Magisk ruta för 4 av 20. Hur den magiska fyrkanten fungerar

Denna gåta spreds snabbt över hela Internet. Tusentals människor började undra hur det magiska torget fungerar. Idag hittar du äntligen svaret!

Mysteriet med det magiska torget

Faktum är att denna gåta är ganska enkel och gjord med mänsklig ouppmärksamhet i åtanke. Låt oss se hur den magiska svarta fyrkanten fungerar med ett verkligt exempel:

Låt oss gissa valfritt tal från 10 till 19. Låt oss nu subtrahera dess beståndsdelar från detta tal. Låt oss till exempel ta 11. Subtrahera en från 11 och sedan en till. Resultatet är 9. Det spelar ingen roll vilket tal från 10 till 19 du tar. Resultatet av beräkningarna blir alltid 9. Siffran 9 i "Magic Square" motsvarar den första siffran med bilder. Tittar man noga kan man se att det är väldigt ett stort antal nummer tilldelas samma ritningar.
Vad händer om du tar ett tal i intervallet från 20 till 29? Kanske har du redan gissat det själv? Höger! Resultatet av beräkningen blir alltid 18. Siffran 18 motsvarar den andra positionen på diagonalen med bilder.
Om du tar ett nummer från 30 till 39, kommer, som du redan kan gissa, siffran 27. Siffran 27 motsvarar också siffran på diagonalen av den så oförklarliga "Magic Square".
En liknande algoritm förblir sann för alla tal från 40 till 49, från 50 till 59, och så vidare.

Det vill säga, det visar sig att det inte spelar någon roll vilket nummer du gissade - "Magic Square" kommer att gissa resultatet, för i cellerna numrerade 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 och 81 finns det faktiskt samma symbol.

I själva verket kan detta mysterium enkelt förklaras med en enkel ekvation:

Föreställ dig vilket tvåsiffrigt nummer som helst. Oavsett antal kan det representeras som x*10+y. Tior fungerar som "x" och enheter fungerar som "y".
Subtrahera talen som utgör det från det dolda talet. Lägg till ekvationen: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
Siffran som kommer ut som ett resultat av beräkningarna ska peka på en specifik symbol i tabellen.

Det spelar ingen roll vilket nummer som är i rollen som "x", på ett eller annat sätt får du en symbol vars nummer är en multipel av nio. För att vara säker på att det finns en symbol under olika nummer, titta bara på tabellen och på siffrorna 0,9,18,27,45,54,63,72,81 och efterföljande.

MAGISKT KVADRAT

Kina anses vara födelseplatsen för magiska torg. I Kina finns det läran om Feng Shui, som säger att färgen, formen och den fysiska placeringen av varje element i ett utrymme påverkar flödet av Qi, antingen saktar ner det, omdirigerar det eller påskyndar det, vilket direkt påverkar energin. invånarnas nivåer. För att lära sig världens hemligheter skickade gudarna till kejsar Yu den äldsta symbolen, Lo Shu-torget (Lo - floden).

MAGIC SQUARE LO SHU

Legenden säger att för ungefär fyra tusen år sedan dök en stor sköldpadda, Shu, upp ur Luo-flodens stormiga vatten. Människor som gjorde uppoffringar till floden såg sköldpaddan och kände omedelbart igen den som en gudom. De forntida visenas överväganden verkade så rimliga för kejsar Yu att han beordrade bilden av en sköldpadda att förevigas på papper och förseglade den med sitt kejserliga sigill. Hur skulle vi annars ha vetat om denna händelse?

Denna sköldpadda var faktiskt speciell eftersom den hade ett konstigt mönster av prickar på sitt skal. Prickarna markerades på ett ordnat sätt, vilket ledde gamla filosofer till idén att kvadraten med siffror på sköldpaddans skal fungerar som en modell av rymden - en karta över världen sammanställd av den mytomspunna grundaren av den kinesiska civilisationen, Huang Di. Faktum är att summan av siffrorna i torgets kolumner, rader och båda diagonalerna är samma M = 15 och är lika med antalet dagar i var och en av det kinesiska solårets 24 cykler.

Jämna och udda nummer växlar: 4 jämna nummer (skrivna från botten till toppen i fallande ordning) finns i de fyra hörnen, och 5 udda nummer (skrivna från botten till toppen i stigande ordning) bildar ett kryss i mitten av kvadraten. De fem elementen i korset reflekterar jord, eld, metall, vatten och skog. Summan av två valfria tal åtskilda av ett centrum är lika med Ho Ti-talet, dvs. tio.

Jämna nummer (jordsymboler) av Lo Shu var markerade på sköldpaddans kropp i form av svarta prickar, eller Yin-symboler, och udda siffror (himmelsymboler) - i form av vita prickar, eller Yang-symboler. Jord 1 (eller vatten) är under, eld 9 (eller himmel) är ovanför. Det är möjligt att den moderna bilden av siffran 5, placerad i mitten av kompositionen, beror på den kinesiska symbolen för dualiteten Yang och Yin.

MAGIC SQUARE FRÅN KHAJURAHO

Östra rum

Magin hos Joseph Rudyard Kipling, som skapade bilderna av Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan och, naturligtvis, Tabaka, började på tröskeln till 1900-talet. Ett halvt sekel tidigare, i februari 1838, kom en ung brittisk officer från Bengal Engineers, T.S. Bert, intresserad av samtalet mellan tjänarna som bar hans palankin, avvek från vägen och snubblade över gamla tempel i Indiens djungler.

På trappan till Vishvanatha-templet hittade officeren en inskription som vittnade om strukturernas antika tid. Efter en kort tid ritade den energiske generalmajoren A. Cunningham detaljerade planer för Khajuraho. Utgrävningar började, som kulminerade i den sensationella upptäckten av 22 tempel. Tempel restes av maharadjorna från deras Chandel-dynasti. Efter kollapsen av deras rike svalde djungeln byggnaderna i tusen år. Fjärde ordningens kvadrat, som finns bland bilderna av nakna gudar och gudinnor, var fantastisk.

Denna kvadrats summor längs raderna, kolumnerna och diagonalerna sammanföll inte bara och var lika med 34. De sammanföll också längs de brutna diagonalerna som bildas när kvadraten viks till en torus, och i båda riktningarna. För sådan häxkonst av siffror kallas sådana rutor "djävulska" (eller "pandiagonala" eller "nasik").

Naturligtvis vittnade detta om de ovanliga matematiska förmågorna hos deras skapare, som var överlägsna kolonialisterna. Vad människorna i de vita märghjälmarna oundvikligen kände.

DURERS MAGIC SQUARE

Den berömda tyska konstnären från tidigt 1500-tal, Albrecht Durer, skapade den första 4x4 magiska torget i europeisk konst. Summan av siffrorna i valfri rad, kolumn, diagonal och även, överraskande nog, i varje fjärdedel (även i den centrala fyrkanten) och till och med summan av hörntalen är 34. De två mittersta siffrorna i den nedre raden indikerar datumet av skapandet av målningen (1514). Korrigeringar har gjorts i de mittersta rutorna i den första kolumnen - siffrorna är deformerade.

På bilden med den ockulta bevingade musen Saturnus är den magiska kvadraten sammansatt av den bevingade intelligensen Jupiter, som står emot varandra. Kvadraten är symmetrisk, eftersom summan av två siffror som ingår i den, placerade symmetriskt i förhållande till dess centrum, är lika med 17. Om du lägger ihop de fyra siffrorna som erhållits genom draget av schackriddaren, får du 34. Verkligen , detta torg speglar med sin oklanderliga ordning och reda den melankoli som har gripit konstnären.

Morgon dröm.

Européer introducerades till fantastiska talrutor av den bysantinske författaren och lingvisten Moschopoulos. Hans arbete var en speciell uppsats om detta ämne och innehöll exempel på författarens magiska rutor.

SYSTEMATISERING AV MAGISKA KVADRATUR

I mitten av 1500-talet. I Europa dök det upp verk där magiska rutor dök upp som föremål för matematisk forskning. Detta följdes av många andra verk, i synnerhet av sådana kända matematiker, grundarna modern vetenskap, som Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessy, Euler, Gauss.

Magisk, eller en magisk kvadrat, är en kvadratisk tabell fylld med n 2 siffror på ett sådant sätt att summan av talen i varje rad, varje kolumn och på båda diagonalerna är densamma. Definitionen är villkorad, eftersom de gamla också fäste betydelse, till exempel, till färg.

Vanligt kallas en magisk kvadrat fylld med heltal från 1 till n 2. Normala magiska rutor finns för alla ordningar utom n = 2, även om fallet n = 1 är trivialt - kvadraten består av ett enda tal.

Summan av siffrorna i varje rad, kolumn och diagonal kallas magisk konstant M. Den magiska konstanten för en normal magisk kvadrat beror endast på n och ges av formeln

M = n (n2 + 1) /2

De första värdena för de magiska konstanterna anges i tabellen

Om summan av siffror i en kvadrat bara är lika i rader och kolumner, så kallas den halvmagisk. Den magiska kvadraten kallas associativ eller symmetrisk, om summan av två siffror som är placerade symmetriskt kring kvadratens mitt är lika med n 2 + 1.

Det finns bara en normal kvadrat av tredje ordningen. Många kände honom. Arrangemanget av siffror i Lo Shu-torget liknar de symboliska beteckningarna på andar i kabbala och tecknen på indisk astrologi.

Även känd som Saturnus kvadrat. Vissa hemliga sällskap under medeltiden såg det som "de nio kamrarnas kabbala". Utan tvekan betydde skuggan av förbjuden magi mycket för bevarandet av hans bilder.

Det var viktigt i medeltida numerologi, ofta använd som en amulett eller spådomshjälp. Varje cell motsvarar en mystisk bokstav eller annan symbol. Läst tillsammans längs en specifik linje, dessa tecken förmedlade ockulta budskap. Siffrorna som utgör födelsedatumet placerades i torgets celler och dechiffrerades sedan beroende på betydelsen och placeringen av siffrorna.

Bland pandiagonala, som de också kallas, urskiljs djävulska magiska rutor, symmetriska - idealiska. Den djävulska kvadraten förblir djävulsk om du roterar den, reflekterar den, ordnar om raden uppifrån och ned och vice versa, stryker ut en kolumn till höger eller vänster och tilldelar den till motsatt sida. Det finns fem transformationer totalt, diagrammet för den senare visas i figuren

Det finns 48 4x4 djävulska rutor med rotations- och reflektionsprecision. Om vi också tar hänsyn till symmetrin med avseende på toriska parallella översättningar, så återstår bara tre väsentligen olika 4x4 djävulska rutor:

Claude F. Bragdon, en berömd amerikansk arkitekt, upptäckte att genom att koppla ihop cellerna en efter en med bara jämna eller bara udda antal magiska rutor på en streckad linje får vi i de flesta fall ett elegant mönster. Mönstret han uppfann för ventilationsgallret i taket på handelskammaren i Rochester, New York, där han bodde, byggdes från den magiska brutna linjen från Lo-Shu talisman. Bragdon använde "magiska linjer" som design för tyger, bokomslag, arkitektoniska dekorationer och dekorativa huvudstycken.

Om du lägger ut en mosaik av identiska djävulska rutor (varje ruta måste ligga nära grannarna), får du något som liknar en parkett, där siffrorna i vilken grupp av 4x4 celler som helst kommer att bilda en djävulsk fyrkant. Siffrorna i fyra celler som följer efter varandra, oavsett hur de är placerade - vertikalt, horisontellt eller diagonalt - summerar alltid till kvadratens konstant. Moderna matematiker kallar sådana rutor "perfekta".

LATINSK KVADRAG

En latinsk kvadrat är en typ av oregelbunden matematisk kvadrat fylld med n olika symboler på ett sådant sätt att alla n symboler visas i varje rad och varje kolumn (var och en en gång).

Latinska rutor finns för alla n. Varje latinsk kvadrat är en multiplikationstabell (Cayley-tabellen) av en kvasigrupp. Namnet "latinsk kvadrat" kommer från Leonhard Euler, som använde latinska bokstäver istället för siffror i en tabell.

Två latinska rutor kallas ortogonal, om alla ordnade symbolpar (a,b) är olika, där a är en symbol i någon cell i den första latinska kvadraten, och b är en symbol i samma cell i den andra latinska kvadraten.

Ortogonala latinska kvadrater finns för vilken ordning som helst utom 2 och 6. För att n är en potens av ett primtal finns det en uppsättning av n–1 parvisa ortogonala latinska kvadrater. Om i varje diagonal av en latinsk kvadrat alla element är olika, kallas en sådan latinsk kvadrat diagonal. Par av ortogonala diagonala latinska rutor finns för alla ordningar utom 2, 3 och 6. Den latinska kvadraten påträffas ofta i schemaläggningsproblem eftersom siffror inte upprepas i rader och kolumner.

En kvadrat som består av par av element av två ortogonala latinska kvadrater kallas Grekisk-latinska torg. Sådana rutor används ofta för att konstruera magiska rutor och i komplexa schemaläggningsproblem.

När han studerade grekisk-latinska rutor, bevisade Euler att kvadrater av andra ordningen inte existerar, men kvadrater av 3, 4 och 5 ordningar hittades. Han hittade inte en enda kvadrat av ordning 6. Han antog att det inte finns några kvadrater av jämn ordning som inte är delbara med 4 (det vill säga 6, 10, 14, etc.). 1901 bekräftade Gaston Terry hypotesen för den 6:e ordningen med brute force. Men 1959 vederlagdes hypotesen av E. T. Parker, R. C. Bowes och S. S. Shrickherd, som upptäckte en grekisk-latinsk kvadrat av ordningen 10.

POLYMINO ARTHUR CLARKE

Polyominoer - när det gäller komplexitet tillhör de verkligen kategorin av de svåraste matematiska kvadraterna. Så här skriver science fiction-författaren A. Clark om honom - nedan är ett utdrag ur boken "Earthly Empire". Det är uppenbart att Clark, som bodde på sin ö, bodde i Ceylon - och hans filosofi om separation från samhället är intressant i sig, blev intresserad av underhållningen som pojkens mormor lär ut och förde den vidare till oss. Låt oss föredra denna levande beskrivning framför de existerande systematiseringarna, som kanske förmedlar essensen, men inte andan i spelet.

"Du är en tillräckligt stor pojke nu, Duncan, och du kommer att kunna förstå det här spelet... men det är mycket mer än ett spel." I motsats till sin mormors ord var Duncan inte imponerad av spelet. Tja, vad kan man göra av fem vita plastrutor?

"Först och främst", fortsatte mormodern, "måste du kolla hur många olika mönster du kan sätta ihop från rutor."

– Ska de ligga på bordet? frågade Duncan.

– Ja, de borde ligga rörande. Du kan inte överlappa en ruta med en annan.

Duncan började lägga ut fyrkanterna.

"Ja, jag kan lägga dem alla i en rak linje," började han. "Så här... Och då kan jag ordna om två stycken och få bokstaven L... Och om jag tar tag i den andra kanten får jag bokstaven U...”

Pojken hittade snabbt på ett halvdussin kombinationer, sedan fler och upptäckte plötsligt att de upprepade befintliga.

– Jag kanske är dum, men det är allt.

Duncan missade den enklaste figuren - ett kors, för att skapa vilket det räckte med att lägga ut fyra rutor på sidorna av den femte, centrala.

"De flesta börjar med korset," log mormodern. "Jag tycker att du var för bråttom med att förklara dig dum." Tänk bättre: kan det finnas några andra siffror?

Duncan flyttade koncentrerat på rutorna och hittade ytterligare tre figurer och slutade sedan leta.

"Det är definitivt över nu," sa han självsäkert.

– Vad kan du säga om en sådan figur?

Efter att ha flyttat rutorna något, vek mormodern dem till formen av en puckelryggad bokstav F.

- Och här är en till.

Duncan kände sig som en fullständig idiot, och hans mormors ord var som balsam på hans generade själ:

– Du är bara bra. Tänk bara, jag missade bara två stycken. Och det totala antalet siffror är tolv. Varken mer och inte mindre. Nu känner du dem alla. Om du söker efter en evighet kommer du aldrig att hitta en annan.

Mormor sopade in fem vita rutor i ett hörn och lade ut ett dussin ljusa, flerfärgade plastbitar på bordet. Dessa var samma tolv figurer, men i färdig form, och var och en bestod av fem rutor. Duncan var redan redo att hålla med om att inga andra figurer verkligen existerade.

Men eftersom mormor lade ut dessa flerfärgade ränder, betyder det att spelet fortsätter, och en annan överraskning väntade Duncan.

– Nu, Duncan, lyssna noga. Dessa figurer kallas "pentaminoes". Namnet kommer från det grekiska ordet "penta", som betyder "fem". Alla figurer är lika stora, eftersom var och en består av fem identiska rutor. Det finns tolv siffror, fem rutor, därför, totalarea kommer att vara lika med sextio rutor. Höger?

- Hmm ja.

- Lyssna vidare. Sextio är ett underbart runt tal som kan komponeras på flera sätt. Det enklaste är att multiplicera tio med sex. Den här lådan har ett sådant område: den kan hålla tio rutor horisontellt och sex vertikalt. Därför bör alla tolv figurerna få plats i den. Enkelt, som en sammansatt bildgåta.

Duncan förväntade sig en fångst. Mormor älskade verbala och matematiska paradoxer, och alla var inte begripliga för hennes tioåriga offer. Men den här gången fanns det inga paradoxer. Lådans botten var kantad med sextio rutor, vilket betyder... Sluta! Området är ett område, men figurerna har olika former. Försök att få dem i en låda!

"Jag lämnar den här uppgiften till dig att lösa på egen hand," meddelade mormodern och såg hur han sorgset flyttade pentomino längs botten av lådan. "Tro mig, de kan sättas ihop."

Snart började Duncan starkt tvivla på sin mormors ord. Han lyckades enkelt få in tio siffror i rutan, och en gång lyckades han klämma in en elfte. Men konturerna av det ofyllda utrymmet sammanföll inte med konturerna av den tolfte figuren, som pojken höll på att vända på i sina händer. Det fanns ett kors och den återstående figuren liknade bokstaven Z...

Efter ytterligare en halvtimme var Duncan redan på gränsen till förtvivlan. Mormor var fördjupad i en dialog med sin dator, men då och då tittade hon på den med intresse, som för att säga: "Det här är inte så lätt som du trodde."

Vid tio år gammal var Duncan märkbart envis. De flesta av hans kamrater skulle ha gett upp att försöka för länge sedan. (Först flera år senare insåg han att hans mormor graciöst hade gett honom ett psykologiskt test.) Duncan varade i nästan fyrtio minuter utan hjälp...

Sedan reste sig mormodern från datorn och böjde sig över pusslet. Hennes fingrar flyttade formerna U, X och L...

Lådans botten var helt fylld! Alla pusselbitar var på rätt ställen.

– Naturligtvis visste du svaret i förväg! – Duncan drog förolämpat.

- Svara? – frågade mormodern: "Hur många sätt tror du att pentomino kan placeras i den här lådan?"

Här är den, en fälla. Duncan pillade runt i nästan en timme utan att hitta en lösning, även om han under den här tiden försökte med minst hundra alternativ. Han trodde att det bara fanns ett sätt. Kan det vara... tolv av dem? Eller mer?

- Så hur många sätt tror du att det kan finnas? – frågade mormor igen.

"Tjugo," utbröt Duncan och tänkte att nu skulle mormor inte ha något emot det.

- Försök igen.

Duncan anade fara. Det roliga visade sig vara mycket listigare än han trodde, och pojken bestämde sig klokt nog för att inte riskera det.

"Faktiskt, jag vet inte," sa han och skakade på huvudet.

"Och du är en mottaglig pojke," log mormodern igen. "Intuition är en farlig guide, men ibland har vi ingen annan." Jag kan glädja dig: det är omöjligt att gissa rätt svar här. Det finns över två tusen olika sätt att passa pentominoer i denna låda. Närmare bestämt två tusen trehundratrettio nio. Och vad säger du till detta?

Det är osannolikt att hans mormor bedrog honom. Men Duncan var så frustrerad över sin oförmåga att hitta en lösning att han inte kunde låta bli att säga:

- Jag tror inte!

Helen visade sällan irritation. När Duncan kränkte henne på något sätt blev hon helt enkelt kall och avlägsen. Men nu bara flinade farmorn och knackade något på datorns tangentbord.

"Titta här," föreslog hon.

En uppsättning av tolv flerfärgade pentominoer dök upp på skärmen och fyllde en tio gånger sex rektangel. Några sekunder senare ersattes den av en annan bild, där figurerna med största sannolikhet var placerade annorlunda (Duncan kunde inte säga säkert, eftersom han inte kom ihåg den första kombinationen). Snart förändrades bilden igen, sedan igen och igen... Så fortsatte det tills farmorn stoppade programmet.

"Även vid hög hastighet kommer datorn att behöva fem timmar för att gå igenom alla metoder," förklarade mormodern. "Du kan ta mitt ord för det: de är alla olika." Om det inte vore för datorer tvivlar jag på att folk skulle ha hittat alla vägar genom den vanliga uppräkningen av alternativ.

Duncan stirrade länge på de tolv bedrägligt enkla figurerna. Han smälte sakta sin mormors ord. Detta var den första matematiska uppenbarelsen i hans liv. Det som han så hastigt ansåg vara en vanlig barnlek började plötsligt utspelas inför honom oändliga vägar och horisonter, även om även det mest begåvade tioåriga barnet knappast skulle kunna ana gränslösheten i detta universum.

Men sedan var Duncans förtjusning och vördnad passiva. Den verkliga explosionen av intellektuell njutning inträffade senare, när han självständigt hittade sin första metod för att lägga pentominoer. I flera veckor bar Duncan med sig en plastlåda överallt. Han tillbringade all sin lediga tid bara på pentominoer. Figurerna kommer att förvandlas till Duncans personliga vänner. Han kallade dem med de bokstäver som de liknade, även om likheten i vissa fall var mer än avlägsen. Fem siffror - F, I, L, P, N - var inkonsekventa, men de återstående sju upprepade sekvensen av det latinska alfabetet: T, U, V, W, X, Y, Z.

En dag, i ett tillstånd av antingen geometrisk trance eller geometrisk extas, som aldrig upprepades, hittade Duncan fem stylingalternativ på mindre än en timme. Kanske inte ens Newton, Einstein eller Chen Tzu, i sina sanningsögonblick, kände sig närmare släkt med matematikens gudar än Duncan Mackenzie.

Han insåg snart, på egen hand, utan mormors uppmaning, att en pentomino kunde placeras i en rektangel med olika sidostorlekar. Ganska enkelt hittade Duncan flera alternativ för rektanglar 5 gånger 12 och 4 gånger 15. Sedan led han under en hel vecka med att försöka passa in tolv figurer i en längre och smalare rektangel 3 gånger 20. Om och om igen började han fylla det förrädiska utrymmet och ... få hål i rektangeln och "extra" figurer.

Förkrossad besökte Duncan sin mormor, där en ny överraskning väntade honom.

"Jag är glad för dina experiment," sa Helen. "Du undersökte alla möjligheter och försökte härleda ett allmänt mönster." Detta är vad matematiker alltid gör. Men du har fel: lösningar för en tre gånger tjugo rektangel finns. Det finns bara två av dem, och om du hittar en kommer du att kunna hitta den andra.

Inspirerad av sin mormors beröm fortsatte Duncan sin "jakt på pentominoer" med förnyad kraft. Efter ytterligare en vecka började han förstå vilken outhärdlig börda han hade lagt på sina axlar. Antalet sätt på vilka tolv figurer kunde arrangeras var helt enkelt förbluffande för Duncan. Dessutom hade varje figur fyra positioner!

Och återigen kom han till sin mormor och berättade för henne alla sina svårigheter. Om det bara fanns två alternativ för en 3 x 20 rektangel, hur lång tid skulle det ta att hitta dem?

”Om du är snäll, ska jag svara dig”, sa mormodern, ”om du agerade som en hjärnlös dator, letade efter kombinationer och spenderade en sekund på varje, skulle du behöva...” Här pausade hon medvetet. "Du skulle behöva mer än sex miljoner ... ja, mer än sex miljoner år.

Jordisk eller titanisk? Denna fråga dök omedelbart upp i Duncans sinne. Men vad är skillnaden?

"Men du är annorlunda än en hjärnlös dator," fortsatte mormodern. "Du ser genast uppenbart olämpliga kombinationer, och därför behöver du inte slösa tid på att kontrollera dem." Försök igen.

Duncan lydde, redan utan entusiasm och tro på framgång. Och så dök han upp en briljant idé.

Karl blev genast intresserad av pentomino och antog utmaningen. Han tog lådan med figurerna från Duncan och försvann i flera timmar.

När Karl ringde honom såg hans vän något upprörd ut.

– Är du säker på att det här problemet verkligen har en lösning? - han frågade.

- Helt säker. Det finns två av dem. Har du verkligen inte hittat minst en? Jag tyckte du var bra på matte.

"Tänk dig, jag kan räkna ut det, det är därför jag vet hur mycket arbete din uppgift kräver." Vi måste kontrollera... en miljon miljarder möjliga kombinationer.

– Hur visste du att det finns så många av dem? – frågade Duncan, glad över att han åtminstone lyckades få sin vän att klia sig i huvudet i förvirring.

Karl sneglade i sidled på ett papper fyllt med några diagram och siffror.

– Om du utesluter oacceptabla kombinationer och tar hänsyn till symmetri och möjligheten till rotation ... får du en faktoriell ... det totala antalet permutationer ... kommer du fortfarande inte att förstå. Jag borde visa dig själva numret.

Han tog med sig ett annat pappersark till kameran, på vilket en imponerande siffror avbildades i stor detalj:

1 004 539 160 000 000.

Duncan visste ingenting om fakulteter, men han tvivlade inte på riktigheten i Karls beräkningar. Han gillade verkligen det långa numret.

"Så du tänker ge upp den här uppgiften?" – frågade Duncan försiktigt.

- Vad mer! Jag ville bara visa dig hur svårt det är.

Karls ansikte uttryckte dyster beslutsamhet. Efter att ha sagt dessa ord svimmade han.

Dagen efter upplevde Duncan en av de största chockerna i sitt barndomsliv. Karls utslitna ansikte, med blodsprängda ögon, tittade på honom från skärmen. Man kände att han hade tillbringat en sömnlös natt.

"Tja, det är allt," meddelade han med en trött men triumferande röst.

Duncan trodde knappt sina ögon. Det föreföll honom som om chanserna att lyckas var försumbara. Han övertygade till och med sig själv om detta. Och plötsligt... Framför honom låg en tre gånger tjugo rektangel, fylld med alla tolv pentominofigurerna.

Sedan bytte Karl och vände bitarna i ändarna och lämnade den centrala delen orörd. Hans fingrar darrade lätt av trötthet.

"Detta är den andra lösningen," förklarade han. "Och nu går jag och lägger mig." Så god natt eller god morgon - vad du än vill.

Den förödmjukade Duncan tittade länge på den mörka skärmen. Han visste inte åt vilket håll Karl rörde sig och famlade efter en lösning på pusslet. Men han visste att hans vän hade gått segrande ur. Mot alla odds.

Han avundade inte sin väns seger. Duncan älskade Karl för mycket och gladde sig alltid över hans framgångar, även om han själv ofta befann sig på den förlorande sidan. Men det var något annorlunda med min väns triumf idag, något nästan magiskt.

Duncan såg för första gången intuitionens kraft. Han mötte sinnets mystiska förmåga att bryta bortom fakta och kasta störande logik åt sidan. På några timmar slutförde Karl ett kolossalt jobb och överträffade den snabbaste datorn.

Därefter fick Duncan veta att alla människor har sådana förmågor, men de använder dem extremt sällan - kanske en gång i livet. I Karl fick denna gåva en exceptionell utveckling... Från det ögonblicket började Duncan ta sin väns resonemang på allvar, även de mest löjliga och upprörande ur sunt förnufts synvinkel.

Det här var tjugo år sedan. Duncan kom inte ihåg var plastpentominobitarna hade tagit vägen. Kanske blev de kvar hos Karl.

Mormors gåva blev deras nya inkarnation, nu i form av bitar av flerfärgad sten. Den fantastiska, mjukt rosa graniten kom från Galileo-kullarna, obsidianen var från Huygensplatån och pseudo-marmorn var från Herschel-åsen. Och bland dem... först trodde Duncan att han hade fel. Nej, det är så det är: det var Titans sällsynta och mest mystiska mineral. Min mormor gjorde stenen pentomino korset av titanit. Detta blåsvarta mineral med gyllene inneslutningar kan inte förväxlas med någonting. Duncan hade aldrig sett så stora bitar förut och kunde bara gissa vad det kostade.

"Jag vet inte vad jag ska säga," mumlade han. "Vilken skönhet." Det är första gången jag ser det här.

Han kramade om sin mormors tunna axlar och kände plötsligt att de darrade och hon kunde inte stoppa darrandet. Duncan höll henne försiktigt i sina armar tills hennes axlar slutade skaka. I sådana ögonblick behövs inga ord. Tydligare än tidigare förstod Duncan: han var den sista kärleken i Helen Mackenzies förkrossade liv. Och nu flyger han iväg och lämnar henne ensam med sina minnen.

STORT MAGISKT TORG

Den kinesiske matematikern Yang Hui från 1200-talet var bekant med Pascals triangel (arithmetisk triangel). Han lämnade en beskrivning av metoder för att lösa ekvationer av 4:e och högre grader; det finns regler för att lösa en komplett andragradsekvation, summera progressioner och metoder för att konstruera magiska kvadrater. Han lyckades konstruera en magisk kvadrat av sjätte ordningen, och den senare visade sig vara nästan associativ (i den ger bara två par centralt motsatta tal inte summan av 37).

Benjamin Franklin konstruerade en kvadrat på 16x16, som förutom att ha en konstant summa på 2056 i alla rader, kolumner och diagonaler, hade ytterligare en egenskap. Om vi skär en 4x4 ruta från ett pappersark och placerar det här arket på en stor ruta så att 16 celler av den större kvadraten faller in i denna fack, då kommer summan av siffrorna som visas i denna fack, oavsett var vi placerar den. , kommer att vara densamma - 2056.

Det mest värdefulla med denna ruta är att det är ganska lätt att förvandla den till en perfekt magisk ruta, medan det inte är en lätt uppgift att konstruera perfekta magiska rutor. Franklin kallade detta torg "den mest charmiga magin av alla magiska rutor som någonsin skapats av trollkarlar."

MAGIC SQUARE, en kvadratisk tabell med heltal där summan av talen längs en rad, valfri kolumn och någon av de två huvuddiagonalerna är lika med samma tal.

Det magiska torget är av gammalt kinesiskt ursprung. Enligt legenden, under kejsar Yus regeringstid (ca 2200 f.Kr.), dök en helig sköldpadda upp från vattnet i Gula floden (Gula floden), med mystiska hieroglyfer inskrivna på skalet (fig. 1, A), och dessa tecken är kända som lo-shu och är likvärdiga med den magiska kvadraten som visas i fig. 1, b. På 1000-talet De lärde sig om magiska torg i Indien, och sedan i Japan, där på 1500-talet. Omfattande litteratur har ägnats magiska rutor. Européer introducerades till magiska rutor på 1400-talet. Bysantinske författaren E. Moschopoulos. Den första kvadraten som uppfanns av en europé anses vara kvadraten av A. Durer (Fig. 2), avbildad i hans berömda gravyr Melankoli 1. Datumet för tillkomsten av gravyren (1514) indikeras av siffrorna i de två centrala cellerna på den nedersta raden. Olika mystiska egenskaper tillskrevs magiska rutor. På 1500-talet Cornelius Heinrich Agrippa konstruerade kvadrater av den 3:e, 4:e, 5:e, 6:e, 7:e, 8:e och 9:e ordningen, som var förknippade med de 7 planeternas astrologi. Man trodde att en magisk fyrkant graverad på silver skyddade mot pesten. Än idag kan du se magiska rutor bland europeiska siares attribut.

På 1800- och 1900-talen. intresset för magiska rutor blossade upp med förnyad kraft. De började studeras med metoderna för högre algebra och operationell kalkyl.

Varje element i en magisk kvadrat kallas en cell. En kvadrat vars sida består av n celler, innehåller n 2 celler och kallas en kvadrat n-:e ordningen. De flesta magiska rutor använder den första n naturliga tal i följd. Belopp S siffror i varje rad, varje kolumn och på valfri diagonal kallas kvadratkonstanten och är lika med S = n(n 2 + 1)/2. Det har det bevisats nі 3. För en kvadrat av 3:e ordningen S= 15, 4:e ordningen – S= 34, 5:e ordningen – S = 65.

De två diagonalerna som går genom torgets mitt kallas huvuddiagonalerna. En streckad linje är en diagonal som, efter att ha nått kanten av kvadraten, fortsätter parallellt med det första segmentet från den motsatta kanten (en sådan diagonal bildas av de skuggade cellerna i fig. 3). Celler som är symmetriska kring kvadratens mitt kallas skevsymmetriska. Dessa är till exempel celler a Och b i fig. 3.

Reglerna för att konstruera magiska rutor är indelade i tre kategorier beroende på om kvadratens ordning är udda, lika med två gånger ett udda tal eller lika med fyra gånger ett udda tal. Den allmänna metoden för att konstruera alla rutor är okänd, även om de används flitigt olika upplägg, av vilka vi kommer att titta på några nedan.

Magiska rutor av udda ordning kan konstrueras med metoden för en fransk geometer från 1600-talet. A. de la Lubera. Låt oss överväga den här metoden med hjälp av exemplet med en kvadrat av 5:e ordningen (fig. 4). Siffran 1 placeras i mittcellen på den översta raden. Alla naturliga tal är ordnade i naturlig ordning cykliskt från botten till toppen i diagonala celler från höger till vänster. Efter att ha nått den övre kanten av kvadraten (som i fallet med nummer 1), fortsätter vi att fylla diagonalen från den nedre cellen i nästa kolumn. Efter att ha nått den högra kanten av kvadraten (nummer 3), fortsätter vi att fylla diagonalen som kommer från den vänstra cellen på raden ovanför. Efter att ha nått en fylld cell (nummer 5) eller ett hörn (nummer 15), går banan ner en cell, varefter fyllningsprocessen fortsätter.

Metoden av F. de la Hire (1640–1718) bygger på två ursprungliga rutor. I fig. Figur 5 visar hur denna metod används för att konstruera en 5:e ordningens kvadrat. Siffrorna från 1 till 5 skrivs in i cellen i den första kvadraten så att siffran 3 upprepas i cellerna i huvuddiagonalen som går uppåt till höger, och inte ett enda nummer visas två gånger i samma rad eller i samma kolumn. Vi gör samma sak med siffrorna 0, 5, 10, 15, 20 med den enda skillnaden att talet 10 nu upprepas i cellerna i huvuddiagonalen, från topp till botten (fig. 5, b). Summan av dessa två kvadrater cell för cell (fig. 5, V) bildar en magisk fyrkant. Denna metod används också för att konstruera kvadrater av jämn ordning.

Om du vet ett sätt att konstruera ordningsrutor m och beställa n, då kan vi konstruera en ordningskvadrat mґ n. Kärnan i denna metod visas i fig. 6. Här m= 3 och n= 3. En större kvadrat av 3:e ordningen (med tal markerade med primtal) konstrueras med de la Loubert-metoden. I cellen med siffran 1ў (den centrala cellen i den översta raden) passar en kvadrat av 3:e ordningen från talen från 1 till 9, också konstruerad med de la Lubert-metoden. I cellen med siffran 2ў (höger i den nedre raden) passar en kvadrat av 3:e ordningen med siffror från 10 till 18; i cellen med talet 3ў - en kvadrat med tal från 19 till 27, etc. Som ett resultat får vi en kvadrat av 9:e ordningen. Sådana rutor kallas komposit.

MAGISKT KVADRAT
en kvadratisk tabell med heltal där summan av talen längs en rad, valfri kolumn och någon av de två huvuddiagonalerna är lika med samma tal. Det magiska torget är av gammalt kinesiskt ursprung. Enligt legenden, under kejsar Yus regeringstid (ca 2200 f.Kr.), dök en helig sköldpadda upp från vattnet i Gula floden (Yellow River), på vars skal mystiska hieroglyfer var inskrivna (fig. 1a), och dessa tecken är känd som lo-shu och är likvärdiga med den magiska kvadraten som visas i fig. 1, b. På 1000-talet De lärde sig om magiska torg i Indien, och sedan i Japan, där på 1500-talet. Omfattande litteratur har ägnats magiska rutor. Européer introducerades till magiska rutor på 1400-talet. Bysantinske författaren E. Moschopoulos. Den första kvadraten som uppfunnits av en europé anses vara kvadraten av A. Durer (Fig. 2), avbildad i hans berömda gravyr Melancholy 1. Datumet för tillkomsten av gravyren (1514) anges med siffrorna i de två centrala celler på den nedersta raden. Olika mystiska egenskaper tillskrevs magiska rutor. På 1500-talet Cornelius Heinrich Agrippa konstruerade kvadrater av den 3:e, 4:e, 5:e, 6:e, 7:e, 8:e och 9:e ordningen, som var förknippade med de 7 planeternas astrologi. Man trodde att en magisk fyrkant graverad på silver skyddade mot pesten. Än idag kan du se magiska rutor bland europeiska siares attribut.

På 1800- och 1900-talen. intresset för magiska rutor blossade upp med förnyad kraft. De började studeras med metoderna för högre algebra och operationell kalkyl. Varje element i en magisk kvadrat kallas en cell. En kvadrat vars sida består av n celler innehåller n2 celler och kallas en kvadrat av n:te ordningen. De flesta magiska rutor använder de första n naturliga talen i följd. Summan av S-tal i varje rad, varje kolumn och på valfri diagonal kallas kvadratkonstanten och är lika med S = n(n2 + 1)/2. Det har bevisats att n = 3. För en 3:e ordningens kvadrat S = 15, 4:e ordningen - S = 34, 5:e ordningen - S = 65. De två diagonalerna som går genom kvadratens mitt kallas för huvuddiagonalerna. En streckad linje är en diagonal som, efter att ha nått kanten av kvadraten, fortsätter parallellt med det första segmentet från den motsatta kanten (en sådan diagonal bildas av de skuggade cellerna i fig. 3). Celler som är symmetriska kring kvadratens mitt kallas skevsymmetriska. Dessa är till exempel celler a och b i fig. 3.

Reglerna för att konstruera magiska rutor är indelade i tre kategorier beroende på om kvadratens ordning är udda, lika med två gånger ett udda tal eller lika med fyra gånger ett udda tal. En allmän metod för att konstruera alla kvadrater är okänd, även om olika scheman används i stor utsträckning, varav några kommer vi att överväga nedan. Magiska rutor av udda ordning kan konstrueras med metoden för en fransk geometer från 1600-talet. A. de la Lubera. Låt oss överväga den här metoden med hjälp av exemplet med en kvadrat av 5:e ordningen (fig. 4). Siffran 1 placeras i mittcellen på den översta raden. Alla naturliga tal är ordnade i naturlig ordning cykliskt från botten till toppen i diagonala celler från höger till vänster. Efter att ha nått den övre kanten av kvadraten (som i fallet med nummer 1), fortsätter vi att fylla diagonalen från den nedre cellen i nästa kolumn. Efter att ha nått den högra kanten av kvadraten (nummer 3), fortsätter vi att fylla diagonalen som kommer från den vänstra cellen på raden ovanför. Efter att ha nått en fylld cell (nummer 5) eller ett hörn (nummer 15), går banan ner en cell, varefter fyllningsprocessen fortsätter.

Metoden av F. de la Hire (1640-1718) är baserad på två ursprungliga rutor. I fig. Figur 5 visar hur denna metod används för att konstruera en 5:e ordningens kvadrat. Siffrorna från 1 till 5 skrivs in i cellen i den första kvadraten så att siffran 3 upprepas i cellerna i huvuddiagonalen som går uppåt till höger, och inte ett enda nummer visas två gånger i samma rad eller i samma kolumn. Vi gör samma sak med siffrorna 0, 5, 10, 15, 20 med den enda skillnaden att talet 10 nu upprepas i cellerna i huvuddiagonalen, från topp till botten (fig. 5, b). Cell för cell summan av dessa två kvadrater (fig. 5c) bildar en magisk kvadrat. Denna metod används också för att konstruera kvadrater av jämn ordning.

Om du vet hur man konstruerar kvadrater av ordningen m och ordningen n, då kan du konstruera en kvadrat av ordningen mґn. Kärnan i denna metod visas i fig. 6. Här är m = 3 och n = 3. En större kvadrat av 3:e ordningen (med tal markerade med primtal) konstrueras med de la Loubert-metoden. I cellen med siffran 1ў (den centrala cellen i den översta raden) passar en kvadrat av 3:e ordningen från talen från 1 till 9, också konstruerad med de la Lubert-metoden. I cellen med siffran 2ў (höger i den nedre raden) passar en kvadrat av 3:e ordningen med siffror från 10 till 18; i cellen med talet 3ў - en kvadrat med tal från 19 till 27, etc. Som ett resultat får vi en kvadrat av 9:e ordningen. Sådana rutor kallas komposit.

Colliers uppslagsverk. – Öppet samhälle. 2000 .

Se vad "MAGIC SQUARE" är i andra ordböcker:

En kvadrat uppdelad i lika många n kolumner och rader, med de första n2 naturliga talen inskrivna i de resulterande cellerna, som summerar till samma antal för varje kolumn, varje rad och två stora diagonaler... Stor encyklopedisk ordbok

MAGIC SQUARE, en kvadratisk MATRIX, uppdelad i celler och fylld med siffror eller bokstäver på ett visst sätt, vilket fixar en speciell magisk situation. Den vanligaste bokstavsrutan är SATOR, som består av orden SATOR, AREPO,... ... Vetenskaplig och teknisk encyklopedisk ordbok

En kvadrat uppdelad i lika många n kolumner och rader, med naturliga tal från 1 till n2 inskrivna i de resulterande cellerna, som summerar till samma antal för varje kolumn, varje rad och två stora diagonaler. I fig. exempel på M. k. s... ... Naturvetenskap. encyklopedisk ordbok

En magisk eller magisk kvadrat är en kvadratisk tabell fylld med siffror på ett sådant sätt att summan av talen i varje rad, varje kolumn och på båda diagonalerna är densamma. Om summan av siffror i en kvadrat är lika endast i rader och kolumner, då ... Wikipedia

En kvadrat uppdelad i ett lika stort antal n kolumner och rader, med de första n2 naturliga talen inskrivna i de resulterande cellerna, som summerar varje kolumn, varje rad och två stora diagonaler har samma antal [lika med... ... Stora sovjetiska encyklopedien

En kvadratisk tabell med heltal från 1 till n2, som uppfyller följande villkor: där s=n(n2+1)/2. Mer generella matematiska ekvationer beaktas också, där det inte krävs att något tal a är unikt karakteriserat av ett par rester (a, b) modulo n(siffror... Matematisk uppslagsverk

bok En kvadrat uppdelad i delar, som var och en innehåller ett tal som summerar till samma tal tillsammans med andra horisontellt, vertikalt eller diagonalt. BTS, 512... Stor ordbok med ryska ordspråk

- (grekiska magikos, från magos magiker). Magiskt, relaterat till magi. Ordbok med främmande ord som ingår i det ryska språket. Chudinov A.N., 1910. MAGISK magi. Ordbok med främmande ord som ingår i det ryska språket. Pavlenkov F., 1907 ... Ordbok med främmande ord i ryska språket

Det är en tredimensionell version av den magiska fyrkanten. En traditionell (klassisk) magisk kub av ordningen n är en kub med dimensionerna n×n×n, fylld med olika naturliga tal från 1 till n3 så att summan av siffror i någon av 3n2-raderna, ... ... Wikipedia

Böcker

Magic Square, Irina Bjorno, "Magic Square" är en samling berättelser och noveller skrivna i stil med magisk realism, där verkligheten är tätt sammanflätad med magi och fantasi och bildar en ny, magisk stil -... Kategori: Skräck och mystik Utgivare: Publishing Solutions, e-bok(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)

Introduktion

Antikens stora vetenskapsmän ansåg att kvantitativa relationer var grunden för världens väsen. Därför upptog siffror och deras relationer mänsklighetens största sinnen. "I min ungdom roade jag mig själv på min fritid med att göra... magiska rutor", skrev Benjamin Franklin. En magisk kvadrat är en kvadrat vars summa av siffror i varje horisontell rad, i varje vertikal rad och längs varje diagonal är densamma.

Några framstående matematiker ägnade sitt arbete åt magiska rutor, och resultaten de fick påverkade utvecklingen av grupper, strukturer, latinska kvadrater, determinanter, partitioner, matriser, jämförelser och andra icke-triviala områden inom matematiken.

Syftet med denna uppsats är att bekanta dig med olika magiska rutor, latinska rutor och studera användningsområdena.

Magiska rutor

En fullständig beskrivning av alla möjliga magiska rutor har inte erhållits till denna dag. Det finns inga magiska 2x2 rutor. Det finns bara en 3x3 magisk ruta, eftersom andra 3x3 magiska rutor erhålls från den antingen genom rotation runt mitten eller genom reflektion kring en av dess symmetriaxlar.

Det finns 8 olika sätt att ordna naturliga tal från 1 till 9 i en 3x3 magisk kvadrat:

9+5+1
9+4+2
8+6+2
8+5+2
8+4+3
7+6+2
7+5+3
6+5+4

I en 3x3 magisk kvadrat måste den magiska konstanten 15 vara lika med summan av tre tal i 8 riktningar: 3 rader, 3 kolumner och 2 diagonaler. Eftersom numret i mitten tillhör 1 rad, 1 kolumn och 2 diagonaler ingår det i 4 av de 8 trillingar som summerar till den magiska konstanten. Det finns bara ett sådant nummer: det är 5. Därför är numret i mitten av den 3x3 magiska kvadraten redan känt: det är 5.

Tänk på siffran 9. Den ingår i endast 2 trillingar av siffror. Vi kan inte placera den i ett hörn, eftersom varje hörncell tillhör 3 trillingar: rad, kolumn och diagonal. Därför måste siffran 9 finnas i någon cell intill sidan av kvadraten i dess mitt. På grund av kvadratens symmetri spelar det ingen roll vilken sida vi väljer, så vi skriver 9 ovanför siffran 5 i den centrala cellen. På vardera sidan av niorna på den översta raden kan vi bara skriva siffrorna 2 och 4. Vilket av dessa två nummer som kommer att vara i det övre högra hörnet och vilket i vänster igen spelar ingen roll, eftersom ett arrangemang av siffror går in i en annan när den speglas. De återstående cellerna fylls i automatiskt. Vår enkla konstruktion av en 3x3 magisk fyrkant bevisar dess unika karaktär.

En sådan magisk fyrkant var en symbol av stor betydelse bland de gamla kineserna. Siffran 5 i mitten betydde jord, och runt den i strikt balans fanns eld (2 och 7), vatten (1 och 6),

trä (3 och 8), metall (4 och 9).

När storleken på kvadraten (antal celler) ökar, ökar antalet möjliga magiska kvadrater av den storleken snabbt. Det finns 880 magiska rutor av ordning 4 och 275 305 224 magiska rutor av ordning 5. Dessutom var 5x5 rutor kända redan på medeltiden. Muslimer, till exempel, var mycket vördnadsfulla för en sådan ruta med siffran 1 i mitten, och ansåg att den var en symbol för Allahs enhet.

Pythagoras magiska torg

Den store vetenskapsmannen Pythagoras, som grundade den religiösa och filosofiska läran som förkunnade att kvantitativa relationer skulle ligga till grund för tingens väsen, trodde att människans väsen också ligger i numret - födelsedatumet. Därför, med hjälp av Pythagoras magiska kvadrat, kan du känna till en persons karaktär, graden av hälsa och hans potential, avslöja fördelar och nackdelar och därigenom identifiera vad som bör göras för att förbättra honom.

För att förstå vad Pythagoras magiska kvadrat är och hur dess indikatorer beräknas, kommer jag att beräkna den med mitt eget exempel. Och för att se till att resultaten av beräkningen verkligen motsvarar den verkliga karaktären hos en viss person, först kommer jag att kontrollera det på mig själv. För att göra detta kommer jag att göra beräkningen utifrån mitt födelsedatum. Så mitt födelsedatum är 1986-08-20. Låt oss lägga till siffrorna för dagen, månaden och födelseåret (exklusive nollor): 2+8+1+9+8+6=34. Därefter lägger vi ihop siffrorna för resultatet: 3+4=7. Sedan subtraherar vi från det första beloppet den dubbla första siffran i födelsedagen: 34-4=30. Och igen lägger vi till siffrorna i det sista numret:

3+0=3. Det återstår att göra de sista tilläggen - 1:a och 3:e och 2:a och 4:e summan: 34+30=64, 7+3=10. Vi fick siffrorna 1986/08/20,34,7,30, 64,10.

och gör en magisk kvadrat så att alla ettor av dessa siffror går in i cell 1, alla tvåor i cell 2, etc. Nollor tas inte med i beräkningen. Som ett resultat kommer min kvadrat att se ut så här:

De kvadratiska cellerna betyder följande:

Cell 1 - beslutsamhet, vilja, uthållighet, själviskhet.

1 - kompletta egoister, sträva efter att få ut maximal nytta av alla situationer.
11 - en karaktär nära egoistisk.
111 - "gyllene medelväg". Karaktären är lugn, flexibel och sällskaplig.
1111 - människor med stark karaktär, viljestarka. Män med sådan karaktär är lämpliga för rollen som militärer, och kvinnor håller sin familj i näven.
11111 - diktator, tyrann.
111111 - en grym person, kapabel att göra det omöjliga; faller ofta under inflytande av någon idé.

Cell 2 - bioenergi, emotionalitet, uppriktighet, sensualitet. Antalet tvåor bestämmer nivån på bioenergi.

Det finns inga tvåor - kanalen är öppen för en intensiv insamling av bioenergi. Dessa människor är väluppfostrade och ädla till sin natur.

2 - människor som är vanliga i bioenergetiska termer. Sådana människor är mycket känsliga för förändringar i atmosfären.
22 - en relativt stor reserv av bioenergi. Sådana människor är bra läkare, sjuksköterskor och vårdare. I familjen till sådana människor finns det sällan någon som upplever nervös stress.
222 är tecknet på en synsk.

Cell 3 - noggrannhet, specificitet, organisation, prydlighet, punktlighet, renlighet, snålhet, benägenhet till konstant "återupprättande av rättvisa."

Ökningen av treor förstärker alla dessa egenskaper. Med dem är det vettigt för en person att leta efter sig själv inom vetenskaperna, särskilt de exakta. Övervikten av treor ger upphov till pedanter, personer i ett fall.

Cell 4 - hälsa. Detta är kopplat till ecgregor, det vill säga energiutrymmet som utvecklats av förfäderna och skyddar en person. Frånvaron av fyror indikerar att en person är sjuk.

4 - genomsnittlig hälsa, det är nödvändigt att härda kroppen. Simning och löpning är rekommenderade sporter.
44 - god hälsa.
444 och fler - människor med mycket god hälsa.

Cell 5 - intuition, klärvoajans, som börjar manifestera sig i sådana människor redan på nivån tre femmor.

Det finns inga femmor - kommunikationskanalen med utrymme är stängd. Dessa människor ofta

är fel.

5 - kommunikationskanalen är öppen. Dessa människor kan korrekt beräkna situationen och göra det bästa av det.
55 - högt utvecklad intuition. När de ser "profetiska drömmar" kan de förutsäga händelseförloppet. Lämpliga yrken för dem är jurist, utredare.
555 - nästan klärvoajant.
5555 - klärvoajanta.

Cell 6 - grundadhet, materialitet, beräkning, en förkärlek för kvantitativ utforskning av världen och misstro mot kvalitativa språng, och ännu mer mot andliga mirakel.

Det finns inga sexor - dessa människor behöver fysiskt arbete, även om de som regel inte gillar det. De är utrustade med extraordinär fantasi, fantasi och konstnärlig smak. Subtila naturer, de är ändå kapabla till handling.

6 - kan engagera sig i kreativitet eller exakta vetenskaper, men fysiskt arbete är en förutsättning för existens.
66 - människor är mycket jordade, dras till fysiskt arbete, även om det inte är obligatoriskt för dem; Mental aktivitet eller konstnärliga sysslor är önskvärda.
666 är Satans tecken, ett speciellt och olycksbådande tecken. Dessa människor har ett högt temperament, är charmiga och blir alltid i centrum för samhället.
6666 - dessa människor i sina tidigare inkarnationer fick för mycket grund, de arbetade mycket hårt och kan inte föreställa sig sitt liv utan arbete. Om deras kvadrat innehåller

Nior, de behöver definitivt engagera sig i mental aktivitet, utveckla sitt intellekt och åtminstone få en högre utbildning.

Cell 7 - antalet sjuor bestämmer måttet på talang.

7 - ju mer de arbetar, desto mer får de senare.
77 - mycket begåvade, musikaliska människor, har en subtil konstnärlig smak och kan ha en förkärlek för skön konst.
777 - dessa människor kommer som regel till jorden för en kort tid. De är snälla, lugna och känsliga för alla orättvisor. De är känsliga, gillar att drömma och känner inte alltid verkligheten.
7777 är tecknet på en ängel. Människor med detta tecken dör i spädbarnsåldern, och om de lever är deras liv ständigt i fara.

Cell 8 - karma, plikt, skyldighet, ansvar. Antalet åtta bestämmer graden av pliktkänsla.

Det finns inga åttor - dessa människor har en nästan fullständig brist på pliktkänsla.

8 - ansvarsfull, samvetsgrann, noggrann natur.
88 - dessa människor har en utvecklad pliktkänsla, de kännetecknas alltid av viljan att hjälpa andra, särskilt de svaga, sjuka och ensamma.
888 är ett tecken på stor plikt, ett tecken på service till folket. En linjal med tre åttor ger enastående resultat.
8888 - dessa människor har parapsykologiska förmågor och exceptionell känslighet för de exakta vetenskaperna. Övernaturliga vägar är öppna för dem.

Cell 9 - intelligens, visdom. Frånvaron av nior är ett bevis på att mentala förmågor är extremt begränsade.

9 - dessa människor måste arbeta hårt hela livet för att kompensera för sin bristande intelligens.
99 - dessa människor är smarta från födseln. De är alltid ovilliga att lära sig, eftersom kunskap kommer lätt till dem. De är utrustade med ett sinne för humor med en ironisk dragning och är självständiga.
999 - väldigt smart. Ingen ansträngning läggs på att lära sig alls. Utmärkta samtalspartners.
9999 - sanningen avslöjas för dessa människor. Om de också har utvecklat intuition, så är de garanterade mot misslyckande i någon av sina ansträngningar. Med allt detta är de vanligtvis ganska trevliga, eftersom deras skarpa sinne gör dem oförskämda, obarmhärtiga och grymma.

Så, efter att ha ritat upp Pythagoras magiska kvadrat och vetat innebörden av alla kombinationer av siffror som ingår i dess celler, kommer du att tillräckligt kunna bedöma egenskaperna hos din natur som Moder Natur har försett.

latinska rutor

Trots att matematiker främst var intresserade av magiska rutor, fann latinska rutor den största tillämpningen inom vetenskap och teknik.

En latinsk kvadrat är en kvadrat med nxn celler i vilka talen 1, 2,..., n är skrivna, och på ett sådant sätt att alla dessa tal förekommer en gång i varje rad och varje kolumn. Figur 3 visar två sådana 4x4 rutor. De har intressant funktion: om en kvadrat läggs över en annan, visar sig alla par av resulterande tal vara olika. Sådana par av latinska kvadrater kallas ortogonala.

Problemet med att hitta ortogonala latinska rutor ställdes först av L. Euler och i en så underhållande formulering: ”Bland de 36 officerarna finns lika många lanser, dragoner, husarer, kurassier, kavallerivakter och grenadjärer, och därtill en lika antal generaler, överstar, majorer, kaptener, löjtnanter och underlöjtnanter, och varje gren av militären representeras av officerare av alla sex leden. Är det möjligt att rada upp alla officerare i en 6 x 6 ruta så att det i vilken kolumn och vilken rang som helst finns officerare av alla grader?”

Euler kunde inte hitta en lösning på detta problem. 1901 bevisades att en sådan lösning inte fanns. Samtidigt bevisade Euler att ortogonala par av latinska kvadrater existerar för alla udda värden på n och för de jämna värden på n som är delbara med 4. Euler antog att för de återstående värdena på n, är, om talet n dividerat med 4 ger återstoden 2, finns det inga ortogonala kvadrater. År 1901 bevisades att det inte finns några ortogonala kvadrater 6 6, och detta ökade förtroendet för giltigheten av Eulers hypotes. Men 1959, med hjälp av en dator, hittades först ortogonala kvadrater 10x10, sedan 14x14, 18x18, 22x22. Och sedan visades det att för vilket n som helst utom 6 finns det nxn ortogonala kvadrater.

Magiska och latinska rutor är nära släktingar. Låt oss ha två ortogonala kvadrater. Låt oss fylla cellerna i en ny kvadrat med samma dimensioner enligt följande. Låt oss sätta dit talet n(a - 1)+b, där a är talet i en sådan cell i den första kvadraten, och b är talet i samma cell i den andra kvadraten. Det är lätt att förstå att i den resulterande kvadraten kommer summorna av siffror i raderna och kolumnerna (men inte nödvändigtvis på diagonalerna) att vara desamma.

Teorin om latinska kvadrater har funnit många tillämpningar både i matematiken själv och i dess tillämpningar. Låt oss ge ett exempel. Anta att vi vill testa 4 vetesorter för avkastning i ett givet område, och vi vill ta hänsyn till inflytandet av graden av gleshet av grödor och påverkan av två typer av gödningsmedel. För att göra detta kommer vi att dela upp en kvadratisk tomt i 16 tomter (Fig. 4). Vi kommer att plantera den första vetesorten i tomter som motsvarar den nedre horisontella randen, nästa sort i fyra tomter motsvarande nästa rand etc. (i figuren anges sorten med färg). I det här fallet, låt den maximala tätheten av grödor vara i de plotter som motsvarar den vänstra vertikala kolumnen i figuren och minska när du flyttar till höger (i figuren motsvarar detta en minskning av färgintensiteten). Låt siffrorna i cellerna i bilden betyda:

den första är antalet kilo gödselmedel av den första typen som appliceras på detta område, och den andra är mängden gödselmedel av den andra typen som appliceras. Det är lätt att förstå att i det här fallet realiseras alla möjliga par av kombinationer av både sort och sådensitet och andra komponenter: sort och gödningsmedel av den första typen, gödningsmedel av den första och andra typen, densitet och gödningsmedel av den andra typen.

Användningen av ortogonala latinska kvadrater hjälper till att ta hänsyn till alla möjliga alternativ i experiment inom jordbruk, fysik, kemi och teknik.

kvadrat magi pythagoras latin

Slutsats

Den här uppsatsen undersöker frågor relaterade till historien om utvecklingen av en av frågorna i matematik som har upptagit många stora människors sinnen - magiska rutor. Trots det faktum att magiska kvadrater själva inte har fått bred tillämpning inom vetenskap och teknik, inspirerade de många extraordinära människor att studera matematik och bidrog till utvecklingen av andra grenar av matematiken (teorin om grupper, determinanter, matriser, etc.).

De närmaste släktingarna till magiska rutor, latinska rutor, har funnit många tillämpningar både i matematik och i dess tillämpningar för att sätta upp och bearbeta resultaten av experiment. Sammanfattningen ger ett exempel på hur man sätter upp ett sådant experiment.

Sammanfattningen diskuterar också frågan om det pythagoriska torget, som är av historiskt intresse och möjligen användbart för att rita upp ett psykologiskt porträtt av en person.

Bibliografi

1. Encyklopedisk ordbok över en ung matematiker. M., "Pedagogy", 1989.
2. M. Gardner "Time Travel", M., "Mir", 1990.
3. Idrott och idrott nr 10, 1998