV - SZ.
U tablici 2.3 prikazuje znakove X apscise i Y ordinate za točke koje se nalaze u različitim četvrtima i daje njihova imena.
Tablica 2.3
Apscise točaka koje se nalaze prema gore od ishodišta koordinata smatraju se pozitivnim, a prema dolje - negativnim, ordinate točaka koje se nalaze desno - pozitivne, lijevo - negativne. Sustav ravnih pravokutnih koordinata koristi se na ograničenim područjima zemljine površine koja se mogu pogrešno smatrati ravnima.
Koordinate čije je ishodište neka točka na tlu nazivamo polarnim. U ovom koordinatnom sustavu mjere se kutovi orijentacije. Na vodoravnoj ravnini (sl. 2.10), kroz proizvoljno odabranu točku O, nazvanu pol, nacrtajte ravnu liniju OX - polarna os.
Tada će položaj bilo koje točke, npr. M, biti određen radijusom - vektorom r1 i smjernim kutom a1, a točke N - r2 odnosno a2. Kutovi a1 i a2 mjere se od polarne osi u smjeru kazaljke na satu do radijus vektora. Polarna os može biti postavljena proizvoljno ili poravnata sa smjerom bilo kojeg meridijana koji prolazi kroz O pol.
Bipolarni koordinatni sustav (sl. 2.11) predstavlja dva odabrana nepomična pola O1 i O2, povezana ravnom linijom – polarnom osi. Ovaj koordinatni sustav omogućuje određivanje položaja točke M u odnosu na polarnu os na ravnini pomoću dva kuta b1 i b2, dva radijus vektora r1 i r2 ili njihove kombinacije. Ako su poznate pravokutne koordinate točaka O1 i O2, tada se položaj točke M može izračunati analitički. 
Riža. 2.11
Riža. 2.12
Visine točaka na zemljinoj površini. Za određivanje položaja točaka na fizičkoj površini Zemlje nije dovoljno znati samo horizontalne koordinate X, Y ili l, j, potrebna je i treća koordinata - visina točke H. Visina točke H ( Slika 2.12) je udaljenost u okomitom smjeru od dane točke (A´; B´ ´) do prihvaćene glavne površine razine MN. Brojčana vrijednost visine točke naziva se kota. Visine mjerene od glavne nivelete MN nazivaju se apsolutne visine (AA´; BB´´), a one određene u odnosu na proizvoljno odabranu niveletu nazivaju se uvjetne visine (V´V´´). Razlika u visinama dviju točaka ili udaljenost u vertikalnom smjeru između ravnih površina koje prolaze kroz bilo koje dvije točke na Zemlji naziva se relativna visina (V´V´´) ili nadmorska visina tih točaka h.
U Republici Bjelorusiji usvojen je baltički visinski sustav iz 1977. Visine se računaju od razine površine, koja se podudara s prosječnom razinom vode u Finskom zaljevu, od nulte točke kronštatskog vodomjera.
Evo još jednog
Za određivanje Za položaje točaka u geodeziji koriste se prostorne pravokutne, geodetske i ravninske pravokutne koordinate.
Prostorne pravokutne koordinate. Ishodište koordinatnog sustava nalazi se u središtu O zemljinog elipsoida(Slika 2.2).
Os Z usmjerena duž osi rotacije elipsoida prema sjeveru. Os x nalazi se na sjecištu ekvatorske ravnine s početnim meridijanom u Greenwichu. Os Y usmjerena okomito na osi Z I x na Istok.
Geodetske koordinate. Geodetske koordinate točke su njezina zemljopisna širina, dužina i visina (sl. 2.2).
Geodetska širina bodova M naziva kut U, koju tvori normala na površinu elipsoida koja prolazi kroz danu točku i ekvatorijalnu ravninu.
Geografska širina se mjeri od ekvatora prema sjeveru i jugu od 0° do 90° i naziva se sjever ili jug. Sjeverna širina se smatra pozitivnom, a južna negativnom.
Presječne ravnine elipsoida koje prolaze kroz os OZ, se zovu geodetski meridijani.
Geodetska dužina bodova M koji se naziva diedarski kut L, koju čine ravnine početnog (Greenwich) geodetskog meridijana i geodetskog meridijana dane točke.
Dužine se mjere od početnog meridijana u rasponu od 0° do 360° istočno, ili od 0° do 180° istočno (pozitivno) i od 0° do 180° zapadno (negativno).
Geodetska visina bodova M je njegova visina N iznad površine zemljinog elipsoida.
Geodetske koordinate i prostorne pravokutne koordinate povezuju se formulama
X =(N+H)cos B cos L,
Y=(N+H)cos B grijeh L,
Z=[(1- e 2)N+H] grijeh B,
Gdje e- prvi ekscentricitet meridijanske elipse i N-polumjer zakrivljenosti prve vertikale.U ovom slučaju N=a/(1 - e 2 grijeh 2 B) 1/2 .
Geodetski i prostorni pravokutne koordinate točaka određuju se pomoću satelitskih mjerenja, kao i njihovim povezivanjem geodetskim mjerenjima s točkama s poznatim koordinatama.
Imajte na umu da zajedno sa Uz geodetske, postoje i astronomska širina i dužina. Astronomska širina j je kut koji sklopi visak u danoj točki s ravninom ekvatora. Astronomska dužina l je kut između ravnina Greenwičkog meridijana i astronomskog meridijana koji prolazi kroz visak u određenoj točki. Astronomske koordinate određuju se na tlu iz astronomskih promatranja.
Astronomske koordinate razlikuju se od geodezijskih jer se pravci viska ne poklapaju sa pravcima normala na plohu elipsoida. Kut između smjera normale na površinu elipsoida i viska u određenoj točki zemljine površine naziva se odstupanje viska.
Generalizacija geodetskih i astronomskih koordinata je pojam - zemljopisne koordinate.
Ravne pravokutne koordinate. Za rješavanje problema inženjerske geodezije prelazi se s prostornih i geodetskih koordinata na jednostavnije - ravne koordinate, koje omogućuju prikazivanje terena u ravnini i određivanje položaja točaka pomoću dvije koordinate x I na.
Budući da je konveksna površina Zemlje ne mogu se prikazati na ravnini bez izobličenja; uvođenje ravninskih koordinata moguće je samo u ograničenim područjima gdje su izobličenja toliko mala da se mogu zanemariti. U Rusiji je usvojen sustav pravokutnih koordinata, čija je osnova jednakokutni poprečno-cilindrični Gaussova projekcija. Površina elipsoida je prikazana na ravnini u dijelovima koji se nazivaju zonama. Zone su sferni trokuti, omeđeni meridijanima i protežu se od sjevernog pola prema južnom (Sl. 2.3). Veličina zone u dužini je 6°. Središnji meridijan svake zone naziva se aksijalni meridijan. Zone su numerirane od Greenwicha prema istoku.
Duljina aksijalnog meridijana zone s brojem N jednaka je:
l 0 = 6°× N - 3°.
Aksijalni meridijan zone i ekvator prikazani su na ravnini ravnim linijama (slika 2.4). Aksijalni meridijan uzet je kao apscisna os x, a ekvator je iza ordinatne osi g. Njihovo sjecište (točka O) služi kao ishodište koordinata za ovu zonu.
Izbjeći negativne vrijednosti ordinate, koordinate sjecišta uzimaju se jednake x 0 = 0, g 0 = 500 km, što je ekvivalentno pomaku osi x 500 km zapadno.
Tako da se po pravokutnim koordinatama točke može prosuditi u kojoj se zoni nalazi, na ordinatu g lijevo je dodijeljen broj koordinatne zone.
Neka su, na primjer, koordinate točke A imaju oblik:
x A= 6 276 427 m
y A= 12 428 566 m
Ove koordinate pokazuju to je bit A nalazi se na udaljenosti od 6276427 m od ekvatora, u zapadnom dijelu ( g < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
Za prostorne pravokutne, geodetske i ravne pravokutne koordinate u Rusiji je usvojen jedinstveni koordinatni sustav SK-95, fiksiran na tlu točkama državne geodetske mreže i izgrađen prema satelitskim i zemaljskim mjerenjima od 1995.
Lokalni pravokutni koordinatni sustavi. Tijekom izgradnje različitih objekata često se koriste lokalni (uvjetni) koordinatni sustavi, u kojima se smjerovi osi i ishodište koordinata dodjeljuju na temelju pogodnosti njihove upotrebe tijekom izgradnje i kasnijeg rada objekta.
Tako, prilikom snimanja os željezničke stanice na usmjerene su duž osi glavnog željezničkog kolosijeka u smjeru sve većeg obora, a os x- po osi zgrade putničkog kolodvora.
Tijekom izgradnje osovina prijelaza mostova x obično u kombinaciji s osi mosta, a os g ide u okomitom smjeru.
Tijekom izgradnje veliki industrijski i civilni objekti Osovine x I g usmjerena paralelno s osima objekata u izgradnji.
Za rješavanje većine problema u primijenjenim znanostima potrebno je znati položaj objekta ili točke koji se određuje pomoću jednog od prihvaćenih koordinatnih sustava. Osim toga, postoje visinski sustavi koji također određuju visinski položaj točke na
Što su koordinate
Koordinate su numeričke ili slovne vrijednosti koje se mogu koristiti za određivanje položaja točke na tlu. Kao posljedica toga, koordinatni sustav je skup vrijednosti iste vrste koje imaju isti princip za pronalaženje točke ili objekta.
Pronalaženje položaja točke potrebno je za rješavanje mnogih praktičnih problema. U znanosti kao što je geodezija određivanje položaja točke u zadanom prostoru glavni je cilj na čijem se ostvarenju temelji sav kasniji rad.
Većina koordinatnih sustava obično definira položaj točke na ravnini ograničenoj samo s dvije osi. Za određivanje položaja točke u trodimenzionalnom prostoru koristi se i visinski sustav. Uz njegovu pomoć možete saznati točna lokacijaželjeni objekt.
Ukratko o koordinatnim sustavima koji se koriste u geodeziji
Koordinatni sustavi određuju položaj točke na teritoriju dajući joj tri vrijednosti. Načela njihova izračuna su različita za svaki koordinatni sustav.
Glavni prostorni koordinatni sustavi koji se koriste u geodeziji:
- Geodetski.
- Geografski.
- Polarni.
- Pravokutan.
- Zonske Gauss-Krugerove koordinate.
Svi sustavi imaju svoje polazište, vrijednosti za lokaciju objekta i područje primjene.
Geodetske koordinate
Glavni lik koji se koristi za mjerenje geodetskih koordinata je Zemljin elipsoid.
Elipsoid je trodimenzionalni komprimirani lik koji najbolje predstavlja oblik globusa. Zbog činjenice da je globus matematički nepravilan lik, umjesto njega za određivanje geodetskih koordinata koristi se elipsoid. To olakšava izvođenje mnogih izračuna za određivanje položaja tijela na površini.
Geodetske koordinate definiraju tri vrijednosti: geodetska širina, dužina i nadmorska visina.
- Geodetska širina je kut čiji početak leži na ravnini ekvatora, a kraj na okomici povučenoj na željenu točku.
- Geodetska dužina je kut mjeren od početnog meridijana do meridijana na kojem se nalazi željena točka.
- Geodetska visina je vrijednost normale povučene na površinu Zemljinog elipsoida rotacije iz dane točke.
Zemljopisne koordinate
Za rješavanje problema visoke geodezije visoke preciznosti potrebno je razlikovati geodetske i geografske koordinate. U sustavu koji se koristi u inženjerskoj geodeziji takve se razlike obično ne prave zbog malog prostora koji se obrađuje.
Za određivanje geodetskih koordinata kao referentna ravnina koristi se elipsoid, a za određivanje geografskih koordinata geoid. Geoid je matematički nepravilan lik koji je bliži stvarnom obliku Zemlje. Za njegovu zaravnjenu površinu smatra se ono što se u mirnom stanju nastavlja ispod razine mora.
Geografski koordinatni sustav koji se koristi u geodeziji opisuje položaj točke u prostoru s tri vrijednosti. zemljopisna dužina poklapa se s geodetskom, jer će se referentna točka također zvati Greenwich. Prolazi kroz istoimenu zvjezdarnicu u Londonu. određena iz ekvatora nacrtanog na površini geoida.
Visina u lokalnom koordinatnom sustavu koji se koristi u geodeziji mjeri se od razine mora u mirnom stanju. Na području Rusije i zemalja bivše Unije, oznaka s koje se određuju visine je Kronstadtski stup. Nalazi se na razini Baltičkog mora.
Polarne koordinate
Polarni koordinatni sustav koji se koristi u geodeziji ima druge nijanse mjerenja. Koristi se na malim područjima terena za određivanje relativnog položaja točke. Ishodište može biti bilo koji objekt označen kao početni. Dakle, korištenjem polarnih koordinata nemoguće je nedvosmisleno odrediti mjesto točke na teritoriju globusa.
Polarne koordinate određuju dvije veličine: kut i udaljenost. Kut se mjeri od sjevernog smjera meridijana do određene točke, određujući njen položaj u prostoru. Ali jedan kut neće biti dovoljan, pa se uvodi radijus vektor - udaljenost od točke stajanja do željenog objekta. Pomoću ova dva parametra možete odrediti lokaciju točke u lokalnom sustavu.
U pravilu se ovaj koordinatni sustav koristi za izvođenje inženjerskih radova koji se izvode na malom području terena.
Pravokutne koordinate
Pravokutni koordinatni sustav koji se koristi u geodeziji koristi se i na malim površinama terena. Glavni element sustava je koordinatna os od koje se događa brojanje. Koordinate točke nalaze se kao duljine okomica povučenih s apscisne i ordinatne osi na željenu točku.
Sjeverni smjer X-osi i istočni smjer Y-osi smatraju se pozitivnim, a južni i zapadni smjer negativnim. Ovisno o predznacima i četvrtima određuje se položaj točke u prostoru.
Gauss-Krugerove koordinate
Gauss-Krugerov koordinatni zonski sustav sličan je pravokutnom. Razlika je u tome što se može primijeniti na cijelu kuglu zemaljsku, a ne samo na mala područja.
Pravokutne koordinate Gauss-Krugerovih zona su u biti projekcija globusa na ravninu. Nastala je u praktične svrhe za prikazivanje velikih područja Zemlje na papiru. Izobličenja koja nastaju tijekom prijenosa smatraju se beznačajnima.
Prema ovom sustavu, globus je podijeljen zemljopisnom dužinom u zone od šest stupnjeva s aksijalnim meridijanom u sredini. Ekvator je u središtu duž vodoravne linije. Kao rezultat toga, postoji 60 takvih zona.
Svaka od šezdeset zona ima svoj sustav pravokutnih koordinata, mjerenih duž osi ordinata od X, a duž osi apscise od presjeka zemljinog ekvatora Y. Za jednoznačno određivanje položaja na teritoriju cijele kugle zemaljske, zona broj se nalazi ispred vrijednosti X i Y.
Vrijednosti osi X na području Rusije u pravilu su pozitivne, dok vrijednosti Y mogu biti negativne. Kako bi se izbjegao predznak minus u vrijednostima x-osi, aksijalni meridijan svake zone uvjetno je pomaknut 500 metara prema zapadu. Tada sve koordinate postaju pozitivne.
Gauss je kao mogućnost predložio koordinatni sustav, a Kruger ga je matematički izračunao sredinom dvadesetog stoljeća. Od tada se koristi u geodeziji kao jedan od glavnih.
Visinski sustav
Koordinatni i visinski sustavi koji se koriste u geodeziji koriste se za točno određivanje položaja točke na Zemlji. Apsolutne visine mjere se od razine mora ili druge površine koja se uzima kao izvor. Osim toga, postoje relativne visine. Potonji se računaju kao višak od željene točke do bilo koje druge. Pogodni su za rad u lokalnom koordinatnom sustavu kako bi se pojednostavila kasnija obrada rezultata.
Primjena koordinatnih sustava u geodeziji
Osim navedenih, u geodeziji se koriste i drugi koordinatni sustavi. Svaki od njih ima svoje prednosti i nedostatke. Postoje i područja rada za koja je relevantna jedna ili druga metoda određivanja lokacije.
Svrha rada je ta koja određuje koje koordinatne sustave koji se koriste u geodeziji je najbolje koristiti. Za rad u malim područjima prikladno je koristiti pravokutne i polarne koordinatne sustave, ali za rješavanje problema velikih razmjera potrebni su sustavi koji omogućuju pokrivanje cijelog teritorija zemljine površine.
Podrijetlo
Podrijetlo(ishodište) u euklidskom prostoru - singularna točka, obično označena slovom OKO, koja se koristi kao referentna točka za sve ostale točke. U euklidskoj geometriji, ishodište koordinata može se odabrati proizvoljno u bilo kojoj prikladnoj točki.
Vektor povučen iz ishodišta u drugu točku naziva se radijus vektor.
Kartezijev koordinatni sustav
Ishodište dijeli svaku od osi na dvije zrake - pozitivnu poluos i negativnu poluos.
Konkretno, ishodište se može unijeti na brojčanu os. U tom smislu možemo govoriti o podrijetlu koordinata za različite ekstenzivne veličine (vrijeme, temperaturu itd.)
Polarni koordinatni sustavi
Zaklada Wikimedia. 2010.
Pogledajte što je "Podrijetlo koordinata" u drugim rječnicima:
podrijetlo- Nulta točka (točka sjecišta osi) u ravnom koordinatnom sustavu koja se koristi u grafičkim sustavima koji rade s dvodimenzionalnim slikama. Koordinata točke određena je udaljenošću od ishodišta (središta) koordinata duž horizontalne osi X (apscisa)… …
podrijetlo- koordinačių pradžia statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. ishodište koordinata vok. Koordinatenanfangspunkt, m; Koordinatenursprung, m rus. porijeklo, n pranc. origine de cordonnées, f … Automatikos terminų žodynas
porijeklo (ploter)- - [E.S. Aleksejev, A.A. Mjačev. Englesko-ruski rječnik s objašnjenjima o inženjerstvu računalnih sustava. Moskva 1993] Teme informacijska tehnologija općenito EN porijeklo zapleta... Vodič za tehničke prevoditelje
- (ishodište) Točka na grafu koja predstavlja nulu za bilo koje mjerenje. Dijagram može imati više od jedne referentne točke. Kutijasti dijagram s dva faktora, na primjer, konstruiran je na takav način da ukupni dostupni volumeni bilo kojeg faktora ... Ekonomski rječnik
usmjereni otporni relej s karakteristikom koja ne prolazi kroz ishodište koordinata- - [V.A. Semenov. Englesko-ruski rječnik o relejnoj zaštiti] Teme relejna zaštita EN offset mho distance relay ... Vodič za tehničke prevoditelje
karakteristika usmjerenog otpornog releja u obliku kružnice koja prolazi kroz ishodište koordinata- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Englesko-ruski rječnik elektrotehnike i elektroenergetike, Moskva, 1999] Teme elektrotehnike, osnovni pojmovi EN mho karakteristika ... Vodič za tehničke prevoditelje
početak brojanja- Položaj na ekranu od kojeg počinju svi koordinatni sustavi. Obično se nalazi u gornjem lijevom kutu zaslona. Teme informacijska tehnologija općenito EN porijeklo ... Vodič za tehničke prevoditelje
Pravokutni koordinatni sustav je pravocrtni koordinatni sustav s međusobno okomitim osima na ravninu ili u prostoru. Najjednostavniji i stoga najčešće korišteni koordinatni sustav. Vrlo jednostavno i izravno sažeto za... ... Wikipediju
Točka ima tri kartezijeve i tri sferne koordinate. Pogodno je odrediti sferni koordinatni sustav u odnosu na d ... Wikipedia
Skup definicija koji implementira metodu koordinata, odnosno način određivanja položaja točke ili tijela pomoću brojeva ili drugih simbola. Skup brojeva koji određuju položaj određene točke naziva se koordinatama te točke. U... ... Wikipediji
knjige
- Osamnaestogodišnja Stefania Danilova, pjesnikinja Stefania Danilova rođena je 16. kolovoza 1994. u Sankt Peterburgu i bezuvjetno je zaljubljena u ovaj grad. Ambidekster, čudo od djeteta, poliglot, koja je svoju prvu pjesmu za odrasle stvorila s tri godine... Kategorija: Suvremena ruska poezija Serija: Runet Star Izdavač: AST,
- Providencije, Rogatko Sergej Aleksandrovič, Novi roman “Požar” pisca Sergeja Rogatka, koji zagovara realističko načelo u ruskoj književnosti i to je potvrdio u svom poznatom romanu “Laik”, napisan je u žanru parabole,”. . Kategorija: