I тарау. Жазықтықтағы және кеңістіктегі векторлар
§ 13. Бір тікбұрышты декарттық координаталар жүйесінен екіншісіне көшу
Бұл тақырыпты екі нұсқада қарастыруды ұсынамыз.
1) И.И.Приваловтың «Аналитикалық геометрия» оқулығы негізінде (жоғары техникалық оқу орындарына арналған оқулық, 1966 ж.)
И.И.Привалов «Аналитикалық геометрия»
§ 1. Координатты түрлендіру есебі.
Нүктенің жазықтықтағы орны кейбір координаталар жүйесіне қатысты екі координатпен анықталады. Егер басқа координаталар жүйесін таңдасақ, нүктенің координаталары өзгереді.
Координаталарды түрлендіру міндеті болып табылады бір координат жүйесіндегі нүктенің координатасын біле отырып, оның басқа жүйедегі координатасын табу үшін.
Егер екі жүйедегі ерікті нүктенің координаталарын қосатын формулаларды орнатсақ, бұл мәселе шешіледі және бұл формулалардың коэффициенттері жүйелердің салыстырмалы орнын анықтайтын тұрақты шамаларды қамтиды.
Екі декарттық координаталар жүйесі берілсін xOyЖәне XO 1 Y(Cурет 68).
Жаңа жүйенің орны XO 1 Yескі жүйеге қатысты xOyкоординаталары белгілі болған жағдайда анықталады А Және б жаңа бастама O 1ескі жүйеге және бұрышқа сәйкес α осьтер арасында ОЖәне O 1 X. арқылы белгілейік XЖәне сағжаңа жүйеге қатысты сол нүктенің X және Y координаталары арқылы ескі жүйеге қатысты ерікті М нүктесінің координаталары. Біздің міндетіміз - ескі координаттарды қамтамасыз ету XЖәне сағжаңа X және Y терминдерімен өрнектеледі. Нәтижесінде түрлендіру формулалары тұрақтыларды қамтуы керек а, б Және α .
Бұл жалпы мәселенің шешімін екі ерекше жағдайды қарастыру арқылы аламыз.
1. Координаталар басы өзгереді, бірақ осьтердің бағыттары өзгеріссіз қалады ( α = 0).
2. Осьтердің бағыттары өзгереді, бірақ координаталар басы өзгеріссіз қалады ( a = b = 0).
§ 2. Координаталар басын көшіру.
Бастауыштары әртүрлі декарттық координаттардың екі жүйесі берілсін ОЖәне O 1және осьтердің бірдей бағыттары (69-сурет).
арқылы белгілейік А Және б жаңа бастаманың координаттары O 1ескі жүйеде және арқылы x, yЖәне X, Ы-сәйкесінше ескі және жаңа жүйелердегі ерікті М нүктесінің координаталары. М нүктесін оське проекциялау O 1 XЖәне О, сонымен қатар нүкте O 1ось бойынша О, біз оське шығамыз Оүш нүкте О, ахЖәне Р. Сегмент өлшемдері О.А., ARЖәне НЕМЕСЕкелесі қатынаспен байланысты:
| О.А| + | AR | = | НЕМЕСЕ |. (1)
Соны байқап | О.А| = А , | НЕМЕСЕ | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, теңдікті (1) келесі түрде қайта жазамыз:
А + X = x немесе x = X + А . (2)
Сол сияқты, жобалау M және O 1ордината осінде мынаны аламыз:
ж = Ы + б (3)
Сонымен, ескі координат жаңаға және ескі жүйе бойынша жаңа бас координатасына тең.
(2) және (3) формулаларынан жаңа координаттарды ескілері арқылы көрсетуге болады:
X = x - а , (2")
Ы = у - б . (3")
§ 3. Координаталық осьтердің айналуы.
Бастауыштары бірдей екі декарттық координаталар жүйесі берілсін ТУРАЛЫжәне осьтердің әртүрлі бағыттары (Cурет 70).
Болсын α осьтер арасында бұрыш бар ОЖәне OH. арқылы белгілейік x, y Және X, Yескі және жаңа жүйелерде сәйкесінше ерікті М нүктесінің координаталары:
X = | НЕМЕСЕ | , сағ = | PM | ,
X= | НЕМЕСЕ 1 |, Ы= | P 1 M |.
Сынық сызықты қарастырайық НЕМЕСЕ 1 МПжәне оның осіне проекциясын алыңыз О. Сынық сызықтың проекциясы жабу сегментінің проекциясына тең екенін ескерсек (I тарау, § 8) бізде:
НЕМЕСЕ 1 МП = | НЕМЕСЕ |. (4)
Екінші жағынан, сынық сызықтың проекциясы оның буындарының проекцияларының қосындысына тең (I тарау, § 8); сондықтан (4) теңдігі былай жазылады:
т.б НЕМЕСЕ 1+ пр P 1 M+ пр депутат= | НЕМЕСЕ | (4")
Бағытталған кесіндінің проекциясы оның шамасына проекциялар осі мен кесінді жатқан ось арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең болғандықтан (I тарау, § 8), онда
т.б НЕМЕСЕ 1 = X cos α
т.б P 1 M = Ы cos (90° + α ) = - Ыкүнә α ,
пр депутат= 0.
Демек, теңдік (4") бізге мынаны береді:
x = X cos α - Ыкүнә α . (5)
Сол сияқты, бірдей полисызықты оське проекциялау OU, үшін өрнек аламыз сағ. Шын мәнінде, бізде:
т.б НЕМЕСЕ 1+ пр P 1 M+ пр депутат= б.б НЕМЕСЕ = 0.
Соны байқап
т.б НЕМЕСЕ 1 = X cos( α - 90°) = Xкүнә α ,
т.б P 1 M = Ы cos α ,
пр депутат = - ж ,
бар болады:
Xкүнә α + Ы cos α - ж = 0,
ж = Xкүнә α + Ы cos α . (6)
(5) және (6) формулалардан жаңа координаталар аламыз XЖәне Ыескі арқылы көрсетілген X Және сағ , қатысты (5) және (6) теңдеулерін шешсек XЖәне Ы.
Түсініктеме.(5) және (6) формулаларды басқаша алуға болады.
Суреттен. 71 бізде:
X = НЕМЕСЕ = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - О, күнә α күнә φ ,
сағ = RM = OM күнә ( α + φ ) = О, күнә α cos φ + OM cos α күнә φ .
(I тарау, § 11) OM cos φ = X, О, күнә φ =Ы, Бұл
x = X cos α - Ыкүнә α , (5)
ж = Xкүнә α + Ы cos α . (6)
§ 4. Жалпы жағдай.
Бастауыштары әртүрлі және осьтерінің бағыттары әртүрлі екі декарттық координаталар жүйесі берілсін (72-сурет).
арқылы белгілейік А Және б жаңа бастаманың координаттары ТУРАЛЫ, ескі жүйе бойынша, арқылы α - координат осьтерінің айналу бұрышы және, ең соңында, арқылы x, y Және X, Y- сәйкесінше ескі және жаңа жүйелерге сәйкес ерікті М нүктесінің координаталары.
Білдіру X Және сағ арқылы XЖәне Ы, көмекші координаталар жүйесін енгізейік x 1 О 1 ж 1, оның басы жаңа бастауға қойылады ТУРАЛЫ 1 және осьтердің бағыттарын ескі осьтердің бағыттарымен сәйкес келетін етіп алыңыз. Болсын x 1 және ж 1 осы көмекші жүйеге қатысты М нүктесінің координаталарын көрсетіңіз. Ескі координаттар жүйесінен көмекші жүйеге көшсек, бізде (§ 2):
X = X 1 + а , y = y 1 + б .
X 1 = X cos α - Ыкүнә α , ж 1 = Xкүнә α + Ы cos α .
Ауыстыру X 1 және ж Алдыңғы формулалардағы 1-ні соңғы формулалардағы өрнектерімен бірге, соңында табамыз:
x = X cos α - Ыкүнә α + а
ж = Xкүнә α + Ы cos α + б (Мен)
(I) формулалар ерекше жағдайда §§ 2 және 3 формулаларын қамтиды. Осылайша, қашан α = 0 формулалары (I) айналады
x = X + А , ж = Ы + б ,
және қашан a = b = 0 бізде:
x = X cos α - Ыкүнә α , ж = Xкүнә α + Ы cos α .
(I) формулаларынан жаңа координаттарды аламыз XЖәне Ыескі арқылы көрсетілген X Және сағ , егер (I) теңдеулер қатысты шешілетін болса XЖәне Ы.
(I) формулалардың өте маңызды қасиетін атап өтейік: олар қатысты сызықтық XЖәне Ы, яғни пішін бойынша:
x = AX + BY + C, ж = А 1 X+B 1 Y+C 1 .
Жаңа координаталарды тексеру оңай XЖәне Ыескі арқылы білдірілетін болады X Және сағ қатысты бірінші дәрежелі формулалар арқылы да X Және u.
Г.Н.Яковлев «Геометрия»
§ 13. Бір тікбұрышты декарттық координаталар жүйесінен екіншісіне көшу
Тікбұрышты декарттық координаталар жүйесін таңдау арқылы жазықтықтағы нүктелер мен реттелген нақты сандар жұптары арасында бір-бірден сәйкестік орнатылады. Бұл жазықтықтың әрбір нүктесі бір сандар жұбына, ал нақты сандар жұбының әрбір реттелген жұбы бір нүктеге сәйкес келетінін білдіреді.
Сол немесе басқа координаталар жүйесін таңдау ешбір жолмен шектелмейді және әрбір нақты жағдайда тек ыңғайлылық бойынша анықталады. Көбінесе бір жиынды әртүрлі координаталар жүйесінде қарастыруға тура келеді. Әртүрлі жүйелердегі бір нүктенің координаттары әртүрлі болатыны анық. Әртүрлі координаталар жүйесіндегі нүктелер жиыны (атап айтқанда, шеңбер, парабола, түзу) әртүрлі теңдеулер арқылы беріледі.
Бір координаттар жүйесінен екінші координаттар жүйесіне көшкенде жазықтықтағы нүктелердің координаталары қалай түрленетінін анықтайық.
Жазықтықта екі тікбұрышты координаталар жүйесі берілсін: О, i, j және шамамен», i", j" (Cурет 41).
О нүктесінде басы бар бірінші жүйе және базистік векторлар мен Және j оны ескі деп атауға келісейік, екіншісі - басы О нүктесінде және базистік векторлар мен» Және j" - жаңа.
Біз белгілі ескі жүйеге қатысты жаңа жүйенің орнын қарастырамыз: ескі жүйедегі О нүктесінің координаттары ( а;б ), вектор мен» векторы бар пішіндер мен бұрыш α . Бұрыш α Біз сағат тілімен қозғалысқа қарама-қарсы бағытта санаймыз.
Ерікті М нүктесін қарастырайық. Оның координаталарын ескі жүйеде ( арқылы белгілейік. x;y ), жаңасында - арқылы ( x";y" ). Біздің міндетіміз М нүктесінің ескі және жаңа координаталары арасындағы байланысты орнату.
О және О», О» және М, О және М нүктелерін жұппен байланыстырайық. Үшбұрыш ережесін қолданып аламыз.
ОМ > = OO" > + О"М > . (1)
Векторларды кеңейтейік ОМ> және OO"> базистік векторлар бойынша мен Және j , және векторы О"М> базистік векторлар бойынша мен» Және j" :
ОМ > = x мен+ ж j , OO" > = а мен+ б j , О"М > = x" мен"+ y" j "
Енді теңдікті (1) былай жазуға болады:
x мен+ ж j = (а мен+ б j ) + (x" мен"+ y" j "). (2)
Жаңа базистік векторлар мен» Және j" ескі базистік векторларға сәйкес кеңейтіледі мен Және j келесідей:
мен» =cos α мен + күнә α j ,
j" =cos( π / 2 + α ) мен +күнә( π / 2 + α ) j = - күнә α мен +cos α j .
Табылған өрнектерді орнына қою мен» Және j" (2) формулада векторлық теңдік аламыз
x мен+ ж j = а мен+ б j + X"(кос α мен + күнә α j ) + у"(-күнә α мен +cos α j )
екі сандық теңдікке тең:
|
x = a + X" cos α
- у"күнә α
, |
Формулалар (3) ескі координаталар үшін қажетті өрнектерді береді XЖәне сағоның жаңа координаттары арқылы көрсетеді X"Және у". Ескілері бойынша жаңа координаталар үшін өрнектерді табу үшін белгісіздерге қатысты (3) теңдеу жүйесін шешу жеткілікті. X"Және у".
Сонымен, координаталар басы нүктеге ауыстырылған кездегі нүктелердің координаталары ( A; б ) және осьтерді бұрышпен айналдыру α (3) формулалар бойынша түрлендіріледі.
Егер координаталар басы өзгерсе және осьтердің бағыттары өзгеріссіз қалса, онда (3) формулалардағы α = 0, аламыз
Формулалар (5) деп аталады айналу формулалары.
1-тапсырма.Ескі жүйедегі жаңа бастаманың координаталары (2; 3), ал ескі жүйедегі А нүктесінің координаталары (4; -1) болсын. Егер осьтердің бағыттары өзгеріссіз қалса, жаңа жүйедегі А нүктесінің координаталарын табыңыз.
(4) формулаларға сәйкес бізде
Жауап. A(2;-4)
2-тапсырма.Ескі жүйедегі Р нүктесінің координаталары (-2; 1), ал осьтерінің бағыттары бірдей болатын жаңа жүйеде осы нүктенің координаталары (5; 3) болсын. Ескі жүйедегі жаңа бастаманың координаталарын табыңыз.
A (4) формулалардан аламыз
|
-
2= а + 5 |
қайда А = - 7, б = - 2.
Жауап. (-7; -2).
3-тапсырма.Жаңа жүйедегі А нүктесінің координаттары (4; 2). Бұл нүктенің координаталарын ескі жүйеде табыңыз, егер координаталар басы өзгеріссіз қалса және ескі жүйенің координаталық осьтері бұрышқа бұрылса. α = 45°.
(5) формулаларды қолданып табамыз
4-тапсырма.Ескі жүйедегі А нүктесінің координаталары (2 √3 ; - √3 ). Ескі жүйенің басын (-1;-2) нүктесіне жылжытып, осьтерді бұрышқа айналдырса, жаңа жүйеде осы нүктенің координаталарын табыңыз. α = 30°.
(3) формулаларға сәйкес бізде бар
Осы теңдеулер жүйесін шешу үшін X"Және у", табамыз: X" = 4, у" = -2.
Жауап. A (4; -2).
5-тапсырма.Сызықтың теңдеуі берілген сағ = 2X - 6. Жаңа координаталар жүйесіндегі осьтерді бұрышқа айналдыру арқылы ескі жүйеден алынған сол түзудің теңдеуін табыңыз. α = 45°.
Бұл жағдайда айналдыру формулалары пішінге ие
Теңдеудегі түзуді ауыстыру сағ = 2X - 6 ескі айнымалылар X Және сағ жаңа, біз теңдеуді аламыз
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
ол жеңілдетілгеннен кейін пішінді алады у" = x" / 3 - 2√2
Координаттар
- бұл қабылданған координаталар жүйесіндегі кез келген нүктенің беттегі немесе кеңістіктегі орнын анықтайтын шамалар. Координаталар жүйесі қажетті шамаларды санау үшін бастапқы (бастапқы) нүктелерді, түзулерді немесе жазықтықтарды белгілейді - координаталар басы және олардың бірліктері. Топография мен геодезияда географиялық, тікбұрышты, полярлық және биполярлық координаталар жүйелері кеңінен қолданылады.
Географиялық координаттар (2.8-сурет) эллипсоидтағы (шар) жер бетіндегі нүктелердің орнын анықтау үшін қолданылады. Бұл координаталар жүйесінде бастапқы жазықтық бастапқы меридиан және экваторлық жазықтық болып табылады. Меридиан – эллипсоидтың берілген нүктеден және Жердің айналу осінен өтетін жазықтықпен кесінді сызығы.
Параллель деп эллипсоидтың берілген нүкте арқылы өтетін және жер осіне перпендикуляр жазықтықпен кесінді сызығын айтады. Жазықтығы эллипсоидтың центрі арқылы өтетін параллель экватор деп аталады. Жер шарының бетінде жатқан әрбір нүкте арқылы тек бір меридиан және бір ғана параллель жүргізуге болады.
Географиялық координаттар
бұрыштық шамалар: бойлық l және j ендік.
Географиялық бойлық l – берілген меридиан жазықтығы (В нүктесі арқылы өтетін) мен бастапқы меридиан жазықтығы арасындағы екібұрышты бұрыш. Бас меридиан Лондон қаласындағы Гринвич обсерваториясының негізгі залының ортасынан өтетін меридиан болып саналады. В нүктесі үшін бойлық l = WCD бұрышымен анықталады. Ұзындықтар екі бағытта да – шығыс пен батыста бастапқы меридианнан есептеледі. Осыған байланысты 0°-тан 180°-қа дейін өзгеретін батыс және шығыс бойлықтарды ажыратады.
Географиялық ендік
j – экваторлық жазықтық пен берілген нүкте арқылы өтетін сызығының түзетін бұрышы. Егер Жер шар ретінде алынса, онда В нүктесі үшін (2.8-сурет) j ендігі DCB бұрышымен анықталады. Экватордан солтүстікке қарай өлшенетін ендіктер солтүстік, ал оңтүстікке қарай оңтүстік деп аталады, олар экваторда 0°-тан полюстерде 90°-қа дейін өзгереді.
Географиялық координаттарды астрономиялық бақылаулардан немесе геодезиялық өлшемдерден алуға болады. Бірінші жағдайда олар астрономиялық, ал екіншісінде - геодезиялық (L - бойлық, В - ендік) деп аталады. Астрономиялық бақылаулар кезінде нүктелердің эталон бетіне проекциясы штрих сызықтарымен, ал геодезиялық өлшеулер кезінде норма бойынша жүзеге асырылады. Сондықтан астрономиялық және геодезиялық координаттардың мәндері сызығының ауытқу шамасымен ерекшеленеді.
Әртүрлі күйлер бойынша әртүрлі эталондық эллипсоидтарды қолдану әртүрлі эталондық беттерге қатысты есептелген бірдей нүктелердің координаталарының айырмашылығына әкеледі. Тәжірибеде бұл үлкен және орташа масштабтағы карталардағы меридиандар мен параллельдерге қатысты картографиялық кескіннің жалпы ығысуында көрінеді.
Тік бұрышты координаттар
нүктенің жазықтықтағы орнын бастапқы бағыттарға қатысты анықтайтын сызықтық шамалар – абсцисса және ордината деп аталады.
(2.9-сурет)
Геодезия мен топографияда тік бұрышты координаталардың оң жақ жүйесі қабылданған. Бұл оны математикада қолданылатын сол жақ координаттар жүйесінен ерекшелендіреді. Бастапқы бағыттар – бастапқы нүктесі олардың қиылысу нүктесінде О болатын өзара перпендикуляр екі түзу.
XX түзу сызығы (абсцисса осі) координаталар басы арқылы өтетін меридианның бағытымен немесе белгілі бір меридианға параллель бағытпен тураланады. YY түзу сызығы (ордината осі) абсцисса осіне перпендикуляр О нүктесі арқылы өтеді. Мұндай жүйеде нүктенің жазықтықтағы орны оған координаталық осьтерден ең қысқа қашықтықпен анықталады. А нүктесінің орны Xa және Ya перпендикулярларының ұзындығымен анықталады. Xa кесіндісі А нүктесінің абсциссасы деп аталады, ал Я осы нүктенің ординатасы. Тікбұрышты координаттар әдетте метрмен көрсетіледі. О нүктесіндегі жер бедерінің ауданы абсцисса және ордината осьтері арқылы төрттен төртке бөлінген (2.9-сурет). Тоқсандардың атауы негізгі нүктелердің қабылданған белгілерімен анықталады. Тоқсандар сағат тілі бағытымен нөмірленеді: I - NE; II - SE; III - БҚ; IV - Солтүстік Батыс.
Кестеде 2.3 әртүрлі кварталдарда орналасқан нүктелер үшін Х абсцисса және У ордината белгілерін көрсетеді және олардың атын береді.
2.3-кесте
Координаталар басынан жоғары орналасқан нүктелердің абсциссалары оң, ал одан төмен қарай – теріс, оңға қарай орналасқан нүктелердің ординаталары – оң, солға қарай – теріс болып саналады. Жазық тікбұрышты координаттар жүйесі жер бетінің жазық деп қателесетін шектеулі аймақтарында қолданылады.
Бастауы жердің қандай да бір нүктесі болатын координаттар полярлық деп аталады. Бұл координаттар жүйесінде бағдарлау бұрыштары өлшенеді. Көлденең жазықтықта (2.10-сурет) полюс деп аталатын ерікті түрде таңдалған О нүктесі арқылы OX – полярлық ось түзуін жүргіземіз.
Сонда кез келген нүктенің орны, мысалы, М, сәйкесінше радиус – вектор r1 және бағыт бұрышы a1, ал N нүктесі – r2 және a2 арқылы анықталады. a1 және a2 бұрыштары поляр осінен сағат тілімен радиус векторына дейін өлшенеді. Полярлық ось ерікті түрде орналасуы немесе О полюсі арқылы өтетін кез келген меридианның бағытымен туралануы мүмкін.
Биполярлық координаталар жүйесі (2.11-сурет) түзу сызықпен - полярлық осьпен қосылған екі таңдалған қозғалмайтын O1 және O2 полюстерін көрсетеді. Бұл координаталар жүйесі екі b1 және b2 бұрыштары, екі радиус векторлары r1 және r2 немесе олардың комбинациялары арқылы жазықтықтағы поляр осіне қатысты М нүктесінің орнын анықтауға мүмкіндік береді. О1 және О2 нүктелерінің тікбұрышты координаталары белгілі болса, онда М нүктесінің орнын аналитикалық жолмен есептеуге болады. 
Күріш. 2.11
Күріш. 2.12
Жер бетіндегі нүктелердің биіктіктері. Жердің физикалық бетіндегі нүктелердің орнын анықтау үшін тек X, Y немесе l, j көлденең координаттарын білу жеткіліксіз, үшінші координат қажет - Н нүктесінің биіктігі. H нүктесінің биіктігі ( 2.12-сурет) берілген нүктеден (A´; B´ ´) қабылданған негізгі деңгей бетіне MN дейінгі тік бағыттағы қашықтық. Нүкте биіктігінің сандық мәні биіктік деп аталады. MN негізгі деңгей бетінен өлшенетін биіктіктер абсолютті биіктіктер (AA´; BB´´) деп аталады, ал ерікті түрде таңдалған деңгей бетіне қатысты анықталғандар шартты биіктіктер (В´В´´) деп аталады. Екі нүктенің биіктіктерінің айырмашылығы немесе Жердің кез келген екі нүктесі арқылы өтетін тегіс беттер арасындағы тік бағыттағы қашықтық салыстырмалы биіктік (В´В´´) немесе осы нүктелердің биіктігі h деп аталады.
Беларусь Республикасында 1977 жылғы Балтық бойындағы биіктік жүйесі қабылданған.Биіктіктер Финляндия шығанағындағы судың орташа деңгейімен сәйкес келетін деңгей бетінен, Кронштадт су өлшегішінің нөлінен бастап есептеледі.
Міне, басқасы
Анықтау үшінГеодезиядағы нүктелердің орындарында кеңістіктік тікбұрышты, геодезиялық және жазық тікбұрышты координаталар қолданылады.
Кеңістіктік тікбұрышты координаттар. Координаталар жүйесінің басы орталықта орналасқан О жер эллипсоиды(2.2-сурет).
Ось Збағытталғанэллипсоидтың айналу осі бойымен солтүстікке қарай. Ось Xбастапқы Гринвич меридианымен экваторлық жазықтықтың қиылысында жатыр. Ось Ыосьтерге перпендикуляр бағытталған ЗЖәне Xшығысқа.
Геодезиялық координаттар. Нүктенің геодезиялық координаталары оның ендігі, бойлығы және биіктігі болып табылады (2.2-сурет).
Геодезиялық ендік ұпай Мбұрыш деп аталады IN, берілген нүктеден және экваторлық жазықтықтан өтетін эллипсоид бетіне нормаль арқылы түзілген.
Ендік экватордан солтүстік пен оңтүстікке қарай 0°-тан 90°-қа дейін өлшенеді және солтүстік немесе оңтүстік деп аталады. Солтүстік ендік оң, ал оңтүстік ендік теріс болып саналады.
Эллипсоидтың ось арқылы өтетін қима жазықтықтары OZ, деп аталады геодезиялық меридиандар.
Геодезиялық бойлық ұпай Мекібұрышты бұрыш деп аталады Л, бастапқы (Гринвич) геодезиялық меридианның және берілген нүктенің геодезиялық меридианының жазықтықтары арқылы түзілген.
Бойлықтар бастапқы меридианнан 0°-тан 360° шығысқа дейін немесе 0°-тан 180° шығысқа дейін (оң) және 0°-дан 180° батысқа дейін (теріс) өлшенеді.
Геодезиялық биіктікұпай Моның биіктігі болып табылады Нжер эллипсоидының бетінен жоғары.
Геодезиялық координаттар мен кеңістіктік тікбұрышты координаталар формулалар арқылы байланысқан
X =(N+H)кос Б cos Л,
Y=(N+H)кос Бкүнә Л,
Z=[(1- e 2)N+H] күнә Б,
Қайда e- меридиан эллипсінің бірінші эксцентриситеті және Н-бірінші вертикалдың қисықтық радиусы.Бұл жағдайда N=a/(1 - e 2 күнә 2 Б) 1/2 .
Геодезиялық және кеңістіктікнүктелердің тікбұрышты координаталары спутниктік өлшемдерді қолдану арқылы, сондай-ақ оларды геодезиялық өлшемдермен белгілі координаттары бар нүктелерге байланыстыру арқылы анықталады.
бірге ескеріңізГеодезикамен қатар астрономиялық ендік пен бойлық та бар. Астрономиялық ендік j – экватор жазықтығымен берілген нүктеде сызығының жасаған бұрышы. Астрономиялық бойлық l – берілген нүктедегі штрих сызығы арқылы өтетін Гринвич меридианының және астрономиялық меридианның жазықтықтары арасындағы бұрыш. Астрономиялық координаттар жердегі астрономиялық бақылаулар арқылы анықталады.
Астрономиялық координаттаргеодезиядан ерекшеленеді, себебі штурвал сызықтарының бағыттары эллипсоидтың бетіне нормальдардың бағыттарымен сәйкес келмейді. Эллипсоидтың бетіне нормальдың бағыты мен жер бетінің берілген нүктесіндегі сызығының арасындағы бұрыш деп аталады. плюб сызығының ауытқуы.
Геодезиялық және астрономиялық координаталарды қорыту термині - географиялық координаттар.
Жазықтықтың тікбұрышты координаталары. Инженерлік геодезия есептерін шешу үшін олар кеңістіктік-геодезиялық координаттардан қарапайымға – жазық координаттарға көшеді, бұл жазықтықта жер бедерін бейнелеуге және екі координат арқылы нүктелердің орнын анықтауға мүмкіндік береді. XЖәне сағ.
Жердің дөңес беті болғандықтанбұрмаланусыз жазықтықта бейнелеу мүмкін емес; жазықтық координаттарын енгізу бұрмаланулар соншалықты аз, оларды елемеуге болатын шектеулі жерлерде ғана мүмкін болады. Ресейде тікбұрышты координаттар жүйесі қабылданды, оның негізі тең бұрышты көлденең-цилиндрлік болып табылады. Гаусс проекциясы. Эллипсоид беті жазықтықта аймақтар деп аталатын бөліктерде бейнеленген. Аймақтар меридиандармен шектелген, солтүстік полюстен оңтүстікке қарай созылатын сфералық үшбұрыштар (2.3-сурет). Бойлықтағы аймақтың өлшемі 6°. Әрбір аймақтың орталық меридианы осьтік меридиан деп аталады. Аймақтар Гринвичтен шығысқа қарай нөмірленген.
N саны бар зонаның осьтік меридианының бойлығы мынаған тең:
l 0 = 6°× N - 3°.
Зона мен экватордың осьтік меридианыжазықтықта түзу сызықтармен бейнеленген (2.4-сурет). Абсцисса осі ретінде осьтік меридиан алынады x, ал экватор ордината осінің артында ж.Олардың қиылысуы (нүкте О) осы аймақ үшін координаталар бастауы ретінде қызмет етеді.
Болдырмау үшінтеріс ордината мәндері, қиылысу координаталары тең қабылданады x 0 = 0, ж 0 = 500 км, бұл осьтің орын ауыстыруына тең Xбатысқа қарай 500 км.
Нүктенің тікбұрышты координаталары бойынша оның қай аймақта орналасқанын ординатаға дейін анықтауға болады. жсолға координаталық аймақтың нөмірі тағайындалады.
Мысалы, нүктенің координаталарын алайық Апішіні бар:
x А= 6 276 427 м
ж А= 12 428 566 м
Бұл координаттар көрсетедімәселе сонда Аэкватордан 6276427 м қашықтықта, батыс бөлігінде орналасқан ( ж < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
Кеңістіктік төртбұрыш үшін, Ресейде геодезиялық және жазық тікбұрышты координаттар, СК-95 бірыңғай координаттар жүйесі қабылданды, мемлекеттік геодезиялық желінің нүктелері бойынша жерге бекітілген және 1995 жылғы жағдай бойынша спутниктік және жерүсті өлшемдер бойынша салынған.
Жергілікті тікбұрышты координаталар жүйесі.Әртүрлі объектілерді тұрғызу кезінде көбінесе жергілікті (шартты) координаталар жүйелері қолданылады, оларда осьтердің бағыттары мен координаталар басы объектіні салу және одан кейінгі пайдалану кезінде оларды пайдалану ыңғайлылығы негізінде тағайындалады.
Сонымен, түсіру кезіндетеміржол вокзалының осі сағнегізгі темір жол осі бойымен пикеттің жоғарылау бағытында және ось бойынша бағытталған X- жолаушылар станциясы ғимаратының осі бойымен.
Құрылыс кезіндекөпір өткелдерінің осі Xәдетте көпірдің осімен және осімен біріктіріледі жперпендикуляр бағытта жүреді.
Құрылыс кезіндеірі өнеркәсіптік және азаматтық Ось объектілері xЖәне жсалынып жатқан ғимараттардың осьтеріне параллель бағытталған.
Қолданбалы ғылымдардағы есептердің көпшілігін шешу үшін қабылданған координаталар жүйесінің бірі арқылы анықталатын объектінің немесе нүктенің орнын білу қажет. Сонымен қатар, нүктенің биіктігін анықтайтын биіктік жүйелері бар
Координаттар дегеніміз не
Координаттар жердегі нүктенің орнын анықтау үшін пайдаланылуы мүмкін сандық немесе алфавиттік мәндер болып табылады. Нәтижесінде координаттар жүйесі нүктені немесе объектіні табу принципі бірдей бір типті мәндер жиынтығы болып табылады.
Нүктенің орнын табу көптеген практикалық есептерді шешу үшін қажет. Геодезия сияқты ғылымда нүктенің берілген кеңістіктегі орнын анықтау басты мақсат болып табылады, оған жетуге кейінгі барлық жұмыстар негізделеді.
Көптеген координаталық жүйелер әдетте тек екі осьпен шектелген жазықтықтағы нүктенің орнын анықтайды. Үш өлшемді кеңістіктегі нүктенің орнын анықтау үшін биіктік жүйесі де қолданылады. Оның көмегімен сіз білуге болады нақты орналасқан жеріқалаған нысан.
Геодезияда қолданылатын координаталар жүйесі туралы қысқаша
Координаттар жүйесі аумақтағы нүктенің орнын үш мән беру арқылы анықтайды. Әрбір координат жүйесі үшін оларды есептеу принциптері әртүрлі.
Геодезияда қолданылатын негізгі кеңістіктік координаталар жүйесі:
- Геодезиялық.
- Географиялық.
- Полярлық.
- Тікбұрышты.
- Зоналық Гаусс-Крюгер координаталары.
Барлық жүйелердің өзіндік бастапқы нүктесі, объектінің орналасуы мен қолдану аймағының мәндері бар.
Геодезиялық координаттар
Геодезиялық координаталарды өлшеу үшін қолданылатын негізгі фигура – жер эллипсоиды.
Эллипсоид — жер шарының пішінін жақсы көрсететін үш өлшемді сығылған фигура. Глобус математикалық тұрғыдан дұрыс емес фигура болғандықтан, геодезиялық координаталарды анықтау үшін оның орнына эллипсоид қолданылады. Бұл дененің бетіндегі орнын анықтау үшін көптеген есептеулерді жүргізуді жеңілдетеді.
Геодезиялық координаттар үш мәнмен анықталады: геодезиялық ендік, бойлық және биіктік.
- Геодезиялық ендік – басы экватор жазықтығында, ал соңы қажетті нүктеге жүргізілген перпендикулярда жататын бұрыш.
- Геодезиялық бойлық – бастапқы меридианнан керекті нүкте орналасқан меридианға дейін өлшенетін бұрыш.
- Геодезиялық биіктік – берілген нүктеден Жердің айналу эллипсоидының бетіне түсірілген нормальдың мәні.
Географиялық координаттар
Жоғары геодезияның жоғары дәлдіктегі есептерін шешу үшін геодезиялық және географиялық координаталарды ажырату қажет. Инженерлік геодезияда қолданылатын жүйеде мұндай айырмашылықтар әдетте жұмыстың шағын кеңістігіне байланысты жасалмайды.
Геодезиялық координаттарды анықтау үшін тірек жазықтық ретінде эллипсоид, ал географиялық координаттарды анықтау үшін геоид қолданылады. Геоид - Жердің нақты пішініне жақын математикалық тұрақты емес фигура. Оның тегістелген беті теңіз деңгейінің астында тыныш күйінде жалғасатын жер болып саналады.
Геодезияда қолданылатын географиялық координаттар жүйесі кеңістіктегі нүктенің орнын үш мәнмен сипаттайды. бойлық геодезиялықпен сәйкес келеді, өйткені тірек нүктесі Гринвич деп те аталады. Ол Лондондағы аттас обсерватория арқылы өтеді. геоид бетінде сызылған экватордан анықталады.
Геодезияда қолданылатын жергілікті координаттар жүйесіндегі биіктік оның тыныш күйінде теңіз деңгейінен өлшенеді. Ресей аумағында және бұрынғы Одақ елдерінде биіктіктер анықталатын белгі - Кронштадт аяқ бағанасы. Ол Балтық теңізінің деңгейінде орналасқан.
Полярлық координаттар
Геодезияда қолданылатын полярлық координаттар жүйесінде өлшеулерді жүргізудің басқа да нюанстары бар. Ол нүктенің салыстырмалы орналасуын анықтау үшін жер бедерінің шағын аудандарында қолданылады. Бастапқы бастапқы ретінде белгіленген кез келген нысан болуы мүмкін. Осылайша, полярлық координаттарды пайдалана отырып, жер шарының аумағындағы нүктенің бір мәнді орнын анықтау мүмкін емес.
Полярлық координаттар екі шамамен анықталады: бұрыш және қашықтық. Бұрыш меридианның солтүстік бағытынан оның кеңістіктегі орнын анықтай отырып, берілген нүктеге дейін өлшенеді. Бірақ бір бұрыш жеткіліксіз болады, сондықтан радиус векторы енгізіледі - тұрақты нүктеден қажетті нысанға дейінгі қашықтық. Осы екі параметрді пайдаланып, жергілікті жүйедегі нүктенің орнын анықтауға болады.
Әдетте, бұл координаттар жүйесі жер бедерінің шағын ауданында жүргізілетін инженерлік жұмыстарды орындау үшін қолданылады.
Тік бұрышты координаттар
Геодезияда қолданылатын тікбұрышты координаталар жүйесі жер бедерінің шағын аудандарында да қолданылады. Жүйенің негізгі элементі санау жүретін координат осі болып табылады. Нүктенің координаталары абсцисса және ордината осьтерінен қажетті нүктеге жүргізілген перпендикулярлардың ұзындығы ретінде табылады.
Х осінің солтүстік бағыты мен У осінің шығыс бағыты оң, ал оңтүстік және батыс бағыттары теріс болып саналады. Белгілері мен ширектеріне байланысты кеңістіктегі нүктенің орны анықталады.
Гаусс-Крюгер координаталары
Гаусс-Крюгер координатының зоналық жүйесі тікбұрышты жүйеге ұқсас. Айырмашылығы мынада, оны шағын аумақтарға ғана емес, бүкіл жер шарына қолдануға болады.
Гаусс-Крюгер аймақтарының тікбұрышты координаталары негізінен жер шарының жазықтыққа проекциясы болып табылады. Ол қағазда Жердің үлкен аумақтарын бейнелеу үшін практикалық мақсатта пайда болды. Тасымалдау кезінде пайда болатын бұрмаланулар елеусіз болып саналады.
Бұл жүйеге сәйкес жер шары бойлық бойынша ортасында осьтік меридианы бар алты градустық аймақтарға бөлінеді. Экватор ортада көлденең сызық бойымен орналасқан. Нәтижесінде осындай 60 аймақ пайда болды.
Алпыс аймақтың әрқайсысында X-дан ордината осі бойымен және жер экваторының Y кесіндісінен абсцисса осі бойымен өлшенетін өз тікбұрышты координаталар жүйесі бар. Бүкіл жер шарының аумағында орналасқан жерді бір мағыналы анықтау үшін, белдеу саны X және Y мәндерінің алдына қойылады.
Ресей аумағындағы X осінің мәндері, әдетте, оң, ал Y мәндері теріс болуы мүмкін. Х осінің мәндерінде минус белгісін болдырмау үшін әрбір аймақтың осьтік меридианы шартты түрде батысқа қарай 500 метрге жылжытылады. Содан кейін барлық координаттар оң болады.
Координаттар жүйесін Гаусс мүмкіндік ретінде ұсынған және ХХ ғасырдың ортасында Крюгер математикалық жолмен есептеген. Содан бері ол геодезияда негізгілерінің бірі ретінде қолданылып келеді.
Биіктік жүйесі
Жердегі нүктенің орнын дәл анықтау үшін геодезияда қолданылатын координаталық және биіктік жүйелері қолданылады. Абсолюттік биіктіктер теңіз деңгейінен немесе көз ретінде алынған басқа беттерден өлшенеді. Сонымен қатар, салыстырмалы биіктіктер бар. Соңғысы қалаған нүктеден кез келген басқаға дейінгі артықшылық ретінде есептеледі. Нәтижелерді кейіннен өңдеуді жеңілдету үшін олар жергілікті координаттар жүйесінде жұмыс істеу үшін қолдануға ыңғайлы.
Геодезияда координаттар жүйесін қолдану
Жоғарыда айтылғандардан басқа геодезияда қолданылатын басқа да координаттар жүйелері бар. Олардың әрқайсысының өзіндік артықшылықтары мен кемшіліктері бар. Орналасқан жерді анықтаудың сол немесе басқа әдісі өзекті болып табылатын жұмыс бағыттары да бар.
Геодезияда қолданылатын координаттардың қайсысы жақсы қолданылатынын анықтайтын жұмыстың мақсаты. Кішігірім аудандарда жұмыс істеу үшін тікбұрышты және полярлық координат жүйелерін қолдану ыңғайлы, бірақ ауқымды есептерді шешу үшін жер бетінің бүкіл аумағын қамтуға мүмкіндік беретін жүйелер қажет.
Шығу тегі
Шығу тегі(бастапқы) евклидтік кеңістікте – әдетте әріппен белгіленетін ерекше нүкте ТУРАЛЫ, ол барлық басқа нүктелер үшін анықтамалық нүкте ретінде пайдаланылады. Евклид геометриясында координаталар басын кез келген ыңғайлы нүктеден ерікті түрде таңдауға болады.
Бастапқы нүктеден басқа нүктеге жүргізілген вектор радиус векторы деп аталады.
Декарттық координаталар жүйесі
Бастауыш осьтердің әрқайсысын екі сәулеге бөледі - оң жартылай ось және теріс жартылай ось.
Атап айтқанда, бастапқы нүктені сан осіне енгізуге болады. Бұл мағынада әртүрлі экстенсивті шамалар (уақыт, температура, т.б.) координаталар бастауы туралы айтуға болады.
Полярлық координаталар жүйесі
Викимедиа қоры. 2010.
Басқа сөздіктерде «Координаттардың шығу тегі» деген не екенін қараңыз:
шығу тегі- Екі өлшемді кескіндермен жұмыс істейтін графикалық жүйелерде қолданылатын жазық координаталар жүйесіндегі нөлдік нүкте (осьтердің қиылысу нүктесі). Нүкте координатасы горизонталь X осі (абсцисса) бойындағы координаталар басынан (центрінен) қашықтығымен белгіленеді... …
шығу тегі- Koordinačių pradžia statusas T sritis automatika atitikmenys: ағылшын. координаттардың шығу тегі vok. Koordinatenanfangspunkt, м; Koordinatenursprung, m rus. шығу тегі, n pranc. Origine de cordonnées, f … Automatikos terminų žodynas
шығу тегі (плоттер)- - [Е.С.Алексеев, А.А.Мячев. Компьютерлік жүйелер инженериясы бойынша ағылшынша-орысша түсіндірме сөздік. Мәскеу 1993] Тақырыптар ақпараттық технологияларжалпы алғанда EN сюжетінің шығу тегі... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық
- (бастапқы) Кез келген өлшем үшін нөлді білдіретін графиктегі нүкте. Диаграммада бірнеше анықтамалық нүкте болуы мүмкін. Екі факторлы қорап диаграммасы, мысалы, кез келген факторлардың жалпы қол жетімді көлемі ... Экономикалық сөздік
координаталар басынан өтпейтін сипаттамасы бар бағытталған қарсылық релесі- - [В.А.Семенов. Релелік қорғаныс бойынша ағылшынша-орысша сөздік] Тақырыптар релелік қорғаныс EN офсеттік қашықтық реле ... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық
координаталар басы арқылы өтетін шеңбер түріндегі бағытталған қарсылық релесіне тән- - [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Электротехника және энергетиканың ағылшынша-орысша сөздігі, Мәскеу, 1999] Электротехника тақырыптары, негізгі ұғымдар EN mho сипаттамасы ... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық
санаудың басталуы- Барлық координаттар жүйесі басталатын дисплей экранындағы орын. Әдетте экранның сол жақ жоғарғы бұрышында орналасады. Жалпы EN шығу тегі ақпараттық технологиялар тақырыптары ... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық
Тікбұрышты координаталар жүйесі — жазықтықта немесе кеңістікте өзара перпендикуляр осьтері бар түзу сызықты координаталар жүйесі. Ең қарапайым, сондықтан жиі қолданылатын координаттар жүйесі. Өте оңай және тікелей... ... Wikipedia үшін қорытындыланады
Нүктеде үш декарттық және үш сфералық координаталар бар.Д-ға қатысты сфералық координаталар жүйесін анықтау ыңғайлы ... Wikipedia
Координаталық әдісті жүзеге асыратын анықтамалар жиынтығы, яғни сандар немесе басқа белгілер арқылы нүктенің немесе дененің орнын анықтау тәсілі. Белгілі бір нүктенің орнын анықтайтын сандар жиыны осы нүктенің координаталары деп аталады. Википедияда... ...
Кітаптар
- Он сегіз, Стефания Данилова, ақын Стефания Данилова 1994 жылы 16 тамызда Санкт-Петербургте дүниеге келген, бұл қалаға шексіз ғашық. Үш жасында ересектерге арналған алғашқы өлеңін жасаған екі жақты, вундеркинд бала, полиглот... Санаты: Қазіргі орыс поэзиясы Топтама: Runet Star Баспагер: AST,
- Провиденс, Рогатко Сергей Александрович, Орыс әдебиетінде реалистік принципті ұстанатын және мұны өзінің әйгілі «Лайман» романында растаған жазушы Сергей Рогатконың «От» жаңа романы астарлы әңгіме жанрында жазылған. Санат: