Kapitel I. Vektorer på planet och i rymden
§ 13. Övergång från ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem till ett annat
Vi föreslår att du överväger detta ämne i två versioner.
1) Baserat på läroboken av I.I. Privalov "Analytical Geometry" (lärobok för högre tekniska utbildningsinstitutioner, 1966)
I.I. Privalov "Analytisk geometri"
§ 1. Koordinattransformationsproblem.
Positionen för en punkt på ett plan bestäms av två koordinater i förhållande till något koordinatsystem. Koordinaterna för punkten kommer att ändras om vi väljer ett annat koordinatsystem.
Uppgiften att transformera koordinater är så att, genom att känna till koordinaterna för en punkt i ett koordinatsystem, hitta dess koordinater i ett annat system.
Detta problem kommer att lösas om vi upprättar formler som förbinder koordinaterna för en godtycklig punkt i två system, och koefficienterna för dessa formler kommer att inkludera konstanta kvantiteter som bestämmer den relativa positionen för systemen.
Låt två kartesiska koordinatsystem ges xOy Och XO 1 Y(Fig. 68).
Placering av det nya systemet XO 1 Y i förhållande till det gamla systemet xOy kommer att fastställas om koordinaterna är kända A Och b ny början O 1 enligt det gamla systemet och vinkeln α mellan axlar Åh Och O 1 X. Låt oss beteckna med X Och på koordinaterna för en godtycklig punkt M i förhållande till det gamla systemet, genom X- och Y-koordinaterna för samma punkt i förhållande till det nya systemet. Vår uppgift är att se till att det gamla samordnar X Och på uttryckt i termer av nya X och Y. De resulterande transformationsformlerna bör uppenbarligen inkludera konstanter a, b Och α .
Vi kommer att få en lösning på detta allmänna problem genom att överväga två specialfall.
1. Ursprunget för koordinaterna ändras, men axlarnas riktningar förblir oförändrade ( α = 0).
2. Riktningarna för axlarna ändras, men origo för koordinaterna förblir oförändrad ( a = b = 0).
§ 2. Överföring av ursprunget för koordinater.
Låt två system av kartesiska koordinater med olika ursprung anges O Och O 1 och samma riktningar för axlarna (fig. 69).
Låt oss beteckna med A Och b koordinater för den nya början O 1 i det gamla systemet och genom x, y Och X, Y-koordinater för en godtycklig punkt M i det gamla respektive nya systemet. Utskjutande punkt M på axeln O 1 X Och Åh, samt en poäng O 1 per axel Åh, vi kommer på axeln Åh tre prickar Åh, Ah Och R. Segmentstorlekar OA, AR Och ELLERär relaterade av följande förhållande:
| OA| + | AR | = | ELLER |. (1)
Lägger märke till att | OA| = A , | ELLER | = X , | AR | = | OiR1 | = X, vi skriver om jämlikhet (1) i formen:
A + X = x eller x = X + A . (2)
På samma sätt designar M och O 1 på ordinataaxeln får vi:
y = Y + b (3)
Så, den gamla koordinaten är lika med den nya plus koordinaten för det nya ursprunget enligt det gamla systemet.
Från formlerna (2) och (3) kan de nya koordinaterna uttryckas genom de gamla:
X = x - a , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Rotation av koordinataxlar.
Låt två kartesiska koordinatsystem med samma ursprung anges HANDLA OM och olika riktningar av axlarna (fig. 70).
Låta α det finns en vinkel mellan axlarna Åh Och ÅH. Låt oss beteckna med x, y Och X, Y koordinater för en godtycklig punkt M i det gamla respektive nya systemet:
X = | ELLER | , på = | PM | ,
X= | ELLER 1 |, Y= | P 1 M |.
Tänk på en bruten linje ELLER 1 MP och ta dess projektion på axeln Åh. När vi noterar att projektionen av den streckade linjen är lika med projektionen av det avslutande segmentet (kapitel I, § 8) har vi:
ELLER 1 MP = | ELLER |. (4)
Å andra sidan är projektionen av en streckad linje lika med summan av projektionerna av dess länkar (kapitel I, § 8); därför kommer likhet (4) att skrivas på följande sätt:
etc ELLER 1+ pr P 1 M+ pr MP= | ELLER | (4")
Eftersom projektionen av ett riktat segment är lika med dess storlek multiplicerat med cosinus för vinkeln mellan projektionsaxeln och den axel på vilken segmentet ligger (kapitel I, § 8), så
etc ELLER 1 = X cos α
etc P 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y synd α ,
pr MP= 0.
Därför ger jämställdhet (4") oss:
x = X cos α - Y synd α . (5)
På samma sätt projicerar samma polylinje på axeln OU, får vi ett uttryck för på. Faktum är att vi har:
etc ELLER 1+ pr P 1 M+ pr MP= sid ELLER = 0.
Märker det
etc ELLER 1 = X för( α - 90°) = X synd α ,
etc P 1 M = Y cos α ,
pr MP = - y ,
kommer att ha:
X synd α + Y cos α - y = 0,
y = X synd α + Y cos α . (6)
Från formlerna (5) och (6) får vi nya koordinater X Och Y uttryckt genom gamla X Och på , om vi löser ekvationerna (5) och (6) med avseende på X Och Y.
Kommentar. Formlerna (5) och (6) kan erhållas på olika sätt.
Från fig. 71 vi har:
X = ELLER = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM synd α synd φ ,
på = RM = OM sin ( α + φ ) = OM synd α cos φ + OM cos α synd φ .
Eftersom (1 kap. 11 §) OM cos φ = X, OM synd φ =Y, Den där
x = X cos α - Y synd α , (5)
y = X synd α + Y cos α . (6)
§ 4. Allmänt fall.
Låt två kartesiska koordinatsystem med olika ursprung och olika riktningar på axlarna anges (fig. 72).
Låt oss beteckna med A Och b koordinater för den nya början HANDLA OM, enligt det gamla systemet, genom α - rotationsvinkeln för koordinataxlarna och, slutligen, genom x, y Och X, Y- koordinater för en godtycklig punkt M enligt det gamla respektive nya systemet.
Att uttrycka X Och på genom X Och Y, låt oss införa ett extra koordinatsystem x 1 O 1 y 1, vars början kommer att placeras i en ny början HANDLA OM 1, och ta axlarnas riktningar så att de sammanfaller med riktningarna för de gamla axlarna. Låta x 1 och y 1 indikerar koordinaterna för punkt M i förhållande till detta hjälpsystem. När vi går från det gamla koordinatsystemet till det extra, har vi (§ 2):
X = X 1 + a , y = y 1 +b .
X 1 = X cos α - Y synd α , y 1 = X synd α + Y cos α .
Byter ut X 1 och y 1 i de föregående formlerna med deras uttryck från de sista formlerna, finner vi slutligen:
x = X cos α - Y synd α + a
y = X synd α + Y cos α + b (jag)
Formler (I) innehåller som ett specialfall formlerna i 2 och 3 §§. Alltså när α = 0 formler (I) blir till
x = X + A , y = Y + b ,
och när a = b = 0 vi har:
x = X cos α - Y synd α , y = X synd α + Y cos α .
Från formlerna (I) får vi nya koordinater X Och Y uttryckt genom gamla X Och på , om ekvation (I) är lösbar med avseende på X Och Y.
Låt oss notera en mycket viktig egenskap hos formler (I): de är linjära med avseende på X Och Y, dvs av formen:
x = AXE + BY + C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Det är lätt att kontrollera att de nya koordinaterna är det X Och Y kommer att uttryckas genom gamla X Och på även genom formler av första graden angående X Och u.
G.N.Yakovlev "Geometri"
§ 13. Övergång från ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem till ett annat
Genom att välja ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem upprättas en en-till-en-överensstämmelse mellan punkter på planet och ordnade par av reella tal. Det betyder att varje punkt i planet motsvarar ett enda par av tal, och varje ordnat par av reella tal motsvarar en enda punkt.
Valet av ett eller annat koordinatsystem är inte begränsat på något sätt och avgörs i varje enskilt fall endast av bekvämlighetsskäl. Ofta måste samma uppsättning beaktas i olika koordinatsystem. Samma punkt i olika system har uppenbarligen olika koordinater. En uppsättning punkter (särskilt en cirkel, en parabel, en rät linje) i olika koordinatsystem ges av olika ekvationer.
Låt oss ta reda på hur koordinaterna för punkter på planet omvandlas när vi flyttar från ett koordinatsystem till ett annat.
Låt två rektangulära koordinatsystem ges på planet: O, I j och om", I j" (Fig. 41).
Det första systemet med en början vid punkt O och basvektorer i Och j låt oss komma överens om att kalla det den gamla, den andra - med början vid punkt O" och basvektorerna jag" Och j" - ny.
Vi kommer att överväga det nya systemets position i förhållande till det gamla kända: låt punkt O" i det gamla systemet ha koordinater ( a;b ), en vektor jag" former med vektor i hörn α . Hörn α Vi räknar i motsatt riktning mot medursrörelsen.
Låt oss betrakta en godtycklig punkt M. Låt oss beteckna dess koordinater i det gamla systemet med ( x;y ), i den nya - genom ( x";y" ). Vår uppgift är att fastställa förhållandet mellan de gamla och nya koordinaterna för punkt M.
Låt oss koppla ihop punkterna O och O", O" och M, O och M. Med hjälp av triangelregeln får vi
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Låt oss utöka vektorerna OM> och OO"> efter basvektorer i Och j , och vektorn O"M> efter basvektorer jag" Och j" :
OM > = x i+ y j , OO" > = a i+b j , O"M > = x" i"+y" j "
Nu kan likhet (1) skrivas så här:
x i+ y j = (a i+b j ) + (x" i"+y" j "). (2)
Nya grundvektorer jag" Och j" utökas enligt de gamla basvektorerna i Och j på följande sätt:
jag" =cos α i + synd α j ,
j" =cos( π / 2 + α ) i +synd( π / 2 + α ) j = - synd α i +cos α j .
Ersätter de hittade uttrycken för jag" Och j" i formel (2) får vi vektorlikheten
x i+ y j = a i+b j + X"(cos α i + synd α j ) + y"(-synd α i +cos α j )
motsvarar två numeriska likheter:
|
x = a + X" cos α
- y" synd α
, |
Formler (3) ger de nödvändiga uttrycken för de gamla koordinaterna X Och på pekar genom sina nya koordinater X" Och y". För att hitta uttryck för nya koordinater i termer av gamla räcker det att lösa ekvationssystemet (3) med avseende på de okända X" Och y".
Så koordinaterna för punkterna när origo för koordinater överförs till punkten ( A; b ) och vända axlarna med en vinkel α omvandlas enligt formlerna (3).
Om bara ursprunget för koordinater ändras och axlarnas riktningar förblir desamma, då, med antagande i formler (3) α = 0, vi får
Formler (5) kallas rotationsformler.
Uppgift 1. Låt koordinaterna för den nya början i det gamla systemet vara (2; 3), och koordinaterna för punkt A i det gamla systemet (4; -1). Hitta koordinaterna för punkt A i det nya systemet om axlarnas riktningar förblir desamma.
Enligt formlerna (4) har vi
Svar. A(2;-4)
Uppgift 2. Låt koordinaterna för punkt P i det gamla systemet vara (-2; 1), och i det nya systemet, vars axelriktningar är desamma, koordinaterna för denna punkt (5; 3). Hitta koordinaterna för den nya början i det gamla systemet.
A Från formlerna (4) får vi
|
-
2= a + 5 |
var A = - 7, b = - 2.
Svar. (-7; -2).
Uppgift 3. Koordinater för punkt A i det nya systemet (4; 2). Hitta koordinaterna för denna punkt i det gamla systemet om origo förblir detsamma och det gamla systemets koordinataxlar roteras med en vinkel α = 45°.
Med hjälp av formler (5) hittar vi
Uppgift 4. Koordinater för punkt A i det gamla systemet (2 √3 ; - √3 ). Hitta koordinaterna för denna punkt i det nya systemet om origo för det gamla systemet flyttas till punkt (-1;-2) och axlarna roteras med en vinkel α = 30°.
Enligt formlerna (3) har vi
Efter att ha löst detta ekvationssystem för X" Och y", vi hittar: X" = 4, y" = -2.
Svar. A (4; -2).
Uppgift 5. Linjens ekvation är given på = 2X - 6. Hitta ekvationen för samma linje i det nya koordinatsystemet, som erhålls från det gamla systemet genom att rotera axlarna med en vinkel α = 45°.
Rotationsformlerna i detta fall har formen
Ersätter den räta linjen i ekvationen på = 2X - 6 gamla variabler X Och på ny får vi ekvationen
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
som efter förenklingar tar formen y" = x" / 3 - 2√2
Koordinater
- dessa är kvantiteter som bestämmer positionen för vilken punkt som helst på ytan eller i rymden i det antagna koordinatsystemet. Koordinatsystemet fastställer de initiala (ursprungs)punkterna, linjerna eller planen för att räkna de nödvändiga kvantiteterna - ursprunget för koordinaterna och deras enheter. Inom topografi och geodesi används system av geografiska, rektangulära, polära och bipolära koordinater mest.
Geografiska koordinater (Fig. 2.8) används för att bestämma positionen för punkter på jordens yta på en ellipsoid (sfär). I detta koordinatsystem är initialplanet nollmeridianen och ekvatorialplanet. En meridian är en snittlinje av en ellipsoid av ett plan som passerar genom en given punkt och jordens rotationsaxel.
En parallell är en snittlinje av en ellipsoid av ett plan som går genom en given punkt och vinkelrätt mot jordens axel. En parallell vars plan passerar genom mitten av ellipsoiden kallas ekvatorn. Genom varje punkt som ligger på jordklotet kan endast en meridian och endast en parallell dras.
Geografiska koordinater
är vinkelstorheter: longitud l och latitud j.
Geografisk longitud l är den dihedrala vinkeln mellan planet för en given meridian (som går genom punkt B) och nollmeridianens plan. Nollmeridianen anses vara meridianen som passerar genom centrum av huvudhallen i Greenwich Observatory i London. För punkt B bestäms longituden av vinkeln l = WCD. Longituder räknas från nollmeridianen i båda riktningarna - öster och väster. I detta avseende särskiljs västra och östra longituder, som varierar från 0° till 180°.
Geografisk latitud
j är vinkeln som bildas av ekvatorialplanet och lodet som går genom en given punkt. Om jorden tas som en sfär, så bestäms latitud j för punkt B (fig. 2.8) av vinkeln DCB. Latituder som mäts från ekvatorn till norr kallas norra, och söderut - södra varierar de från 0° vid ekvatorn till 90° vid polerna.
Geografiska koordinater kan erhållas från astronomiska observationer eller geodetiska mätningar. I det första fallet kallas de astronomiska, och i det andra - geodetiska (L - longitud, B - latitud). Under astronomiska observationer utförs projiceringen av punkter på referensytan med lodlinjer och under geodetiska mätningar - med normaler. Därför skiljer sig värdena för astronomiska och geodetiska koordinater med mängden avvikelse för lodlinjen.
Användningen av olika referensellipsoider av olika tillstånd leder till skillnader i koordinaterna för samma punkter beräknade i förhållande till olika referensytor. I praktiken uttrycks detta i den allmänna förskjutningen av den kartografiska bilden i förhållande till meridianerna och parallellerna på kartor över stora och medelstora skalor.
Rektangulära koordinater
kallas linjära storheter - abskissa och ordinata, som bestämmer positionen för en punkt på planet i förhållande till de ursprungliga riktningarna.
(Bild 2.9)
Inom geodesi och topografi används det högerhänta systemet med rektangulära koordinater. Detta skiljer den från det vänsterhänta koordinatsystemet som används i matematik. De initiala riktningarna är två ömsesidigt vinkelräta linjer med startpunkten vid deras skärningspunkt O.
Den räta linjen XX (abskissaxeln) är inriktad med riktningen för meridianen som passerar genom koordinaternas ursprung, eller med en riktning parallell med en viss meridian. Den räta linjen YY (ordinataxeln) går genom punkt O vinkelrätt mot abskissaxeln. I ett sådant system bestäms positionen för en punkt på planet av det kortaste avståndet till den från koordinataxlarna. Positionen för punkt A bestäms av längden på vinkelräta Xa och Ya. Segmentet Xa kallas abskissan för punkt A, och Ya är ordinatan för denna punkt. Rektangulära koordinater uttrycks vanligtvis i meter. Terrängområdet vid punkt O är uppdelat i fyra fjärdedelar av abskissan och ordinatan (fig. 2.9). Namnet på kvarteren bestäms av de accepterade beteckningarna på kardinalpunkterna. Kvarterna är numrerade i medurs riktning: I - NE; II - SE; III - SW; IV - NW.
I tabell 2.3 visar X-abskissan och Y-ordinatan för punkter som ligger i olika kvarter och ger deras namn.
Tabell 2.3
Abskissan för punkter som ligger uppåt från koordinaternas ursprung anses vara positiva, och nedåt från den - negativa, ordinaterna för punkter som ligger till höger - positiva, till vänster - negativa. Systemet med platta rektangulära koordinater används på begränsade områden av jordens yta som kan misstas för platt.
Koordinater vars ursprung är någon punkt på marken kallas polära. I detta koordinatsystem mäts orienteringsvinklar. På ett horisontellt plan (Fig. 2.10), genom en godtyckligt vald punkt O, kallad en pol, rita en rät linje OX - polaxeln.
Då kommer positionen för vilken punkt som helst, till exempel M, att bestämmas av radien - vektorn r1 och riktningsvinkeln a1, respektive punkten N - r2 och a2. Vinklarna a1 och a2 mäts från polaxeln medurs till radievektorn. Den polära axeln kan placeras godtyckligt eller i linje med riktningen för vilken meridian som helst som passerar genom O-polen.
Det bipolära koordinatsystemet (Fig. 2.11) representerar två utvalda fasta poler O1 och O2, förbundna med en rät linje - polaxeln. Detta koordinatsystem låter dig bestämma positionen för punkten M relativt polaxeln på planet med hjälp av två vinklar b1 och b2, två radievektorer r1 och r2, eller kombinationer av dessa. Om de rektangulära koordinaterna för punkterna O1 och O2 är kända, kan positionen för punkten M beräknas analytiskt. 
Ris. 2.11
Ris. 2.12
Höjd av punkter på jordens yta. För att bestämma positionen för punkter på jordens fysiska yta räcker det inte att bara känna till de horisontella koordinaterna X, Y eller l, j; en tredje koordinat behövs - höjden på punkten H. Höjden på punkten H ( Fig. 2.12) är avståndet i vertikal riktning från en given punkt (A´; B´ ´) till den accepterade huvudnivåytan MN. Det numeriska värdet på en punkts höjd kallas höjden. Höjder mätt från huvudnivåytan MN kallas absoluta höjder (AA´; BB´´), och de som bestäms i förhållande till en godtyckligt vald plan yta kallas villkorliga höjder (В´В´´). Skillnaden i höjder av två punkter eller avståndet i vertikal riktning mellan plana ytor som passerar genom två punkter på jorden kallas relativ höjd (В´В´´) eller höjden av dessa punkter h.
Det baltiska höjdsystemet antogs i Republiken Vitryssland 1977. Höjderna beräknas från den plana ytan, som sammanfaller med medelvattennivån i Finska viken, från nollpunkten på Kronstadtvattenmätaren.
Här är en annan
För att bestämma Positionerna för punkter i geodesin använder rumsliga rektangulära, geodetiska och plana rektangulära koordinater.
Rumsliga rektangulära koordinater. Ursprunget till koordinatsystemet ligger i mitten O jordens ellipsoid(Fig. 2.2).
Axel Z riktad längs ellipsoidens rotationsaxel mot norr. Axel X ligger i skärningspunkten mellan ekvatorialplanet och den initiala Greenwich-meridianen. Axel Y riktad vinkelrätt mot axlarna Z Och X till öster.
Geodetiska koordinater. De geodetiska koordinaterna för en punkt är dess latitud, longitud och höjd (Fig. 2.2).
Geodetisk breddgrad poäng M kallas en vinkel I, bildad av att normalen till ellipsoidens yta passerar genom en given punkt och ekvatorialplanet.
Latitud mäts från ekvatorn norr och söder från 0° till 90° och kallas norr eller söder. Nordlig latitud anses vara positiv och sydlig latitud som negativ.
Sektionsplan av en ellipsoid som passerar genom axeln UNS, kallas geodetiska meridianer.
Geodetisk longitud poäng M kallas dihedral vinkel L, bildade av planen för den initiala (Greenwich) geodetiska meridianen och den geodetiska meridianen för en given punkt.
Longituder mäts från nollmeridianen i intervallet från 0° till 360° öster, eller från 0° till 180° öster (positiv) och från 0° till 180° väster (negativ).
Geodetisk höjd poäng Mär dess höjd N ovanför ytan av jordens ellipsoid.
Geodetiska koordinater och rumsliga rektangulära koordinater är relaterade till formlerna
X =(N+H) cos B cos L,
Y=(N+H) cos B synd L,
Z=[(1-e 2)N+H] synd B,
Var e- första excentriciteten av meridianellipsen och N-krökningsradie för den första vertikalen, i detta fall N=a/(1 - e 2 synd 2 B) 1/2 .
Geodetiskt och rumsligt rektangulära koordinater för punkter bestäms med hjälp av satellitmätningar, samt genom att länka dem med geodetiska mätningar till punkter med kända koordinater.
Observera att tillsammans med Tillsammans med geodetik finns det också astronomiska latitud och longitud. Astronomisk breddgrad j är vinkeln som görs av lodlinjen vid en given punkt med ekvatorns plan. Astronomisk longitud l är vinkeln mellan planen för Greenwich-meridianen och den astronomiska meridianen som går genom lodlinjen vid en given punkt. Astronomiska koordinater bestäms på marken från astronomiska observationer.
Astronomiska koordinater skiljer sig från geodetik eftersom lodlinjernas riktningar inte sammanfaller med normalernas riktningar till ellipsoidens yta. Vinkeln mellan normalens riktning mot ellipsoidens yta och lodlinjen vid en given punkt på jordytan kallas lodlinjens avvikelse.
En generalisering av geodetiska och astronomiska koordinater är termen - geografiska koordinater.
Plana rektangulära koordinater. För att lösa problem med teknisk geodesi går de från rumsliga och geodetiska koordinater till enklare - platta koordinater, som gör det möjligt att avbilda terrängen på ett plan och bestämma punkters position med hjälp av två koordinater X Och på.
Eftersom jordens konvexa yta kan inte avbildas på ett plan utan distorsion; införandet av plankoordinater är endast möjligt i begränsade områden där distorsionerna är så små att de kan försummas. I Ryssland har ett system med rektangulära koordinater antagits, vars grund är en likvinklig tvärcylindrisk Gaussisk projektion. Ytan av en ellipsoid är avbildad på ett plan i delar som kallas zoner. Zonerna är sfäriska trianglar, avgränsade av meridianer och sträcker sig från nordpolen till söder (fig. 2.3). Zonens storlek i longitud är 6°. Den centrala meridianen i varje zon kallas den axiella meridianen. Zonerna är numrerade från Greenwich i öster.
Longituden för den axiella meridianen för zonen med nummer N är lika med:
l 0 = 6°× N - 3°.
Den axiella meridianen för zonen och ekvatorn avbildas på planet med raka linjer (fig. 2.4). Den axiella meridianen tas som abskissaxeln x, och ekvatorn ligger bakom ordinataaxeln y. Deras skärningspunkt (punkt O) fungerar som ursprunget för koordinaterna för denna zon.
Att undvika negativa ordinatavärden tas skärningskoordinaterna lika x 0 = 0, y 0 = 500 km, vilket motsvarar axelförskjutning X 500 km västerut.
Så att man genom de rektangulära koordinaterna för en punkt kan bedöma i vilken zon den är belägen, till ordinatan y numret på koordinatzonen tilldelas till vänster.
Låt till exempel koordinaterna för en punkt A har formen:
x A= 6 276 427 m
y A= 12 428 566 m
Dessa koordinater indikerar det är poängen A ligger på ett avstånd av 6276427 m från ekvatorn, i den västra delen ( y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
För rumslig rektangulär, geodetiska och platta rektangulära koordinater i Ryssland, har ett enhetligt koordinatsystem SK-95 antagits, fixerat på marken av punkter i det statliga geodetiska nätverket och byggt enligt satellit- och markbaserade mätningar från och med 1995.
Lokala rektangulära koordinatsystem. Under konstruktionen av olika objekt används ofta lokala (villkorliga) koordinatsystem, där axlarnas riktningar och ursprunget för koordinaterna tilldelas baserat på bekvämligheten med deras användning under konstruktionen och efterföljande drift av objektet.
Så, när man skjuter järnvägsstationsaxeln påär riktade längs huvudjärnvägsspårets axel i riktning mot ökande picket, och axeln X- längs passagerarstationsbyggnadens axel.
Under byggandet broövergångsaxel X vanligtvis kombinerat med brons axel och axeln y går i vinkelrät riktning.
Under byggandet stora industriella och civila Axis-anläggningar x Och y riktade parallellt med axlarna för byggnader under uppförande.
För att lösa de flesta problem inom tillämpad vetenskap är det nödvändigt att känna till platsen för ett objekt eller punkt, vilket bestäms med hjälp av ett av de accepterade koordinatsystemen. Dessutom finns det höjdsystem som också bestämmer höjdläget för en punkt på
Vad är koordinater
Koordinater är numeriska eller alfabetiska värden som kan användas för att bestämma platsen för en punkt på marken. Som en konsekvens är ett koordinatsystem en uppsättning värden av samma typ som har samma princip för att hitta en punkt eller ett objekt.
Att hitta platsen för en punkt krävs för att lösa många praktiska problem. I en vetenskap som geodesi är det huvudsakliga målet att bestämma platsen för en punkt i ett givet utrymme, på vilket allt efterföljande arbete är baserat.
De flesta koordinatsystem definierar vanligtvis platsen för en punkt på ett plan begränsat av endast två axlar. För att bestämma positionen för en punkt i det tredimensionella rummet används också ett höjdsystem. Med dess hjälp kan du ta reda på det exakt plats det önskade objektet.
Kort om koordinatsystem som används inom geodesi
Koordinatsystem bestämmer platsen för en punkt på ett territorium genom att ge den tre värden. Principerna för deras beräkning är olika för varje koordinatsystem.
De huvudsakliga rumsliga koordinatsystemen som används inom geodesi:
- Geodetisk.
- Geografisk.
- Polär.
- Rektangulär.
- Zonala Gauss-Kruger-koordinater.
Alla system har sin egen utgångspunkt, värden för objektets placering och användningsområde.
Geodetiska koordinater
Huvudfiguren som används för att mäta geodetiska koordinater är jordens ellipsoid.
En ellipsoid är en tredimensionell komprimerad figur som bäst representerar jordklotet. På grund av att jordklotet är en matematiskt oregelbunden figur används istället en ellipsoid för att bestämma geodetiska koordinater. Detta gör det lättare att utföra många beräkningar för att bestämma en kropps position på ytan.
Geodetiska koordinater definieras av tre värden: geodetisk latitud, longitud och höjd.
- Geodetisk latitud är en vinkel vars början ligger på ekvatorns plan, och dess ände ligger i vinkelrät draget till den önskade punkten.
- Geodetisk longitud är vinkeln mätt från nollmeridianen till meridianen på vilken den önskade punkten är belägen.
- Geodetisk höjd är värdet på normalen som dras till ytan av jordens rotationsellipsoid från en given punkt.
Geografiska koordinater
För att lösa högprecisionsproblem med högre geodesi är det nödvändigt att skilja mellan geodetiska och geografiska koordinater. I det system som används inom teknisk geodesi görs sådana skillnader vanligtvis inte på grund av det lilla utrymme som arbetet täcker.
För att bestämma geodetiska koordinater används en ellipsoid som referensplan och en geoid används för att bestämma geografiska koordinater. Geoiden är en matematiskt oregelbunden figur som är närmare jordens faktiska form. Dess utjämnade yta anses vara den som fortsätter under havsytan i sitt lugna tillstånd.
Det geografiska koordinatsystemet som används inom geodesin beskriver positionen för en punkt i rymden med tre värden. longituden sammanfaller med den geodetiska, eftersom referenspunkten också kommer att kallas Greenwich. Den passerar genom observatoriet med samma namn i London. bestäms från ekvatorn ritad på geoidens yta.
Höjden i det lokala koordinatsystemet som används inom geodesin mäts från havsnivån i dess lugna tillstånd. På Rysslands territorium och länderna i den tidigare unionen är märket från vilket höjder bestäms Kronstadt-fotstången. Det ligger i nivå med Östersjön.
Polära koordinater
Det polära koordinatsystemet som används inom geodesin har andra nyanser av att göra mätningar. Den används över små terrängområden för att bestämma den relativa platsen för en punkt. Ursprunget kan vara vilket som helst objekt markerat som det initiala. Med hjälp av polära koordinater är det således omöjligt att bestämma den entydiga platsen för en punkt på jordens territorium.
Polära koordinater bestäms av två storheter: vinkel och avstånd. Vinkeln mäts från meridianens nordliga riktning till en given punkt, vilket bestämmer dess position i rymden. Men en vinkel räcker inte, så en radievektor introduceras - avståndet från den stående punkten till det önskade objektet. Med dessa två parametrar kan du bestämma platsen för punkten i det lokala systemet.
Som regel används detta koordinatsystem för att utföra tekniskt arbete som utförs på ett litet område av terräng.
Rektangulära koordinater
Det rektangulära koordinatsystemet som används inom geodesin används också i små terrängområden. Huvudelementet i systemet är koordinataxeln från vilken räkningen sker. Koordinaterna för en punkt återfinns som längden av vinkelräta linjer som dras från abskissan och ordinatan till den önskade punkten.
Den nordliga riktningen av X-axeln och den östra riktningen av Y-axeln anses vara positiva, och de södra och västra riktningarna anses vara negativa. Beroende på tecken och kvarter bestäms platsen för en punkt i rymden.
Gauss-Kruger koordinater
Gauss-Krugers koordinatzonsystem liknar det rektangulära. Skillnaden är att den kan appliceras på hela jordklotet, inte bara på små ytor.
De rektangulära koordinaterna för Gauss-Kruger-zonerna är i huvudsak en projektion av jordklotet på ett plan. Det uppstod i praktiska syften att skildra stora områden av jorden på papper. Snedvridningar som uppstår vid överföring anses vara obetydliga.
Enligt detta system är jordklotet uppdelat efter longitud i sexgraderszoner med en axiell meridian i mitten. Ekvatorn är i mitten längs en horisontell linje. Som ett resultat finns det 60 sådana zoner.
Var och en av de sextio zonerna har sitt eget system av rektangulära koordinater, mätt längs ordinataaxeln från X, och längs abskissaxeln från sektionen av jordens ekvator Y. För att entydigt bestämma platsen på hela jordklotets territorium, zonen nummer placeras framför X- och Y-värdena.
X-axelvärdena på Rysslands territorium är som regel positiva, medan Y-värdena kan vara negativa. För att undvika ett minustecken i x-axelvärdena flyttas den axiella meridianen för varje zon villkorligt 500 meter västerut. Då blir alla koordinater positiva.
Koordinatsystemet föreslogs som en möjlighet av Gauss och beräknades matematiskt av Kruger i mitten av nittonhundratalet. Sedan dess har den använts inom geodesin som en av de viktigaste.
Höjdsystem
Koordinat- och höjdsystem som används inom geodesi används för att exakt bestämma positionen för en punkt på jorden. Absoluta höjder mäts från havsnivån eller annan yta som tas som källa. Dessutom finns det relativa höjder. De senare räknas som överskottet från den önskade punkten till någon annan. De är bekväma att använda för att arbeta i ett lokalt koordinatsystem för att förenkla efterföljande bearbetning av resultaten.
Tillämpning av koordinatsystem inom geodesi
Utöver ovanstående finns det andra koordinatsystem som används inom geodesin. Var och en av dem har sina egna fördelar och nackdelar. Det finns också arbetsområden för vilka en eller annan metod för lokalisering är relevant.
Det är syftet med arbetet som avgör vilka koordinatsystem som används inom geodesin som bäst används. För att arbeta i små områden är det bekvämt att använda rektangulära och polära koordinatsystem, men för att lösa storskaliga problem behövs system som tillåter att täcka hela territoriet på jordens yta.
Ursprung
Ursprung(ursprung) i det euklidiska rummet - en singular punkt, vanligtvis betecknad med bokstaven HANDLA OM, som används som referenspunkt för alla andra punkter. I euklidisk geometri kan ursprunget för koordinaterna väljas godtyckligt vid vilken lämplig punkt som helst.
En vektor som dras från origo till en annan punkt kallas radievektor.
Kartesiskt koordinatsystem
Ursprunget delar var och en av axlarna i två strålar - den positiva halvaxeln och den negativa halvaxeln.
I synnerhet kan ursprunget anges på nummeraxeln. I denna mening kan vi prata om ursprunget för koordinater för olika omfattande kvantiteter (tid, temperatur, etc.)
Polära koordinatsystem
Wikimedia Foundation. 2010.
Se vad "Koordinaters ursprung" är i andra ordböcker:
ursprung- Nollpunkt (axlarnas skärningspunkt) i ett platt koordinatsystem som används i grafiska system som arbetar med tvådimensionella bilder. Koordinaten för en punkt specificeras av avståndet från origo (centrum) för koordinater längs den horisontella X-axeln (abskissan)... …
ursprung- koordinačių pradžia statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. koordinaters ursprung vok. Koordinatenanfangspunkt, m; Koordinatenursprung, m rus. ursprung, n pranc. origine de cordonnées, f … Automatikos terminų žodynas
ursprung (plotter)- - [E.S. Alekseev, A.A. Myachev. Engelsk-ryska förklarande ordbok om datorsystemteknik. Moskva 1993] Ämnen informationsteknologi i allmänhet EN tomt ursprung... Teknisk översättarguide
- (ursprung) En punkt på en graf som representerar noll för någon mätning. Ett diagram kan ha mer än en referenspunkt. Ett tvåfaktors boxdiagram, till exempel, är konstruerat på ett sådant sätt att de totala tillgängliga volymerna av alla faktorer ... Ekonomisk ordbok
riktningsmotståndsrelä med en karakteristik som inte passerar genom origo för koordinater- - [V.A. Semenov. Engelsk-rysk ordbok om reläskydd] Ämnen reläskydd EN offset mho distansrelä ... Teknisk översättarguide
karakteristisk för ett riktningsmotståndsrelä i form av en cirkel som passerar genom koordinaternas ursprung- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Engelsk-rysk ordbok för elektroteknik och kraftteknik, Moskva, 1999] Ämnen för elektroteknik, grundläggande begrepp EN mho karakteristisk ... Teknisk översättarguide
börja räkna- Den position på bildskärmen från vilken alla koordinatsystem börjar. Vanligtvis placerad i det övre vänstra hörnet av skärmen. Ämnen informationsteknik i allmänhet EN ursprung ... Teknisk översättarguide
Rektangulärt koordinatsystem är ett rätlinjigt koordinatsystem med inbördes vinkelräta axlar på ett plan eller i rymden. Det enklaste och därför mest använda koordinatsystemet. Mycket enkelt och direkt sammanfattat för... ... Wikipedia
En punkt har tre kartesiska och tre sfäriska koordinater Det är bekvämt att bestämma det sfäriska koordinatsystemet i förhållande till d ... Wikipedia
En uppsättning definitioner som implementerar koordinatmetoden, det vill säga ett sätt att bestämma positionen för en punkt eller kropp med hjälp av siffror eller andra symboler. Den uppsättning siffror som bestämmer positionen för en specifik punkt kallas koordinaterna för denna punkt. I... ... Wikipedia
Böcker
- Arton, Stefania Danilova, poeten Stefania Danilova föddes den 16 augusti 1994 i St. Petersburg och är villkorslöst kär i denna stad. Ambidextrous, underbarn, polyglot, som skapade sin första vuxendikt vid tre års ålder... Kategori: Samtida rysk poesi Serie: Runet Star Utgivare: AST,
- Providence, Rogatko Sergei Aleksandrovich, Den nya romanen "Eld" av författaren Sergei Rogatko, som bekänner sig till en realistisk princip i rysk litteratur och bekräftade detta i sin berömda roman "Lekmannen", är skriven i genren av en liknelse. . Kategori: