Kapittel I. Vektorer på planet og i rommet
§ 13. Overgang fra ett rektangulært kartesisk koordinatsystem til et annet
Vi tilbyr deg å vurdere dette emnet i to versjoner.
1) Basert på læreboken til I.I. Privalov "Analytisk geometri" (lærebok for høyere tekniske utdanningsinstitusjoner, 1966)
I.I. Privalov "Analytisk geometri"
§ 1. Problemet med koordinattransformasjon.
Posisjonen til et punkt på planet bestemmes av to koordinater i forhold til et eller annet koordinatsystem. Koordinatene til punktet vil endres hvis vi velger et annet koordinatsystem.
Oppgaven med å transformere koordinater er å å vite koordinatene til et punkt i ett koordinatsystem, finne dets koordinater i et annet system.
Dette problemet vil bli løst hvis vi etablerer formler som relaterer koordinatene til et vilkårlig punkt i to systemer, og koeffisientene til disse formlene vil inkludere konstante verdier som bestemmer den gjensidige posisjonen til systemene.
La to kartesiske koordinatsystemer gis hei Og XO 1Y(Fig. 68).
Plassering av det nye systemet XO 1Y i forhold til det gamle systemet hei vil bli bestemt dersom koordinatene er kjent EN Og b ny begynnelse O 1 i henhold til det gamle systemet og vinkelen α mellom aksler Åh Og Omtrent 1 X. Angi med X Og på koordinater til et vilkårlig punkt M i forhold til det gamle systemet, gjennom X- og Y-koordinater til samme punkt i forhold til det nye systemet. Vår oppgave er å lage de gamle koordinatene X Og på uttrykt i form av de nye X og Y. De resulterende transformasjonsformlene må åpenbart inkludere konstantene a, b Og α .
Vi vil finne løsningen på dette generelle problemet ved å vurdere to spesielle tilfeller.
1. Opprinnelsen til koordinatene endres, mens retningene til aksene forblir uendret ( α = 0).
2. Retningene til aksene endres, mens opprinnelsen til koordinatene forblir uendret ( a = b = 0).
§ 2. Overføring av opprinnelsen.
La to systemer med kartesiske koordinater med ulik opprinnelse gis O Og O 1 og de samme retningene til aksene (fig. 69).
Angi med EN Og b koordinater for en ny begynnelse Omtrent 1 i det gamle systemet og gjennom x, y Og X, Y-koordinater til et vilkårlig punkt M, henholdsvis i det gamle og nye systemet. Projisere punkt M på aksen Omtrent 1 X Og Åh, så vel som poenget Omtrent 1 per aksel Åh, kommer vi på aksen Åh tre prikker Å, a Og R. Segmentverdier OA, AR Og ELLER er relatert av følgende relasjon:
| OA| + | AR | = | ELLER |. (1)
Legger merke til at | | OA| = EN , | ELLER | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, omskriver vi likhet (1) i formen:
EN + X = x eller x = X + EN . (2)
På samme måte projiserer M og Omtrent 1 på y-aksen får vi:
y = Y + b (3)
Så, den gamle koordinaten er lik den nye pluss koordinaten til den nye origo i henhold til det gamle systemet.
Fra formlene (2) og (3) kan de nye koordinatene uttrykkes i form av de gamle:
X = x - a , (2")
Y = y-b . (3")
§ 3. Rotasjon av koordinataksene.
La to kartesiske koordinatsystemer med samme opprinnelse gis OM og forskjellige retninger av aksene (fig. 70).
La α er vinkelen mellom aksene Åh Og ÅH. Angi med x, y Og X, Y koordinater til et vilkårlig punkt M, henholdsvis i det gamle og det nye systemet:
X = | ELLER | , på = | PM | ,
X= | ELLER 1 |, Y= | R 1 M |.
Tenk på en brutt linje ELLER 1 MP og ta dens projeksjon på aksen Åh. Når vi legger merke til at projeksjonen av den brutte linjen er lik projeksjonen av det avsluttende segmentet (kapittel I, § 8), har vi:
ELLER 1 MP = | ELLER |. (4)
På den annen side er projeksjonen av en brutt linje lik summen av projeksjonene av dens lenker (kapittel I, § 8); derfor vil likhet (4) skrives som følger:
etc ELLER 1+ pr R 1 M+ pr MP= | ELLER | (4")
Siden projeksjonen av et rettet segment er lik verdien multiplisert med cosinus til vinkelen mellom projeksjonsaksen og aksen som segmentet ligger på (kapittel I, § 8), så
etc ELLER 1 = X cos α
etc R 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y synd α ,
pr MP= 0.
Derfor gir likhet (4") oss:
x = X cos α - Y synd α . (5)
På samme måte projiserer den samme brutte linjen på aksen OU, får vi et uttrykk for på. Vi har faktisk:
etc ELLER 1+ pr R 1 M+ pr MP= pr ELLER = 0.
Merker det
etc ELLER 1 = X fordi ( α - 90°) = X synd α ,
etc R 1 M = Y cos α ,
pr MP = - y ,
vil ha:
X synd α + Y cos α - y = 0,
y = X synd α + Y cos α . (6)
Fra formlene (5) og (6) får vi nye koordinater X Og Y uttrykt gjennom gamle X Og på , hvis vi løser ligningene (5) og (6) mht X Og Y.
Kommentar. Formler (5) og (6) kan oppnås annerledes.
Fra fig. 71 vi har:
X = OP = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM synd α synd φ ,
på = PM = OM sin ( α + φ ) = OM synd α cos φ + OM cos α synd φ .
Siden (kap. I, § 11) OM cos φ = X, OM synd φ =Y, Det
x = X cos α - Y synd α , (5)
y = X synd α + Y cos α . (6)
§ 4. Generell sak.
La to kartesiske koordinatsystemer med ulik opprinnelse og ulik retning av aksene gis (fig. 72).
Angi med EN Og b koordinater for en ny begynnelse OM, i henhold til det gamle systemet, gjennom α - rotasjonsvinkelen til koordinataksene og til slutt gjennom x, y Og X, Y- koordinater til et vilkårlig punkt M, henholdsvis i henhold til det gamle og nye systemet.
Å uttrykke X Og på gjennom X Og Y, introduserer vi et hjelpekoordinatsystem x 1 O 1 y 1 , hvis begynnelse vi plasserer ved den nye begynnelsen OM 1, og ta retningene til aksene til å falle sammen med retningene til de gamle aksene. La x 1 og y 1 angir koordinatene til punktet M i forhold til dette hjelpesystemet. Ved å gå fra det gamle koordinatsystemet til det hjelpesystemet har vi (§ 2):
X = X 1 + a , y = y 1 +b .
X 1 = X cos α - Y synd α , y 1 = X synd α + Y cos α .
Erstatte X 1 og y 1 i de forrige formlene ved deres uttrykk fra de siste formlene, finner vi til slutt:
x = X cos α - Y synd α + en
y = X synd α + Y cos α + b (JEG)
Formler (I) inneholder som et særtilfelle formlene i §§ 2 og 3. α = 0 formler (I) blir til
x = X + EN , y = Y + b ,
og kl a = b = 0 vi har:
x = X cos α - Y synd α , y = X synd α + Y cos α .
Fra formlene (I) får vi nye koordinater X Og Y uttrykt gjennom gamle X Og på hvis ligning (I) er løsbare mht X Og Y.
Vi legger merke til en veldig viktig egenskap ved formler (I): de er lineære mht X Og Y, dvs. av formen:
x = AX+BY+C, y = EN 1 X+B 1 Y+C 1 .
Det er enkelt å sjekke at de nye koordinatene X Og Y uttrykt gjennom det gamle X Og på også formler av første grad mht X Og y.
G.N. Yakovlev "Geometri"
§ 13. Overgang fra ett rektangulært kartesisk koordinatsystem til et annet
Ved å velge et rektangulært kartesisk koordinatsystem etableres en en-til-en korrespondanse mellom punktene i planet og ordnede par av reelle tall. Dette betyr at hvert punkt på planet tilsvarer et enkelt tallpar, og hvert ordnet par med reelle tall tilsvarer et enkelt punkt.
Valget av et eller annet koordinatsystem er ikke begrenset av noe og bestemmes i hvert enkelt tilfelle kun av bekvemmelighetshensyn. Ofte må det samme settet vurderes i forskjellige koordinatsystemer. Ett og samme punkt i forskjellige systemer har åpenbart forskjellige koordinater. Et sett med punkter (spesielt en sirkel, en parabel, en rett linje) i forskjellige koordinatsystemer er gitt av forskjellige ligninger.
La oss finne ut hvordan koordinatene til punktene i planet transformeres i overgangen fra ett koordinatsystem til et annet.
La to rektangulære koordinatsystemer gis på planet: O, jeg, j og om", jeg", j" (Fig. 41).
Det første systemet med origo i punkt O og basisvektorer Jeg Og j vi er enige om å kalle den gamle, den andre - med begynnelsen ved punktet O" og basisvektorene Jeg" Og j" - nytt.
Vi vil vurdere posisjonen til det nye systemet i forhold til det gamle for å være kjent: la punktet O" i det gamle systemet ha koordinater ( a;b ), en vektor Jeg" former med vektor Jeg hjørne α . Hjørne α teller i motsatt retning av urviseren.
Betrakt et vilkårlig punkt M. Angi dets koordinater i det gamle systemet med ( x;y ), i den nye - gjennom ( x"; y" ). Vår oppgave er å etablere forholdet mellom de gamle og nye koordinatene til punktet M.
Koble sammen punktene O og O", O" og M, O og M. I henhold til trekantregelen får vi
OM > = OO" > + Å "M > . (1)
La oss dekomponere vektorene OM> og OO"> etter basisvektorer Jeg Og j , og vektoren Å "M> etter basisvektorer Jeg" Og j" :
OM > = x Jeg+y j , OO" > = en Jeg+b j , Å "M > = x" Jeg"+y" j "
Nå kan likhet (1) skrives som følger:
x Jeg+y j = (en Jeg+b j ) + (x" Jeg"+y" j "). (2)
Nye basisvektorer Jeg" Og j" utvidet over de gamle basisvektorene Jeg Og j på følgende måte:
Jeg" = cos α Jeg + synd α j ,
j" = cos ( π / 2 + α ) Jeg + synd ( π / 2 + α ) j = - synd α Jeg + cos α j .
Erstatter de funnet uttrykkene for Jeg" Og j" inn i formel (2), får vi vektorlikheten
x Jeg+y j = en Jeg+b j + X"(cos α Jeg + synd α j ) + på"(-synd α Jeg + cos α j )
tilsvarende to numeriske likheter:
|
x = a + X" cos α
- på" synd α
, |
Formler (3) gir de ønskede uttrykkene for de gamle koordinatene X Og på peker gjennom sine nye koordinater X" Og på". For å finne uttrykk for de nye koordinatene i form av de gamle, er det tilstrekkelig å løse likningssystemet (3) med hensyn til de ukjente X" Og på".
Så, koordinatene til punktene når du flytter origo til punktet ( EN; b ) og roter aksene med en vinkel α er transformert av formler (3).
Hvis bare opprinnelsen til koordinatene endres, og retningene til aksene forblir de samme, da, forutsatt i formlene (3) α = 0, får vi
Formler (5) kalles rotasjonsformler.
Oppgave 1. La koordinatene til den nye begynnelsen i det gamle systemet være (2; 3), og koordinatene til punkt A i det gamle systemet (4; -1). Finn koordinatene til punkt A i det nye systemet, hvis retningene til aksene forblir de samme.
Ved formler (4) har vi
Svar. A(2;-4)
Oppgave 2. La koordinatene til punktet P i det gamle systemet (-2; 1), og i det nye systemet, hvis retninger til aksene er de samme, koordinatene til dette punktet (5; 3). Finn koordinatene til den nye begynnelsen i det gamle systemet.
Og I følge formlene (4) får vi
|
-
2= a + 5 |
hvor EN = - 7, b = - 2.
Svar. (-7; -2).
Oppgave 3. Punkt A koordinerer i det nye systemet (4; 2). Finn koordinatene til dette punktet i det gamle systemet, hvis origo forblir det samme, og koordinataksene til det gamle systemet roteres med en vinkel α = 45°.
Ved formler (5) finner vi
Oppgave 4. Koordinatene til punkt A i det gamle systemet (2 √3 ; - √3 ). Finn koordinatene til dette punktet i det nye systemet, hvis opprinnelsen til det gamle systemet flyttes til punktet (-1;-2), og aksene roteres med en vinkel α = 30°.
Ved formler (3) har vi
Løse dette ligningssystemet for X" Og på", Vi finner: X" = 4, på" = -2.
Svar. A(4;-2).
Oppgave 5. Gitt ligningen til en rett linje på = 2X - 6. Finn ligningen til samme linje i det nye koordinatsystemet, som er hentet fra det gamle systemet ved å rotere aksene med en vinkel α = 45°.
Rotasjonsformlene i dette tilfellet har formen
Erstatter den rette linjen i ligningen på = 2X - 6 gamle variabler X Og på ny, får vi ligningen
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
som etter forenklinger tar form y" = x" / 3 - 2√2
Koordinater
- dette er størrelser som bestemmer posisjonen til et hvilket som helst punkt på overflaten eller i rommet i det aksepterte koordinatsystemet. Koordinatsystemet setter de innledende (originale) punktene, linjene eller planene for å lese de nødvendige mengdene - opprinnelsen til koordinatene og enhetene for deres beregning. I topografi og geodesi har systemer med geografiske, rektangulære, polare og bipolare koordinater fått størst anvendelse.
Geografiske koordinater (fig. 2.8) brukes til å bestemme posisjonen til punkter på jordoverflaten på en ellipsoide (kule). I dette koordinatsystemet er det innledende meridianplanet og ekvatorialplanet de første. En meridian er en snittlinje av en ellipsoide av et plan som går gjennom et gitt punkt og jordens rotasjonsakse.
En parallell er en snittlinje av en ellipsoide av et plan som går gjennom et gitt punkt og vinkelrett på jordens akse. Parallellen hvis plan går gjennom midten av ellipsoiden kalles ekvator. Gjennom hvert punkt som ligger på jordklodens overflate kan bare én meridian og kun én parallell trekkes.
Geografiske koordinater
er vinkelstørrelser: lengdegrad l og breddegrad j.
Geografisk lengdegrad l er den dihedriske vinkelen innelukket mellom planet til en gitt meridian (som går gjennom punkt B) og planet til den opprinnelige meridianen. For den innledende (null) meridianen ble meridianen som passerer gjennom sentrum av hovedhallen til Greenwich Observatory i London, tatt. For punkt B bestemmes lengdegrad av vinkelen l = WCD. Lengdegrader regnes fra nominell meridian i begge retninger - øst og vest. I denne forbindelse skiller vi mellom vestlige og østlige lengder, som varierer fra 0° til 180°.
Geografisk breddegrad
j er vinkelen som dannes av ekvatorplanet og loddet som går gjennom det gitte punktet. Hvis jorden tas som en kule, så for punkt B (fig. 2.8) bestemmes breddegrad j av vinkelen DCB. Breddegradene målt fra ekvator mot nord kalles nordlig, og mot sør - sør varierer de fra 0 ° ved ekvator til 90 ° ved polene.
Geografiske koordinater kan være avledet fra astronomiske observasjoner eller geodetiske målinger. I det første tilfellet kalles de astronomiske, og i det andre - geodetiske (L - lengdegrad, B - breddegrad). I astronomiske observasjoner utføres projeksjonen av punkter på referanseoverflaten med lodd, i geodetiske målinger - ved normaler. Derfor varierer verdiene til astronomiske og geodetiske koordinater med mengden avvik til loddlinjen.
Bruken av forskjellige referanseellipsoider av forskjellige tilstander fører til forskjeller i koordinatene til de samme punktene beregnet i forhold til forskjellige initiale overflater. I praksis kommer dette til uttrykk i den generelle forskyvningen av det kartografiske bildet i forhold til meridianene og parallellene på kart over store og mellomstore skalaer.
Rektangulære koordinater
lineære mengder kalles - abscissen og ordinaten, som bestemmer posisjonen til et punkt på planet i forhold til de opprinnelige retningene.
(Fig. 2.9)
I geodesi og topografi er det høyre systemet med rektangulære koordinater tatt i bruk. Dette skiller det fra venstre koordinatsystem som brukes i matematikk. De første retningene er to innbyrdes vinkelrette linjer med origo i skjæringspunktet O.
Den rette XX-linjen (abscisse-aksen) er på linje med retningen til meridianen som går gjennom origo, eller med retningen parallelt med en meridian. Den rette linjen YY (y-aksen) går gjennom punktet O vinkelrett på x-aksen. I et slikt system er posisjonen til et punkt på et plan bestemt av den korteste avstanden til det fra koordinataksene. Posisjonen til punkt A bestemmes av lengden på perpendikulære Xa og Ya. Segmentet Xa kalles abscissen til punktet A, og Yа er ordinaten til dette punktet. Rektangulære koordinater er vanligvis uttrykt i meter. Abscisse- og ordinataksene deler terrenget ved punkt O i fire fjerdedeler (fig. 2.9). Navnet på kvartalene bestemmes av de aksepterte betegnelsene til verdens land. Kvarter er nummerert med klokken: I - SV; II - SE; III - SW; IV - NW.
I tabellen. 2.3 viser tegnene til abscisse X og ordinater Y for punkter som ligger i forskjellige kvartaler, og deres navn er gitt.
Tabell 2.3
Abscissen til punkter plassert opp fra origo anses som positive, og ned fra den - negativ, ordinatene til punkter plassert til høyre - positive, til venstre - negative. Systemet med flate rektangulære koordinater brukes i begrensede områder av jordoverflaten, som kan tas som flate.
Koordinater, hvis opprinnelse er et hvilket som helst punkt i terrenget, kalles polare. I dette koordinatsystemet måles orienteringsvinkler. På et horisontalt plan (fig. 2.10), gjennom et vilkårlig valgt punkt O, kalt polen, tegnes en rett linje OX - polaraksen.
Da vil posisjonen til et hvilket som helst punkt, for eksempel M, bli bestemt av radiusen - vektoren r1 og retningsvinkelen a1, og punktet N - henholdsvis r2 og a2. Vinklene a1 og a2 måles fra polaraksen med klokken til radiusvektoren. Polaraksen kan lokaliseres vilkårlig eller kombinert med retningen til en hvilken som helst meridian som passerer gjennom polen O.
Systemet med bipolare koordinater (fig. 2.11) er to utvalgte faste poler O1 og O2, forbundet med en rett linje - polaraksen. Dette koordinatsystemet lar deg bestemme posisjonen til punktet M i forhold til polaraksen på planet ved å bruke to vinkler b1 og b2, to radiusvektorer r1 og r2, eller kombinasjoner av disse. Hvis de rektangulære koordinatene til punktene O1 og O2 er kjent, kan posisjonen til punktet M beregnes analytisk. 
Ris. 2.11
Ris. 2.12
Høyder av punkter på jordens overflate. For å bestemme posisjonen til punktene til jordens fysiske overflate, er det ikke nok å bare kjenne til de planlagte koordinatene X, Y eller l, j, en tredje koordinat er nødvendig - høyden på punktet H. Høyden på punkt H (Fig. 2.12) er avstanden langs vertikal retning fra et gitt punkt (A´; B´ ´) til den aksepterte hovedflaten MN. Den numeriske verdien av høyden til et punkt kalles høyde. Høydene målt fra hovedplanflaten MN kalles absolutte høyder (AA´; BB´´), og de som er bestemt i forhold til en vilkårlig valgt plan overflate kalles betingede høyder (В´В´´). Høydeforskjellen mellom to punkter eller avstanden langs den vertikale retningen mellom jevne overflater som passerer gjennom to punkter på jorden kalles den relative høyden (В´В´´) eller overskuddet av disse punktene h.
I Republikken Hviterussland ble det baltiske høydesystemet tatt i bruk fra 1977. Høydene telles fra den jevne overflaten, som sammenfaller med gjennomsnittlig vannstand i Finskebukta, fra nullpunktet til Kronstadt-fotstokken.
Her er en annen
For å bestemme punktposisjoner i geodesi bruker romlige rektangulære, geodetiske og plane rektangulære koordinater.
Romlige rektangulære koordinater. Opprinnelsen til koordinatsystemet er plassert i sentrum O jord ellipsoid(Fig. 2.2).
Akser Z regissert langs ellipsoidens rotasjonsakse mot nord. Akser X ligger i skjæringspunktet mellom ekvatorialplanet og innledende - Greenwich-meridianen. Akser Y rettet vinkelrett på aksene Z Og X mot øst.
Geodetiske koordinater. De geodetiske koordinatene til et punkt er dets breddegrad, lengdegrad og høyde (fig. 2.2).
Geodetisk breddegrad poeng M kalt vinkelen I, dannet av normalen til overflaten av ellipsoiden som går gjennom det gitte punktet, og ekvatorplanet.
Breddegrad måles fra ekvator nord og sør fra 0° til 90° og kalles nord eller sør. Nordlig bredde anses som positiv, og sørlig breddegrad er negativ.
Snittplan av en ellipsoide som går gjennom en akse oz, er kalt geodetiske meridianer.
Geodetisk lengdegrad poeng M kalt en dihedral vinkel L, dannet av planene til den opprinnelige (Greenwich) geodesiske meridianen og den geodesiske meridianen til det gitte punktet.
Lengdegradene måles fra prime meridianen innenfor området fra 0° til 360° øst, eller fra 0° til 180° øst (positiv) og fra 0° til 180° vest (negativ).
Geodetisk høyde poeng M er høyden hennes H over overflaten av jordens ellipsoide.
Geodetiske koordinater med romlige rektangulære koordinater er relatert av formlene
X=(N+H) cos B cos L,
Y=(N+H) cos B synd L,
Z=[(1-e 2)N+H] synd B,
Hvor e er den første eksentrisiteten til meridianellipsen og N-krumningsradius for den første vertikalen. N=a/(1 - e 2 synd 2 B) 1/2 .
Geodetisk og romlig rektangulære koordinater av punkter bestemmes ved hjelp av satellittmålinger, samt ved å koble dem med geodetiske målinger til punkter med kjente koordinater.
Merk at sammen med med geodesikk er det også astronomiske bredde- og lengdegrader. Astronomisk breddegrad j er vinkelen laget av loddlinjen ved det gitte punktet med ekvatorialplanet. Astronomisk lengdegrad l er vinkelen mellom planene til Greenwich-meridianen og den astronomiske meridianen som går gjennom loddlinjen ved et gitt punkt. Astronomiske koordinater bestemmes på bakken fra astronomiske observasjoner.
Astronomiske koordinater skiller seg fra geodesikk fordi retningene til loddlinjene ikke sammenfaller med retningene til normalene til overflaten av ellipsoiden. Vinkelen mellom retningen av normalen til overflaten av ellipsoiden og loddlinjen ved et gitt punkt på jordoverflaten kalles lodd.
En generalisering av geodetiske og astronomiske koordinater er begrepet - geografiske koordinater.
Plane rektangulære koordinater. For å løse problemene med teknisk geodesi fra romlige og geodetiske koordinater, bytter de til enklere - flate koordinater, som gjør det mulig å skildre terrenget på et plan og bestemme posisjonen til punkter med to koordinater X Og på.
Siden den konvekse overflaten av jorden det er umulig å avbilde på et plan uten forvrengning, innføring av flate koordinater er bare mulig i begrensede områder hvor forvrengningene er så små at de kan neglisjeres. I Russland er et system med rektangulære koordinater vedtatt, hvis grunnlag er en likekantet tverrsylindrisk Gaussisk projeksjon. Overflaten til en ellipsoid er avbildet på et plan i deler som kalles soner. Sonene er sfæriske bikagoner avgrenset av meridianer og strekker seg fra nordpolen mot sør (fig. 2.3). Størrelsen på sonen i lengdegrad er 6°. Den sentrale meridianen i hver sone kalles den aksiale meridianen. Sonene er nummerert fra Greenwich mot øst.
Lengdegraden til den aksiale meridianen til sonen med tallet N er lik:
l 0 \u003d 6 ° × N - 3 °.
Aksial meridian av sonen og ekvator er avbildet på et plan med rette linjer (fig. 2.4). Den aksiale meridianen tas som abscisseaksen x, og ekvator - for y-aksen y. Krysset deres (punkt O) fungerer som opprinnelsen til den gitte sonen.
Å unngå negative ordinatverdier, er skjæringskoordinatene tatt lik x 0 = 0, y 0 = 500 km, som tilsvarer en akseforskyvning X vestover i 500 km.
Slik at ved de rektangulære koordinatene til et punkt er det mulig å bedømme i hvilken sone det er plassert, til ordinaten y til venstre er nummeret til koordinatsonen tildelt.
La for eksempel koordinatene til punktet EN ser ut som:
x A= 6 276 427 m
y A= 12 428 566 m
Disse koordinatene indikerer på hvilket tidspunkt EN ligger i en avstand på 6276427 m fra ekvator, i den vestlige delen ( y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
For romlig rektangulær, geodetiske og flate rektangulære koordinater i Russland, har et enhetlig koordinatsystem SK-95 blitt tatt i bruk, festet på bakken ved punkter i det statlige geodetiske nettverket og bygget på satellitt- og bakkebaserte målinger fra epoken 1995.
Lokale systemer med rektangulære koordinater. Under konstruksjonen av forskjellige objekter brukes ofte lokale (betingede) koordinatsystemer, der retningene til aksene og opprinnelsen til koordinatene tildeles basert på bekvemmeligheten av bruken under konstruksjonen og påfølgende drift av objektet.
Så, når du skyter jernbanestasjonsaksen på er rettet langs aksen til hovedjernbanesporet i retning av økende picketasje, og aksen X- langs aksen til passasjerstasjonsbygningen.
Under bygging Brokryssende akse X vanligvis kombinert med aksen til broen, og aksen y går i vinkelrett retning.
Under bygging store industrielle og sivile anleggsakse x Og y rettet parallelt med aksene til bygningene under oppføring.
For å løse de fleste problemer i anvendt vitenskap, er det nødvendig å vite plasseringen av et objekt eller punkt, som bestemmes ved hjelp av et av de aksepterte koordinatsystemene. I tillegg er det høydesystemer som også bestemmer høydeplasseringen til et punkt på
Hva er koordinater
Koordinater er numeriske eller bokstavelige verdier som kan brukes til å bestemme plasseringen av et punkt i terrenget. Som en konsekvens er et koordinatsystem et sett med verdier av samme type som har samme prinsipp for å finne et punkt eller objekt.
Å finne plasseringen av et punkt er nødvendig for å løse mange praktiske problemer. I en vitenskap som geodesi er det å bestemme plasseringen av et punkt i et gitt rom hovedmålet, som alt etterfølgende arbeid er basert på.
De fleste koordinatsystemer definerer som regel plasseringen av et punkt på et plan begrenset av bare to akser. For å bestemme posisjonen til et punkt i tredimensjonalt rom, brukes også et system av høyder. Med dens hjelp kan du finne ut nøyaktig posisjonønsket objekt.
Kort om koordinatsystemer brukt i geodesi
Koordinatsystemer bestemmer plasseringen av et punkt på et territorium ved å gi det tre verdier. Prinsippene for deres beregning er forskjellige for hvert koordinatsystem.
De viktigste romlige koordinatsystemene som brukes i geodesi:
- Geodetisk.
- Geografisk.
- Polar.
- Rektangulær.
- Sonale Gauss-Kruger-koordinater.
Alle systemer har sitt eget utgangspunkt, verdier for objektets plassering og omfang.
Geodetiske koordinater
Hovedfiguren som brukes til å lese geodetiske koordinater er jordens ellipsoide.
En ellipsoide er en tredimensjonal komprimert figur som best representerer klodens figur. På grunn av at kloden er en matematisk feil figur, er det ellipsoiden som i stedet brukes til å bestemme geodetiske koordinater. Dette letter implementeringen av mange beregninger for å bestemme posisjonen til kroppen på overflaten.
Geodetiske koordinater er definert av tre verdier: geodetisk breddegrad, lengdegrad og høyde.
- Geodetisk breddegrad er en vinkel hvis begynnelse ligger på ekvatorplanet, og enden ligger i vinkelrett trukket til ønsket punkt.
- Geodetisk lengdegrad er vinkelen som måles fra nullmeridianen til meridianen som ønsket punkt befinner seg på.
- Geodetisk høyde - verdien av normalen trukket til overflaten av ellipsoiden av jordens rotasjon fra et gitt punkt.
Geografiske koordinater
For å løse høypresisjonsproblemer med høyere geodesi, er det nødvendig å skille mellom geodetiske og geografiske koordinater. I systemet som brukes i teknisk geodesi, gjør slike forskjeller, på grunn av den lille plassen som dekkes av arbeidet, som regel ikke.
En ellipsoide brukes som et referanseplan for å bestemme geodetiske koordinater, og en geoide brukes til å bestemme geografiske koordinater. Geoiden er en matematisk feil figur, nærmere jordens faktiske figur. For dens jevne overflate tar de det som fortsettes under havoverflaten i sin rolige tilstand.
Det geografiske koordinatsystemet som brukes i geodesi beskriver posisjonen til et punkt i rommet med tre verdier. lengdegrad sammenfaller med geodesisk, siden referansepunktet også vil bli kalt Greenwich. Den går gjennom observatoriet med samme navn i byen London. bestemt fra ekvator tegnet på overflaten av geoiden.
Høyde i det lokale koordinatsystemet som brukes i geodesi er målt fra havnivå i sin rolige tilstand. På territoriet til Russland og landene i den tidligere union er merket som høydene bestemmes fra Kronstadt-fotstokken. Det ligger på nivå med Østersjøen.
Polare koordinater
Det polare koordinatsystemet som brukes i geodesi har andre nyanser av produktet av målinger. Den brukes i små terrengområder for å bestemme den relative plasseringen av et punkt. Referansepunktet kan være et hvilket som helst objekt markert som en kilde. Ved hjelp av polare koordinater er det således umulig å bestemme den entydige plasseringen av et punkt på klodens territorium.
Polare koordinater er definert av to størrelser: vinkel og avstand. Vinkelen måles fra nordretningen av meridianen til et gitt punkt, og bestemmer dens posisjon i rommet. Men en vinkel vil ikke være nok, så en radiusvektor introduseres - avstanden fra det stående punktet til ønsket objekt. Med disse to alternativene kan du bestemme plasseringen av punktet i det lokale systemet.
Som regel brukes dette koordinatsystemet til ingeniørarbeid som utføres på et lite areal.
Rektangulære koordinater
Det rektangulære koordinatsystemet som brukes i geodesi brukes også i små områder av terrenget. Hovedelementet i systemet er koordinataksen som referansen gjøres fra. Koordinatene til et punkt er funnet som lengden av perpendikulære trekk fra abscissen og ordinataksene til ønsket punkt.
Nordretningen til x-aksen og øst for y-aksen regnes som positiv, og sør og vest er negative. Avhengig av skiltene og kvartalene bestemmes plasseringen av et punkt i rommet.
Gauss-Kruger koordinater
Gauss-Krugers koordinatsonesystem ligner det rektangulære. Forskjellen er at den kan brukes på hele klodens territorium, og ikke bare på små områder.
De rektangulære koordinatene til Gauss-Kruger-sonene er faktisk projeksjonen av kloden på et fly. Det oppsto for praktiske formål å skildre store områder av jorden på papir. Overføring av forvrengninger anses som ubetydelig.
I følge dette systemet er kloden delt inn etter lengdegrad i seks-graderssoner med den aksiale meridianen i midten. Ekvator er i sentrum langs en horisontal linje. Som et resultat er det 60 slike soner.
Hver av de seksti sonene har sitt eget system med rektangulære koordinater, målt langs ordinataksen fra X, og langs abscissen - fra området til jordens ekvator Y. For entydig å bestemme plasseringen på hele klodens territorium, sonenummeret settes foran X- og Y-verdiene.
Verdiene til x-aksen i Russland er vanligvis positive, mens verdiene til y kan være negative. For å unngå minustegnet i verdiene til abscisse-aksen, flyttes den aksiale meridianen til hver sone betinget 500 meter mot vest. Da blir alle koordinater positive.
Koordinatsystemet ble foreslått av Gauss som mulig og beregnet matematisk av Krüger på midten av det tjuende århundre. Siden den gang har den blitt brukt i geodesi som en av de viktigste.
Høydesystem
Systemene med koordinater og høyder som brukes i geodesi, brukes til å nøyaktig bestemme posisjonen til et punkt på jorden. Absolutte høyder måles fra havnivå eller annen overflate tatt som originalen. I tillegg er det relative høyder. Sistnevnte regnes som et overskudd fra ønsket punkt til et hvilket som helst annet. Det er praktisk å bruke dem til å jobbe i det lokale koordinatsystemet for å forenkle den påfølgende behandlingen av resultatene.
Anvendelse av koordinatsystemer i geodesi
I tillegg til ovennevnte er det andre koordinatsystemer som brukes i geodesi. Hver av dem har sine egne fordeler og ulemper. Det er også egne arbeidsområder som denne eller den metoden for lokalisering er relevant for.
Det er formålet med arbeidet som avgjør hvilke koordinatsystemer som brukes i geodesi som er best brukt. For arbeid i små områder er det praktisk å bruke rektangulære og polare koordinatsystemer, og for å løse store problemer er det nødvendig med systemer som gjør det mulig å dekke hele jordoverflatens territorium.
Opprinnelse
Opprinnelse(referansepunkt) i det euklidiske rom - et entallspunkt, vanligvis betegnet med bokstaven OM, som brukes som referansepunkt for alle andre punkter. I euklidisk geometri kan opprinnelsen til koordinatene velges vilkårlig på et hvilket som helst passende punkt.
En vektor trukket fra origo til et annet punkt kalles en radiusvektor.
Kartesisk koordinatsystem
Opprinnelsen til koordinatene deler hver av aksene i to bjelker - en positiv halvakse og en negativ halvakse.
Spesielt kan opprinnelsen legges inn på tallaksen. I denne forstand kan vi snakke om opprinnelsen til koordinater for ulike omfattende mengder (tid, temperatur, etc.)
Polare koordinatsystemer
Wikimedia Foundation. 2010 .
Se hva "Koordinatenes opprinnelse" er i andre ordbøker:
opprinnelse- Nullpunkt (skjæringspunkt for aksene) i et flatt koordinatsystem brukt i grafiske systemer som jobber med todimensjonale bilder. Punktkoordinaten settes av avstanden fra origo (sentrum) av koordinater langs den horisontale X-aksen (abscisse) ... ...
opprinnelse- koordinačių pradžia statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. opprinnelse til koordinater vok. Koordinatenanfangspunkt, m; Koordinatenursprung, m rus. opprinnelse, npranc. origine de cordonnées, f … Automatikos terminų žodynas
opprinnelse (plotter)- — [E.S. Alekseev, A.A. Myachev. Engelsk russisk forklarende ordbok for datasystemteknikk. Moskva 1993] Emner informasjonsteknologi generelt EN plottopprinnelse … Teknisk oversetterhåndbok
- (opprinnelse) Punktet på grafen som representerer null for enhver måling. Et diagram kan ha mer enn ett referansepunkt. Et tofaktors kvadratdiagram (boksdiagram), for eksempel, er konstruert på en slik måte at de totale tilgjengelige volumene av alle faktorer ... Økonomisk ordbok
retningsmotstandsrelé med karakteristikk som ikke går gjennom origo- - [V.A. Semenov. Engelsk russisk ordbok for relébeskyttelse] Emner relébeskyttelse EN offset mho avstandsrelé ... Teknisk oversetterhåndbok
karakteristisk for et retningsmotstandsrelé i form av en sirkel som går gjennom origo- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, Moskva, 1999] Elektrotekniske emner, grunnleggende konsepter EN mho karakteristikk ... Teknisk oversetterhåndbok
referansepunkt- Posisjonen på skjermen som alle koordinatsystemer starter fra. Vanligvis plassert i øvre venstre hjørne av skjermen. Emner informasjonsteknologi generelt EN opprinnelse … Teknisk oversetterhåndbok
Rektangulært koordinatsystem er et rettlinjet koordinatsystem med innbyrdes perpendikulære akser på et plan eller i rommet. Det enkleste og derfor mest brukte koordinatsystemet. Det er veldig enkelt og direkte generalisert for ... ... Wikipedia
Et punkt har tre kartesiske og tre sfæriske koordinater. Det er praktisk å definere et sfærisk koordinatsystem ved å referere til q ... Wikipedia
Et sett med definisjoner som implementerer koordinatmetoden, det vil si en måte å bestemme posisjonen til et punkt eller en kropp ved hjelp av tall eller andre symboler. Settet med tall som bestemmer posisjonen til et bestemt punkt kalles koordinatene til dette punktet. I ... ... Wikipedia
Bøker
- Spring, Stefania Danilova, Poeten Stefania Danilova ble født 16. august 1994 i St. Petersburg, og er ubetinget forelsket i denne byen. Ambidextrous, vidunderbarn, polyglot, som skapte det første voksendiktet i en alder av tre... Kategori: Moderne russisk poesi Serie: Runet Star Utgiver: AST,
- Craft , Rogatko Sergey Alexandrovich , Den nye romanen "Craft" av forfatteren Sergei Rogatko, som bekjenner seg til en realistisk begynnelse i russisk litteratur og bekreftet dette i sin berømte roman "Lekmann", er skrevet i sjangeren til en lignelse, "... Kategori: