Maģiskais kvadrāts 4 no 20. Kā darbojas burvju kvadrāts

Šī mīkla ātri izplatījās visā internetā. Tūkstošiem cilvēku sāka interesēties, kā darbojas maģiskais laukums. Šodien beidzot atradīsi atbildi!

Burvju kvadrāta noslēpums

Patiesībā šī mīkla ir diezgan vienkārša un izveidota, ņemot vērā cilvēka neuzmanību. Apskatīsim, kā darbojas maģiskais melnais kvadrāts, izmantojot reālu piemēru:

Uzminēsim jebkuru skaitli no 10 līdz 19. Tagad no šī skaitļa atņemsim tā sastāvā esošos ciparus. Piemēram, ņemsim 11. Atņemiet vienu no 11 un pēc tam vēl vienu. Rezultāts ir 9. Nav īsti svarīgi, kuru skaitli no 10 līdz 19 tu paņem. Aprēķinu rezultāts vienmēr būs 9. Cipars 9 “Maģiskajā laukumā” atbilst pirmajam ciparam ar attēliem. Ja paskatās cieši, var redzēt, ka tas ir ļoti liels skaits numuri ir piešķirti tiem pašiem zīmējumiem.
Kas notiek, ja paņemat skaitli diapazonā no 20 līdz 29? Varbūt pats jau uzminēji? Pa labi! Aprēķina rezultāts vienmēr būs 18. Skaitlis 18 atbilst diagonāles otrajai pozīcijai ar attēliem.
Ja ņem skaitli no 30 līdz 39, tad, kā jau nojaušat, iznāks skaitlis 27. Cipars 27 atbilst arī skaitlim uz tik neizskaidrojamā “Maģiskā kvadrāta” diagonāles.
Līdzīgs algoritms paliek spēkā jebkuriem skaitļiem no 40 līdz 49, no 50 līdz 59 utt.

Tas ir, izrādās, ka nav svarīgi, kādu skaitli jūs uzminējāt - “Magic Square” uzminēs rezultātu, jo šūnās ar numuru 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 un 81 ir patiesībā tas pats simbols.

Faktiski šo noslēpumu var viegli izskaidrot, izmantojot vienkāršu vienādojumu:

Iedomājieties jebkuru divciparu skaitli. Neatkarīgi no skaitļa to var attēlot kā x*10+y. Desmitnieki darbojas kā “x”, un vienības darbojas kā “y”.
No slēptā skaitļa atņemiet skaitļus, kas to veido. Pievienojiet vienādojumu: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
Skaitlim, kas parādās aprēķinu rezultātā, tabulā jānorāda uz konkrētu simbolu.

Nav nozīmes tam, kurš skaitlis ir “x” lomā, vienā vai otrā veidā jūs iegūsit simbolu, kura skaitlis būs reizināts ar deviņiem. Lai pārliecinātos, ka zem dažādiem cipariem ir viens simbols, vienkārši apskatiet tabulu un skaitļus 0,9,18,27,45,54,63,72,81 un nākamos.

MAĢISKAIS LAUKTS

Ķīna tiek uzskatīta par burvju laukumu dzimteni. Ķīnā ir fen šui mācība, kurā teikts, ka katra elementa krāsa, forma un fiziskais izvietojums telpā ietekmē Qi plūsmu, vai nu palēninot to, novirzot vai paātrinot, kas tieši ietekmē enerģijas līmeni. no iedzīvotājiem. Lai uzzinātu pasaules noslēpumus, dievi nosūtīja imperatoram Ju senāko simbolu — Lo Šu laukumu (Lo — upe).

MAĢISKAIS Kvadrāts LO SHU

Leģenda vēsta, ka pirms aptuveni četriem tūkstošiem gadu no Luo upes vētrainajiem ūdeņiem izcēlās liels bruņurupucis Šu. Cilvēki, kas upurēja upei, ieraudzīja bruņurupuci un uzreiz atzina to par dievību. Seno gudro apsvērumi imperatoram Ju šķita tik saprātīgi, ka viņš pavēlēja iemūžināt bruņurupuča attēlu uz papīra un apzīmogoja to ar savu imperatora zīmogu. Citādi, kā mēs būtu uzzinājuši par šo notikumu?

Šis bruņurupucis patiesībā bija īpašs, jo uz tā čaumalas bija dīvains punktu raksts. Punkti tika atzīmēti kārtīgi, kas senajiem filozofiem noveda pie domas, ka kvadrāts ar cipariem uz bruņurupuča čaumalas kalpo kā telpas paraugs - pasaules karte, ko sastādījis mītiskais Ķīnas civilizācijas dibinātājs Huangs Di. Faktiski skaitļu summa kvadrāta kolonnās, rindās un abās diagonālēs ir vienāda M = 15 un ir vienāda ar dienu skaitu katrā no 24 Ķīnas Saules gada cikliem.

Pāra un nepāra skaitļi mijas: 4 pāra skaitļi (rakstīti no apakšas uz augšu dilstošā secībā) atrodas četros stūros, un 5 nepāra skaitļi (rakstīti no apakšas uz augšu augošā secībā) veido krustiņu kvadrāta centrā. Pieci krusta elementi atspoguļo zemi, uguni, metālu, ūdeni un mežu. Jebkuru divu ar centru atdalītu skaitļu summa ir vienāda ar Ho Ti skaitli, t.i. desmit.

Lo Shu pāra skaitļi (Zemes simboli) tika atzīmēti uz bruņurupuča ķermeņa melnu punktu vai Iņ simbolu veidā, un nepāra skaitļi (Debesu simboli) - baltu punktu vai Yang simbolu veidā. Zeme 1 (vai ūdens) atrodas zemāk, uguns 9 (vai debesis) ir augšā. Iespējams, ka modernais skaitļa 5 tēls, kas novietots kompozīcijas centrā, radies ķīniešu Jaņ un Iņ dualitātes simbola dēļ.

MAĢISKAIS KVADRĀTS NO KHAJURAHO

Austrumu istaba

Džozefa Radjada Kiplinga burvība, kurš radīja Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan un, protams, Tabakas attēlus, sākās divdesmitā gadsimta priekšvakarā. Pusgadsimtu iepriekš, 1838. gada februārī, jauns britu Bengālijas inženieru virsnieks T.S. Bērts, interesējoties par savu palankīnu nesošo kalpu sarunu, novirzījās no maršruta un uzdūrās seniem tempļiem Indijas džungļos.

Uz Višvanatha tempļa kāpnēm virsnieks atrada uzrakstu, kas liecina par konstrukciju senumu. Pēc neilga laika enerģiskais ģenerālmajors A. Kaningems uzzīmēja Hadžuraho detalizētus plānus. Sākās izrakumi, kas beidzās ar sensacionālu 22 tempļu atklāšanu. Tempļus uzcēla savas Čandelu dinastijas maharadžas. Pēc viņu karaļvalsts sabrukuma džungļi aprija ēkas uz tūkstoš gadiem. Ceturtās kārtas kvadrāts, kas atrasts starp kailu dievu un dieviešu attēliem, bija pārsteidzošs.

Ne tikai šī kvadrāta summas pa rindām, kolonnām un diagonālēm sakrita un bija vienādas ar 34. Tās sakrita arī pa šķeltajām diagonālēm, kas veidojas, kvadrātu saliekot torā, un abos virzienos. Šādai skaitļu burvībai šādus kvadrātus sauc par “velnišķīgiem” (vai “pandiagonāliem”, vai “nasik”).

Protams, tas liecināja par to veidotāju neparastajām matemātiskajām spējām, kas bija pārāki par koloniālistiem. Ko neizbēgami izjuta cilvēki baltajās ķiverēs.

DURERA MAĢISKAIS LAUKTS

Slavenais 16. gadsimta sākuma vācu mākslinieks Albrehts Durers izveidoja pirmo 4x4 burvju laukumu Eiropas mākslā. Ciparu summa jebkurā rindā, kolonnā, diagonālē un arī, pārsteidzoši, katrā ceturksnī (pat centrālajā laukumā) un pat stūra skaitļu summa ir 34. Divi vidējie skaitļi apakšējā rindā norāda datumu. gleznas tapšanas (1514). Pirmās kolonnas vidējos lauciņos ir veikti labojumi - skaitļi ir deformēti.

Attēlā ar okulto spārnoto peli Saturnu burvju kvadrātu veido spārnotais inteliģences Jupiters, kas pretojas viens otram. Kvadrāts ir simetrisks, jo jebkuru divu tajā iekļauto skaitļu summa, kas atrodas simetriski attiecībā pret tā centru, ir vienāda ar 17. Ja saskaitīsiet četrus skaitļus, kas iegūti ar šaha bruņinieka gājienu, jūs iegūsit 34. , šis laukums ar savu nevainojamo sakārtotību atspoguļo melanholiju, kas pārņēmusi mākslinieku.

Rīta sapnis.

Eiropiešus ar pārsteidzošiem skaitļu kvadrātiem iepazīstināja bizantiešu rakstnieks un valodnieks Moskopuls. Viņa darbs bija īpaša eseja par šo tēmu un saturēja autora burvju kvadrātu piemērus.

MAĢISKO LAUKTUMU SISTEMATIZĀCIJA

16. gadsimta vidū. Eiropā parādījās darbi, kuros maģiskie kvadrāti parādījās kā matemātiskās izpētes objekti. Tam sekoja daudzi citi darbi, jo īpaši tādi slaveni matemātiķi, dibinātāji mūsdienu zinātne, piemēram, Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessy, Euler, Gauss.

Maģisks, vai maģiskais kvadrāts, ir kvadrātveida tabula, kas aizpildīta ar n 2 skaitļiem tādā veidā, ka skaitļu summa katrā rindā, katrā kolonnā un abās diagonālēs ir vienāda. Definīcija ir nosacīta, jo senie cilvēki arī piešķīra nozīmi, piemēram, krāsai.

Normāls sauc par burvju kvadrātu, kas piepildīts ar veseliem skaitļiem no 1 līdz n 2. Parastie maģiskie kvadrāti pastāv visām kārtām, izņemot n = 2, lai gan gadījums n = 1 ir triviāls - kvadrāts sastāv no viena skaitļa.

Tiek izsaukta skaitļu summa katrā rindā, kolonnā un diagonālē burvju konstante M. Parasta maģiskā kvadrāta maģiskā konstante ir atkarīga tikai no n un tiek dota pēc formulas

M = n (n 2 + 1) /2

Pirmās maģisko konstantu vērtības ir norādītas tabulā

Ja skaitļu summa kvadrātā ir vienāda tikai rindās un kolonnās, tad to sauc daļēji maģisks. Burvju kvadrātu sauc asociatīvs vai simetrisks, ja jebkuru divu skaitļu summa, kas atrodas simetriski ap kvadrāta centru, ir vienāda ar n 2 + 1.

Ir tikai viens normāls trešās kārtas kvadrāts. Daudzi cilvēki viņu pazina. Ciparu izkārtojums Lo Shu laukumā ir līdzīgs simboliskajiem garu apzīmējumiem kabalā un Indijas astroloģijas zīmēm.

Zināms arī kā Saturna laukums. Dažas slepenās biedrības viduslaikos to uzskatīja par "deviņu kameru kabalu". Neapšaubāmi, aizliegtās maģijas nokrāsa daudz nozīmēja viņa attēlu saglabāšanai.

Tas bija svarīgs viduslaiku numeroloģijā, ko bieži izmantoja kā amuletu vai zīlēšanas palīglīdzekli. Katra šūna atbilst mistiskam burtam vai citam simbolam. Lasot kopā pa noteiktu līniju, šīs zīmes nodeva okultas ziņas. Cipari, kas veido dzimšanas datumu, tika ievietoti kvadrāta šūnās un pēc tam atšifrēti atkarībā no skaitļu nozīmes un atrašanās vietas.

Starp pandiagonālajiem, kā tos mēdz dēvēt, velnišķīgi maģiski kvadrāti izšķir simetriskos - ideālos. Velnišķīgais kvadrāts paliek velnišķīgs, ja to pagriežat, atspoguļojat, pārkārtojat rindu no augšas uz leju un otrādi, izsvītrojat kolonnu labajā vai kreisajā pusē un piešķirat to pretējā pusē. Kopumā ir piecas transformācijas, pēdējā diagramma ir parādīta attēlā

Ir 48 4x4 velnišķīgi kvadrāti ar rotācijas un atstarošanas precizitāti. Ja ņemam vērā arī simetriju attiecībā uz toriskajiem paralēlajiem tulkojumiem, tad paliek tikai trīs būtiski atšķirīgi 4x4 velnišķīgi kvadrāti:

Slavenais amerikāņu arhitekts Klods F. Bregdons atklāja, ka, savienojot vienu pēc otra šūnas ar tikai pāra vai tikai nepāra skaitu maģisko kvadrātu uz lauztas līnijas, vairumā gadījumu mēs iegūstam elegantu rakstu. Raksts, ko viņš izgudroja ventilācijas režģim Tirdzniecības kameras griestos Ročesterā, Ņujorkā, kur viņš dzīvoja, tika uzbūvēts no Lo-Shu talismana maģiskās lauztās līnijas. Bregdons izmantoja "burvju līnijas" kā audumu, grāmatu vāku, arhitektūras dekorāciju un dekoratīvo galvassegas dizainu.

Ja jūs izklājat vienādu velnišķīgu kvadrātu mozaīku (katram laukumam jābūt cieši blakus saviem kaimiņiem), jūs iegūsit kaut ko līdzīgu parketam, kurā skaitļi jebkurā 4x4 šūnu grupā veidos velnišķīgu kvadrātu. Cipari četrās šūnās, kas seko viena pēc otras, neatkarīgi no tā, kā tie atrodas - vertikāli, horizontāli vai pa diagonāli - vienmēr saskaita kvadrāta konstanti. Mūsdienu matemātiķi šādus kvadrātus sauc par "perfektiem".

LATVIEŠU LAUKUMS

Latīņu kvadrāts ir neregulāra matemātiska kvadrāta veids, kas piepildīts ar n dažādiem simboliem tā, ka visi n simboli parādās katrā rindā un katrā kolonnā (katrs vienu reizi).

Latīņu kvadrāti pastāv jebkuram n. Jebkurš latīņu kvadrāts ir kvazigrupas reizināšanas tabula (Cayley tabula). Nosaukums "Latīņu kvadrāts" cēlies no Leonharda Eilera, kurš tabulā ciparu vietā izmantoja latīņu burtus.

Tiek saukti divi latīņu kvadrāti ortogonāls, ja visi sakārtotie simbolu pāri (a,b) ir atšķirīgi, kur a ir simbols kādā pirmā latīņu kvadrāta šūnā, bet b ir simbols tajā pašā otrā latīņu kvadrāta šūnā.

Ortogonālie latīņu kvadrāti pastāv jebkurai secībai, izņemot 2 un 6. Ja n ir pirmskaitļa pakāpe, ir n–1 pāru ortogonālu latīņu kvadrātu kopa. Ja katrā latīņu kvadrāta diagonālē visi elementi ir atšķirīgi, šādu latīņu kvadrātu sauc diagonāli. Ortogonālu diagonālu latīņu kvadrātu pāri pastāv visām secībām, izņemot 2, 3 un 6. Latīņu kvadrāts bieži sastopams plānošanas problēmās, jo skaitļi rindās un kolonnās neatkārtojas.

Tiek saukts kvadrāts, kas sastāv no divu ortogonālu latīņu kvadrātu elementu pāriem Grieķu-latīņu laukums. Šādus kvadrātus bieži izmanto, lai izveidotu burvju kvadrātus un sarežģītās plānošanas problēmas.

Pētot grieķu-latīņu kvadrātus, Eilers pierādīja, ka otrās kārtas kvadrāti neeksistē, bet tika atrasti 3, 4 un 5 kārtas kvadrāti. Viņš neatrada nevienu 6. kārtas kvadrātu. Viņš izvirzīja hipotēzi, ka nepastāv pāra secības kvadrāti, kas nedalītos ar 4 (tas ir, 6, 10, 14 utt.). 1901. gadā Gastons Terijs ar brutālu spēku apstiprināja 6. kārtas hipotēzi. Taču 1959. gadā hipotēzi atspēkoja E. T. Pārkers, R. K. Bovs un S. S. Šrikherds, atklājot 10. kārtas grieķu-latīņu kvadrātu.

POLIMĪNO ARTŪRS KLĀRKS

Poliomino - sarežģītības ziņā tie noteikti pieder pie vissarežģītāko matemātisko kvadrātu kategorijas. Tā par viņu raksta zinātniskās fantastikas rakstnieks A. Klārks - zemāk fragments no grāmatas “Zemes impērija”. Acīmredzami, ka Klārks, dzīvodams savā salā, dzīvoja Ceilonā - un viņa atdalīšanās no sabiedrības filozofija pati par sevi ir interesanta, ieinteresējās par izklaidi, ko māca zēna vecmāmiņa, un nodeva to mums. Dosim priekšroku šim spilgtajam aprakstam, nevis esošajām sistematizācijām, kas, iespējams, izsaka spēles būtību, bet ne spēles garu.

"Tu tagad esi pietiekami liels zēns, Dankan, un jūs varēsit saprast šo spēli... tomēr tas ir daudz vairāk nekā spēle." Pretēji vecmāmiņas vārdiem, Dankanu spēle nepārsteidza. Nu, ko jūs varat izgatavot no pieciem baltiem plastmasas kvadrātiem?

"Vispirms," turpināja vecmāmiņa, "jums ir jāpārbauda, cik daudz dažādu rakstu jūs varat salikt no kvadrātiem."

– Vai viņiem jāguļ uz galda? – Dankans jautāja.

– Jā, viņiem vajadzētu gulēt aizkustinoši. Jūs nevarat pārklāt vienu kvadrātu ar otru.

Dankans sāka izkārtot laukumus.

"Nu, es varu tos visus salikt taisnā līnijā," viņš iesāka. "Šādi... Un tad es varu pārkārtot divus gabalus un iegūt burtu L... Un, ja es satveru otru malu, es saņemšu burtu U...”

Zēns ātri izdomāja pusduci kombināciju, pēc tam vairāk un pēkšņi atklāja, ka tās atkārto esošās.

– Varbūt esmu stulba, bet tas arī viss.

Dankans palaida garām visvienkāršāko figūru - krustu, kura izveidošanai pietika izkārtot četrus kvadrātus piektā, centrālā, malās.

"Lielākā daļa cilvēku sāk ar krustu," vecmāmiņa pasmaidīja. "Manuprāt, jūs pārāk pārsteidzīgi pasludinājāt sevi par stulbu." Labāk padomājiet: vai varētu būt vēl kādi skaitļi?

Koncentrēts kustinot kvadrātus, Dankans atrada vēl trīs figūras un pēc tam pārtrauca meklēšanu.

"Tagad tas noteikti ir beidzies," viņš pārliecinoši teica.

– Ko jūs varat teikt par šādu figūru?

Nedaudz pakustinājusi kvadrātus, vecmāmiņa tos salocīja kuprīta F burta formā.

- Un šeit ir vēl viena.

Dankans jutās kā pilnīgs idiots, un vecmāmiņas vārdi bija kā balzams viņa apmulsušajai dvēselei:

– Tu esi vienkārši lielisks. Padomājiet, es palaidu garām tikai divus gabalus. Un kopējais skaitļu skaits ir divpadsmit. Ne vairāk un ne mazāk. Tagad jūs tos visus zināt. Ja jūs meklējat mūžību, jūs nekad neatradīsit citu.

Vecmāmiņa ieslaucīja piecus baltus kvadrātus stūrī un izlika uz galda duci košu, daudzkrāsainu plastmasas gabalu. Tās bija tās pašas divpadsmit figūras, bet gatavā formā, un katra sastāvēja no pieciem kvadrātiem. Dankans jau bija gatavs piekrist, ka citas figūras īsti nepastāv.

Bet, tā kā vecmāmiņa izklāja šīs daudzkrāsainās svītras, tas nozīmē, ka spēle turpinās, un Dankanu gaidīja vēl viens pārsteigums.

– Tagad, Dankan, klausies uzmanīgi. Šos skaitļus sauc par "pentaminoēm". Nosaukums cēlies no grieķu vārda "penta", kas nozīmē "pieci". Visas figūras ir vienādas pēc platības, jo katra sastāv no pieciem identiskiem kvadrātiem. Ir divpadsmit figūras, pieci kvadrāti, tāpēc kopējais laukums būs vienāds ar sešdesmit kvadrātiem. Pa labi?

- Hmm jā.

- Klausies tālāk. Sešdesmit ir brīnišķīgs apaļš skaitlis, ko var sastādīt vairākos veidos. Vienkāršākais ir reizināt desmit ar sešiem. Šai kastītei ir šāds laukums: tajā var ievietot desmit kvadrātus horizontāli un sešus vertikāli. Tāpēc tajā jāietilpst visām divpadsmit figūrām. Vienkārša, kā salikta attēla mīkla.

Dankans gaidīja noķeršanu. Vecmāmiņai ļoti patika verbālie un matemātiskie paradoksi, un ne visi no tiem bija saprotami viņas desmit gadus vecajam upurim. Taču šoreiz paradoksu nebija. Kastes apakšā bija sešdesmit kvadrāti, kas nozīmē... Stop! Laukums ir apgabals, bet figūrām ir dažādas formas. Mēģiniet tos dabūt kastē!

"Es atstāšu šo uzdevumu jums pašam atrisināt," paziņoja vecmāmiņa, redzot, kā viņš skumji pārvietoja pentomino gar kastes apakšu. "Ticiet man, tos var salikt."

Drīz Dankans sāka stipri šaubīties par vecmāmiņas vārdiem. Viņam viegli izdevās kastē ievietot desmit figūras, un vienreiz izdevās izspiest vienpadsmito. Taču nepiepildītās telpas aprises nesakrita ar divpadsmitās figūras aprisēm, ko zēns grieza rokās. Tur bija krusts, un atlikušā figūra atgādināja burtu Z...

Vēl pēc pusstundas Dankans jau bija uz izmisuma robežas. Vecmāmiņa bija iegrimusi dialogā ar datoru, bet ik pa laikam ar interesi uz to paskatījās, it kā teiktu: "Tas nav tik vienkārši, kā jūs domājāt."

Desmit gadu vecumā Dankans bija manāmi spītīgs. Lielākā daļa viņa vienaudžu jau sen būtu atmetuši mēģinājumus. (Tikai pēc vairākiem gadiem viņš saprata, ka vecmāmiņa viņam graciozi veica psiholoģisko pārbaudi.) Dankans izturēja gandrīz četrdesmit minūtes bez palīdzības...

Tad vecmāmiņa piecēlās no datora un noliecās pie puzles. Viņas pirksti pārvietoja U, X un L formas...

Kastes apakšdaļa bija pilnībā piepildīta! Visi puzles gabaliņi atradās pareizajās vietās.

– Protams, jūs jau iepriekš zinājāt atbildi! – Dankans aizvainots ievilka.

- Atbildēt? - jautāja vecmāmiņa. "Kā jūs domājat, cik dažādos veidos var ievietot pentomino šajā kastē?"

Lūk, slazds. Dankans šķendējās gandrīz stundu, neatrodot risinājumu, lai gan šajā laikā viņš izmēģināja vismaz simts variantus. Viņš domāja, ka ir tikai viens ceļš. Vai tie varētu būt... divpadsmit? Vai vairāk?

- Tātad, cik daudz veidu, jūsuprāt, varētu būt? – vecmāmiņa vēlreiz jautāja.

"Divdesmit," Dankans izpļāpāja, domādams, ka tagad vecmāmiņai tas nebūtu iebildumu.

- Mēģini vēlreiz.

Dankans sajuta briesmas. Jautrība izrādījās daudz viltīgāka, nekā viņš domāja, un zēns gudri nolēma neriskēt.

"Patiesībā es nezinu," viņš teica, pakratīdams galvu.

"Un jūs esat uzņēmīgs zēns," vecmāmiņa atkal pasmaidīja. "Intuīcija ir bīstams ceļvedis, bet dažreiz mums nav cita." Es varu jūs iepriecināt: šeit nav iespējams uzminēt pareizo atbildi. Ir vairāk nekā divi tūkstoši dažādu veidu, kā ievietot pentomino šajā kastē. Precīzāk, divi tūkstoši trīs simti trīsdesmit deviņi. Un ko tu saki uz šo?

Maz ticams, ka vecmāmiņa viņu maldināja. Bet Dankans bija tik sarūgtināts par nespēju atrast risinājumu, ka viņš nevarēja vien izrunāt:

- ES neticu!

Helēna reti izrādīja aizkaitinājumu. Kad Dankans viņu kaut kādā veidā aizvainoja, viņa vienkārši kļuva auksta un attālināta. Tomēr tagad vecmāmiņa tikai pasmīnēja un kaut ko piesita datora klaviatūrai.

"Paskaties šeit," viņa ieteica.

Ekrānā parādījās divpadsmit daudzkrāsainu pentomino, kas aizpildīja desmit reiz sešus lielu taisnstūri. Dažas sekundes vēlāk tas tika aizstāts ar citu attēlu, kur figūras, visticamāk, atradās citādi (Dankans nevarēja droši pateikt, jo neatcerējās pirmo kombināciju). Drīz vien attēls atkal mainījās, tad atkal un atkal... Tas turpinājās, līdz vecmāmiņa pārtrauca programmu.

"Pat lielā ātrumā datoram būs vajadzīgas piecas stundas, lai veiktu visas metodes," paskaidroja vecmāmiņa. "Varat pieņemt manu vārdu: tie visi ir atšķirīgi." Ja nebūtu datoru, es šaubos, vai cilvēki būtu atraduši visus veidus, izmantojot parasto iespēju uzskaitījumu.

Dankans ilgi skatījās uz divpadsmit mānīgi vienkāršajām figūrām. Viņš lēnām sagremoja vecmāmiņas vārdus. Šī bija pirmā matemātiskā atklāsme viņa dzīvē. To, ko viņš tik pārsteidzīgi uzskatīja par parastu bērna spēli, viņa priekšā pēkšņi sāka atklāties bezgalīgi ceļi un apvāršņi, lai gan pat apdāvinātākais desmit gadus vecs bērns diez vai spētu sajust šī Visuma bezgalību.

Bet tad Dankana sajūsma un bijība bija pasīva. Īsts intelektuālās baudas sprādziens notika vēlāk, kad viņš patstāvīgi atrada savu pirmo pentomino likšanas metodi. Vairākas nedēļas Dankans visur nēsāja līdzi plastmasas kasti. Visu savu brīvo laiku viņš pavadīja tikai uz pentomino. Figūras pārvērtīsies par Dankana personīgajiem draugiem. Viņš tos sauca pēc burtiem, kuriem tie līdzinājās, lai gan dažos gadījumos līdzība bija vairāk nekā tāla. Pieci cipari - F, I, L, P, N - bija pretrunīgi, bet atlikušie septiņi atkārtoja latīņu alfabēta secību: T, U, V, W, X, Y, Z.

Kādu dienu ģeometriskā transa vai ģeometriskās ekstāzes stāvoklī, kas nekad neatkārtojās, Dankans atrada piecas stila iespējas mazāk nekā stundas laikā. Varbūt pat Ņūtons, Einšteins vai Čendzi savos patiesības brīžos nejutās ciešāk saistīti ar matemātikas dieviem kā Dankans Makenzijs.

Drīz viņš pats, bez vecmāmiņas pamudinājuma, saprata, ka pentomino var ievietot taisnstūrī ar dažādu izmēru malām. Diezgan viegli Dankans atrada vairākas iespējas taisnstūriem 5 x 12 un 4 x 15. Tad viņš veselu nedēļu cieta, mēģinot ievietot divpadsmit figūras garākā un šaurākā taisnstūrī 3 x 20. Atkal un atkal viņš sāka aizpildīt nodevīgo vietu un ... iegūstiet caurumus taisnstūrī un "papildus" figūras.

Izpostīts, Dankans apciemoja vecmāmiņu, kur viņu gaidīja jauns pārsteigums.

"Es priecājos par jūsu eksperimentiem," sacīja Helēna. "Jūs izpētījāt visas iespējas, mēģinot iegūt vispārēju modeli." Tā vienmēr dara matemātiķi. Bet jūs kļūdāties: trīs reiz divdesmit taisnstūra risinājumi pastāv. Ir tikai divi no tiem, un, ja jūs atradīsiet vienu, jūs varēsiet atrast otro.

Iedvesmojoties no vecmāmiņas uzslavām, Dankans ar jaunu sparu turpināja “pentomino medības”. Vēl pēc nedēļas viņš sāka saprast, kādu nepanesamu nastu uzlicis uz saviem pleciem. Divpadsmit figūru sakārtošanas veidu skaits Dankanam bija vienkārši prātam neaptverams. Turklāt katrai figūrai bija četras pozīcijas!

Un atkal viņš ieradās pie vecmāmiņas, stāstot viņai visas savas grūtības. Ja taisnstūrim 3 x 20 būtu tikai divas iespējas, cik ilgs laiks būtu nepieciešams, lai tās atrastu?

"Ja jūs, lūdzu, es jums atbildēšu," sacīja vecmāmiņa. "Ja jūs rīkotos kā bezsmadzeņu dators, veicot vienkāršu kombināciju meklēšanu un katrai tērējot vienu sekundi, jums vajadzētu..." Šeit viņa apzināti apstājās. “Jums būtu vajadzīgi vairāk nekā seši miljoni... jā, vairāk nekā seši miljoni gadu.

Zemisks vai titānisks? Šis jautājums uzreiz ienāca Dankana prātā. Bet kāda starpība?

"Bet jūs atšķiras no bezsmadzeņu datora," vecmāmiņa turpināja. "Jūs uzreiz redzat acīmredzami nepiemērotas kombinācijas, un tāpēc jums nav jātērē laiks to pārbaudei." Mēģini vēlreiz.

Dankans paklausīja, jau bez entuziasma un ticības panākumiem. Un tad viņam ienāca prātā ģeniāla ideja.

Kārli uzreiz ieinteresēja pentomino un viņš pieņēma izaicinājumu. Viņš paņēma no Dankana kasti ar figūrām un pazuda uz vairākām stundām.

Kad Kārlis viņam piezvanīja, viņa draugs izskatījās nedaudz satraukts.

– Vai esat pārliecināts, ka šai problēmai tiešām ir risinājums? - viņš jautāja.

– Pilnīgi droši. Tādas ir divas. Vai tiešām neesat atradis vismaz vienu? Man likās, ka tev lieliski padodas matemātika.

"Iedomājieties, es varu to izdomāt, tāpēc es zinu, cik daudz darba prasa jūsu uzdevums." Mums ir jāpārbauda... miljons miljardu iespējamo kombināciju.

– Kā jūs zinājāt, ka viņu ir tik daudz? – Dankans jautāja, apmierināts, ka viņam vismaz izdevās panākt, lai draugs neizpratnē pakasītu galvu.

Kārlis paskatījās uz sāniem uz papīra lapu, kurā bija dažas diagrammas un skaitļi.

– Ja izslēdzat nepieņemamas kombinācijas un ņemat vērā simetriju un rotācijas iespēju... jūs iegūstat faktoriālu... kopējo permutāciju skaitu... jūs joprojām nesapratīsit. Es labāk parādīšu pašu numuru.

Viņš ienesa kamerā vēl vienu papīra lapu, uz kuras bija ļoti detalizēti attēlota iespaidīga ciparu virkne:

1 004 539 160 000 000.

Dankans neko nezināja par faktoriāliem, taču viņam nebija šaubu par Kārļa aprēķinu precizitāti. Viņam ļoti patika garais numurs.

"Tātad vai jūs atteiksities no šī uzdevuma?" – Dankans uzmanīgi jautāja.

- Kas vēl! Es tikai gribēju jums parādīt, cik tas ir grūti.

Kārļa seja pauda drūmu apņēmību. Pateicis šos vārdus, viņš nomira.

Nākamajā dienā Dankans piedzīvoja vienu no lielākajiem satricinājumiem viņa bērnības dzīvē. Kārļa nomāktā seja ar asinīm pielietām acīm skatījās uz viņu no ekrāna. Bija jūtams, ka viņš pavadījis bezmiegu nakti.

"Nu, tas arī viss," viņš paziņoja nogurušā, bet triumfējošā balsī.

Dankans ar grūtībām noticēt savām acīm. Viņam šķita, ka izredzes gūt panākumus ir niecīgas. Viņš pat sevi par to pārliecināja. Un pēkšņi... Viņa priekšā gulēja trīs reiz divdesmit taisnstūris, kas bija piepildīts ar visām divpadsmit pentomino figūrām.

Tad Kārlis samainīja un pagrieza gabalus galos, atstājot centrālo daļu neskartu. Viņa pirksti nedaudz trīcēja no noguruma.

"Šis ir otrs risinājums," viņš paskaidroja, "Un tagad es iešu gulēt." Tātad ar labu nakti vai labrīt - kā jums patīk.

Pazemotais Dankans ilgi skatījās uz aptumšoto ekrānu. Viņš nezināja, uz kuru pusi Kārlis pārvietojās, taustīdamies pēc mīklas atrisinājuma. Bet viņš zināja, ka viņa draugs bija uzvarējis. Brīnumainā kārtā.

Viņš neapskauda drauga uzvaru. Dankans pārāk mīlēja Kārli un vienmēr priecājās par viņa panākumiem, lai gan viņš pats bieži atradās zaudētāju pusē. Taču mana drauga triumfā šodien bija kaut kas savādāks, kaut kas gandrīz maģisks.

Dankans pirmo reizi ieraudzīja intuīcijas spēku. Viņš saskārās ar noslēpumaino prāta spēju izlauzties ārpus faktiem un mest malā traucējošo loģiku. Dažu stundu laikā Karls pabeidza kolosālu darbu, pārspējot ātrāko datoru.

Pēc tam Dankans uzzināja, ka visiem cilvēkiem ir šādas spējas, taču viņi tās izmanto ārkārtīgi reti - varbūt vienu reizi savā dzīvē. Kārlim šī dāvana guva izcilu attīstību... Kopš tā brīža Dankans sāka nopietni uztvert sava drauga spriedumus, pat vissmieklīgākos un nežēlīgākos no veselā saprāta viedokļa.

Tas bija pirms divdesmit gadiem. Dankans neatcerējās, kur bija pazuduši plastmasas pentomino gabali. Varbūt viņi palika kopā ar Kārli.

Vecmāmiņas dāvana kļuva par viņu jauno iemiesojumu, tagad daudzkrāsainu akmens gabalu veidā. Apbrīnojamais, maigi rozā granīts bija no Galileja kalniem, obsidiāns bija no Huygens plato, un pseido-marmors bija no Herschel grēdas. Un starp tiem... sākumā Dankans domāja, ka ir kļūdījies. Nē, tā tas ir: tas bija retākais un noslēpumainākais Titāna minerāls. Mana vecmāmiņa izgatavoja akmens pentomīno krustu no titanīta. Šo zili melno minerālu ar zeltainiem ieslēgumiem nevar sajaukt ne ar ko. Dankans nekad iepriekš nebija redzējis tik lielus gabalus un varēja tikai minēt, cik tas maksā.

"Es nezinu, ko teikt," viņš nomurmināja. "Kāds skaistums." Šī ir pirmā reize, kad es to redzu.

Viņš apskāva vecmāmiņas tievos plecus un pēkšņi sajuta, ka tie trīc un viņa nespēj apturēt trīci. Dankans maigi turēja viņu savās rokās, līdz viņas pleci pārstāja trīcēt. Tādos brīžos vārdi nav vajadzīgi. Skaidrāk nekā iepriekš Dankans saprata: viņa bija pēdējā mīlestība Helēnas Makenzijas izpostītajā dzīvē. Un tagad viņš aizlido, atstājot viņu vienu ar savām atmiņām.

LIELS BURVJU LAUKTS

13. gadsimta ķīniešu matemātiķis Jans Hui bija pazīstams ar Paskāla trīsstūri (aritmētisko trīsstūri). Viņš atstāja 4. un augstākas pakāpes vienādojumu risināšanas metožu aprakstu, ir noteikumi pilnīga kvadrātvienādojuma atrisināšanai, progresiju summēšanai un maģisko kvadrātu konstruēšanas metodes. Viņam izdevās uzbūvēt sestās kārtas maģisko kvadrātu, un pēdējais izrādījās gandrīz asociatīvs (tajā tikai divi centrāli pretēju skaitļu pāri nedod summu 37).

Bendžamins Franklins izveidoja 16x16 kvadrātu, kuram papildus nemainīgai summai 2056 visās rindās, kolonnās un diagonālēs bija vēl viens papildu īpašums. Ja mēs no papīra lapas izgriežam 4x4 kvadrātu un novietojam šo lapu uz liela kvadrāta tā, lai šajā slotā iekristu 16 lielākā kvadrāta šūnas, tad šajā slotā redzamo skaitļu summa neatkarīgi no tā, kur mēs to ievietojam , būs tas pats - 2056.

Vērtīgākais šajā laukumā ir tas, ka to ir diezgan viegli pārveidot par perfektu burvju kvadrātu, savukārt ideālu burvju kvadrātu konstruēšana nav viegls uzdevums. Franklins šo laukumu sauca par "burvīgāko burvību no visiem burvju laukumiem, ko jebkad radījuši burvji".

MAĢISKAIS Kvadrāts, kvadrātveida veselu skaitļu tabula, kurā skaitļu summas jebkurā rindā, jebkurā kolonnā un jebkurā no divām galvenajām diagonālēm ir vienādas ar vienu un to pašu skaitli.

Burvju kvadrāts ir senās ķīniešu izcelsmes. Saskaņā ar leģendu, imperatora Ju valdīšanas laikā (ap 2200. g. p.m.ē.) no Dzeltenās upes (Dzeltenās upes) ūdeņiem uzpeldēja svēts bruņurupucis, kura čaulā bija ierakstīti noslēpumaini hieroglifi (1. att. A), un šīs zīmes ir pazīstamas kā lo-shu un ir līdzvērtīgas maģiskajam kvadrātam, kas parādīts attēlā. 1, b. 11. gadsimtā Par burvju laukumiem viņi uzzināja Indijā, bet pēc tam Japānā, kur 16. gs. Burvju laukumiem ir veltīta plaša literatūra. Eiropieši tika iepazīstināti ar burvju laukumiem 15. gadsimtā. Bizantijas rakstnieks E. Moskopuls. Par pirmo eiropieša izgudroto kvadrātu tiek uzskatīts A. Durera kvadrāts (2. att.), kas attēlots viņa slavenajā gravīrā. Melanholija 1. Gravējuma tapšanas datums (1514) norādīts ar cipariem abās apakšējās līnijas centrālajās šūnās. Maģiskajiem kvadrātiem tika piedēvētas dažādas mistiskas īpašības. 16. gadsimtā Kornēlijs Heinrihs Agripa uzbūvēja 3., 4., 5., 6., 7., 8. un 9. kārtas kvadrātus, kas bija saistīti ar 7 planētu astroloģiju. Tika uzskatīts, ka sudrabā iegravēts burvju kvadrāts pasargā no mēra. Arī mūsdienās starp Eiropas zīlnieku atribūtiem var redzēt burvju kvadrātus.

19. un 20. gadsimtā. interese par burvju laukumiem uzliesmoja ar jaunu sparu. Tos sāka pētīt, izmantojot augstākās algebras un operatīvā aprēķina metodes.

Katru burvju kvadrāta elementu sauc par šūnu. Kvadrāts, kura mala sastāv no nšūnas, satur n 2 šūnas un to sauc par kvadrātu n-tais pasūtījums. Lielākā daļa burvju kvadrātu izmanto pirmo n secīgi naturālie skaitļi. Summa S skaitļus katrā rindā, katrā kolonnā un jebkurā diagonālē sauc par kvadrātveida konstanti un ir vienāds ar S = n(n 2 + 1)/2. Ir pierādīts, ka nі 3. 3. kārtas kvadrātam S= 15, 4. secība – S= 34, 5. secība – S = 65.

Abas diagonāles, kas iet caur kvadrāta centru, sauc par galvenajām diagonālēm. Lauzīta līnija ir diagonāle, kas, sasniegusi kvadrāta malu, turpinās paralēli pirmajam segmentam no pretējās malas (šādu diagonāli veido ēnotās šūnas 3. att.). Šūnas, kas ir simetriskas pret kvadrāta centru, sauc par šķībi simetriskām. Tās ir, piemēram, šūnas a Un b attēlā. 3.

Maģiskos nepāra secības kvadrātus var konstruēt, izmantojot 17. gadsimta franču ģeometra metodi. A. de la Lubera. Apskatīsim šo metodi, izmantojot 5. kārtas kvadrāta piemēru (4. att.). Numurs 1 ir ievietots augšējās rindas centrālajā šūnā. Visi naturālie skaitļi ir sakārtoti dabiskā secībā cikliski no apakšas uz augšu diagonālās šūnās no labās uz kreiso pusi. Sasniedzot kvadrāta augšējo malu (kā skaitļa 1 gadījumā), mēs turpinām aizpildīt diagonāli, sākot no nākamās kolonnas apakšējās šūnas. Sasniedzot kvadrāta labo malu (numurs 3), mēs turpinām aizpildīt diagonāli, kas nāk no augšējās līnijas kreisās šūnas. Sasniedzot aizpildītu šūnu (numurs 5) vai stūri (numurs 15), trajektorija iet uz leju par vienu šūnu, pēc kuras aizpildīšanas process turpinās.

F. de la Hire (1640–1718) metodes pamatā ir divi oriģinālie kvadrāti. Attēlā 5. attēlā parādīts, kā šī metode tiek izmantota 5. kārtas kvadrāta konstruēšanai. Cipari no 1 līdz 5 tiek ievadīti pirmā kvadrāta šūnā tā, lai cipars 3 tiktu atkārtots galvenās diagonāles šūnās, kas virzās uz augšu pa labi, un neviens skaitlis neatrodas divreiz vienā rindā vai tajā pašā kolonna. To pašu darām ar skaitļiem 0, 5, 10, 15, 20 ar vienīgo atšķirību, ka tagad galvenās diagonāles šūnās atkārtojas skaitlis 10, virzoties no augšas uz leju (5. att., b). Šo divu kvadrātu summa pa šūnām (5. att., V) veido burvju kvadrātu. Šo metodi izmanto arī vienmērīgas secības kvadrātu konstruēšanai.

Ja jūs zināt veidu, kā izveidot secības kvadrātus m un pasūtiet n, tad mēs varam izveidot secības kvadrātu mґ n. Šīs metodes būtība ir parādīta attēlā. 6. Šeit m= 3 un n= 3. Lielāku 3. kārtas kvadrātu (ar skaitļiem, kas apzīmēti ar pirmskaitļiem) konstruē, izmantojot de la Loubert metodi. Šūnā ar skaitli 1ў (augšējās rindas centrālā šūna) iederas 3. kārtas kvadrāts no skaitļiem no 1 līdz 9, kas arī izveidots pēc de la Luberta metodes. Šūnā ar skaitli 2ў (pa labi apakšējā rindā) iederas 3. kārtas kvadrāts ar cipariem no 10 līdz 18; šūnā ar skaitli 3ў - skaitļu kvadrāts no 19 līdz 27 utt. Rezultātā mēs iegūstam 9. kārtas kvadrātu. Šādus kvadrātus sauc par saliktiem.

MAĢISKAIS LAUKTS
kvadrātveida veselu skaitļu tabula, kurā skaitļu summas jebkurā rindā, jebkurā kolonnā un jebkurā no divām galvenajām diagonālēm ir vienādas ar vienu un to pašu skaitli. Burvju kvadrāts ir senās ķīniešu izcelsmes. Saskaņā ar leģendu, imperatora Ju valdīšanas laikā (ap 2200. g. p.m.ē.) no Dzeltenās upes (Dzeltenās upes) ūdeņiem uzpeldēja svētais bruņurupucis, uz kura čaumalas bija uzrakstīti noslēpumaini hieroglifi (1.a att.), un šīs zīmes ir pazīstami kā lo-shu un ir līdzvērtīgi maģiskajam kvadrātam, kas parādīts attēlā. 1, b. 11. gadsimtā Par burvju laukumiem viņi uzzināja Indijā, bet pēc tam Japānā, kur 16. gs. Burvju laukumiem ir veltīta plaša literatūra. Eiropieši tika iepazīstināti ar burvju laukumiem 15. gadsimtā. Bizantijas rakstnieks E. Moskopuls. Par pirmo eiropieša izgudroto kvadrātu tiek uzskatīts A. Durera kvadrāts (2. att.), kas attēlots viņa slavenajā gravīrā Melanholija 1. Gravīras tapšanas datums (1514) norādīts ar cipariem abos centrālajos. apakšējās līnijas šūnas. Maģiskajiem kvadrātiem tika piedēvētas dažādas mistiskas īpašības. 16. gadsimtā Kornēlijs Heinrihs Agripa uzbūvēja 3., 4., 5., 6., 7., 8. un 9. kārtas kvadrātus, kas bija saistīti ar 7 planētu astroloģiju. Tika uzskatīts, ka sudrabā iegravēts burvju kvadrāts pasargā no mēra. Arī mūsdienās starp Eiropas zīlnieku atribūtiem var redzēt burvju kvadrātus.

19. un 20. gadsimtā. interese par burvju laukumiem uzliesmoja ar jaunu sparu. Tos sāka pētīt, izmantojot augstākās algebras un operatīvā aprēķina metodes. Katru burvju kvadrāta elementu sauc par šūnu. Kvadrāts, kura mala sastāv no n šūnām, satur n2 šūnas, un to sauc par n-tās kārtas kvadrātu. Lielākajā daļā maģisko kvadrātu tiek izmantoti pirmie n naturālie skaitļi pēc kārtas. S skaitļu summu katrā rindā, katrā kolonnā un jebkurā diagonālē sauc par kvadrātveida konstanti, un tā ir vienāda ar S = n(n2 + 1)/2. Ir pierādīts, ka n = 3. 3. kārtas kvadrātam S = 15, 4. kārtas - S = 34, 5. kārtas - S = 65. Abas diagonāles, kas iet caur kvadrāta centru, sauc par galvenajām diagonālēm. Lauzīta līnija ir diagonāle, kas, sasniegusi kvadrāta malu, turpinās paralēli pirmajam segmentam no pretējās malas (šādu diagonāli veido ēnotās šūnas 3. att.). Šūnas, kas ir simetriskas pret kvadrāta centru, sauc par šķībi simetriskām. Tās ir, piemēram, šūnas a un b attēlā. 3.

Maģisko kvadrātu konstruēšanas noteikumi ir sadalīti trīs kategorijās atkarībā no tā, vai kvadrāta secība ir nepāra, vienāda ar divreiz nepāra skaitli vai četras reizes nepāra skaitli. Vispārīga metode visu kvadrātu konstruēšanai nav zināma, lai gan tiek plaši izmantotas dažādas shēmas, dažas no kurām mēs aplūkosim tālāk. Maģiskos nepāra secības kvadrātus var konstruēt, izmantojot 17. gadsimta franču ģeometra metodi. A. de la Lubera. Apskatīsim šo metodi, izmantojot 5. kārtas kvadrāta piemēru (4. att.). Numurs 1 ir ievietots augšējās rindas centrālajā šūnā. Visi naturālie skaitļi ir sakārtoti dabiskā secībā cikliski no apakšas uz augšu diagonālās šūnās no labās uz kreiso pusi. Sasniedzot kvadrāta augšējo malu (kā skaitļa 1 gadījumā), mēs turpinām aizpildīt diagonāli, sākot no nākamās kolonnas apakšējās šūnas. Sasniedzot kvadrāta labo malu (numurs 3), mēs turpinām aizpildīt diagonāli, kas nāk no augšējās līnijas kreisās šūnas. Sasniedzot aizpildītu šūnu (numurs 5) vai stūri (numurs 15), trajektorija iet uz leju par vienu šūnu, pēc kuras aizpildīšanas process turpinās.

F. de la Hire (1640-1718) metodes pamatā ir divi oriģinālie kvadrāti. Attēlā 5. attēlā parādīts, kā šī metode tiek izmantota 5. kārtas kvadrāta konstruēšanai. Cipari no 1 līdz 5 tiek ievadīti pirmā kvadrāta šūnā tā, lai cipars 3 tiktu atkārtots galvenās diagonāles šūnās, kas virzās uz augšu pa labi, un neviens skaitlis neatrodas divreiz vienā rindā vai tajā pašā kolonna. To pašu darām ar skaitļiem 0, 5, 10, 15, 20 ar vienīgo atšķirību, ka tagad galvenās diagonāles šūnās atkārtojas skaitlis 10, virzoties no augšas uz leju (5. att., b). Šo divu kvadrātu šūnu summa (5.c att.) veido maģisku kvadrātu. Šo metodi izmanto arī vienmērīgas secības kvadrātu konstruēšanai.

Ja jūs zināt, kā izveidot kvadrātus ar secību m un secību n, tad varat izveidot kvadrātu ar secību mґn. Šīs metodes būtība ir parādīta attēlā. 6. Šeit m = 3 un n = 3. Ar de la Loubert metodi konstruē lielāku 3. kārtas kvadrātu (ar skaitļiem, kas apzīmēti ar pirmskaitļiem). Šūnā ar skaitli 1ў (augšējās rindas centrālā šūna) iederas 3. kārtas kvadrāts no skaitļiem no 1 līdz 9, kas arī izveidots pēc de la Luberta metodes. Šūnā ar skaitli 2ў (pa labi apakšējā rindā) iederas 3. kārtas kvadrāts ar cipariem no 10 līdz 18; šūnā ar skaitli 3ў - skaitļu kvadrāts no 19 līdz 27 utt. Rezultātā mēs iegūstam 9. kārtas kvadrātu. Šādus kvadrātus sauc par saliktiem.

Koljēra enciklopēdija. - Atvērtā sabiedrība. 2000 .

Skatiet, kas ir "MAGIC SQUARE" citās vārdnīcās:

Kvadrāts, kas sadalīts vienādā skaitā n kolonnu un rindu, ar pirmajiem n2 naturālajiem skaitļiem, kas ierakstīti iegūtajās šūnās, kas katrai kolonnai, katrai rindai un divām lielām diagonālēm veido vienādu skaitli... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

MAGIC SQUARE, kvadrātveida MATRIKS, kas sadalīts šūnās un noteiktā veidā piepildīts ar cipariem vai burtiem, fiksējot īpašu maģisku situāciju. Visizplatītākais burtu kvadrāts ir SATOR, kas sastāv no vārdiem SATOR, AREPO,... ... Zinātniskā un tehniskā enciklopēdiskā vārdnīca

Kvadrāts, kas sadalīts vienādā skaitā n kolonnu un rindu, ar naturāliem skaitļiem no 1 līdz n2, kas ierakstīti iegūtajās šūnās, kas katrai kolonnai, katrai rindai un divām lielām diagonālēm veido vienādu skaitli. Attēlā piemērs M. k. s...... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

Maģiskais vai maģiskais kvadrāts ir kvadrātveida tabula, kas piepildīta ar skaitļiem tādā veidā, ka skaitļu summa katrā rindā, katrā kolonnā un abās diagonālēs ir vienāda. Ja skaitļu summas kvadrātā ir vienādas tikai rindās un kolonnās, tad ... Wikipedia

Kvadrāts, kas sadalīts vienādā skaitā n kolonnu un rindu, ar pirmajiem n2 naturālajiem skaitļiem, kas ierakstīti iegūtajās šūnās, kas katrai kolonnai, katrai rindai un divām lielām diagonālēm veido tādu pašu skaitli [vienāds ar... ... Lielā padomju enciklopēdija

Kvadrātveida veselu skaitļu tabula no 1 līdz n2, kas atbilst šādiem nosacījumiem: kur s=n(n2+1)/2. Tiek ņemti vērā arī vispārīgāki matemātiski vienādojumi, kuros nevienam skaitlim a nav jābūt unikāli raksturotam ar atlikumu pāri (a, b) modulo n(cipari... Matemātiskā enciklopēdija

Grāmata Kvadrāts, kas sadalīts daļās, un katrā no tām ir skaitlis, kas kopā ar citiem horizontāli, vertikāli vai pa diagonāli tiek summēts. BTS, 512… Liela krievu teicienu vārdnīca

- (grieķu magikos, no magos burvis). Maģisks, saistīts ar maģiju. Krievu valodā iekļauto svešvārdu vārdnīca. Čudinovs A.N., 1910. MAĢISKĀ maģija. Krievu valodā iekļauto svešvārdu vārdnīca. Pavļenkovs F., 1907... Krievu valodas svešvārdu vārdnīca

Tā ir maģiskā kvadrāta trīsdimensiju versija. Tradicionālais (klasiskais) burvju kubs n kārtībā ir kubs ar izmēriem n × n × n, kas piepildīts ar dažādiem naturāliem skaitļiem no 1 līdz n3, lai skaitļu summas jebkurā no 3n2 rindām, ... ... Wikipedia

Grāmatas

Maģiskais laukums, Irina Bjorno, “Maģiskais laukums” ir maģiskā reālisma stilā rakstīts stāstu un stāstu krājums, kurā realitāte ir cieši savīta ar maģiju un fantāziju, veidojot jaunu, maģisku stilu -... Kategorija: Šausmas un noslēpumi Izdevējs: Publishing Solutions, e-grāmata(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Ievads

Lielie senatnes zinātnieki uzskatīja kvantitatīvās attiecības par pasaules būtības pamatu. Tāpēc skaitļi un to attiecības nodarbināja vislielākos cilvēces prātus. "Savās jaunības dienās es brīvajā laikā izklaidējos, veidojot... burvju kvadrātus," rakstīja Bendžamins Franklins. Maģiskais kvadrāts ir kvadrāts, kura skaitļu summa katrā horizontālajā rindā, katrā vertikālajā rindā un pa diagonāli ir vienāda.

Daži izcili matemātiķi savu darbu veltīja maģiskiem kvadrātiem, un viņu iegūtie rezultāti ietekmēja grupu, struktūru, latīņu kvadrātu, determinantu, nodalījumu, matricu, salīdzinājumu un citu netriviālu matemātikas jomu attīstību.

Šīs esejas mērķis ir iepazīties ar dažādiem burvju kvadrātiem, latīņu kvadrātiem un izpētīt to pielietojuma jomas.

Burvju kvadrāti

Pilnīgs visu iespējamo burvju kvadrātu apraksts līdz šai dienai nav iegūts. Nav burvju 2x2 kvadrātu. Ir tikai viens 3x3 maģiskais kvadrāts, jo citus 3x3 maģiskos kvadrātus no tā iegūst vai nu griežot ap centru, vai atspoguļojot vienu no tā simetrijas asīm.

Ir 8 dažādi veidi, kā izkārtot naturālus skaitļus no 1 līdz 9 maģiskajā kvadrātā 3x3:

9+5+1
9+4+2
8+6+2
8+5+2
8+4+3
7+6+2
7+5+3
6+5+4

3x3 burvju kvadrātā maģiskajai konstantei 15 jābūt vienādai ar trīs skaitļu summu 8 virzienos: 3 rindas, 3 kolonnas un 2 diagonāles. Tā kā centrā esošais skaitlis pieder 1 rindai, 1 kolonnai un 2 diagonālēm, tas ir iekļauts 4 no 8 trijniekiem, kas kopā veido burvju konstanti. Šāds skaitlis ir tikai viens: tas ir 5. Tāpēc skaitlis 3x3 maģiskā kvadrāta centrā jau ir zināms: tas ir 5.

Apsveriet skaitli 9. Tas ir iekļauts tikai 2 skaitļu trīskāršos. Mēs to nevaram novietot stūrī, jo katra stūra šūna pieder 3 trijniekiem: rindai, kolonnai un diagonālei. Tāpēc skaitlim 9 ir jāatrodas kādā šūnā, kas atrodas blakus kvadrāta malai tā vidū. Kvadrāta simetrijas dēļ nav svarīgi, kuru pusi mēs izvēlamies, tāpēc centrālajā šūnā virs skaitļa 5 rakstām 9. Abās pusēs no deviņiem augšējā rindā mēs varam ierakstīt tikai ciparus 2 un 4. Kurš no šiem diviem cipariem būs augšējā labajā stūrī un kurš atkal kreisajā pusē, nav nozīmes, jo viens skaitļu izkārtojums nonāk cits kad tiek spoguļots . Atlikušās šūnas tiek aizpildītas automātiski. Mūsu vienkāršā 3x3 burvju kvadrāta konstrukcija pierāda savu unikalitāti.

Šāds burvju kvadrāts seno ķīniešu vidū bija lielas nozīmes simbols. Skaitlis 5 vidū nozīmēja zemi, un ap to stingri līdzsvarā bija uguns (2 un 7), ūdens (1 un 6),

koks (3 un 8), metāls (4 un 9).

Palielinoties kvadrāta izmēram (šūnu skaitam), strauji palielinās iespējamo šāda izmēra maģisko kvadrātu skaits. Ir 880 ceturtās kārtas maģiski kvadrāti un 275 305 224 5. kārtas maģiski kvadrāti. Turklāt 5x5 kvadrāti bija zināmi jau viduslaikos. Musulmaņi, piemēram, ļoti godbijīgi izturējās pret šādu kvadrātu ar skaitli 1 vidū, uzskatot to par Allāha vienotības simbolu.

Maģiskais Pitagora laukums

Lielais zinātnieks Pitagors, kurš nodibināja reliģisko un filozofisko doktrīnu, kas kvantitatīvās attiecības pasludināja par lietu būtības pamatu, uzskatīja, ka cilvēka būtība slēpjas arī ciparā – dzimšanas datumā. Tāpēc ar Pitagora maģiskā kvadrāta palīdzību jūs varat uzzināt cilvēka raksturu, veselības pakāpi un viņa potenciālu, atklāt priekšrocības un trūkumus un tādējādi noteikt, kas būtu jādara, lai viņu uzlabotu.

Lai saprastu, kas ir Pitagora maģiskais kvadrāts un kā tiek aprēķināti tā rādītāji, es to aprēķināšu, izmantojot savu piemēru. Un, lai pārliecinātos, ka aprēķina rezultāti tiešām atbilst konkrētā cilvēka reālajam raksturam, vispirms pārbaudīšu uz sevi. Lai to izdarītu, es aprēķinu, pamatojoties uz manu dzimšanas datumu. Tātad, mans dzimšanas datums ir 20.08.1986. Saskaitīsim dzimšanas dienas, mēneša un gada skaitļus (neskaitot nulles): 2+8+1+9+8+6=34. Tālāk saskaitām rezultāta skaitļus: 3+4=7. Tad no pirmās summas mēs atņemam dzimšanas dienas pirmo ciparu dubultā: 34-4=30. Un atkal mēs pievienojam pēdējā skaitļa ciparus:

3+0=3. Atliek veikt pēdējos papildinājumus - 1. un 3. un 2. un 4. summas: 34+30=64, 7+3=10. Mēs saņēmām skaitļus 08/20/1986,34,7,30, 64,10.

un izveidojiet maģisku kvadrātu, lai visi no šiem skaitļiem nonāktu 1. šūnā, visi divi - 2. šūnā utt. Nulles netiek ņemtas vērā. Rezultātā mans kvadrāts izskatīsies šādi:

Kvadrātveida šūnas nozīmē:

1. šūna - apņēmība, griba, neatlaidība, egoisms.

1 - pilnīgi egoisti, cenšas iegūt maksimālu labumu no jebkuras situācijas.
11 - egoistisks raksturs.
111 - “zelta vidusceļš”. Raksturs ir mierīgs, elastīgs un sabiedrisks.
1111 - cilvēki ar spēcīgu raksturu, spēcīgas gribas. Vīrieši ar šādu raksturu ir piemēroti militāro profesionāļu lomai, un sievietes tur savu ģimeni savās dūrēs.
11111 - diktators, tirāns.
111111 - cietsirdīgs cilvēks, kas spēj paveikt neiespējamo; bieži nonāk kādas idejas iespaidā.

2. šūna - bioenerģija, emocionalitāte, sirsnība, jutekliskums. Divnieku skaits nosaka bioenerģijas līmeni.

Nav divu – kanāls ir atvērts intensīvai bioenerģijas savākšanai. Šie cilvēki pēc dabas ir labi audzināti un cēli.

2 - cilvēki, kas ir parasti bioenerģētiskā ziņā. Šādi cilvēki ir ļoti jutīgi pret atmosfēras izmaiņām.
22 - salīdzinoši liela bioenerģijas rezerve. Šādi cilvēki ir labi ārsti, medmāsas un uzraugi. Šādu cilvēku ģimenē reti kurš piedzīvo nervu stresu.
222 ir ekstrasensa zīme.

3. šūna - precizitāte, specifika, organizētība, kārtīgums, punktualitāte, tīrība, skopums, tieksme uz pastāvīgu “taisnīguma atjaunošanu”.

Trīskāršu palielināšana uzlabo visas šīs īpašības. Ar tiem cilvēkam ir jēga meklēt sevi zinātnēs, īpaši eksaktajās. Trijnieku pārsvars rada pedantus, cilvēkus lietā.

4. šūna – veselība. Tas ir saistīts ar ekgregoru, tas ir, senču izstrādāto un cilvēku aizsargājošo enerģētisko telpu. Četrinieku neesamība liecina, ka cilvēks ir slims.

4 - vidēja veselība, nepieciešams rūdīt ķermeni. Ieteicamie sporta veidi ir peldēšana un skriešana.
44 - laba veselība.
444 un vairāk - cilvēki ar ļoti labu veselību.

5. šūna - intuīcija, gaišredzība, kas šādos cilvēkos sāk izpausties jau trīs piecnieku līmenī.

Piecinieku nav - sakaru kanāls ar telpu ir slēgts. Šie cilvēki bieži

ir nepareizi.

5 - sakaru kanāls ir atvērts. Šie cilvēki var pareizi aprēķināt situāciju un maksimāli izmantot to.
55 - augsti attīstīta intuīcija. Redzot “pravietiskus sapņus”, viņi var paredzēt notikumu gaitu. Viņiem piemērotas profesijas ir jurists, izmeklētājs.
555 - gandrīz gaišreģis.
5555 - gaišreģi.

6. šūna - pamatotība, materialitāte, aprēķins, tieksme uz kvantitatīvu pasaules izzināšanu un neuzticēšanās kvalitatīviem lēcieniem un vēl jo vairāk garīgajiem brīnumiem.

Nav sešnieku - šiem cilvēkiem ir nepieciešams fizisks darbs, lai gan, kā likums, viņiem tas nepatīk. Viņi ir apveltīti ar neparastu iztēli, fantāziju un māksliniecisku gaumi. Smalks raksturs, viņi tomēr spēj darboties.

6 - var nodarboties ar radošumu vai eksaktajām zinātnēm, bet fiziskais darbs ir eksistences priekšnoteikums.
66 - cilvēki ir ļoti piezemēti, velk uz fizisko darbu, lai gan viņiem tas nav obligāti; Vēlamas garīgās aktivitātes vai mākslinieciskas nodarbes.
666 ir Sātana zīme, īpaša un draudīga zīme. Šiem cilvēkiem ir augsts temperaments, viņi ir burvīgi un vienmēr kļūst par sabiedrības uzmanības centru.
6666 - šie cilvēki savos iepriekšējos iemiesojumos ieguva pārāk lielu pamatu, viņi strādāja ļoti smagi un nevar iedomāties savu dzīvi bez darba. Ja viņu kvadrātā ir

Deviņos, viņiem noteikti jāiesaistās garīgā darbībā, jāattīsta intelekts un vismaz jāiegūst augstākā izglītība.

7. šūna - septītnieku skaits nosaka talanta mērauklu.

7 - jo vairāk viņi strādā, jo vairāk viņi saņem vēlāk.
77 - ļoti apdāvināti, muzikāli cilvēki, ar smalku māksliniecisko gaumi, un tiem var būt tieksme uz tēlotājmākslu.
777 - šie cilvēki, kā likums, ierodas uz Zemi uz īsu laiku. Viņi ir laipni, mierīgi un jutīgi pret jebkuru netaisnību. Viņi ir jūtīgi, patīk sapņot un ne vienmēr izjūt realitāti.
7777 ir eņģeļa zīme. Cilvēki ar šo zīmi mirst zīdaiņa vecumā, un, ja viņi dzīvo, viņu dzīvība pastāvīgi tiek apdraudēta.

8. šūna - karma, pienākums, pienākums, atbildība. Astoņu skaits nosaka pienākuma apziņas pakāpi.

Astoņu nav – šiem cilvēkiem pienākuma apziņas trūkums ir gandrīz pilnīgs.

8 - atbildīgs, apzinīgs, precīzs raksturs.
88 - šiem cilvēkiem ir attīstīta pienākuma apziņa, viņi vienmēr izceļas ar vēlmi palīdzēt citiem, īpaši vājiem, slimiem un vientuļiem.
888 ir liela pienākuma zīme, kalpošanas zīme cilvēkiem. Lineāls ar trim astoņniekiem sasniedz izcilus rezultātus.
8888 - šiem cilvēkiem ir parapsiholoģiskas spējas un izcila jutība pret eksaktajām zinātnēm. Viņiem ir atvērti pārdabiski ceļi.

9. šūna - inteliģence, gudrība. Deviņnieku trūkums ir pierādījums tam, ka garīgās spējas ir ārkārtīgi ierobežotas.

9 - šiem cilvēkiem visu mūžu smagi jāstrādā, lai kompensētu savu inteliģences trūkumu.
99 - šie cilvēki ir gudri no dzimšanas. Viņi vienmēr nelabprāt mācās, jo zināšanas viņiem nāk viegli. Viņi ir apveltīti ar humora izjūtu ar ironisku nokrāsu un ir neatkarīgi.
999 - ļoti gudrs. Mācībās netiek pieliktas nekādas pūles. Lieliski sarunu biedri.
9999 - šiem cilvēkiem tiek atklāta patiesība. Ja viņiem ir attīstījusies arī intuīcija, tad viņiem tiek garantēta neveiksme jebkādos savos centienos. Ar visu to viņi parasti ir diezgan patīkami, jo viņu asais prāts padara viņus rupjus, nežēlīgus un nežēlīgus.

Tātad, uzzīmējot maģisko Pitagora kvadrātu un zinot visu tā šūnās ietverto skaitļu kombināciju nozīmi, jūs varēsiet pietiekami novērtēt savas dabas īpašības, ko māte daba ir apveltījusi.

Latīņu kvadrāti

Neskatoties uz to, ka matemātiķus galvenokārt interesēja burvju kvadrāti, latīņu kvadrāti atrada vislielāko pielietojumu zinātnē un tehnoloģijā.

Latīņu kvadrāts ir nxn šūnu kvadrāts, kurā ir ierakstīti skaitļi 1, 2,..., n, un tā, lai visi šie skaitļi katrā rindā un kolonnā parādītos vienu reizi. 3. attēlā parādīti divi šādi 4x4 kvadrāti. Viņiem ir interesanta iezīme: ja viens kvadrāts ir uzlikts uz cita, tad visi iegūtie skaitļu pāri izrādās atšķirīgi. Šādus latīņu kvadrātu pārus sauc par ortogonāliem.

Ortogonālu latīņu kvadrātu atrašanas problēmu pirmais izvirzīja L. Eilers, un šādā izklaidējošā formulējumā: “Starp 36 virsniekiem ir vienāds skaits lanceru, dragūnu, huzāru, kirasieru, kavalērijas aizsargu un grenadieru, turklāt vienāds skaits ģenerāļu, pulkvežu, majoru, kapteiņu, leitnantu un leitnantu, un katru militāro nozari pārstāv visu sešu pakāpju virsnieki. Vai ir iespējams sarindot visus virsniekus 6 x 6 laukumā tā, lai jebkurā kolonnā un jebkurā pakāpē būtu visu pakāpju virsnieki?

Eilers nespēja atrast šīs problēmas risinājumu. 1901. gadā tika pierādīts, ka šāda risinājuma nav. Tajā pašā laikā Eilers pierādīja, ka ortogonālie latīņu kvadrātu pāri pastāv visām nepāra vērtībām n un tām pāra vērtībām n, kas dalās ar 4. Eilers izvirzīja hipotēzi, ka atlikušajām n vērtībām, ka ir, ja skaitlis n, dalīts ar 4, dod atlikumu 2, ortogonālu kvadrātu nav. 1901. gadā tika pierādīts, ka nav ortogonālu kvadrātu 6 6, un tas palielināja pārliecību par Eilera hipotēzes pamatotību. Taču 1959. gadā ar datora palīdzību vispirms tika atrasti ortogonālie kvadrāti 10x10, tad 14x14, 18x18, 22x22. Un tad tika parādīts, ka jebkuram n, izņemot 6, ir nxn ortogonāli kvadrāti.

Burvju un latīņu kvadrāti ir tuvi radinieki. Pieņemsim divus ortogonālus kvadrātus. Aizpildīsim jauna tāda paša izmēra kvadrāta šūnas šādi. Ieliksim tur skaitli n(a - 1)+b, kur a ir skaitlis šādā pirmā kvadrāta šūnā, bet b ir skaitlis tajā pašā otrā kvadrāta šūnā. Ir viegli saprast, ka iegūtajā kvadrātā skaitļu summas rindās un kolonnās (bet ne obligāti pa diagonālēm) būs vienādas.

Latīņu kvadrātu teorija ir atradusi daudzus pielietojumus gan matemātikā, gan tās lietojumos. Sniegsim piemēru. Pieņemsim, ka mēs vēlamies pārbaudīt 4 kviešu šķirņu ražu noteiktā apgabalā, un mēs vēlamies ņemt vērā kultūraugu retuma pakāpes un divu veidu mēslošanas līdzekļu ietekmi. Lai to izdarītu, mēs sadalīsim kvadrātveida zemes gabalu 16 gabalos (4. att.). Pirmo kviešu šķirni stādīsim lauciņos, kas atbilst apakšējai horizontālajai joslai, nākamo šķirni četros lauciņos, kas atbilst nākamajai svītrai utt. (attēlā šķirne norādīta ar krāsu). Šajā gadījumā ļaujiet maksimālajam kultūraugu blīvumam būt tajos parauglaukumos, kas atbilst attēla kreisajai vertikālajai kolonnai, un samazināsies, virzoties pa labi (attēlā tas atbilst krāsas intensitātes samazinājumam). Ļaujiet skaitļiem attēla šūnās nozīmēt:

pirmais ir šajā apgabalā izlietotā pirmā veida mēslojuma kilogramu skaits, bet otrais ir izlietotā otrā veida mēslojuma daudzums. Ir viegli saprast, ka šajā gadījumā tiek realizēti visi iespējamie gan šķirnes, gan sēšanas blīvuma un citu komponentu kombināciju pāri: pirmā tipa šķirne un mēslošanas līdzekļi, pirmā un otrā veida mēslošanas līdzekļi, blīvuma un otrā veida mēslošanas līdzekļi.

Ortogonālo latīņu kvadrātu izmantošana palīdz ņemt vērā visas iespējamās iespējas eksperimentos lauksaimniecībā, fizikā, ķīmijā un tehnoloģijās.

kvadrātveida burvju pitagors latīņu

Secinājums

Šajā esejā aplūkoti jautājumi, kas saistīti ar viena no matemātikas jautājumiem, kas nodarbinājis daudzu izcilu cilvēku prātus – burvju kvadrātu – attīstības vēsturi. Neskatoties uz to, ka burvju kvadrāti paši nav atraduši plašu pielietojumu zinātnē un tehnoloģijā, tie iedvesmoja daudzus neparastus cilvēkus mācīties matemātiku un veicināja citu matemātikas nozaru (grupu teorijas, determinantu, matricu u.c.) attīstību.

Maģisko kvadrātu tuvākie radinieki latīņu kvadrāti ir atraduši neskaitāmus pielietojumus gan matemātikā, gan tās pielietojumos eksperimentu rezultātu iestatīšanā un apstrādē. Kopsavilkumā ir sniegts šāda eksperimenta izveides piemērs.

Abstraktā aplūkots arī Pitagora laukuma jautājums, kas ir vēsturiski interesants un, iespējams, noder cilvēka psiholoģiskā portreta sastādīšanai.

Bibliogrāfija

1. Jauna matemātiķa enciklopēdiskā vārdnīca. M., “Pedagoģija”, 1989.
2. M. Gārdners “Ceļojums laikā”, M., “Mir”, 1990.g.
3. Fiziskā audzināšana un sports 1998.g.nr.10