Kabanata I. Mga Vector sa eroplano at sa kalawakan
§ 13. Paglipat mula sa isang parihabang Cartesian coordinate system patungo sa isa pa
Iminumungkahi naming isaalang-alang mo ang paksang ito sa dalawang bersyon.
1) Batay sa aklat-aralin ni I.I. Privalov "Analytical Geometry" (aklat para sa mas mataas na teknikal na institusyong pang-edukasyon, 1966)
I.I. Privalov "Analytical geometry"
§ 1. Coordinate transformation problem.
Ang posisyon ng isang punto sa isang eroplano ay tinutukoy ng dalawang coordinate na may kaugnayan sa ilang coordinate system. Magbabago ang mga coordinate ng punto kung pipili tayo ng ibang coordinate system.
Ang gawain ng pagbabago ng mga coordinate ay upang, sa pag-alam sa mga coordinate ng isang punto sa isang coordinate system, hanapin ang mga coordinate nito sa isa pang system.
Ang problemang ito ay malulutas kung magtatatag tayo ng mga formula na nagkokonekta sa mga coordinate ng isang arbitrary na punto sa dalawang system, at ang mga coefficient ng mga formula na ito ay magsasama ng mga pare-parehong dami na tumutukoy sa relatibong posisyon ng mga system.
Hayaang magbigay ng dalawang Cartesian coordinate system xOy At XO 1 Y(Larawan 68).
Posisyon ng bagong sistema XO 1 Y kaugnay sa lumang sistema xOy ay matutukoy kung ang mga coordinate ay kilala A At b bagong simula O 1 ayon sa lumang sistema at anggulo α sa pagitan ng mga palakol Oh At O 1 X. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng X At sa mga coordinate ng isang arbitrary point M na nauugnay sa lumang sistema, sa pamamagitan ng X at Y na mga coordinate ng parehong punto na nauugnay sa bagong system. Ang aming gawain ay upang matiyak na ang mga lumang coordinate X At sa ipinahayag sa mga tuntunin ng bagong X at Y. Ang mga resultang formula ng pagbabagong-anyo ay dapat na malinaw na may kasamang mga constant a, b At α .
Makakakuha tayo ng solusyon sa pangkalahatang problemang ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa dalawang espesyal na kaso.
1. Ang pinagmulan ng mga coordinate ay nagbabago, ngunit ang mga direksyon ng mga axes ay nananatiling hindi nagbabago ( α = 0).
2. Ang mga direksyon ng mga axes ay nagbabago, ngunit ang pinagmulan ng mga coordinate ay nananatiling hindi nagbabago ( a = b = 0).
§ 2. Paglipat ng pinagmulan ng mga coordinate.
Hayaang magbigay ng dalawang sistema ng Cartesian coordinate na may magkaibang pinagmulan O At O 1 at ang parehong mga direksyon ng mga axes (Larawan 69).
Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A At b mga coordinate ng bagong simula O 1 sa lumang sistema at hanggang x, y At X, Y-coordinate ng isang arbitrary point M sa luma at bagong mga sistema, ayon sa pagkakabanggit. Projecting point M sa axis O 1 X At Oh, pati na rin ang isang punto O 1 bawat axis Oh, sumakay kami sa axis Oh tatlong tuldok Ay, Ah At R. Mga laki ng segment OA, AR At O ay nauugnay sa sumusunod na relasyon:
| OA| + | AR | = | O |. (1)
Napansin na | OA| = A , | O | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, muli naming isinusulat ang pagkakapantay-pantay (1) sa anyo:
A + X = x o x = X + A . (2)
Katulad nito, ang pagdidisenyo ng M at O 1 sa ordinate axis, nakukuha namin:
y = Y + b (3)
Kaya, ang lumang coordinate ay katumbas ng bago kasama ang coordinate ng bagong pinagmulan ayon sa lumang sistema.
Mula sa mga formula (2) at (3), ang mga bagong coordinate ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng mga luma:
X = x - a , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Pag-ikot ng mga coordinate axes.
Hayaang magbigay ng dalawang Cartesian coordinate system na may parehong pinagmulan TUNGKOL SA at iba't ibang direksyon ng mga palakol (Larawan 70).
Hayaan α may anggulo sa pagitan ng mga palakol Oh At OH. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng x, y At X, Y mga coordinate ng isang di-makatwirang punto M, ayon sa pagkakabanggit, sa luma at bagong mga sistema:
X = | O | , sa = | PM | ,
X= | O 1 |, Y= | P 1 M |.
Isaalang-alang ang isang putol na linya O 1 MP at dalhin ang projection nito sa axis Oh. Pansinin na ang projection ng putol na linya ay katumbas ng projection ng pagsasara ng segment (Kabanata I, § 8) mayroon tayo:
O 1 MP = | O |. (4)
Sa kabilang banda, ang projection ng isang putol na linya ay katumbas ng kabuuan ng mga projection ng mga link nito (Kabanata I, § 8); samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (4) ay isusulat tulad ng sumusunod:
atbp O 1+ pr P 1 M+ pr MP= | O | (4")
Dahil ang projection ng isang nakadirekta na segment ay katumbas ng magnitude nito na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan ng axis ng mga projection at ang axis kung saan matatagpuan ang segment (Kabanata I, § 8), kung gayon
atbp O 1 = X cos α
atbp P 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y kasalanan α ,
pr MP= 0.
Kaya ang pagkakapantay-pantay (4") ay nagbibigay sa atin ng:
x = X cos α - Y kasalanan α . (5)
Katulad nito, i-project ang parehong polyline papunta sa axis OU, nakakakuha tayo ng expression para sa sa. Sa katunayan, mayroon kaming:
atbp O 1+ pr P 1 M+ pr MP= pp O = 0.
Napapansin iyon
atbp O 1 = X kasi( α - 90°) = X kasalanan α ,
atbp P 1 M = Y cos α ,
pr MP = - y ,
Magkakaroon:
X kasalanan α + Y cos α - y = 0,
y = X kasalanan α + Y cos α . (6)
Mula sa mga formula (5) at (6) nakakakuha tayo ng mga bagong coordinate X At Y ipinahayag sa pamamagitan ng luma X At sa , kung malulutas natin ang mga equation (5) at (6) na may kinalaman sa X At Y.
Magkomento. Ang mga formula (5) at (6) ay maaaring makuha sa ibang paraan.
Mula sa Fig. 71 mayroon tayo:
X = OR = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM kasalanan α kasalanan φ ,
sa = RM = OM kasalanan ( α + φ ) = OM kasalanan α cos φ + OM kasi α kasalanan φ .
Mula noong (Kabanata I, § 11) OM cos φ = X, OM kasalanan φ =Y, Iyon
x = X cos α - Y kasalanan α , (5)
y = X kasalanan α + Y cos α . (6)
§ 4. Pangkalahatang kaso.
Hayaang ibigay ang dalawang Cartesian coordinate system na may magkaibang pinagmulan at magkaibang direksyon ng mga palakol (Larawan 72).
Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A At b mga coordinate ng bagong simula TUNGKOL SA, ayon sa lumang sistema, sa pamamagitan ng α - ang anggulo ng pag-ikot ng mga coordinate axes at, sa wakas, sa pamamagitan ng x, y At X, Y- mga coordinate ng isang di-makatwirang punto M ayon sa luma at bagong mga sistema, ayon sa pagkakabanggit.
Upang ipahayag X At sa sa pamamagitan ng X At Y, ipakilala natin ang isang auxiliary coordinate system x 1 O 1 y 1, ang simula nito ay ilalagay sa isang bagong simula TUNGKOL SA 1, at kunin ang mga direksyon ng mga palakol upang tumugma sa mga direksyon ng mga lumang palakol. Hayaan x 1 at y Ang 1 ay nagpapahiwatig ng mga coordinate ng point M na nauugnay sa auxiliary system na ito. Ang paglipat mula sa lumang coordinate system patungo sa auxiliary, mayroon tayong (§ 2):
X = X 1 + a , y = y 1 +b .
X 1 = X cos α - Y kasalanan α , y 1 = X kasalanan α + Y cos α .
Pinapalitan X 1 at y 1 sa mga nakaraang formula kasama ang kanilang mga expression mula sa huling mga formula, sa wakas ay nakita namin:
x = X cos α - Y kasalanan α + a
y = X kasalanan α + Y cos α + b (ako)
Ang mga formula (I) ay naglalaman bilang isang espesyal na kaso ng mga formula ng §§ 2 at 3. Kaya, kapag α = 0 formula (I) ang nagiging
x = X + A , y = Y + b ,
At kailan a = b = 0 mayroon kami:
x = X cos α - Y kasalanan α , y = X kasalanan α + Y cos α .
Mula sa mga formula (I) nakakakuha tayo ng mga bagong coordinate X At Y ipinahayag sa pamamagitan ng luma X At sa , kung ang mga equation (I) ay malulutas na may kinalaman sa X At Y.
Tandaan natin ang isang napakahalagang katangian ng mga formula (I): ang mga ito ay linear na may paggalang sa X At Y, ibig sabihin, sa anyo:
x = AX + BY + C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Madaling suriin kung ang mga bagong coordinate ay X At Y ipahahayag sa pamamagitan ng luma X At sa sa pamamagitan din ng mga pormula ng unang antas hinggil sa X At u.
G.N.Yakovlev "Geometry"
§ 13. Paglipat mula sa isang parihabang Cartesian coordinate system patungo sa isa pa
Sa pamamagitan ng pagpili ng isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ng Cartesian, ang isang isa-sa-isang pagsusulatan ay itinatag sa pagitan ng mga punto sa eroplano at nakaayos na mga pares ng mga tunay na numero. Nangangahulugan ito na ang bawat punto sa eroplano ay tumutugma sa isang solong pares ng mga numero, at ang bawat order na pares ng mga tunay na numero ay tumutugma sa isang solong punto.
Ang pagpili ng isa o ibang coordinate system ay hindi limitado sa anumang paraan at natutukoy sa bawat partikular na kaso sa pamamagitan lamang ng pagsasaalang-alang sa kaginhawahan. Kadalasan ang parehong hanay ay kailangang isaalang-alang sa iba't ibang mga sistema ng coordinate. Ang parehong punto sa iba't ibang mga sistema ay malinaw na may iba't ibang mga coordinate. Ang isang set ng mga punto (sa partikular, isang bilog, isang parabola, isang tuwid na linya) sa iba't ibang mga sistema ng coordinate ay ibinibigay ng iba't ibang mga equation.
Alamin natin kung paano nababago ang mga coordinate ng mga punto sa eroplano kapag lumilipat mula sa isang coordinate system patungo sa isa pa.
Hayaang magbigay ng dalawang rectangular coordinate system sa eroplano: O, ako, j at tungkol sa", ako", j" (Larawan 41).
Ang unang sistema na may simula sa punto O at mga batayang vector i At j sumang-ayon tayo na tawagan itong luma, ang pangalawa - na may simula sa punto O" at ang mga batayang vector ako" At j" - bago.
Isasaalang-alang namin ang posisyon ng bagong sistema na may kaugnayan sa luma na kilala: hayaan ang point O" sa lumang sistema ay may mga coordinate ( a;b ), isang vector ako" mga form na may vector i sulok α . Sulok α Nagbibilang kami sa direksyon na kabaligtaran sa clockwise na paggalaw.
Isaalang-alang natin ang isang di-makatwirang punto M. Tukuyin natin ang mga coordinate nito sa lumang sistema sa pamamagitan ng ( x;y ), sa bago - sa pamamagitan ng ( x";y" ). Ang aming gawain ay itatag ang ugnayan sa pagitan ng luma at bagong mga coordinate ng point M.
Ikonekta natin nang magkapares ang mga puntong O at O", O" at M, O at M. Gamit ang tuntuning tatsulok na nakukuha natin
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Palawakin natin ang mga vectors OM> at OO"> sa pamamagitan ng mga batayang vector i At j , at ang vector O"M> sa pamamagitan ng mga batayang vector ako" At j" :
OM > = x i+ y j , OO" > = a i+b j , O"M > = x" i"+ y" j "
Ngayon ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
x i+ y j = (a i+b j ) + (x" i"+ y" j "). (2)
Mga bagong batayan ng vector ako" At j" ay pinalawak ayon sa mga lumang batayan ng mga vectors i At j sa sumusunod na paraan:
ako" =cos α i + kasalanan α j ,
j" =cos( π / 2 + α ) i +kasalanan( π / 2 + α ) j = - kasalanan α i +cos α j .
Pagpapalit sa mga nahanap na expression para sa ako" At j" sa formula (2), nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay ng vector
x i+ y j = a i+b j + X"(cos α i + kasalanan α j ) + y"(-kasalanan α i +cos α j )
katumbas ng dalawang numerical equalities:
|
x = a + X" cos α
- y" kasalanan α
, |
Ang mga formula (3) ay nagbibigay ng mga kinakailangang expression para sa mga lumang coordinate X At sa puntos sa pamamagitan ng mga bagong coordinate nito X" At y". Upang makahanap ng mga expression para sa mga bagong coordinate sa mga tuntunin ng mga luma, sapat na upang malutas ang sistema ng equation (3) na may paggalang sa mga hindi alam. X" At y".
Kaya, ang mga coordinate ng mga punto kapag ang pinagmulan ng mga coordinate ay inilipat sa punto ( A; b ) at pagpihit ng mga palakol sa isang anggulo α ay binago ayon sa mga formula (3).
Kung ang pinagmulan lamang ng mga coordinate ay nagbabago, at ang mga direksyon ng mga axes ay nananatiling pareho, kung gayon, ipagpalagay sa mga formula (3) α = 0, nakukuha namin
Ang mga formula (5) ay tinatawag mga formula ng pag-ikot.
Gawain 1. Hayaang ang mga coordinate ng bagong simula sa lumang sistema ay (2; 3), at ang mga coordinate ng point A sa lumang sistema (4; -1). Hanapin ang mga coordinate ng point A sa bagong system kung ang mga direksyon ng mga axes ay nananatiling pareho.
Ayon sa mga pormula (4) mayroon tayo
Sagot. A(2;-4)
Gawain 2. Hayaang ang mga coordinate ng point P sa lumang sistema ay (-2; 1), at sa bagong sistema, ang mga direksyon ng mga axes na kung saan ay pareho, ang mga coordinate ng puntong ito (5; 3). Hanapin ang mga coordinate ng bagong simula sa lumang sistema.
A Mula sa mga formula (4) nakukuha natin
|
-
2= a + 5 |
saan A = - 7, b = - 2.
Sagot. (-7; -2).
Gawain 3. Mga coordinate ng point A sa bagong sistema (4; 2). Hanapin ang mga coordinate ng puntong ito sa lumang sistema kung ang pinagmulan ay nananatiling pareho at ang mga coordinate axes ng lumang sistema ay pinaikot ng isang anggulo α = 45°.
Gamit ang mga pormula (5) makikita natin
Gawain 4. Mga coordinate ng point A sa lumang sistema (2 √3 ; - √3 ). Hanapin ang mga coordinate ng puntong ito sa bagong sistema kung ang pinagmulan ng lumang sistema ay inilipat sa punto (-1;-2) at ang mga axes ay pinaikot ng isang anggulo α = 30°.
Ayon sa mga pormula (3) mayroon tayo
Ang pagkakaroon ng solusyon sa sistemang ito ng mga equation para sa X" At y", nakita namin: X" = 4, y" = -2.
Sagot. A (4; -2).
Gawain 5. Ang equation ng linya ay ibinigay sa = 2X - 6. Hanapin ang equation ng parehong linya sa bagong coordinate system, na nakuha mula sa lumang sistema sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga axes sa pamamagitan ng isang anggulo α = 45°.
Ang mga formula ng pag-ikot sa kasong ito ay may form
Pagpapalit ng tuwid na linya sa equation sa = 2X - 6 na lumang variable X At sa bago, nakuha namin ang equation
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
na pagkatapos ng mga pagpapasimple ay tumatagal ng anyo y" = x" / 3 - 2√2
Mga coordinate
- ito ay mga dami na tumutukoy sa posisyon ng anumang punto sa ibabaw o sa espasyo sa pinagtibay na sistema ng coordinate. Ang sistema ng coordinate ay nagtatatag ng paunang (pinagmulan) na mga punto, linya o eroplano para sa pagbibilang ng mga kinakailangang dami - ang pinagmulan ng mga coordinate at ang kanilang mga yunit. Sa topograpiya at geodesy, ang mga sistema ng geographic, rectangular, polar at bipolar na mga coordinate ang pinaka-malawakang ginagamit.
Ang mga geographic na coordinate (Larawan 2.8) ay ginagamit upang matukoy ang posisyon ng mga punto sa ibabaw ng Earth sa isang ellipsoid (sphere). Sa coordinate system na ito, ang inisyal na eroplano ay ang prime meridian at ang equatorial plane. Ang meridian ay isang linya ng seksyon ng isang ellipsoid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto at ang axis ng pag-ikot ng Earth.
Ang parallel ay isang linya ng seksyon ng isang ellipsoid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto at patayo sa axis ng lupa. Ang isang parallel na ang eroplano ay dumadaan sa gitna ng ellipsoid ay tinatawag na ekwador. Sa bawat puntong nakahiga sa ibabaw ng globo, isang meridian at isang parallel lamang ang maaaring iguhit.
Mga heograpikal na coordinate
ay angular na dami: longitude l at latitude j.
Ang geographical longitude l ay ang dihedral na anggulo sa pagitan ng eroplano ng isang partikular na meridian (pagdaraan sa punto B) at ng eroplano ng prime meridian. Ang prime meridian ay itinuturing na meridian na dumadaan sa gitna ng pangunahing bulwagan ng Greenwich Observatory sa loob ng lungsod ng London. Para sa punto B, ang longitude ay tinutukoy ng anggulo l = WCD. Ang mga longitude ay binibilang mula sa prime meridian sa parehong direksyon - silangan at kanluran. Kaugnay nito, ang kanluran at silangang mga longitude ay nakikilala, na nag-iiba mula 0° hanggang 180°.
Geographic na latitude
j ay ang anggulo na nabuo ng equatorial plane at ang plumb line na dumadaan sa isang partikular na punto. Kung ang Earth ay kinuha bilang isang sphere, pagkatapos ay para sa point B (Fig. 2.8) latitude j ay tinutukoy ng anggulo DCB. Ang mga latitude na sinusukat mula sa ekwador hanggang sa hilaga ay tinatawag na hilaga, at sa timog - timog, sila ay nag-iiba mula 0° sa ekwador hanggang 90° sa mga pole.
Ang mga geographic na coordinate ay maaaring makuha mula sa astronomical observation o geodetic measurements. Sa unang kaso sila ay tinatawag na astronomical, at sa pangalawa - geodetic (L - longitude, B - latitude). Sa panahon ng astronomical na mga obserbasyon, ang projection ng mga puntos sa ibabaw ng sanggunian ay isinasagawa sa pamamagitan ng mga linya ng tubo, at sa panahon ng geodetic measurements - sa pamamagitan ng mga normal. Samakatuwid, ang mga halaga ng astronomical at geodetic na mga coordinate ay naiiba sa dami ng paglihis ng linya ng tubo.
Ang paggamit ng iba't ibang reference na ellipsoids ng iba't ibang mga estado ay humahantong sa mga pagkakaiba sa mga coordinate ng parehong mga punto na kinakalkula na may kaugnayan sa iba't ibang mga ibabaw ng sanggunian. Sa pagsasagawa, ito ay ipinahayag sa pangkalahatang displacement ng cartographic na imahe na may kaugnayan sa mga meridian at parallel sa mga mapa ng malaki at katamtamang mga kaliskis.
Mga parihabang coordinate
ay tinatawag na mga linear na dami - abscissa at ordinate, na tumutukoy sa posisyon ng isang punto sa eroplano na may kaugnayan sa orihinal na mga direksyon.
(Larawan 2.9)
Sa geodesy at topograpiya, ang kanang kamay na sistema ng mga parihaba na coordinate ay pinagtibay. Ito ay naiiba sa kaliwang kamay na coordinate system na ginagamit sa matematika. Ang mga unang direksyon ay dalawang magkaparehong patayo na linya na may panimulang punto sa kanilang intersection point O.
Ang tuwid na linya XX (abscissa axis) ay nakahanay sa direksyon ng meridian na dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate, o sa isang direksyon na kahanay sa isang tiyak na meridian. Ang tuwid na linyang YY (ordinate axis) ay dumadaan sa punto O patayo sa abscissa axis. Sa ganoong sistema, ang posisyon ng isang punto sa eroplano ay tinutukoy ng pinakamaikling distansya dito mula sa mga coordinate axes. Ang posisyon ng point A ay tinutukoy ng haba ng perpendiculars Xa at Ya. Ang segment na Xa ay tinatawag na abscissa ng punto A, at ang Ya ay ang ordinate ng puntong ito. Ang mga parihabang coordinate ay karaniwang ipinahayag sa metro. Ang lugar ng terrain sa punto O ay nahahati sa apat na quarter ng abscissa at ordinate axes (Larawan 2.9). Ang pangalan ng quarters ay tinutukoy ng mga tinatanggap na pagtatalaga ng mga kardinal na puntos. Ang mga quarters ay binibilang sa isang clockwise na direksyon: I - NE; II - SE; III - TK; IV - NW.
Sa mesa Ang 2.3 ay nagpapakita ng X abscissa at Y ordinate na mga palatandaan para sa mga puntos na matatagpuan sa iba't ibang quarter at nagbibigay ng kanilang mga pangalan.
Talahanayan 2.3
Ang mga abscissas ng mga puntos na matatagpuan paitaas mula sa pinagmulan ng mga coordinate ay itinuturing na positibo, at pababa mula dito - negatibo, ang mga ordinate ng mga punto na matatagpuan sa kanan - positibo, sa kaliwa - negatibo. Ang sistema ng flat rectangular coordinates ay ginagamit sa mga limitadong lugar sa ibabaw ng mundo na maaaring mapagkamalang flat.
Ang mga coordinate na ang pinagmulan ay ilang punto sa lupa ay tinatawag na polar. Sa coordinate system na ito, sinusukat ang mga anggulo ng oryentasyon. Sa isang pahalang na eroplano (Larawan 2.10), sa pamamagitan ng isang arbitraryong napiling punto O, na tinatawag na isang poste, gumuhit ng isang tuwid na linya na OX - ang polar axis.
Pagkatapos ang posisyon ng anumang punto, halimbawa, M, ay matutukoy ng radius - vector r1 at ang anggulo ng direksyon a1, at ang punto N - r2 at a2, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga anggulo a1 at a2 ay sinusukat mula sa polar axis clockwise hanggang sa radius vector. Ang polar axis ay maaaring matatagpuan nang arbitraryo o nakahanay sa direksyon ng anumang meridian na dumadaan sa O pole.
Ang bipolar coordinate system (Larawan 2.11) ay kumakatawan sa dalawang napiling nakapirming pole O1 at O2, na konektado sa pamamagitan ng isang tuwid na linya - ang polar axis. Ang coordinate system na ito ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang posisyon ng point M na may kaugnayan sa polar axis sa eroplano gamit ang dalawang anggulo b1 at b2, dalawang radius vectors r1 at r2, o mga kumbinasyon nito. Kung ang mga parihaba na coordinate ng mga puntos na O1 at O2 ay kilala, kung gayon ang posisyon ng punto M ay maaaring kalkulahin nang analytical. 
kanin. 2.11
kanin. 2.12
Taas ng mga punto sa ibabaw ng mundo. Upang matukoy ang posisyon ng mga punto sa pisikal na ibabaw ng Earth, hindi sapat na malaman lamang ang mga pahalang na coordinate X, Y o l, j, kailangan ng ikatlong coordinate - ang taas ng punto H. Ang taas ng punto H ( Fig. 2.12) ay ang distansya sa patayong direksyon mula sa isang naibigay na punto (A´; B´ ´) hanggang sa tinatanggap na pangunahing antas ng ibabaw MN. Ang numerical value ng taas ng isang punto ay tinatawag na elevation. Ang mga taas na sinusukat mula sa pangunahing antas ng ibabaw na MN ay tinatawag na ganap na taas (AA´; BB´´), at ang mga tinutukoy na may kaugnayan sa isang arbitraryong piniling antas ng ibabaw ay tinatawag na may kondisyon na taas (В´В´´). Ang pagkakaiba sa taas ng dalawang punto o ang distansya sa patayong direksyon sa pagitan ng mga antas na ibabaw na dumadaan sa alinmang dalawang punto ng Earth ay tinatawag na relatibong taas (В´В´´) o ang elevation ng mga puntong ito h.
Ang Baltic height system noong 1977 ay pinagtibay sa Republic of Belarus. Ang mga taas ay kinakalkula mula sa antas ng ibabaw, na tumutugma sa average na antas ng tubig sa Gulpo ng Finland, mula sa zero ng Kronstadt water gauge.
Eto pa isa
Para sa pagtukoy Ang mga posisyon ng mga punto sa geodesy ay gumagamit ng spatial rectangular, geodetic at plane rectangular coordinate.
Spatial na hugis-parihaba na coordinate. Ang pinagmulan ng sistema ng coordinate ay matatagpuan sa gitna O ellipsoid ng lupa(Larawan 2.2).
Aksis Z nakadirekta kasama ang axis ng pag-ikot ng ellipsoid sa hilaga. Aksis X nasa intersection ng equatorial plane na may inisyal na Greenwich meridian. Aksis Y nakadirekta patayo sa mga axes Z At X Sa silangan.
Geodetic na mga coordinate. Ang geodetic coordinates ng isang punto ay ang latitude, longitude at taas nito (Larawan 2.2).
Geodetic latitude puntos M tinatawag na anggulo SA, na nabuo sa pamamagitan ng normal sa ibabaw ng ellipsoid na dumadaan sa isang naibigay na punto at sa equatorial plane.
Ang latitude ay sinusukat mula sa ekwador hilaga at timog mula 0° hanggang 90° at tinatawag na hilaga o timog. Ang hilagang latitude ay itinuturing na positibo, at ang southern latitude ay negatibo.
Mga sectional na eroplano ng isang ellipsoid na dumadaan sa axis OZ, ay tinatawag geodetic meridian.
Geodetic longitude puntos M tinatawag na dihedral angle L, na nabuo ng mga eroplano ng inisyal (Greenwich) geodesic meridian at ang geodesic meridian ng isang naibigay na punto.
Ang mga longitude ay sinusukat mula sa prime meridian sa hanay mula 0° hanggang 360° silangan, o mula 0° hanggang 180° silangan (positibo) at mula 0° hanggang 180° kanluran (negatibo).
Geodetic na taas puntos M ang taas nito N sa ibabaw ng ibabaw ng ellipsoid ng lupa.
Ang mga geodetic na coordinate at spatial na rectangular coordinate ay nauugnay sa mga formula
X =(N+H)cos B cos L,
Y=(N+H)cos B kasalanan L,
Z=[(1- e 2)N+H] kasalanan B,
saan e- unang eccentricity ng meridian ellipse at N-radius ng curvature ng unang patayo.Sa kasong ito N=a/(1 - e 2 kasalanan 2 B) 1/2 .
Geodetic at spatial Ang mga parihaba na coordinate ng mga punto ay tinutukoy gamit ang mga pagsukat ng satellite, gayundin sa pamamagitan ng pag-uugnay sa mga ito sa mga geodetic na sukat sa mga puntong may mga kilalang coordinate.
Tandaan na kasama ng Kasama ng geodesics, mayroon ding astronomical latitude at longitude. Astronomical latitude j ay ang anggulo na ginawa ng plumb line sa isang partikular na punto sa eroplano ng ekwador. Astronomical longitude l ay ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ng Greenwich meridian at ng astronomical meridian na dumadaan sa plumb line sa isang partikular na punto. Ang mga coordinate ng astronomya ay tinutukoy sa lupa mula sa mga obserbasyon ng astronomya.
Astronomical coordinate naiiba sa geodesics dahil ang mga direksyon ng mga linya ng plumb ay hindi nag-tutugma sa mga direksyon ng mga normal sa ibabaw ng ellipsoid. Ang anggulo sa pagitan ng direksyon ng normal sa ibabaw ng ellipsoid at ng plumb line sa isang partikular na punto sa ibabaw ng mundo ay tinatawag paglihis ng plumb line.
Ang isang generalization ng geodetic at astronomical coordinate ay ang terminong - heograpikal na coordinate.
Plane rectangular coordinate. Upang malutas ang mga problema ng engineering geodesy, lumipat sila mula sa spatial at geodetic na mga coordinate hanggang sa mas simple - mga flat coordinate, na ginagawang posible na ilarawan ang terrain sa isang eroplano at matukoy ang posisyon ng mga puntos gamit ang dalawang coordinate X At sa.
Dahil ang matambok na ibabaw ng Earth hindi maaaring ilarawan sa isang eroplano nang walang pagbaluktot; ang pagpapakilala ng mga coordinate ng eroplano ay posible lamang sa mga limitadong lugar kung saan ang mga pagbaluktot ay napakaliit na maaari silang mapabayaan. Sa Russia, isang sistema ng mga hugis-parihaba na coordinate ang pinagtibay, ang batayan nito ay isang equiangular na transverse-cylindrical. Gaussian projection. Ang ibabaw ng isang ellipsoid ay inilalarawan sa isang eroplano sa mga bahagi na tinatawag na mga zone. Ang mga zone ay mga spherical triangle, na napapalibutan ng mga meridian, at umaabot mula sa north pole hanggang sa timog (Larawan 2.3). Ang laki ng zone sa longitude ay 6°. Ang gitnang meridian ng bawat zone ay tinatawag na axial meridian. Ang mga sona ay binibilang mula Greenwich hanggang silangan.
Ang longitude ng axial meridian ng zone na may numerong N ay katumbas ng:
l 0 = 6°× N - 3°.
Ang axial meridian ng sona at ng ekwador ay inilalarawan sa eroplano sa pamamagitan ng mga tuwid na linya (Larawan 2.4). Ang axial meridian ay kinuha bilang abscissa axis x, at ang ekwador ay nasa likod ng ordinate axis y. Ang kanilang intersection (point O) nagsisilbing pinagmulan ng mga coordinate para sa zone na ito.
Para maiwasan negatibong mga halaga ng ordinate, ang mga intersection coordinate ay kinuha pantay x 0 = 0, y 0 = 500 km, na katumbas ng axis displacement X 500 km kanluran.
Upang sa pamamagitan ng hugis-parihaba na mga coordinate ng isang punto ay maaaring hatulan ng isa kung saang zone ito matatagpuan, hanggang sa ordinate y ang numero ng coordinate zone ay nakatalaga sa kaliwa.
Hayaan, halimbawa, ang mga coordinate ng isang punto A magkaroon ng form:
x A= 6,276,427 m
y A= 12,428,566 m
Ang mga coordinate na ito ay nagpapahiwatig iyon ang punto A ay matatagpuan sa layong 6276427 m mula sa ekwador, sa kanlurang bahagi ( y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
Para sa spatial na hugis-parihaba, geodetic at flat rectangular coordinate sa Russia, isang pinag-isang coordinate system na SK-95 ay pinagtibay, na naayos sa lupa sa pamamagitan ng mga punto ng geodetic network ng estado at binuo ayon sa satellite at ground-based na mga sukat noong 1995.
Mga lokal na rectangular coordinate system. Sa panahon ng pagtatayo ng iba't ibang mga bagay, madalas na ginagamit ang mga lokal (kondisyonal) na sistema ng coordinate, kung saan ang mga direksyon ng mga axes at ang pinagmulan ng mga coordinate ay itinalaga batay sa kaginhawaan ng kanilang paggamit sa panahon ng pagtatayo at kasunod na operasyon ng bagay.
Kaya, kapag shooting axis ng istasyon ng tren sa ay nakadirekta sa kahabaan ng axis ng pangunahing riles ng tren sa direksyon ng pagtaas ng picketage, at ang axis X- kasama ang axis ng gusali ng istasyon ng pasahero.
Sa panahon ng pagtatayo axis ng mga tawiran ng tulay X kadalasang pinagsama sa axis ng tulay, at sa axis y napupunta sa isang patayong direksyon.
Sa panahon ng pagtatayo malalaking pang-industriya at sibil na pasilidad ng Axis x At y nakadirekta parallel sa mga axes ng mga gusali sa ilalim ng konstruksiyon.
Upang malutas ang karamihan sa mga problema sa mga inilapat na agham, kinakailangang malaman ang lokasyon ng isang bagay o punto, na tinutukoy gamit ang isa sa mga tinatanggap na sistema ng coordinate. Bilang karagdagan, may mga sistema ng taas na tumutukoy din sa lokasyon ng altitude ng isang punto
Ano ang mga coordinate
Ang mga coordinate ay mga numerical o alphabetic na halaga na maaaring magamit upang matukoy ang lokasyon ng isang punto sa lupa. Bilang kinahinatnan, ang isang sistema ng coordinate ay isang hanay ng mga halaga ng parehong uri na may parehong prinsipyo para sa paghahanap ng isang punto o bagay.
Ang paghahanap ng lokasyon ng isang punto ay kinakailangan upang malutas ang maraming praktikal na problema. Sa isang agham tulad ng geodesy, ang pagtukoy sa lokasyon ng isang punto sa isang naibigay na espasyo ay ang pangunahing layunin, sa pagkamit kung saan nakabatay ang lahat ng kasunod na gawain.
Karamihan sa mga sistema ng coordinate ay karaniwang tumutukoy sa lokasyon ng isang punto sa isang eroplano na nililimitahan lamang ng dalawang axes. Upang matukoy ang posisyon ng isang punto sa tatlong-dimensional na espasyo, ginagamit din ang isang sistema ng taas. Sa tulong nito maaari mong malaman eksaktong lokasyon ang nais na bagay.
Maikling tungkol sa mga coordinate system na ginagamit sa geodesy
Tinutukoy ng mga coordinate system ang lokasyon ng isang punto sa isang teritoryo sa pamamagitan ng pagbibigay dito ng tatlong halaga. Ang mga prinsipyo ng kanilang pagkalkula ay iba para sa bawat coordinate system.
Ang pangunahing spatial coordinate system na ginagamit sa geodesy:
- Geodetic.
- Heograpikal.
- Polar.
- Parihaba.
- Zonal Gauss-Kruger coordinate.
Ang lahat ng mga system ay may sariling panimulang punto, mga halaga para sa lokasyon ng bagay at lugar ng aplikasyon.
Geodetic na mga coordinate
Ang pangunahing pigura na ginamit upang sukatin ang mga geodetic na coordinate ay ang ellipsoid ng daigdig.
Ang ellipsoid ay isang three-dimensional compressed figure na pinakamahusay na kumakatawan sa hugis ng globo. Dahil sa katotohanan na ang globo ay isang mathematically irregular figure, isang ellipsoid ang ginagamit sa halip upang matukoy ang geodetic coordinates. Ginagawa nitong mas madaling magsagawa ng maraming mga kalkulasyon upang matukoy ang posisyon ng isang katawan sa ibabaw.
Ang mga geodetic na coordinate ay tinutukoy ng tatlong halaga: geodetic latitude, longitude, at altitude.
- Ang geodetic latitude ay isang anggulo na ang simula ay nasa eroplano ng ekwador, at ang dulo nito ay nasa perpendikular na iginuhit sa nais na punto.
- Ang geodetic longitude ay ang anggulong sinusukat mula sa prime meridian hanggang sa meridian kung saan matatagpuan ang nais na punto.
- Ang geodetic na taas ay ang halaga ng normal na iginuhit sa ibabaw ng ellipsoid ng pag-ikot ng Earth mula sa isang partikular na punto.
Mga heograpikal na coordinate
Upang malutas ang mga problema sa mataas na katumpakan ng mas mataas na geodesy, kinakailangan na makilala sa pagitan ng geodetic at geographic na mga coordinate. Sa sistemang ginamit sa engineering geodesy, ang mga ganitong pagkakaiba ay kadalasang hindi ginagawa dahil sa maliit na espasyong sakop ng trabaho.
Upang matukoy ang mga geodetic na coordinate, ang isang ellipsoid ay ginagamit bilang isang reference plane, at isang geoid ay ginagamit upang matukoy ang mga geographic na coordinate. Ang geoid ay isang mathematically irregular figure na mas malapit sa aktwal na hugis ng Earth. Ang patag na ibabaw nito ay itinuturing na nagpapatuloy sa ilalim ng antas ng dagat sa kalmadong estado nito.
Inilalarawan ng geographic coordinate system na ginamit sa geodesy ang posisyon ng isang punto sa espasyo na may tatlong halaga. Ang longitude ay tumutugma sa geodetic, dahil ang reference point ay tatawagin ding Greenwich. Dumadaan ito sa obserbatoryo ng parehong pangalan sa London. tinutukoy mula sa ekwador na iginuhit sa ibabaw ng geoid.
Ang taas sa lokal na sistema ng coordinate na ginagamit sa geodesy ay sinusukat mula sa antas ng dagat sa kalmadong estado nito. Sa teritoryo ng Russia at mga bansa ng dating Unyon, ang marka kung saan tinutukoy ang taas ay ang footpole ng Kronstadt. Ito ay matatagpuan sa antas ng Baltic Sea.
Polar coordinate
Ang polar coordinate system na ginamit sa geodesy ay may iba pang mga nuances ng paggawa ng mga sukat. Ginagamit ito sa maliliit na lugar ng lupain upang matukoy ang kaugnay na lokasyon ng isang punto. Ang pinagmulan ay maaaring anumang bagay na minarkahan bilang ang paunang isa. Kaya, ang paggamit ng mga polar coordinate ay imposible upang matukoy ang hindi malabo na lokasyon ng isang punto sa teritoryo ng mundo.
Ang mga polar coordinate ay tinutukoy ng dalawang dami: anggulo at distansya. Ang anggulo ay sinusukat mula sa hilagang direksyon ng meridian hanggang sa isang naibigay na punto, na tinutukoy ang posisyon nito sa espasyo. Ngunit ang isang anggulo ay hindi magiging sapat, kaya ang isang radius vector ay ipinakilala - ang distansya mula sa nakatayong punto hanggang sa nais na bagay. Gamit ang dalawang parameter na ito, matutukoy mo ang lokasyon ng punto sa lokal na sistema.
Bilang isang patakaran, ang sistemang ito ng coordinate ay ginagamit upang magsagawa ng gawaing inhinyero na isinasagawa sa isang maliit na lugar ng lupain.
Mga parihabang coordinate
Ang rectangular coordinate system na ginagamit sa geodesy ay ginagamit din sa maliliit na lugar ng terrain. Ang pangunahing elemento ng system ay ang coordinate axis kung saan nangyayari ang pagbibilang. Ang mga coordinate ng isang punto ay matatagpuan bilang ang haba ng mga perpendicular na iginuhit mula sa abscissa at ordinate axes hanggang sa nais na punto.
Ang hilagang direksyon ng X-axis at ang silangang direksyon ng Y-axis ay itinuturing na positibo, at ang timog at kanlurang direksyon ay itinuturing na negatibo. Depende sa mga palatandaan at quarters, ang lokasyon ng isang punto sa espasyo ay tinutukoy.
Gauss-Kruger coordinate
Ang Gauss-Kruger coordinate zonal system ay katulad ng hugis-parihaba. Ang pagkakaiba ay maaari itong ilapat sa buong mundo, hindi lamang sa maliliit na lugar.
Ang mga parihaba na coordinate ng Gauss-Kruger zone ay mahalagang projection ng globo papunta sa isang eroplano. Lumitaw ito para sa mga praktikal na layunin upang ilarawan ang malalaking lugar ng Earth sa papel. Ang mga pagbaluktot na nagmumula sa panahon ng paglipat ay itinuturing na hindi gaanong mahalaga.
Ayon sa sistemang ito, ang globo ay nahahati ayon sa longitude sa anim na antas na mga sona na may axial meridian sa gitna. Ang ekwador ay nasa gitna sa isang pahalang na linya. Bilang resulta, mayroong 60 ganoong mga zone.
Ang bawat isa sa animnapung zone ay may sariling sistema ng mga parihaba na coordinate, na sinusukat sa kahabaan ng ordinate axis mula sa X, at kasama ang abscissa axis mula sa seksyon ng ekwador ng daigdig Y. Upang hindi malabo na matukoy ang lokasyon sa teritoryo ng buong mundo, ang sona numero ay inilalagay sa harap ng mga halaga ng X at Y.
Ang mga halaga ng X-axis sa teritoryo ng Russia, bilang isang patakaran, ay positibo, habang ang mga halaga ng Y ay maaaring negatibo. Upang maiwasan ang isang minus sign sa mga halaga ng x-axis, ang axial meridian ng bawat zone ay may kondisyong inilipat sa 500 metro sa kanluran. Pagkatapos ang lahat ng mga coordinate ay magiging positibo.
Ang sistema ng coordinate ay iminungkahi bilang isang posibilidad ni Gauss at kinakalkula ng matematika ni Kruger noong kalagitnaan ng ikadalawampu siglo. Simula noon ito ay ginamit sa geodesy bilang isa sa mga pangunahing.
Sistema ng taas
Ang mga sistema ng coordinate at elevation na ginagamit sa geodesy ay ginagamit upang tumpak na matukoy ang posisyon ng isang punto sa Earth. Ang mga ganap na taas ay sinusukat mula sa antas ng dagat o iba pang ibabaw na kinuha bilang pinagmulan. Bilang karagdagan, may mga kamag-anak na taas. Ang huli ay binibilang bilang labis mula sa nais na punto patungo sa anumang iba pa. Ang mga ito ay maginhawang gamitin para sa pagtatrabaho sa isang lokal na sistema ng coordinate upang pasimplehin ang kasunod na pagproseso ng mga resulta.
Application ng mga coordinate system sa geodesy
Bilang karagdagan sa itaas, mayroong iba pang mga sistema ng coordinate na ginagamit sa geodesy. Ang bawat isa sa kanila ay may sariling mga pakinabang at disadvantages. Mayroon ding mga lugar ng trabaho kung saan ang isa o ibang paraan ng pagtukoy ng lokasyon ay may kaugnayan.
Ito ang layunin ng gawain na tumutukoy kung aling mga coordinate system na ginagamit sa geodesy ang pinakamahusay na ginagamit. Upang magtrabaho sa maliliit na lugar, maginhawang gumamit ng mga rectangular at polar coordinate system, ngunit upang malutas ang malalaking problema, kinakailangan ang mga sistema na nagpapahintulot sa pagsakop sa buong teritoryo ng ibabaw ng lupa.
Pinagmulan
Pinagmulan(pinagmulan) sa Euclidean space - isang isahan na punto, karaniwang tinutukoy ng titik TUNGKOL SA, na ginagamit bilang reference point para sa lahat ng iba pang punto. Sa Euclidean geometry, ang pinagmulan ng mga coordinate ay maaaring mapili nang arbitraryo sa anumang kumportableng punto.
Ang isang vector na iginuhit mula sa pinanggalingan patungo sa isa pang punto ay tinatawag na radius vector.
Cartesian coordinate system
Hinahati ng pinanggalingan ang bawat isa sa mga palakol sa dalawang sinag - ang positibong semi-axis at ang negatibong semi-axis.
Sa partikular, ang pinagmulan ay maaaring ipasok sa axis ng numero. Sa ganitong diwa, maaari nating pag-usapan ang pinagmulan ng mga coordinate para sa iba't ibang malawak na dami (oras, temperatura, atbp.)
Mga polar coordinate system
Wikimedia Foundation. 2010.
Tingnan kung ano ang "Origin of coordinates" sa ibang mga diksyunaryo:
pinagmulan- Zero point (ang punto ng intersection ng mga axes) sa isang flat coordinate system na ginagamit sa mga graphic system na gumagana sa mga two-dimensional na imahe. Ang coordinate ng isang punto ay tinutukoy ng distansya mula sa pinanggalingan (gitna) ng mga coordinate sa kahabaan ng pahalang na X axis (abscissa)… …
pinagmulan- koordinačių pradžia statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. pinagmulan ng mga coordinate vok. Koordinatenanfangspunkt, m; Koordinatenursprung, m rus. pinanggalingan, n pranc. origine de cordonnées, f … Automatikos terminų žodynas
pinanggalingan (plotter)- - [E.S. Alekseev, A.A. Myachev. English-Russian na paliwanag na diksyunaryo sa computer systems engineering. Moscow 1993] Mga Paksa Teknolohiya ng impormasyon sa pangkalahatan EN plot pinanggalingan... Gabay ng Teknikal na Tagasalin
- (pinagmulan) Isang punto sa isang graph na kumakatawan sa zero para sa anumang pagsukat. Ang isang diagram ay maaaring magkaroon ng higit sa isang reference point. Ang isang two-factor box diagram, halimbawa, ay itinayo sa paraang ang kabuuang magagamit na mga volume ng anumang mga kadahilanan ... Diksyonaryo ng ekonomiya
directional resistance relay na may katangian na hindi dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate- - [V.A. Semenov. English-Russian na diksyunaryo sa relay protection] Mga paksa relay protection EN offset mho distance relay ... Gabay ng Teknikal na Tagasalin
katangian ng isang directional resistance relay sa anyo ng isang bilog na dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. English-Russian na diksyunaryo ng electrical engineering at power engineering, Moscow, 1999] Mga paksa ng electrical engineering, mga pangunahing konsepto EN mho katangian ... Gabay ng Teknikal na Tagasalin
simula ng pagbibilang- Ang posisyon sa display screen kung saan magsisimula ang lahat ng coordinate system. Karaniwang matatagpuan sa kaliwang sulok sa itaas ng screen. Mga paksa ng teknolohiya ng impormasyon sa pangkalahatang pinagmulan ng EN ... Gabay ng Teknikal na Tagasalin
Ang rectangular coordinate system ay isang rectilinear coordinate system na may magkaparehong perpendicular axes sa isang eroplano o sa kalawakan. Ang pinakasimpleng at samakatuwid ay pinakakaraniwang ginagamit na sistema ng coordinate. Napakadali at direktang buod para sa... ... Wikipedia
Ang isang punto ay may tatlong Cartesian at tatlong spherical coordinate. Ito ay maginhawa upang matukoy ang spherical coordinate system na may kaugnayan sa d ... Wikipedia
Isang hanay ng mga kahulugan na nagpapatupad ng paraan ng coordinate, iyon ay, isang paraan upang matukoy ang posisyon ng isang punto o katawan gamit ang mga numero o iba pang mga simbolo. Ang hanay ng mga numero na tumutukoy sa posisyon ng isang tiyak na punto ay tinatawag na mga coordinate ng puntong ito. Sa... ... Wikipedia
Mga libro
- Labing-walo, Stefania Danilova, Makatang Stefania Danilova ay ipinanganak noong Agosto 16, 1994 sa St. Petersburg, at walang pasubali na umiibig sa lungsod na ito. Ambidextrous, child prodigy, polyglot, na lumikha ng kanyang unang pang-adultong tula sa edad na tatlo... Kategorya: Kontemporaryong tula ng Russia Serye: Runet Star Publisher: AST,
- Providence, Rogatko Sergei Aleksandrovich, Ang bagong nobelang "Apoy" ng manunulat na si Sergei Rogatko, na nagpapahayag ng isang makatotohanang prinsipyo sa panitikang Ruso at kinumpirma ito sa kanyang sikat na nobelang "The Layman", ay nakasulat sa genre ng isang talinghaga,".. . Kategorya: