Kapitulli I. Vektorët në rrafsh dhe në hapësirë
§ 13. Kalimi nga një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor në tjetrin
Ne ju sugjerojmë ta konsideroni këtë temë në dy versione.
1) Bazuar në librin shkollor të I.I. Privalov "Gjeometria analitike" (libër mësuesi për institucionet e arsimit të lartë teknik, 1966)
I.I. Privalov "Gjeometria analitike"
§ 1. Koordinoni problemin e transformimit.
Pozicioni i një pike në një plan përcaktohet nga dy koordinata në lidhje me një sistem koordinativ. Koordinatat e pikës do të ndryshojnë nëse zgjedhim një sistem tjetër koordinativ.
Detyra e transformimit të koordinatave është në mënyrë që, duke ditur koordinatat e një pike në një sistem koordinativ, të gjejë koordinatat e saj në një sistem tjetër.
Ky problem do të zgjidhet nëse vendosim formula që lidhin koordinatat e një pike arbitrare në dy sisteme, dhe koeficientët e këtyre formulave do të përfshijnë sasi konstante që përcaktojnë pozicionin relativ të sistemeve.
Le të jepen dy sisteme koordinative karteziane xOy Dhe XO 1 Y(Fig. 68).
Pozicioni i sistemit të ri XO 1 Y në krahasim me sistemin e vjetër xOy do të përcaktohet nëse dihen koordinatat A Dhe b fillim i ri O 1 sipas sistemit dhe këndit të vjetër α midis akseve Oh Dhe O 1 X. Le të shënojmë me X Dhe në koordinatat e një pike arbitrare M në lidhje me sistemin e vjetër, përmes koordinatave X dhe Y të së njëjtës pikë në lidhje me sistemin e ri. Detyra jonë është të sigurojmë që koordinatat e vjetra X Dhe në shprehur në terma të X dhe Y të rinj. Formulat e transformimit që rezultojnë duhet të përfshijnë padyshim konstante a, b Dhe α .
Ne do të marrim një zgjidhje për këtë problem të përgjithshëm duke shqyrtuar dy raste të veçanta.
1. Origjina e koordinatave ndryshon, por drejtimet e boshteve mbeten të pandryshuara ( α = 0).
2. Drejtimet e boshteve ndryshojnë, por origjina e koordinatave mbetet e pandryshuar ( a = b = 0).
§ 2. Transferimi i origjinës së koordinatave.
Le të jepen dy sisteme të koordinatave karteziane me origjinë të ndryshme O Dhe O 1 dhe drejtimet e njëjta të akseve (Fig. 69).
Le të shënojmë me A Dhe b koordinatat e fillimit të ri O 1 në sistemin e vjetër dhe përmes x, y Dhe X, Y-koordinatat e një pike arbitrare M në sistemin e vjetër dhe të ri, përkatësisht. Pika e projektimit M në bosht O 1 X Dhe Oh, si dhe një pikë O 1 për aks Oh, futemi në bosht Oh tre pika Oh, Ah Dhe R. Madhësitë e segmenteve OA, AR Dhe OSE lidhen me lidhjen e mëposhtme:
| OA| + | AR | = | OSE |. (1)
Duke vënë re se | OA| = A , | OSE | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, ne e rishkruajmë barazinë (1) në formën:
A + X = x ose x = X + A . (2)
Në mënyrë të ngjashme, dizajnimi i M dhe O 1 në boshtin e ordinatave marrim:
y = Y + b (3)
Kështu që, koordinata e vjetër është e barabartë me të renë plus koordinata e origjinës së re sipas sistemit të vjetër.
Nga formula (2) dhe (3), koordinatat e reja mund të shprehen përmes atyre të vjetra:
X = x - a , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Rrotullimi i boshteve koordinative.
Le të jepen dy sisteme koordinative karteziane me origjinë të njëjtë RRETH dhe drejtime të ndryshme të akseve (Fig. 70).
Le α ka një kënd midis boshteve Oh Dhe Oh. Le të shënojmë me x, y Dhe X, Y koordinatat e një pike arbitrare M, përkatësisht, në sistemet e vjetra dhe të reja:
X = | OSE | , në = | PM | ,
X= | OSE 1 |, Y= | P 1 M |.
Konsideroni një vijë të thyer OSE 1 MP dhe merr projeksionin e tij në bosht Oh. Duke vënë re se projeksioni i vijës së thyer është i barabartë me projeksionin e segmentit mbyllës (Kapitulli I, § 8) kemi:
OSE 1 MP = | OSE |. (4)
Nga ana tjetër, projeksioni i një vije të thyer është i barabartë me shumën e projeksioneve të lidhjeve të saj (Kapitulli I, § 8); prandaj, barazia (4) do të shkruhet si më poshtë:
etj OSE 1+ pr P 1 M+ pr deputet= | OSE | (4")
Meqenëse projeksioni i një segmenti të drejtuar është i barabartë me madhësinë e tij të shumëzuar me kosinusin e këndit midis boshtit të projeksioneve dhe boshtit në të cilin shtrihet segmenti (Kapitulli I, § 8), atëherë
etj OSE 1 = X cos α
etj P 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y mëkat α ,
pr deputet= 0.
Prandaj, barazia (4") na jep:
x = X cos α - Y mëkat α . (5)
Në mënyrë të ngjashme, duke projektuar të njëjtën poliline në bosht OU, marrim një shprehje për në. Në fakt, ne kemi:
etj OSE 1+ pr P 1 M+ pr deputet= fq OSE = 0.
Duke vënë re atë
etj OSE 1 = X si( α - 90°) = X mëkat α ,
etj P 1 M = Y cos α ,
pr deputet = - y ,
do të ketë:
X mëkat α + Y cos α - y = 0,
y = X mëkat α + Y cos α . (6)
Nga formulat (5) dhe (6) marrim koordinata të reja X Dhe Y shprehur përmes të vjetrës X Dhe në , nëse zgjidhim ekuacionet (5) dhe (6) në lidhje me X Dhe Y.
Komentoni. Formulat (5) dhe (6) mund të merren ndryshe.
Nga Fig. 71 kemi:
X = OSE = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM mëkat α mëkat φ ,
në = RM = OM mëkat ( α + φ ) = OM mëkat α cos φ + OM cos α mëkat φ .
Meqenëse (Kapitulli I, § 11) OM cos φ = X, OM mëkat φ =Y, Kjo
x = X cos α - Y mëkat α , (5)
y = X mëkat α + Y cos α . (6)
§ 4. Rasti i përgjithshëm.
Le të jepen dy sisteme koordinative karteziane me origjinë të ndryshme dhe drejtime të ndryshme të boshteve (Fig. 72).
Le të shënojmë me A Dhe b koordinatat e fillimit të ri RRETH, sipas sistemit të vjetër, përmes α - këndi i rrotullimit të boshteve të koordinatave dhe, së fundi, përmes x, y Dhe X, Y- koordinatat e një pike arbitrare M sipas sistemeve të vjetra dhe të reja, përkatësisht.
Për të shprehur X Dhe në përmes X Dhe Y, le të prezantojmë një sistem koordinativ ndihmës x 1 O 1 y 1, fillimi i të cilit do të vendoset në një fillim të ri RRETH 1, dhe merrni drejtimet e akseve që të përkojnë me drejtimet e akseve të vjetra. Le x 1 dhe y 1 tregojnë koordinatat e pikës M në lidhje me këtë sistem ndihmës. Duke kaluar nga sistemi i vjetër i koordinatave në atë ndihmës, kemi (§ 2):
X = X 1 + a , y = y 1 +b .
X 1 = X cos α - Y mëkat α , y 1 = X mëkat α + Y cos α .
Duke zëvendësuar X 1 dhe y 1 në formulat e mëparshme me shprehjet e tyre nga formulat e fundit, më në fund gjejmë:
x = X cos α - Y mëkat α + a
y = X mëkat α + Y cos α + b (Unë)
Formulat (I) përmbajnë si rast të veçantë formulat e §§ 2 dhe 3. Kështu, kur α = 0 formula (I) kthehen në
x = X + A , y = Y + b ,
dhe kur a = b = 0 kemi:
x = X cos α - Y mëkat α , y = X mëkat α + Y cos α .
Nga formula (I) marrim koordinata të reja X Dhe Y shprehur përmes të vjetrës X Dhe në , nëse ekuacionet (I) janë të zgjidhshme në lidhje me X Dhe Y.
Le të vërejmë një veti shumë të rëndësishme të formulave (I): ato janë lineare në lidhje me X Dhe Y, pra të formës:
x = AX + BY + C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Është e lehtë të kontrollosh nëse janë koordinatat e reja X Dhe Y do të shprehet përmes të vjetrës X Dhe në edhe me formula të shkallës së parë lidhur me X Dhe u.
G.N.Yakovlev "Gjeometria"
§ 13. Kalimi nga një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor në tjetrin
Duke zgjedhur një sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian, krijohet një korrespodencë një-për-një midis pikave në rrafsh dhe çifteve të renditura të numrave realë. Kjo do të thotë se çdo pikë në rrafsh i korrespondon një çifti të vetëm numrash, dhe çdo çift i renditur numrash real i korrespondon një pikë të vetme.
Zgjedhja e një ose një sistemi tjetër koordinativ nuk është i kufizuar në asnjë mënyrë dhe përcaktohet në secilin rast specifik vetëm nga konsideratat e komoditetit. Shpesh i njëjti grup duhet të merret parasysh në sisteme të ndryshme koordinative. E njëjta pikë në sisteme të ndryshme ka padyshim koordinata të ndryshme. Një grup pikash (në veçanti, një rreth, një parabolë, një vijë e drejtë) në sisteme të ndryshme koordinative jepet nga ekuacione të ndryshme.
Le të zbulojmë se si transformohen koordinatat e pikave në aeroplan kur lëvizim nga një sistem koordinativ në tjetrin.
Le të jepen dy sisteme koordinative drejtkëndëshe në rrafsh: O, i, j dhe rreth", i", j" (Fig. 41).
Sistemi i parë me fillim në pikën O dhe vektorë bazë i Dhe j le të biem dakord ta quajmë atë të vjetër, të dytën - me fillim në pikën O" dhe vektorët bazë une" Dhe j" - i ri.
Ne do të shqyrtojmë pozicionin e sistemit të ri në lidhje me atë të vjetër të njohur: le të ketë koordinata pika O" në sistemin e vjetër ( a;b ), një vektor une" forma me vektor i qoshe α . Këndi α Ne numërojmë në drejtim të kundërt me lëvizjen në drejtim të akrepave të orës.
Le të shqyrtojmë një pikë arbitrare M. Le të shënojmë koordinatat e saj në sistemin e vjetër me ( x;y ), në të renë - përmes ( x";y" ). Detyra jonë është të vendosim marrëdhëniet midis koordinatave të vjetra dhe të reja të pikës M.
Le të lidhim në dyshe pikat O dhe O, O" dhe M, O dhe M. Duke përdorur rregullën e trekëndëshit marrim
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Le të zgjerojmë vektorët OM> dhe OO"> sipas vektorëve bazë i Dhe j , dhe vektori O"M> sipas vektorëve bazë une" Dhe j" :
OM > = x i+ y j , OO" > = a i+b j , O"M > = x" i"+ y" j "
Tani barazia (1) mund të shkruhet si më poshtë:
x i+ y j = (a i+b j ) + (x" i"+ y" j "). (2)
Vektorë të rinj bazë une" Dhe j" zgjerohen sipas vektorëve bazë të vjetër i Dhe j në mënyrën e mëposhtme:
une" =cos α i + mëkat α j ,
j" =cos( π / 2 + α ) i + mëkat( π / 2 + α ) j = - mëkat α i +cos α j .
Zëvendësimi i shprehjeve të gjetura për une" Dhe j" në formulën (2), marrim barazinë e vektorit
x i+ y j = a i+b j + X"(cos α i + mëkat α j ) + y"(- mëkat α i +cos α j )
ekuivalente me dy barazi numerike:
|
x = a + X" cos α
- y" mëkat α
, |
Formulat (3) japin shprehjet e kërkuara për koordinatat e vjetra X Dhe në tregon përmes koordinatave të reja X" Dhe y". Për të gjetur shprehje për koordinatat e reja në terma të atyre të vjetra, mjafton të zgjidhet sistemi i ekuacionit (3) në lidhje me të panjohurat. X" Dhe y".
Pra, koordinatat e pikave kur origjina e koordinatave transferohet në pikën ( A; b ) dhe rrotullimi i boshteve me një kënd α transformohen sipas formulave (3).
Nëse ndryshon vetëm origjina e koordinatave dhe drejtimet e boshteve mbeten të njëjta, atëherë, duke supozuar në formula (3) α = 0, marrim
Formulat (5) quhen formulat e rrotullimit.
Detyra 1. Le të jenë koordinatat e fillimit të ri në sistemin e vjetër (2; 3), dhe koordinatat e pikës A në sistemin e vjetër (4; -1). Gjeni koordinatat e pikës A në sistemin e ri nëse drejtimet e boshteve mbeten të njëjta.
Sipas formulave (4) kemi
Përgjigju. A(2;-4)
Detyra 2. Le të jenë koordinatat e pikës P në sistemin e vjetër (-2; 1), kurse në sistemin e ri, drejtimet e boshteve të të cilit janë të njëjta, koordinatat e kësaj pike (5; 3). Gjeni koordinatat e fillimit të ri në sistemin e vjetër.
A Nga formula (4) marrim
|
-
2= a + 5 |
ku A = - 7, b = - 2.
Përgjigju. (-7; -2).
Detyra 3. Koordinatat e pikës A në sistemin e ri (4; 2). Gjeni koordinatat e kësaj pike në sistemin e vjetër nëse origjina mbetet e njëjtë dhe boshtet koordinative të sistemit të vjetër rrotullohen me një kënd. α = 45°.
Duke përdorur formulat (5) gjejmë
Detyra 4. Koordinatat e pikës A në sistemin e vjetër (2 √3 ; - √3 ). Gjeni koordinatat e kësaj pike në sistemin e ri nëse origjina e sistemit të vjetër zhvendoset në pikën (-1;-2) dhe boshtet rrotullohen me një kënd. α = 30°.
Sipas formulave (3) kemi
Duke zgjidhur këtë sistem ekuacionesh për X" Dhe y", ne gjejme: X" = 4, y" = -2.
Përgjigju. A (4; -2).
Detyra 5.Është dhënë ekuacioni i drejtëzës në = 2X - 6. Gjeni ekuacionin e së njëjtës drejtëz në sistemin e ri të koordinatave, i cili fitohet nga sistemi i vjetër duke rrotulluar boshtet me një kënd. α = 45°.
Formulat e rrotullimit në këtë rast kanë formën
Zëvendësimi i vijës së drejtë në ekuacion në = 2X - 6 variabla të vjetra X Dhe në e re, marrim ekuacionin
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
i cili pas thjeshtimeve merr formën y" = x" / 3 - 2√2
Koordinatat
- këto janë madhësi që përcaktojnë pozicionin e çdo pike në sipërfaqe ose në hapësirë në sistemin koordinativ të miratuar. Sistemi i koordinatave vendos pikat, linjat ose rrafshet fillestare (origjina) për numërimin e sasive të nevojshme - origjinën e koordinatave dhe njësive të tyre. Në topografi dhe gjeodezi, sistemet e koordinatave gjeografike, drejtkëndore, polare dhe bipolare përdoren më gjerësisht.
Koordinatat gjeografike (Fig. 2.8) përdoren për të përcaktuar pozicionin e pikave në sipërfaqen e Tokës në një elipsoid (sferë). Në këtë sistem koordinativ, rrafshi fillestar është meridiani kryesor dhe rrafshi ekuatorial. Një meridian është një vijë e seksionit të një elipsoid nga një aeroplan që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe boshtin e rrotullimit të Tokës.
Një paralele është një vijë e seksionit të një elipsoid nga një rrafsh që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe pingul me boshtin e tokës. Një paralele, rrafshi i së cilës kalon nga qendra e elipsoidit quhet ekuator. Përmes çdo pike që shtrihet në sipërfaqen e globit, mund të tërhiqet vetëm një meridian dhe vetëm një paralele.
Koordinatat gjeografike
janë madhësi këndore: gjatësia l dhe gjerësia gjeografike j.
Gjatësia gjeografike l është këndi dihedral ndërmjet rrafshit të një meridiani të caktuar (që kalon nga pika B) dhe rrafshit të meridianit kryesor. Meridiani kryesor merret si meridiani që kalon përmes qendrës së sallës kryesore të Observatorit Greenwich brenda qytetit të Londrës. Për pikën B, gjatësia gjeografike përcaktohet nga këndi l = WCD. Gjatësitë janë numëruar nga meridiani kryesor në të dy drejtimet - lindje dhe perëndim. Në këtë drejtim dallohen gjatësitë gjeografike perëndimore dhe lindore, të cilat variojnë nga 0° deri në 180°.
Gjerësia gjeografike
j është këndi i formuar nga rrafshi ekuatorial dhe vija e plumbit që kalon nëpër një pikë të caktuar. Nëse Toka merret si sferë, atëherë për pikën B (Fig. 2.8) gjerësia gjeografike j përcaktohet nga këndi DCB. Gjerësia gjeografike e matur nga ekuatori në veri quhen veriore, dhe në jug - jug, ato ndryshojnë nga 0° në ekuator deri në 90° në pole.
Koordinatat gjeografike mund të merren nga vëzhgimet astronomike ose matjet gjeodezike. Në rastin e parë ato quhen astronomike, dhe në të dytën - gjeodezike (L - gjatësia, B - gjerësia). Gjatë vëzhgimeve astronomike, projeksioni i pikave në sipërfaqen e referencës kryhet nga linjat plumbash, dhe gjatë matjeve gjeodezike - nga normalet. Prandaj, vlerat e koordinatave astronomike dhe gjeodezike ndryshojnë nga sasia e devijimit të vijës së plumbit.
Përdorimi i elipsoideve të ndryshme referente nga gjendje të ndryshme çon në ndryshime në koordinatat e të njëjtave pika të llogaritura në lidhje me sipërfaqe të ndryshme referimi. Në praktikë, kjo shprehet në zhvendosjen e përgjithshme të imazhit hartografik në raport me meridianët dhe paralelet në hartat e shkallëve të mëdha dhe të mesme.
Koordinatat drejtkëndore
quhen madhësi lineare - abshisa dhe ordinata, të cilat përcaktojnë pozicionin e një pike në rrafsh në raport me drejtimet origjinale.
(Fig. 2.9)
Në gjeodezi dhe topografi, përdoret sistemi i djathtë i koordinatave drejtkëndore. Kjo e dallon atë nga sistemi i koordinatave majtas i përdorur në matematikë. Drejtimet fillestare janë dy vija pingule reciproke me pikën e fillimit në pikën e tyre të kryqëzimit O.
Vija e drejtë XX (boshti i abshisës) është në linjë me drejtimin e meridianit që kalon përmes origjinës së koordinatave, ose me një drejtim paralel me një meridian të caktuar. Drejtëza YY (boshti i ordinatave) kalon nëpër pikën O pingul me boshtin e abshisave. Në një sistem të tillë, pozicioni i një pike në aeroplan përcaktohet nga distanca më e shkurtër në të nga boshtet koordinative. Pozicioni i pikës A përcaktohet nga gjatësia e pinguleve Xa dhe Ya. Segmenti Xa quhet abshisa i pikës A dhe Ya është ordinata e kësaj pike. Koordinatat drejtkëndore zakonisht shprehen në metra. Zona e terrenit në pikën O ndahet në katër lagje nga boshtet e abshisës dhe të ordinatave (Fig. 2.9). Emri i lagjeve përcaktohet nga përcaktimet e pranuara të pikave kardinal. Të katërtat numërohen në drejtim të akrepave të orës: I - NE; II - SE; III - JP; IV - VP.
Në tabelë 2.3 tregon shenjat X abscissa dhe Y ordinate për pikat e vendosura në lagje të ndryshme dhe jep emrat e tyre.
Tabela 2.3
Abshisat e pikave të vendosura lart nga origjina e koordinatave konsiderohen pozitive, dhe poshtë nga ajo - negative, ordinatat e pikave të vendosura në të djathtë - pozitive, në të majtë - negative. Sistemi i koordinatave drejtkëndore të sheshta përdoret në zona të kufizuara të sipërfaqes së tokës që mund të ngatërrohen si të sheshta.
Koordinatat origjina e të cilave është një pikë në tokë quhen polare. Në këtë sistem koordinativ maten këndet e orientimit. Në një plan horizontal (Fig. 2.10), përmes një pike O të zgjedhur në mënyrë arbitrare, të quajtur pol, vizatoni një vijë të drejtë OX - boshti polar.
Atëherë pozicioni i çdo pike, për shembull, M, do të përcaktohet nga rrezja - vektori r1 dhe këndi i drejtimit a1, dhe pika N - r2 dhe a2, përkatësisht. Këndet a1 dhe a2 maten nga boshti polar në drejtim të akrepave të orës deri te vektori i rrezes. Boshti polar mund të vendoset në mënyrë arbitrare ose në linjë me drejtimin e çdo meridiani që kalon nëpër polin O.
Sistemi i koordinatave bipolare (Fig. 2.11) paraqet dy pole të zgjedhura fikse O1 dhe O2, të lidhura me një vijë të drejtë - boshti polar. Ky sistem koordinativ ju lejon të përcaktoni pozicionin e pikës M në lidhje me boshtin polar në aeroplan duke përdorur dy kënde b1 dhe b2, dy vektorë rreze r1 dhe r2, ose kombinime të tyre. Nëse dihen koordinatat drejtkëndore të pikave O1 dhe O2, atëherë pozicioni i pikës M mund të llogaritet në mënyrë analitike. 
Oriz. 2.11
Oriz. 2.12
Lartësitë e pikave në sipërfaqen e tokës. Për të përcaktuar pozicionin e pikave në sipërfaqen fizike të Tokës, nuk mjafton të njihni vetëm koordinatat horizontale X, Y ose l, j; nevojitet një koordinatë e tretë - lartësia e pikës H. Lartësia e pikës H ( Fig. 2.12) është distanca në drejtimin vertikal nga një pikë e caktuar (A´; B´´) deri në sipërfaqen e pranuar kryesore të nivelit MN. Vlera numerike e lartësisë së një pike quhet lartësi. Lartësitë e matura nga sipërfaqja e nivelit kryesor MN quhen lartësi absolute (AA´; BB´´), dhe ato të përcaktuara në lidhje me një sipërfaqe të nivelit të zgjedhur në mënyrë arbitrare quhen lartësi të kushtëzuara (В´В´). Dallimi në lartësi prej dy pikash ose distanca në drejtimin vertikal ndërmjet sipërfaqeve të nivelit që kalojnë nëpër çdo dy pika të Tokës quhet lartësi relative (В´В´´) ose lartësia e këtyre pikave h.
Në Republikën e Bjellorusisë u miratua sistemi Baltik i lartësisë i vitit 1977. Lartësitë llogariten nga sipërfaqja e nivelit, e cila përkon me nivelin mesatar të ujit në Gjirin e Finlandës, nga zero e matësit të ujit të Kronstadt.
Këtu është një tjetër
Për përcaktimin Pozicionet e pikave në gjeodezi përdorin koordinata hapësinore drejtkëndore, gjeodezike dhe drejtkëndore të rrafshët.
Koordinatat hapësinore drejtkëndore. Origjina e sistemit të koordinatave ndodhet në qendër O elipsoid i tokës(Fig. 2.2).
Boshti Z drejtuar përgjatë boshtit të rrotullimit të elipsoidit në veri. Boshti X shtrihet në kryqëzimin e rrafshit ekuatorial me meridianin fillestar të Grinuiçit. Boshti Y drejtuar pingul me boshtet Z Dhe X në Lindje.
Koordinatat gjeodezike. Koordinatat gjeodezike të një pike janë gjerësia, gjatësia dhe lartësia e saj (Fig. 2.2).
Gjerësia gjeodezike pikë M quhet kënd NË, i formuar nga normalja në sipërfaqe e elipsoidit që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe rrafshin ekuatorial.
Gjerësia gjeografike matet nga ekuatori në veri dhe në jug nga 0° deri në 90° dhe quhet veri ose jug. Gjerësia veriore konsiderohet pozitive, dhe gjerësia jugore negative.
Planet seksionale të një elipsoidi që kalon nëpër bosht OZ, quhen meridianet gjeodezike.
Gjatësia gjeodezike pikë M quhet kënd dihedral L, i formuar nga rrafshet e meridianit gjeodezik fillestar (Greenwich) dhe meridianit gjeodezik të një pike të caktuar.
Gjatësia gjeografike matet nga meridiani kryesor në rangun nga 0° në 360° në lindje, ose nga 0° në 180° në lindje (pozitive) dhe nga 0° në 180° në perëndim (negativ).
Lartësia gjeodezike pikë Mështë lartësia e saj N mbi sipërfaqen e elipsoidit të tokës.
Koordinatat gjeodezike dhe koordinatat drejtkëndore hapësinore lidhen me formulat
X =(N+H) cos B cos L,
Y=(N+H) cos B mëkat L,
Z=[(1- e 2)N+H] mëkat B,
Ku e- ekscentriciteti i parë i elipsës së meridianit dhe N-rrezja e lakimit të vertikalës së parë.Në këtë rast N=a/(1 - e 2 mëkat 2 B) 1/2 .
Gjeodezike dhe hapësinore koordinatat drejtkëndore të pikave përcaktohen duke përdorur matjet satelitore, si dhe duke i lidhur ato me matje gjeodezike me pikat me koordinata të njohura.
Vini re se së bashku me Së bashku me gjeodezikën, ka edhe gjerësinë dhe gjatësinë gjeografike astronomike. Gjerësia gjeografike astronomike j është këndi i bërë nga vija e plumbit në një pikë të caktuar me rrafshin e ekuatorit. Gjatësia gjeografike astronomike l është këndi ndërmjet rrafsheve të meridianit të Grinuiçit dhe meridianit astronomik që kalon përmes vijës së plumbit në një pikë të caktuar. Koordinatat astronomike përcaktohen në tokë nga vëzhgimet astronomike.
Koordinatat astronomike ndryshojnë nga gjeodezika sepse drejtimet e linjave të plumbave nuk përkojnë me drejtimet e normaleve në sipërfaqen e elipsoidit. Këndi ndërmjet drejtimit të normales në sipërfaqen e elipsoidit dhe vijës së plumbit në një pikë të caktuar të sipërfaqes së tokës quhet devijimi i vijës së plumbit.
Një përgjithësim i koordinatave gjeodezike dhe astronomike është termi - koordinatat gjeografike.
Koordinatat e planit drejtkëndor. Për të zgjidhur problemet e gjeodezisë inxhinierike, ato kalojnë nga koordinatat hapësinore dhe gjeodezike në ato më të thjeshta - koordinatat e sheshta, të cilat bëjnë të mundur përshkrimin e terrenit në një aeroplan dhe përcaktimin e pozicionit të pikave duke përdorur dy koordinata. X Dhe në.
Që nga sipërfaqja konvekse e Tokës nuk mund të përshkruhet në një plan pa shtrembërim; futja e koordinatave të planit është e mundur vetëm në zona të kufizuara ku shtrembërimet janë aq të vogla sa mund të neglizhohen. Në Rusi, është miratuar një sistem i koordinatave drejtkëndore, baza e të cilit është një barabrinjës tërthor-cilindrike Projeksioni Gaussian. Sipërfaqja e një elipsoidi përshkruhet në një plan në pjesë të quajtura zona. Zonat janë trekëndësha sferikë, të kufizuar nga meridianët dhe që shtrihen nga poli verior në jug (Fig. 2.3). Madhësia e zonës në gjatësi është 6°. Meridiani qendror i secilës zonë quhet meridian boshtor. Zonat numërohen nga Greenwich në lindje.
Gjatësia e meridianit boshtor të zonës me numër N është e barabartë me:
l 0 = 6°× N - 3°.
Meridiani boshtor i zonës dhe ekuatorit janë paraqitur në rrafsh me vija të drejta (Fig. 2.4). Meridiani boshtor merret si bosht i abshisave x, dhe ekuatori është prapa boshtit të ordinatave y. Kryqëzimi i tyre (pika O) shërben si origjina e koordinatave për këtë zonë.
Per te shmangur vlerat e ordinatës negative, koordinatat e kryqëzimit merren të barabarta x 0 = 0, y 0 = 500 km, që është e barabartë me zhvendosjen e boshtit X 500 km në perëndim.
Kështu që me koordinatat drejtkëndore të një pike mund të gjykohet se në cilën zonë ndodhet, sipas ordinatës y numri i zonës së koordinatave caktohet në të majtë.
Le të, për shembull, koordinatat e një pike A kanë formën:
x A= 6,276,427 m
y A= 12,428,566 m
Këto koordinata tregojnë kjo është çështja A ndodhet në një distancë prej 6276427 m nga ekuatori, në pjesën perëndimore ( y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
Për drejtkëndëshe hapësinore, koordinatat drejtkëndore gjeodezike dhe të sheshta në Rusi, është miratuar një sistem i unifikuar koordinativ SK-95, i fiksuar në tokë nga pikat e rrjetit gjeodezik shtetëror dhe i ndërtuar sipas matjeve satelitore dhe tokësore që nga viti 1995.
Sistemet e koordinatave drejtkëndore lokale. Gjatë ndërtimit të objekteve të ndryshme, shpesh përdoren sisteme koordinative lokale (të kushtëzuara), në të cilat drejtimet e akseve dhe origjina e koordinatave caktohen bazuar në komoditetin e përdorimit të tyre gjatë ndërtimit dhe funksionimit pasues të objektit.
Kështu që, kur gjuan aksi i stacionit hekurudhor në drejtohen përgjatë aksit të rrugës kryesore hekurudhore në drejtim të rritjes së piketimit, dhe aksit X- përgjatë aksit të ndërtesës së stacionit të pasagjerëve.
Gjatë ndërtimit aksi i kalimit të urës X zakonisht kombinohet me boshtin e urës, dhe aksin y shkon në drejtim pingul.
Gjatë ndërtimit objekte të mëdha industriale dhe civile të Boshtit x Dhe y drejtuar paralelisht me akset e objekteve në ndërtim.
Për të zgjidhur shumicën e problemeve në shkencat e aplikuara, është e nevojshme të dihet vendndodhja e një objekti ose pike, e cila përcaktohet duke përdorur një nga sistemet e pranuara të koordinatave. Përveç kësaj, ekzistojnë sisteme lartësie që përcaktojnë gjithashtu vendndodhjen e lartësisë së një pike në të
Cilat janë koordinatat
Koordinatat janë vlera numerike ose alfabetike që mund të përdoren për të përcaktuar vendndodhjen e një pike në tokë. Si pasojë, një sistem koordinativ është një grup vlerash të të njëjtit lloj që kanë të njëjtin parim për gjetjen e një pike ose objekti.
Gjetja e vendndodhjes së një pike kërkohet për të zgjidhur shumë probleme praktike. Në një shkencë siç është gjeodezia, përcaktimi i vendndodhjes së një pike në një hapësirë të caktuar është qëllimi kryesor, në arritjen e të cilit bazohet e gjithë puna e mëvonshme.
Shumica e sistemeve të koordinatave zakonisht përcaktojnë vendndodhjen e një pike në një plan të kufizuar nga vetëm dy boshte. Për të përcaktuar pozicionin e një pike në hapësirën tredimensionale, përdoret gjithashtu një sistem lartësie. Me ndihmën e tij mund të zbuloni vendndodhjen e saktë objektin e dëshiruar.
Shkurtimisht për sistemet e koordinatave të përdorura në gjeodezi
Sistemet e koordinatave përcaktojnë vendndodhjen e një pike në një territor duke i dhënë asaj tre vlera. Parimet e llogaritjes së tyre janë të ndryshme për çdo sistem koordinativ.
Sistemet kryesore të koordinatave hapësinore të përdorura në gjeodezi:
- Gjeodezike.
- Gjeografike.
- Polare.
- Drejtkëndëshe.
- Koordinatat zonale Gauss-Kruger.
Të gjitha sistemet kanë pikënisjen e tyre, vlerat për vendndodhjen e objektit dhe zonën e aplikimit.
Koordinatat gjeodezike
Figura kryesore e përdorur për të matur koordinatat gjeodezike është elipsoidi i tokës.
Një elipsoid është një figurë e ngjeshur tredimensionale që përfaqëson më së miri formën e globit. Për shkak të faktit se globi është një figurë matematikisht e parregullt, një elipsoid përdoret në vend të kësaj për të përcaktuar koordinatat gjeodezike. Kjo e bën më të lehtë kryerjen e shumë llogaritjeve për të përcaktuar pozicionin e një trupi në sipërfaqe.
Koordinatat gjeodezike përcaktohen nga tre vlera: gjerësia gjeodezike, gjatësia dhe lartësia.
- Gjerësia gjeodezike është një kënd, fillimi i të cilit shtrihet në rrafshin e ekuatorit, dhe fundi i tij shtrihet në pingul të tërhequr në pikën e dëshiruar.
- Gjatësia gjeodezike është këndi i matur nga meridiani kryesor në meridianin në të cilin ndodhet pika e dëshiruar.
- Lartësia gjeodezike është vlera e normales së tërhequr në sipërfaqen e elipsoidit të rrotullimit të Tokës nga një pikë e caktuar.
Koordinatat gjeografike
Për të zgjidhur problemet me saktësi të lartë të gjeodezisë më të lartë, është e nevojshme të bëhet dallimi midis koordinatave gjeodezike dhe gjeografike. Në sistemin e përdorur në gjeodezinë inxhinierike, dallime të tilla zakonisht nuk bëhen për shkak të hapësirës së vogël që mbulon puna.
Për të përcaktuar koordinatat gjeodezike, një elipsoid përdoret si plan referencë dhe një gjeoid përdoret për të përcaktuar koordinatat gjeografike. Gjeoidi është një figurë matematikisht e parregullt që është më afër formës aktuale të Tokës. Sipërfaqja e saj e rrafshuar merret si ajo që vazhdon nën nivelin e detit në gjendjen e saj të qetë.
Sistemi i koordinatave gjeografike i përdorur në gjeodezi përshkruan pozicionin e një pike në hapësirë me tre vlera. gjatësia përkon me gjeodezin, pasi pika e referencës do të quhet gjithashtu Greenwich. Ai kalon nëpër observatorin me të njëjtin emër në Londër. përcaktohet nga ekuatori i tërhequr në sipërfaqen e gjeoidit.
Lartësia në sistemin koordinativ lokal të përdorur në gjeodezi matet nga niveli i detit në gjendjen e tij të qetë. Në territorin e Rusisë dhe vendeve të ish-Bashkimit, shenja nga e cila përcaktohen lartësitë është shtylla e këmbës së Kronstadt. Ndodhet në nivelin e Detit Baltik.
Koordinatat polare
Sistemi i koordinatave polar i përdorur në gjeodezi ka nuanca të tjera për të bërë matjet. Përdoret në zona të vogla të terrenit për të përcaktuar vendndodhjen relative të një pike. Origjina mund të jetë çdo objekt i shënuar si fillestar. Kështu, duke përdorur koordinatat polare është e pamundur të përcaktohet vendndodhja e paqartë e një pike në territorin e globit.
Koordinatat polare përcaktohen nga dy madhësi: këndi dhe distanca. Këndi matet nga drejtimi verior i meridianit në një pikë të caktuar, duke përcaktuar pozicionin e tij në hapësirë. Por një kënd nuk do të jetë i mjaftueshëm, kështu që futet një vektor i rrezes - distanca nga pika e qëndrimit në objektin e dëshiruar. Duke përdorur këto dy parametra, mund të përcaktoni vendndodhjen e pikës në sistemin lokal.
Si rregull, ky sistem koordinativ përdoret për të kryer punë inxhinierike të kryera në një zonë të vogël të terrenit.
Koordinatat drejtkëndore
Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe i përdorur në gjeodezi përdoret gjithashtu në zona të vogla të terrenit. Elementi kryesor i sistemit është boshti koordinativ nga i cili bëhet numërimi. Koordinatat e një pike gjenden si gjatësia e pinguleve të nxjerra nga boshtet e abshisave dhe të ordinatave në pikën e dëshiruar.
Drejtimi verior i boshtit X dhe drejtimi lindor i boshtit Y konsiderohen pozitiv, dhe drejtimi jugor dhe perëndimor konsiderohen negativ. Në varësi të shenjave dhe lagjeve, përcaktohet vendndodhja e një pike në hapësirë.
Koordinatat e Gauss-Kruger
Sistemi zonal i koordinatave Gauss-Kruger është i ngjashëm me atë drejtkëndor. Dallimi është se mund të aplikohet në të gjithë globin, jo vetëm në zona të vogla.
Koordinatat drejtkëndore të zonave Gauss-Kruger janë në thelb një projeksion i globit në një aeroplan. Ajo u ngrit për qëllime praktike për të përshkruar zona të mëdha të Tokës në letër. Shtrembërimet që lindin gjatë transferimit konsiderohen të parëndësishme.
Sipas këtij sistemi, globi ndahet nga gjatësia gjeografike në zona me gjashtë shkallë me një meridian boshtor në mes. Ekuatori është në qendër përgjatë një vije horizontale. Si rezultat, ka 60 zona të tilla.
Secila prej gjashtëdhjetë zonave ka sistemin e vet të koordinatave drejtkëndore, të matura përgjatë boshtit të ordinatave nga X, dhe përgjatë boshtit të abshisës nga pjesa e ekuatorit të tokës Y. Për të përcaktuar në mënyrë të qartë vendndodhjen në territorin e të gjithë globit, zona numri vendoset para vlerave X dhe Y.
Vlerat e boshtit X në territorin e Rusisë, si rregull, janë pozitive, ndërsa vlerat Y mund të jenë negative. Për të shmangur një shenjë minus në vlerat e boshtit x, meridiani boshtor i secilës zonë zhvendoset me kusht 500 metra në perëndim. Pastaj të gjitha koordinatat bëhen pozitive.
Sistemi i koordinatave u propozua si një mundësi nga Gauss dhe u llogarit matematikisht nga Kruger në mesin e shekullit të njëzetë. Që atëherë është përdorur në gjeodezi si një nga më kryesoret.
Sistemi i lartësisë
Sistemet e koordinatave dhe lartësive të përdorura në gjeodezi përdoren për të përcaktuar me saktësi pozicionin e një pike në Tokë. Lartësitë absolute maten nga niveli i detit ose sipërfaqja tjetër e marrë si burim. Përveç kësaj, ka lartësi relative. Këto të fundit llogariten si tepricë nga pika e dëshiruar në çdo tjetër. Ato janë të përshtatshme për t'u përdorur për të punuar në një sistem koordinativ lokal për të thjeshtuar përpunimin e mëvonshëm të rezultateve.
Zbatimi i sistemeve të koordinatave në gjeodezi
Përveç sa më sipër, ekzistojnë sisteme të tjera koordinative që përdoren në gjeodezi. Secila prej tyre ka avantazhet dhe disavantazhet e veta. Ekzistojnë gjithashtu fusha të punës për të cilat një ose një metodë tjetër e përcaktimit të vendndodhjes është e rëndësishme.
Është qëllimi i punës që përcakton se cilat sisteme koordinative përdoren më mirë në gjeodezi. Për të punuar në zona të vogla, është i përshtatshëm të përdoren sisteme koordinative drejtkëndëshe dhe polare, por për të zgjidhur problemet në shkallë të gjerë, nevojiten sisteme që lejojnë mbulimin e të gjithë territorit të sipërfaqes së tokës.
Origjina
Origjina(origjina) në hapësirën Euklidiane - një pikë njëjës, e shënuar zakonisht me shkronjën RRETH, e cila përdoret si pikë referimi për të gjitha pikat e tjera. Në gjeometrinë Euklidiane, origjina e koordinatave mund të zgjidhet në mënyrë arbitrare në çdo pikë të përshtatshme.
Një vektor i tërhequr nga origjina në një pikë tjetër quhet vektor i rrezes.
Sistemi i koordinatave karteziane
Origjina e ndan secilin prej boshteve në dy rreze - gjysmë-boshti pozitiv dhe gjysmë-boshti negativ.
Në veçanti, origjina mund të futet në boshtin e numrave. Në këtë kuptim, mund të flasim për origjinën e koordinatave për sasi të ndryshme të gjera (kohë, temperaturë, etj.)
Sistemet e koordinatave polare
Fondacioni Wikimedia. 2010.
Shihni se çfarë është "Origjina e koordinatave" në fjalorë të tjerë:
origjinën- Pika zero (pika e prerjes së boshteve) në një sistem koordinativ të sheshtë që përdoret në sistemet grafike që punojnë me imazhe dydimensionale. Koordinata e një pike përcaktohet nga distanca nga origjina (qendra) e koordinatave përgjatë boshtit horizontal X (abshisa)… …
origjinën- koordinačių pradžia statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. origjina e koordinatave vok. Koordinatenanfangspunkt, m; Koordinatenursprung, m rus. origjinë, n pranc. origjina e kordoneve, f … Përfundimi automatik
origjina (plotter)- - [E.S. Alekseev, A.A. Myachev. Fjalori shpjegues anglisht-rusisht mbi inxhinierinë e sistemeve kompjuterike. Moskë 1993] Temat Teknologjia e informacionit në përgjithësi EN origjina e komplotit ... Udhëzues teknik i përkthyesit
- (origjina) Një pikë në një grafik që përfaqëson zero për çdo matje. Një diagram mund të ketë më shumë se një pikë referimi. Një diagram kuti me dy faktorë, për shembull, është ndërtuar në atë mënyrë që vëllimet totale të disponueshme të çdo faktori ... Fjalori ekonomik
stafetë e rezistencës së drejtimit me një karakteristikë që nuk kalon nga origjina e koordinatave- - [V.A. Semenov. Fjalori anglisht-rusisht për mbrojtjen e stafetëve] Temat mbrojtja e stafetës EN kompensuar rele në distancë ... Udhëzues teknik i përkthyesit
karakteristikë e një stafete rezistence të drejtuar në formën e një rrethi që kalon nga origjina e koordinatave- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Fjalori anglisht-rusisht i inxhinierisë elektrike dhe inxhinierisë së energjisë, Moskë, 1999] Temat e inxhinierisë elektrike, konceptet themelore EN mho karakteristikë ... Udhëzues teknik i përkthyesit
fillimi i numërimit- Pozicioni në ekranin e ekranit nga i cili fillojnë të gjitha sistemet e koordinatave. Zakonisht ndodhet në këndin e sipërm të majtë të ekranit. Temat e teknologjisë së informacionit në përgjithësi me origjinë EN ... Udhëzues teknik i përkthyesit
Sistemi i koordinatave drejtkëndore është një sistem koordinativ drejtvizor me boshte reciprokisht pingul në një plan ose në hapësirë. Sistemi koordinativ më i thjeshtë dhe për këtë arsye më i përdoruri. Përmbledhur shumë lehtë dhe drejtpërdrejt për... ... Wikipedia
Një pikë ka tre koordinata karteziane dhe tre koordinata sferike Është i përshtatshëm për të përcaktuar sistemin e koordinatave sferike në lidhje me d ... Wikipedia
Një grup përkufizimesh që zbaton metodën e koordinatave, domethënë një mënyrë për të përcaktuar pozicionin e një pike ose trupi duke përdorur numra ose simbole të tjera. Bashkësia e numrave që përcaktojnë pozicionin e një pike të caktuar quhet koordinata e kësaj pike. Në... ... Wikipedia
libra
- Tetëmbëdhjetë vjeç, Stefania Danilova, Poetja Stefania Danilova ka lindur më 16 gusht 1994 në Shën Petersburg dhe është e dashuruar pa kushte me këtë qytet. Ambidextro, një fëmijë mrekulli, poliglote, e cila krijoi poezinë e saj të parë për të rritur në moshën tre vjeçare... Kategoria: Poezia bashkëkohore ruse Seria: Runet Star Botuesi: AST,
- Providence, Rogatko Sergei Aleksandrovich, Romani i ri "Zjarri" i shkrimtarit Sergei Rogatko, i cili rrëfen një parim realist në letërsinë ruse dhe e konfirmoi këtë në romanin e tij të famshëm "Laik", është shkruar në zhanrin e një shëmbëlltyre". Kategoria: